第二章平面桁架有限元分析及程序設(shè)計講述

1、有限單元法及程序設(shè)計有限單元法及程序設(shè)計第一章 緒論第二章 平面桁架有限元分析第三章 平面剛架有限元分析第四章 平面問題有限元分析有限單元法及程序設(shè)計有限單元法及程序設(shè)計第一章第一章 緒論緒論1.1 有限單元法的概念1.2 有限單元法的基本步驟1.3 常用有限單元分析軟件第一章第一章 緒論緒論數(shù)值方法（模擬）有限元方法邊界元方法有限差分方法有限體積法無網(wǎng)格方法1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念基本思路：借助數(shù)學(xué)和力學(xué)知識基本思路：借助數(shù)學(xué)和力學(xué)知識, ,利用計算機技術(shù)解決工利用計算機技術(shù)解決工程技術(shù)問題程技術(shù)問題有限元分析是利用數(shù)學(xué)近似分析方法對真實物理系統(tǒng)（幾何、載荷工況）進行模擬，利

2、用簡單而又相互作用的元素，即單元，用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng)。有限單元法(FEM)是20世紀50年代以來隨著計算機的廣泛應(yīng)用而發(fā)展起來的一種現(xiàn)代數(shù)值解法。該方法首先應(yīng)用在連續(xù)力學(xué)領(lǐng)域飛機結(jié)構(gòu)靜、動態(tài)特性分析中。隨后很快就廣泛應(yīng)用于求解傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等連續(xù)性問題。Rxyo真實半圓周長：真實半圓周長：RL近似半圓周長：近似半圓周長：NilL數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)：離散化的手段，將偏微分方程、變分方程變成代離散化的手段，將偏微分方程、變分方程變成代數(shù)方程；數(shù)方程；計算曲線長度：計算曲線長度：將曲線離散成將曲線離散成N段，每段用直線長度代替段，每段用直線長度代替曲線長度，直線長度總和即可

3、曲線長度，當(dāng)曲線長度，直線長度總和即可曲線長度，當(dāng)N為無窮大時，為無窮大時，即為精確解。即為精確解。1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念01234567891001234Arc LengthNumber單元數(shù)計算值理論值誤差(%)123.1415936.3422.828433.141599.9732.976073.141595.2743.035283.141593.3853.065963.141592.4163.084253.141591.8373.096193.141591.4583.10453.141591.1893.110543.141590.99103.115113.141590.

4、841003.140763.141590.032003.14133.141590.013003.141433.141590.011.1 有限單元法的概念有限單元法的概念圓周率的計算方法：圓周率的計算方法：RlRLNi單元數(shù)計算值單元數(shù)計算值單元數(shù)計算值121003.14076059100003.1415918220398022.8284271252003.141298567200003.1415923595933632.9760677433003.14143259300003.1415924935585943.035276184003.141488694400003.1415925496465

5、253.0659554365003.141518269500003.1415925792140963.084252856003.141536068600003.1415925970102973.0961949547003.14154775700003.1415926086905583.1044960688003.141555901800003.1415926168403593.1105417379003.141561854900003.14159262279185103.11510595110003.1415663561000003.14159262729364小數(shù)點后面小數(shù)點后面20位：位：

6、3.141592653589793238461.1 有限單元法的概念有限單元法的概念力學(xué)：力學(xué)：離散化的手段，利用單元力學(xué)特性，將連續(xù)體離離散化的手段，利用單元力學(xué)特性，將連續(xù)體離散成有限個單元的組合結(jié)構(gòu)；散成有限個單元的組合結(jié)構(gòu)；齒輪的應(yīng)力分布：齒輪的應(yīng)力分布：將齒輪分割成很多單元，由結(jié)點相連將齒輪分割成很多單元，由結(jié)點相連并傳遞求解信息，用有限個連續(xù)體的組合代替原來的齒并傳遞求解信息，用有限個連續(xù)體的組合代替原來的齒輪結(jié)構(gòu)。輪結(jié)構(gòu)。1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念電動鏟運機電動鏟運機1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念液壓挖掘機動臂液壓挖掘機動臂1.1 有限單元法的概念有限單元

