2022年《復(fù)變函數(shù)與積分變換A》期末考試題A-A參考答案

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -北京交通大學(xué)2021-2021學(xué)年第一學(xué)期復(fù)變函數(shù)與積分變換B 期末考試試卷A學(xué)院 專業(yè) 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 題號(hào)一二三四五六七八九十1112總分得分閱卷人一填空題 （此題滿分 16 分，每空 1 分），請(qǐng)將合適的答案填在空中.1 復(fù) 數(shù) z34i 22i5i， 就 Re z- 7 ；2Im z-13 ；| z |529 ；2arg zarctan 26 7；復(fù)數(shù) z 的三角表達(dá)式為529cosarg z2i sinarg z指數(shù)表達(dá)式為529ei a r gz . 22 612k ie6cos2k2ki sin,k0,1

2、,2,3,4,53 i i662ke2kZ4.Ln 12 k1) ikZ5函數(shù) arg z 在復(fù)平面上的連續(xù)性為除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)外都連續(xù)；6冪級(jí)數(shù)nznnn 1 2的收斂半徑為 2 .精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -7映射 w平面.ez 將帶形域 0Im z2映射成除去正實(shí)軸（包含原點(diǎn)）的全8冪函數(shù) w1z3 ，把角形域 0arg z映射為 w 平面的第一象限 .69 Res ez ,01.10變換 wz25 在 z1i 的旋轉(zhuǎn)

3、角為，伸縮率為224二判定以下命題的真假 （此題滿分 10 分，每道小題 1 分），對(duì)的填“”，錯(cuò)的填“”.1e z2k iez . 2當(dāng) z 為復(fù)數(shù)時(shí)，3| sin z |1 仍舊成立.× z0 是f z1sin 1z的孤立奇 .× 4假如f ' z 存在，就f z 在z0 解析 .× 05 解 析 函 數(shù) 一 定 是 調(diào) 和 函 數(shù) ， 但 調(diào) 和 函 數(shù) 不 一 定 是 解 析 函 數(shù)6當(dāng)C是一條不通過原點(diǎn)的簡(jiǎn)潔閉曲線時(shí)，積分1 dzC z0 . 7每一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).× 8 Lnz 22 Lnz .× 9

4、如 果 冪 級(jí) 數(shù)cn zn 02) n在 z0收 斂 ， 就 在 z3也 收 斂 .10映射 wz2 在 z 平面上每一點(diǎn)都具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性.× 精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -三（此題滿分 6 分） 爭(zhēng)論函數(shù)f zz Re z的連續(xù)性、可導(dǎo)性、解析性.解：設(shè)zxiy ,就 f z xiy xx 2ixy ,又設(shè)ux2 ,vxy, 就u2 x,u0xyvy,vxxyx0, y0 時(shí)， uv ,uvxyyxf zz

5、 Re z在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)，在z0可導(dǎo)，但在復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)都不解析；四（此題滿分6 分） 將函數(shù) zz收斂半徑 .解：1在 z011 展成泰勒級(jí)數(shù)，并求出泰勒級(jí)數(shù)的z 111z11 z1 z z1z11 z112z12122 分設(shè) z121 即z 12 時(shí)，2z-1 = z-11z-1z-1nz-1n1z-12222 分= z-1-z-123z-12n 1nz-11n222收斂半徑R22 分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - - z21 z2

6、4五（此題滿分8 分） 在擴(kuò)充復(fù)平面上找出函數(shù)點(diǎn)并加以分類，如是極點(diǎn)，指出其級(jí)數(shù).f zsinz 4的孤立奇解：'sinzcosz 在 z0,1,2,都不為零z0,1,2,是sinz的一級(jí)零點(diǎn)，從而是3 分sin4z的四級(jí)零點(diǎn)，這些點(diǎn)中除去1， 1，2外都是fz的四級(jí)極點(diǎn)；又z21z1z1z1是fz的3級(jí)極點(diǎn) , 至于z2,由于z21z2 4z24lim fzlimlimz21z2z24sinzz24sinz2lim2101sin434z2是fz的可去奇點(diǎn)12124關(guān)于 z,由于 f16 sin 4可知=0， n1 使分母為零， n當(dāng)n1時(shí)，1=1, 即z1;2當(dāng)n2時(shí)，1 ，即 z5

7、 分2, 這兩點(diǎn)上面已爭(zhēng)論過，當(dāng)n2時(shí)，n當(dāng)n時(shí)，n21 為f n0，1的極點(diǎn)，0不是 f1的孤立奇點(diǎn)，即z不是fz的孤立奇點(diǎn)；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -六（此題滿分 18 分）2 2i1分別沿 yx 與 yx2 運(yùn)算積分 x20iy dz （ 6 分）；解：（ 1）沿 yx ，2原式x 20ix d xixx3i|01ix22321i8i4321i82i33 分（ 2）沿 yx2 原式22222xixd xix022x1i10

8、2 xi dx221ix032x i dx81i8i33 分2運(yùn)算積分C z10z n1 dz，其中 C 為包含z0 的任意一條正向簡(jiǎn)潔閉曲線，n 為整數(shù).（6 分）；解：依據(jù)閉路變形原理，12 i, n0原式z z0rzn 1 dzz00,n03已知調(diào)和函數(shù)（ 6 分）u2 x1 y ，求解析函數(shù)f zuiv ，且f 2i .解：u y2 x1 ,u x2 y ，由 CR 條件V xu2 x1 y2 x2 ； 2 分設(shè) Vx 22xy ，就V y'yu2 y xyy2C ， 2 分所 以 Vx 22xy 2有 已 知f 2i ， 就 x2, yi ， 所 以C，fz2x1 yx22x

9、y2C，0, fzi，f2440CiCfz2 x1 yx 22xyi2 分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -七（此題滿分6分） 將函數(shù)f z1z1 z分別在圓環(huán)20| z1 |1 與1| z2 |內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù) .解：（ 1）在 0z11，內(nèi)11

10、fzz1z1111z1 1z1121z1z1z1n 1n 11z111z1z13 分n 1n 21z1（ 2）在 1z2內(nèi)11fzz2z21112z211z2111z2 21z2z2 2n 111nz23 分3八（此題滿分 6 分） 運(yùn)算解： 原式 =|z| z2z15 1 z4dz .232 i Re s fz , z1Re s fz , z2Re s fz , z3Re s fz , z4Re s fz ,22 i Re s fz ,2 i Re sf1z4 分1 ,0z 2由于 Re sf1z1 ,0z21；所以原式2i2 分精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第

11、7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -a九（此題滿分 6 分） 運(yùn)算20解： 原式1sin 2d,a0 .0 a 2d令x11 cos2222202a 2dx1cosxz 1 2a 21dz21z1 iz 2z2i2z 1 zdz4 分2 2a21 z12 i Re s fz , z0其中 z02 a 212aa 21 ，所以原式 = 2 i2i14aa 212 分aa 21十（此題滿分 6 分） 運(yùn)算cosmx dx,m0, a0ax解： 原式1cosmx2201emix1emix2a 22 dxR

12、e x2a2x 2 dxRe 22i Res2a2 , aize1eamamRe 2 i22ai2a十一. （此題滿分 6 分） 爭(zhēng)論在映射三角形被映成什么圖形.w2iz 下，以 z1i, z21, z31為頂點(diǎn)的解： 由于 w2izi2 ze2為旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)角為）且 w'22i0， 2 分所以它將z1i, z21, z31 為頂點(diǎn)的三角形映射為以w12, w22i , w32i 為精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -頂點(diǎn)的三角形4 分十二（此題滿分