吳傳生經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)71

1、第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離六、小結(jié)六、小結(jié) 思考題思考題 三、曲面方程的概念三、曲面方程的概念四、空間曲線方程的概念四、空間曲線方程的概念五、五、n維空間維空間x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 原點(diǎn)原點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三條坐標(biāo)軸的正方向三條坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手法則右手法則.一、空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)( space rectangular coordinates system )(abscissa axis) (ordinate axis)(origin)(vertical axis)xyozxOy面面yO

2、z面面zOx面面空間被分為空間被分為八個(gè)卦限八個(gè)卦限空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(O坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM xyzO)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB), 0 ,(zxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,CxyozxOy面面yOz面面zOx面面空間被分為空間被分為八個(gè)卦限八個(gè)卦限x0,y0,z0 x0,z0 x0,y0 x0,y0,z0 x0,z0 x0,y0,z0,y0 x0,y0,z0八個(gè)卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)八個(gè)卦限

3、中點(diǎn)的坐標(biāo)解解設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則，則 222,xyz(1)即所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為即所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為 212112,0,xxyy zz 111,;xyz (2)1212210,0,xxyyzz 即所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為即所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為 111,;xy z (3)1212120,0,0,xxyyzz 即所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為即所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為 111,;xyz (4)121212,222xxyyzzabc即所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為即所求的點(diǎn)的坐標(biāo)為 1112,2,2.axbyczxyzO 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股

4、定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點(diǎn)間的距離,121xxPM,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd 則則.222zyx xyzO 1MPNQR 2M解解依題意有依題意有 因所求點(diǎn)因所求點(diǎn)M 在在y 軸上，可設(shè)其坐標(biāo)為軸上，可設(shè)其坐標(biāo)為 ， 0, ,0y,MAMB 即即 2222220310100102yy解之得解之得 3,2y 故所求點(diǎn)為故所求點(diǎn)為 30,0 .2M 解解 221MM,14)1

5、2()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.解解設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 定義定義0),(zyxF如果曲面如果曲面 S 與方程與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系有下述關(guān)系:(1) 曲面曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程 則則

6、F( x, y, z ) = 0 叫做叫做曲面曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的圖形圖形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程 SzyxO三、曲面方程的概念兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí), ,求曲面方程求曲面方程. .(2) 已知方程時(shí)，研究它所表示的幾何形狀已知方程時(shí)，研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖必要時(shí)需作圖 ). 例例5 求三個(gè)坐標(biāo)平面的方程求三個(gè)坐標(biāo)平面的方程. 解解同理，同理，yOz平面的方程為平面的方程為

7、0.x zOx平面的方程為平面的方程為 0.y 例例6 作作 （c為常數(shù)）的圖形為常數(shù)）的圖形. 解解zc 同理，同理， 和和 分別表示平行于分別表示平行于yOz平面和平面和xOz平面平面. xa yb 求到兩定點(diǎn)求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的等距離的點(diǎn)的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得即即說明說明: : 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.例例7: :222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程軌跡方程. . 前面三個(gè)例子中，所討論的方程

8、都是一次方程，前面三個(gè)例子中，所討論的方程都是一次方程，所考察的圖形都是平面所考察的圖形都是平面.可以證明空間中任意一個(gè)平可以證明空間中任意一個(gè)平面的方程式三元一次方程面的方程式三元一次方程 0,AxByCzD,A B C D,A B C其中其中 均為常數(shù)，均為常數(shù)， 且不全為且不全為0. 故所求方程為故所求方程為例例8. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)),(zyxM),(0000zyxM方程方程. . 特別特別,當(dāng)當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí)在原點(diǎn)時(shí),球面方程為球面方程為解解: : 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為RMM0即即依題意依題意距離為距離為 R 的軌跡的軌跡MOxyz0M222yxRz表示上表示上( (下

9、下) )球面球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例例9. . 研究方程研究方程042222yxzyx解解 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M可見此方程表示一個(gè)球面可見此方程表示一個(gè)球面說明說明 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形都可通過配方研究它的圖形. .其圖形可能是其圖形可能是的曲面的曲面. . 表示表示怎樣怎樣半徑為半徑為0)(222GFzEyDxzyxA球心為球心為 一個(gè)一個(gè)球面球面 , , 或或點(diǎn)點(diǎn) , , 或或虛軌跡虛軌跡. .5)2() 1(222zyx四、空

10、間曲線方程的概念空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線, ,其一般方程為方程組其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S五、n維點(diǎn)集n維空間維空間： niRxxxxRinn, 2 , 1,21 表示為表示為：一一 般地，設(shè)般地，設(shè)n為一個(gè)取定的正整數(shù)，為一個(gè)取定的正整數(shù)，n元有序?qū)崝?shù)組元有序?qū)崝?shù)組 的的全體構(gòu)成的集合全體構(gòu)成的集合. ),(21nxxxnRn維空間維空間 中的中的點(diǎn)點(diǎn)：nRn元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(21nxxx其中，數(shù)其中，數(shù) 稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo). ixn維空間中維空間中兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距

11、離： 注：當(dāng)注：當(dāng)n=1,2,3時(shí)，上式即是數(shù)軸、平面及空間時(shí)，上式即是數(shù)軸、平面及空間 兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離 .2222211)()()(nnxyxyxyPQ其中，點(diǎn)為其中，點(diǎn)為),(21nxxxP),(21nyyyQ和和空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式（軸、面、卦限）（軸、面、卦限） 21221221221zzyyxxMM n維空間維空間 niRxxxxRinn, 2 , 1,21空間曲線方程的概念空間曲線方程的概念曲面方程的概念曲面方程的概念六、小結(jié)思考題思考題在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D思考題解答思考題解答A ; B ; C ; D . 1. 1.下列各點(diǎn)所在卦限分別是：下列各點(diǎn)所在卦限分別是： ._1,3,2_4,3, 2_4,3,2_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 dcb_;_,_)1,2,