7、法的概念在建的大連國際貿(mào)易中心大廈在建的大連國際貿(mào)易中心大廈(78層，層，342米米)63863個梁柱單元；個梁柱單元；34180個結(jié)點個結(jié)點；1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念在建的大連市體育中心在建的大連市體育中心1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念溪洛渡拱壩溪洛渡拱壩 (高高297米米)456 個壩體單元，個壩體單元，1040個個地基單元，地基單元，2163 個結(jié)點；個結(jié)點；1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念1.11.1 有限單元法的概念有限單元法的概念導(dǎo)管架碼頭結(jié)構(gòu)1.11.1 有限單元法的概念有限單元法的概念高樁碼頭高樁碼頭下部

8、結(jié)構(gòu)高樁碼頭上部結(jié)構(gòu)1.11.1 有限單元法的概念有限單元法的概念游艇碼頭結(jié)構(gòu)1.11.1 有限單元法的概念有限單元法的概念重力式碼頭結(jié)構(gòu)有限元模型有限元模型 是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。真實系統(tǒng)真實系統(tǒng)有限元模型有限元模型有限元模型有限元模型1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念單元 網(wǎng)格劃分中每一個小的塊體結(jié)點 確定單元形狀、單元之間相互聯(lián)結(jié)的點結(jié)點力 單元上結(jié)點處的結(jié)構(gòu)內(nèi)力載荷 作用在單元結(jié)點上的外力（集中力、分布力）約束 限制某些結(jié)點的某些自由度 單元單元單元單元載荷載荷結(jié)結(jié)點點結(jié)點力結(jié)點力約束約束有限元單元模型中幾個重要概念有限元單元模型中幾個重要概念1.

9、1 有限單元法的概念有限單元法的概念1.2 有限單元法的基本步驟有限單元法的基本步驟一、結(jié)構(gòu)離散化一、結(jié)構(gòu)離散化將求解域離散成單元表示的組合體，單元以結(jié)點相連；二、選擇插值函數(shù)（位移模式）二、選擇插值函數(shù)（位移模式）選擇插值函數(shù)來表達單元內(nèi)場變量的變化規(guī)律三、形成單元性質(zhì)的矩陣方程三、形成單元性質(zhì)的矩陣方程場變量：標量 向量 力、位移 張量 應(yīng)力、應(yīng)變單元剛度方程：單元結(jié)點力與單元結(jié)點位移之間的關(guān)系；1.2 有限單元法的基本步驟有限單元法的基本步驟四、形成整體系統(tǒng)的矩陣方程四、形成整體系統(tǒng)的矩陣方程綜合所有單元性質(zhì)的矩陣，形成整體系統(tǒng)的矩陣方程；五、約束處理，求解系統(tǒng)方程五、約束處理，求解系統(tǒng)

10、方程引入邊界條件，求解結(jié)點上的未知場變量；六、其他參數(shù)的計算六、其他參數(shù)的計算利用已經(jīng)求解的場變量，計算其他場變量；1.3 常用的有限元分析軟件常用的有限元分析軟件(1) ANSYS功能強大、模塊多、比較通用；土木工程：CivilFEM是商業(yè)化比較早的一個軟件（收購了一些其他軟件公司）(2) MSC產(chǎn)品系列多、通用軟件、二次開發(fā)功能強；土木工程：MSC.MARC系列，Patran, MSC Nastran 及AdamsAdams -多體動力學(xué)；多體動力學(xué)；Actran-聲學(xué)仿真；聲學(xué)仿真；Easy5-控制仿真工具；控制仿真工具；Marc-非線性；非線性；SimXpert-多學(xué)科仿真；多學(xué)科仿真

11、；MSC Nastran-結(jié)構(gòu)化結(jié)構(gòu)化與多學(xué)科與多學(xué)科FEA；Dytran-顯式動力學(xué)與流固耦合；顯式動力學(xué)與流固耦合；MSC Fatigue-基于基于FE的耐久性的耐久性仿真工具；仿真工具；Sinda-高級熱分析解決方案；高級熱分析解決方案；Digimat-非線性，多尺非線性，多尺度的材料與結(jié)構(gòu)建模平臺；度的材料與結(jié)構(gòu)建模平臺；SimDesigner-CAD嵌入式多學(xué)科仿真；嵌入式多學(xué)科仿真；Patran-有限元分析解決方案；有限元分析解決方案；SimManager-仿真數(shù)據(jù)和流程管理仿真數(shù)據(jù)和流程管理1.31.3 常用的有限元分析軟件常用的有限元分析軟件(3) ADINA復(fù)雜非線性問題與復(fù)

12、雜動力問題；具有直接求解和迭代求解兩種流固耦合分析方法Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis (4) ABAQUS （專注結(jié)構(gòu)分析）（專注結(jié)構(gòu)分析）主要應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力彈塑性分析；二次開發(fā)功能；HKS公司產(chǎn)品1.31.3 常用的有限元分析軟件常用的有限元分析軟件(5) SAP2000Systems Applications and Products in Data Processing通用結(jié)構(gòu)分析通用結(jié)構(gòu)分析 第二章第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計平面桁架有限元分析及程序設(shè)計2.1 平面桁架單元的離散2.2 平面桁架單元分析2.3 結(jié)

13、點平衡與整體剛度矩陣的集成2.4 邊界條件的處理2.5 單元內(nèi)力與支座反力的計算2.6 平面桁架有限元程序設(shè)計有限單元法及程序設(shè)計有限單元法及程序設(shè)計解題方法方法方法1：節(jié)點法節(jié)點法BaFP1ACDaaaFP方法方法2：截面法截面法靜定桁架回顧回顧第二章第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計平面桁架有限元分析及程序設(shè)計解題方法：力法和位移法超靜定桁架P1234 1l1l2lPNN21cos2cos142411113414AElN222224AElN第二章第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計平面桁架有限元分析及程序設(shè)計如圖所示桁架，求各桿軸力。力的平衡條件：位移的協(xié)調(diào)方程：PN1N1N21桿和3桿

14、位移：2桿位移：超靜定桁架41412111411111coscoscosvkvlAElAENNy4242222422222vkvlAElAENNy12111coslAEk2222lAEk 第二章第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計平面桁架有限元分析及程序設(shè)計1桿軸力豎向分量：2桿軸力：式中： 和 為桿件的剛度系數(shù)；1k2k物理意義：物理意義：4點產(chǎn)生單位位移，桿端產(chǎn)生的豎向桿端力；由桿件的物理性質(zhì)和幾何性質(zhì)決定；V4為第4節(jié)點豎向位移P1234 1l1l2lPNNyy212cos)2(coscos2114111kkPkvkNNyPvkk421)2(2142kkPv2124222kkPkvkN第

15、二章第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計平面桁架有限元分析及程序設(shè)計超靜定桁架代入平衡方程：結(jié)構(gòu)的整體剛度系數(shù)位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)。位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)。離散原則：每個結(jié)點離散后還是一個結(jié)點，每個桿件離散后變成一個單元1結(jié)構(gòu)的離散化：盡量將結(jié)構(gòu)離散成數(shù)量最少的等截面直結(jié)構(gòu)的離散化：盡量將結(jié)構(gòu)離散成數(shù)量最少的等截面直桿單元桿單元234562.1 平面桁架單元的離散平面桁架單元的離散9個單元，6個結(jié)點1234567815121413111616個單元，8個結(jié)點2.2.1 局部坐標系下的單元剛度矩陣局部坐標系的建立局部坐標系的建立iE，A，ljyxe 軸：沿單元的桿軸方向；軸：沿單元的桿軸方向； x

16、2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析 軸：從軸：從 軸軸逆逆時針旋轉(zhuǎn)時針旋轉(zhuǎn)90。yx 原點：以第一個結(jié)點為坐標原點；原點：以第一個結(jié)點為坐標原點； 桿端位移：桿端位移：ijeijeijyxeiuju桿端力：桿端力：iUjU符號：符號：與坐標系的方向一致為正，反之為負與坐標系的方向一致為正，反之為負。單元右端桿端力：單元右端桿端力：單元左端桿端力：單元左端桿端力：單元應(yīng)力：單元應(yīng)力：單元應(yīng)變：單元應(yīng)變：右結(jié)點固定右結(jié)點固定結(jié)點位移：結(jié)點位移：luj左結(jié)點固定左結(jié)點固定桿的受力分為兩種情況：桿的受力分為兩種情況：2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析luiiiuu 0ju0iujj

17、uu iulEEluEEjiiulAEAUjiulAEAUijulAEAUjjulAEAU任意情況（左右結(jié)點均有變形）即為以上兩種狀態(tài)的疊加：任意情況（左右結(jié)點均有變形）即為以上兩種狀態(tài)的疊加：jijjiiulAEulAEUulAEulAEU jiejijjjiijiijijiuukuukkkkuulAEUU1111 jijiuuSuulAEN11 11lAES桿端力為：桿端力為： ek式中式中 為單元剛度矩陣為單元剛度矩陣(局部坐標系局部坐標系)桿單元軸力為：桿單元軸力為： S式中式中 為單元應(yīng)力為單元應(yīng)力(廣義廣義)矩陣；矩陣；2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析1,1ijijuu

18、uAENAAEAEull單元桿端力方程：單元桿端力方程： jijjiiulAEulAEUulAEulAEU jiejijiuukuulAEUU1111 jijiuuSuulAEN1100 jiVVjiVV000000000000 jivvjivvjivvjivv00桿端位移：桿端位移：ijeijeiuju桿端力：桿端力：iUjU0jivv0jiVV單元軸力：單元軸力： 2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析桿端位移和桿端力桿端位移和桿端力符號：符號：與坐標系的方向一致為正，反之為負與坐標系的方向一致為正，反之為負。桿端力：桿端力：iujujUjVjviViviUxyNNiuiviUiVj

19、ujUjVjv2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析2.2.2 整體坐標系下的單元剛度矩陣若局部坐標系與整體坐標系重合，則整體坐標系下的單元剛度矩陣與局部坐標下的單元剛度矩陣相同。若局部坐標系與整體坐標系不重合，如下圖所示：桿端位移：桿端位移：桿端力：桿端力：桿端位移：桿端位移：i 結(jié)點：結(jié)點：j 結(jié)點：結(jié)點：iidxu sincos222)()(ijijyyxxl)()(ijijijijdydyyydxdxxxldl)()()()(ijijijijdydylyydxdxlxxdliidyv jjdxu jjdyv )()(jijivvluulldl)()(jijivvuulAEEAN2

20、.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析設(shè)桿件的長度為 l ，則：兩邊微分：由于桿件的變形產(chǎn)生位移：因此，桿件應(yīng)變?yōu)椋簵U件軸力為：符號：符號：桿件軸力以拉為正，壓為負桿件軸力以拉為正，壓為負。)()(ijijdydydxdxNNUicos eejjiijjiiekvuvulAEVUVUF22222222NNVisinNNUjcosNNVjsin桿件的結(jié)點力為：因此，桿件結(jié)點力向量為： ek式中 是整體坐標系下的單元剛度矩陣；2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析1,11,1iijjiijjuvAENuvluvAEulv jijjjiijiijiekkkkFFF iiiVUF jjjVU

21、F iiivu jjjvu 22lAEkii 22lAEkjj jjiijjiievuvulAEVUVUF22222222寫成分塊矩陣形式：式中：2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析 lAEScossin 22lAEkkjiij（1 1）單元剛度系數(shù)）單元剛度系數(shù)kij的意義的意義j自由度自由度(結(jié)點結(jié)點)產(chǎn)生的單位桿端位移引起的產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i自由度自由度(結(jié)點結(jié)點)的桿端力的桿端力（2 2）單元剛度矩陣是對稱矩陣）單元剛度矩陣是對稱矩陣反力互等定理反力互等定理式中：桿件單元的應(yīng)力矩陣為：桿件單元的應(yīng)力矩陣為：單元剛度矩陣的性質(zhì)單元剛度矩陣的性質(zhì)2.2 平面桁架的單元分析平

22、面桁架的單元分析（3 3）單元剛度矩陣一般是不可逆的）單元剛度矩陣一般是不可逆的2.2.3 單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣iujujUjVjviViviUxy jjiijjiievuvulAEVUVUF00000101000001012.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析取任意桿件取任意桿件, ,建立如圖所示的局部坐標系：建立如圖所示的局部坐標系：桿端力：桿端力：iuiviUiVjujUjVjv桿端位移：桿端位移：2.2.3 單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣iujujUjVjviViviUxyxyiViViUxyxyiUsincosiiiVUUcossiniiiVUVcossinsin

23、cosijjjjjVUVVUU2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析桿端力：桿端力：iuiviUiVjujUjVjv桿端位移：桿端位移：在上圖中在上圖中, ,建立如圖所示的整體坐標系：建立如圖所示的整體坐標系：以以i i結(jié)點為例：結(jié)點為例：cosiUsiniVsiniUcosiV同理，對于同理，對于j j 結(jié)點：結(jié)點：jjiijjiiVUVUVUVU00000000 eeFTF 00000000Tcossin TTT I 1 TTT2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：因此：因此：其中，其中，TT為轉(zhuǎn)換矩陣：為轉(zhuǎn)換矩陣：轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì)轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì)轉(zhuǎn)換矩

24、陣是正交矩陣；轉(zhuǎn)換矩陣是正交矩陣； 00000000000001010000010100000000lAEke eeT eeeeeeFTFkkT eeeeTeeekTkTTkTF1 TkTkeTe22222222lAE同理，位移也存在轉(zhuǎn)換關(guān)系：同理，位移也存在轉(zhuǎn)換關(guān)系：代入局部坐標系下代入局部坐標系下的剛度方程：的剛度方程：2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析與利用微分得到的單元在總體坐標下的剛度方程相同xyF1、對總體結(jié)點位移和單元進行編碼；2、單元局部坐標系下的剛度矩陣;123例：例：如圖所示平面桁架，桿長為l，截面積為A，求三個單元在整體坐標系下的剛度矩陣。 kkk 212300

25、232100002123002321T2.2 平面桁架的單元分析平面桁架的單元分析0000010100000101lAE3、單元整體坐標系分析:o6021cos23sin解：解：單元整體坐標系下的剛度矩陣為: TkTkT 212300232100002123002321T kk TkTkT33333131333331314lAE4、單元整體坐標系分析:o0 IT 5、單元整體坐標系分析:33333131333331314lAEo12021cos23sinxyF123例：如圖所示平面桁架，桿長為例：如圖所示平面桁架，桿長為l，截面積為，截面積為A，求結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。，求結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。2.3 結(jié)

26、點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成 33333131333331314lAEk 0000010100000101lAEk 33333131333331314lAEkjjjiijiikkkkjjjiijiikkkkjjjiijiikkkk1、單元整體坐標系下剛度矩陣分塊解：解：2.3.1 結(jié)點的平衡方程結(jié)點的平衡方程2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成 jjjijijkkF jjjijijkkF 01PFFjjxyF1ij jF iF jF jF iF jFij2 2、結(jié)點、結(jié)點1 1的平衡方程：的平衡方程： 1PFFjj結(jié)點結(jié)點1 1的受力狀態(tài)為

27、（如右圖）的受力狀態(tài)為（如右圖）: :結(jié)點結(jié)點1 1的平衡條件為的平衡條件為: :由單元的剛度方程：由單元的剛度方程：由單元的剛度方程：由單元的剛度方程： 12jjjikk 13jjjikk2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成 11312Pkkkkjjjijjji 1321Pkkkkjijijjjj代入結(jié)點代入結(jié)點1 1的平衡條件的平衡條件: :3 3、結(jié)點、結(jié)點2 2的平衡方程：的平衡方程： 12ijiijijiiiikkkkF 2PFFii 32ijiijijiiiikkkkF同理，結(jié)點同理，結(jié)點2 2的平衡條件為的平衡條件為: :由單元的剛度方程：由單元的剛度

28、方程：由單元的剛度方程：由單元的剛度方程：2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成代入結(jié)點代入結(jié)點2 2的平衡條件的平衡條件: :4 4、結(jié)點、結(jié)點3 3的平衡方程：的平衡方程：同理，結(jié)點同理，結(jié)點3 3的平衡條件為的平衡條件為: :由單元的剛度方程：由單元的剛度方程：由單元的剛度方程：由單元的剛度方程： 23212Pkkkkijiiijii 2321Pkkkkijiiiiij 3PFFij 32jjjijjjijijkkkkF 13ijiijijiiiikkkkF2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成代入結(jié)點代入結(jié)點3 3的平衡條件的平衡條件

29、: :5 5、系統(tǒng)的平衡方程：、系統(tǒng)的平衡方程： 31332Pkkkkijiijjji 3321Pkkkkiijjjiij 3321 Pkkkkiijjjiij 1321 Pkkkkjijijjjj 2321 Pkkkkijiiiiij2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成321321 PPPkkkkkkkkkkkkiijjjiijijiiiiijjijijjjj PK 6 6、結(jié)構(gòu)整體剛度方程、結(jié)構(gòu)整體剛度方程寫成矩陣形式，即可得到結(jié)構(gòu)的整體剛度方程寫成矩陣形式，即可得到結(jié)構(gòu)的整體剛度方程 33323123222113121111222112121111122121

30、2222 K KKKKKKKKKkkkkkkkkkkkk其中，其中，KK為結(jié)構(gòu)的為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣整體剛度矩陣；2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟1 1、定位、定位單元單元結(jié)點結(jié)點編號編號 2 2、累加、累加整體整體結(jié)點結(jié)點編號編號 ijmn單元剛度系數(shù)單元剛度系數(shù) 整體剛度系數(shù)整體剛度系數(shù)2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成eiikmmKeijkmnKejiknmKejjknnKTenm單元定位向量單元定位向量)()(ji)2() 1 (xyF1232.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成 jjjiijiikkkkk jjjiijiikk

31、kkk jjjiijiikkkkk例：求上例平面桁架結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；例：求上例平面桁架結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；1 1、定位、定位單元：單元： K1 2 3123(2)(1)(2) (1) 2 2、累加、累加12k11k21k22kT122.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成1 1、定位、定位單元單元 ：(2)(1)(2) (1) 2 2、累加、累加1 1、定位、定位單元單元 ：2 2、累加、累加 K1 2 312312k11k12k22k (1) (2) (1)(2)11k12k21k22k K1 2 312312k11k12k22k11k12k21k22k11k12

32、k21k22kT32T132.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成 666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211K KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK 333231232221131211112221121211111221212222 K KKKKKKKKKkkkkkkkkkkkk結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為: :將每個字塊展開，結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為將每個字塊展開，結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為: :下標表示自下標表示自由 度 編

33、 號由 度 編 號下標表示下標表示結(jié)點編號結(jié)點編號2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成1 1、整體剛度矩陣的性質(zhì)、整體剛度矩陣的性質(zhì)2.3.2 整體剛度矩陣的集成方法整體剛度矩陣的集成方法 333231232221131211K KKKKKKKKK（1 1）剛度系數(shù)）剛度系數(shù)Kij的意義的意義分塊矩陣：分塊矩陣：（2 2）單元剛度矩陣是對稱矩陣）單元剛度矩陣是對稱矩陣反力互等定理反力互等定理j結(jié)點結(jié)點產(chǎn)生的單位桿端位移引起的產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i結(jié)點結(jié)點的桿端力；的桿端力；j自由度自由度產(chǎn)生的單位桿端位移引起的產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i自由度自由度的桿端力；的桿

34、端力；不分塊矩陣：不分塊矩陣：666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成思考題：思考題：如何由剛度矩陣元素的意義確定整體剛度矩陣每個元素的如何由剛度矩陣元素的意義確定整體剛度矩陣每個元素的組成？組成？22K33 K11 K12k12 K13 K 1111kk2222 kk1122kk21K31K32K21k21k23 K2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)

35、點平衡與整體剛度矩陣的集成1234練習(xí)題：練習(xí)題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（分利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（分塊）的組成。塊）的組成。11 K23 K13 K24 K44 K34 K2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟1 1、定位、定位單元自由度編號單元自由度編號 2 2、累加、累加整體自由度編號整體自由度編號 ijmn2.3 結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成結(jié)點平衡與整體剛度矩陣的集成klrsTesrnm 自由度定位向量自由度定位向量)()()()(lkji)4()3()2() 1 (單元剛度系數(shù)單元剛度系數(shù) 整體剛度系數(shù)整體剛度系數(shù)eiikmmKeijkm

36、nKejiknmKejjknnK練習(xí)題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛練習(xí)題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（自由度）的組成。度矩陣元素（自由度）的組成。11 2 3 4T21 2 5 6T35 6 7 8T43 4 7 8T57 8 1 2T63 4 5 6T2.4.1 結(jié)點邊界條件2.4 邊界條件的處理邊界條件的處理結(jié)點可以自由變形，整體結(jié)點力等于對應(yīng)的外荷載。結(jié)點可以自由變形，整體結(jié)點力等于對應(yīng)的外荷載。1 1、自由變形的結(jié)點、自由變形的結(jié)點2 2、約束結(jié)點或給定了結(jié)點位移的數(shù)值、約束結(jié)點或給定了結(jié)點位移的數(shù)值約束結(jié)點：約束結(jié)點：給定結(jié)點位移：給定結(jié)點位移：0iu0

37、iviiubiivc332211332211666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 VUVUVUvuvuvuKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK2.4.2 邊界條件的處理方法2.4 邊界條件的處理邊界條件的處理1 1）劃行劃列法）劃行劃列法處理方法：處理方法：若第若第i i個自由度位移為零，則將總剛第個自由度位移為零，則將總剛第i i行和第行和第i i列劃列劃掉，剛度矩陣相應(yīng)降低一階。掉，剛度矩陣相應(yīng)降低一階。0 00 00 0優(yōu)點：優(yōu)點：簡單易行，矩陣

38、降階，減小計算工作量；簡單易行，矩陣降階，減小計算工作量；缺點：缺點：矩陣行列、位移、荷載向量需重新編號，程序?qū)崿F(xiàn)比較復(fù)雜；矩陣行列、位移、荷載向量需重新編號，程序?qū)崿F(xiàn)比較復(fù)雜；只適用于約束結(jié)點情況；只適用于約束結(jié)點情況；2.4 邊界條件的處理邊界條件的處理332211332211 666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 VUVUVUvuvuvuKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK2 2）0 0、1 1置換法（填置換法（填0 0置置1 1法）法）處理方法

39、：處理方法：將與約束自由度對應(yīng)整體剛度矩陣對角線元素全部置換將與約束自由度對應(yīng)整體剛度矩陣對角線元素全部置換成成1 1，相應(yīng)行和列其他元素置換成，相應(yīng)行和列其他元素置換成0 0，將同一行荷載分量置換成，將同一行荷載分量置換成0 0。0 00 00 01 11 11 10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0適用條件：適用條件：只適用于約束結(jié)點，不適用給定位移邊界條件；只適用于約束結(jié)點，不適用給定位移邊界條件；2.4 邊界條件的處理邊界條件的處理332211332211666

40、564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 VUVUVUvuvuvuKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK3 3）乘大數(shù)法）乘大數(shù)法處理方法：處理方法：將與約束自由度對應(yīng)整體剛度矩陣對角線元素乘以一個將與約束自由度對應(yīng)整體剛度矩陣對角線元素乘以一個大數(shù)大數(shù)N N (10(101010-10-101515) )，將同一行荷載分量置換成，將同一行荷載分量置換成N N與對角線元素的乘積與對角線元素的乘積與給定位移之積。與給定位移之積。NNNNK33b1NK44b2NK66

41、b3優(yōu)點：優(yōu)點：處理工作量小，適用于給定位移情況；處理工作量小，適用于給定位移情況；0002.5 單元軸力及支座反力的計算單元軸力及支座反力的計算單元軸力：單元軸力： (1)整體坐標系下的單元桿端位移整體坐標系下的單元桿端位移(2)整體坐標系下的單元軸力整體坐標系下的單元軸力 e e eeSN2.5.1 單元軸力的計算位移和荷載向量分解為自由結(jié)點和約束結(jié)點兩部分，剛度矩陣相應(yīng)位移和荷載向量分解為自由結(jié)點和約束結(jié)點兩部分，剛度矩陣相應(yīng)分塊，如下所示：分塊，如下所示：bababbbaabaaPPKKKK bbbababKKP bbbRFP bbbbababFKKR2.5.2 支座反力的計算其中：其

42、中： a為自由位移為自由位移; ; b為約束位移為約束位移; ; aP為外荷載為外荷載; ; bP為約束自由度結(jié)點力為約束自由度結(jié)點力; ;因此：因此： bR為支座反力為支座反力; ; bF為約束自由度結(jié)點荷載為約束自由度結(jié)點荷載; ;其中：其中：2.5 單元軸力及支座反力的計算單元軸力及支座反力的計算1、計算分析題、計算分析題平面桁架結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖所示，已知平面桁架結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖所示，已知EA=1500 kN，采用乘大數(shù)方法引，采用乘大數(shù)方法引入支撐條件，試求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度入支撐條件，試求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣矩陣 K。結(jié)構(gòu)坐標系下單元剛度矩陣

43、計算公式如下：。結(jié)構(gòu)坐標系下單元剛度矩陣計算公式如下： 例題例題 22222222SCSSCSCSCCSCSCSSCSCSCCSCLEAke式中：式中：sin,cosSC3213myx4m2、計算分析題、計算分析題按照有限元法的計算步驟，求圖示桁架結(jié)構(gòu)各桿軸力。已知：按照有限元法的計算步驟，求圖示桁架結(jié)構(gòu)各桿軸力。已知：EA=10 kn。結(jié)構(gòu)坐標系下的單元剛度矩陣計算公式如下：。結(jié)構(gòu)坐標系下的單元剛度矩陣計算公式如下： ： 例題例題 22222222SCSSCSCSCCSCSCSSCSCSCCSCLEAke式中：式中：sin,cosSC2.6 程序設(shè)計程序設(shè)計程序設(shè)計原則完整性擴充性兼容性邏輯

44、性可讀性可維護性1.模塊化2.6 程序設(shè)計程序設(shè)計程序設(shè)計流程圖（程序框圖）什么是流程圖？“程序流程圖”常簡稱為“流程圖”，是一種傳統(tǒng)的算法表示法，程序流程圖是人們對解決問題的方法、思路或算法的一種描述。它利用圖形化的符號框來代表各種不同性質(zhì)的操作，并用流程線來連接這些操作。 2、如何畫流程圖編碼和單元測試 這個階段的任務(wù)是程序員根據(jù)目標系統(tǒng)的性質(zhì)和實際環(huán)境，選取一種適當(dāng)?shù)母呒壋绦蛟O(shè)計語言(必要時用匯編語言)，把詳細設(shè)計的結(jié)果翻譯成用選定的語言書寫的程序，并且仔細測試編寫出的每一個模塊。 程序員在書寫程序模塊時，應(yīng)使它的可讀性、可理解性和可維護性良好。 綜合測試 這個階段的任務(wù)是通過各種類型的

45、測試，使軟件達到預(yù)這個階段的任務(wù)是通過各種類型的測試，使軟件達到預(yù)定的要求。定的要求。 最基本的測試是集成測試和驗收測試。集成測試是根據(jù)最基本的測試是集成測試和驗收測試。集成測試是根據(jù)設(shè)計的軟件結(jié)構(gòu)，把經(jīng)單元測試的模塊按某種選定的策略設(shè)計的軟件結(jié)構(gòu)，把經(jīng)單元測試的模塊按某種選定的策略裝配起來，在裝配過程中對程序進行必要的測試。驗收測裝配起來，在裝配過程中對程序進行必要的測試。驗收測試是按照需求規(guī)格說明書的規(guī)定，由用戶對目標系統(tǒng)進行試是按照需求規(guī)格說明書的規(guī)定，由用戶對目標系統(tǒng)進行驗收。驗收。 通過對軟件測試結(jié)果的分析可以預(yù)測軟件的可靠性；反通過對軟件測試結(jié)果的分析可以預(yù)測軟件的可靠性；反之，根

46、據(jù)對軟件可靠性的要求也可以決定測試和調(diào)試過程之，根據(jù)對軟件可靠性的要求也可以決定測試和調(diào)試過程什么時候可以結(jié)束。什么時候可以結(jié)束。 在進行測試的過程中，應(yīng)該用正式的文檔把測試計劃、在進行測試的過程中，應(yīng)該用正式的文檔把測試計劃、詳細測試方案以及實際測試結(jié)果保存下來，作為軟件配置詳細測試方案以及實際測試結(jié)果保存下來，作為軟件配置的一部分。的一部分。 2.6 程序設(shè)計程序設(shè)計2.6.1 程序框圖程序框圖輸入數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)單元局部剛度單元局部剛度坐標轉(zhuǎn)換矩陣坐標轉(zhuǎn)換矩陣單元整體剛度單元整體剛度集成整體剛度矩陣元素集成整體剛度矩陣元素約束條件處理、解方程約束條件處理、解方程計算單元軸力、約束反力計算單元

47、軸力、約束反力單元單元循環(huán)循環(huán)包括單元、結(jié)點、材包括單元、結(jié)點、材料、荷載、約束數(shù)據(jù)料、荷載、約束數(shù)據(jù)2.6 程序設(shè)計程序設(shè)計2.6.2 程序說明程序說明1 1、總體剛度矩陣的半帶寬存儲、總體剛度矩陣的半帶寬存儲總體剛度矩陣：總體剛度矩陣： 對稱稀疏矩陣；對稱稀疏矩陣； nm1nnnmmnmmKKKK00TenmeiikmmKeijkmnKejiknmKejjknnKwb) 1(max*2nmbw半帶寬：半帶寬：總體剛度矩陣集成：總體剛度矩陣集成：2.6 程序設(shè)計程序設(shè)計行號：行號：nm1 nnnmmnmmKKKK00wbwbji1jji wbwb01i1jjii1ij1jii 1)(1jibjw1j列號：列號：主對角線主對角線半帶寬存儲下三角：半帶寬存儲下三角：2.6 程序設(shè)計程序設(shè)計2 2、先處理法處理邊界條件、先處理法處理邊界條件單元定位向量：單元定位向量：xyF123(1,2)(3,4)(5,6)后處理：后處理：T2143T6543T2165xyF123(1,2)(0,0)(3,0)劃行劃列法劃行劃列法先處理法：先處理法：T2100T03003012T單元定位向量：單元定位向量： void force() i