概率論與數理統(tǒng)計_第一章課件

1、概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計 自放自放_引言引言_1概率論概率論 研究起源于意大利文藝復興時期研究起源于意大利文藝復興時期. 伽利略伽利略 的論文的論文論賭博論賭博提出了概率論的基本原理提出了概率論的基本原理. 概率論的真正歷史是從概率論的真正歷史是從 17 世紀中葉開始的世紀中葉開始的. 其主其主 要奠基人要奠基人法國數學家法國數學家 帕斯卡爾帕斯卡爾（Blaise Pascal）和）和 費馬特費馬特（Pierre Fermat）將賭博中出現的具體問題歸納）將賭博中出現的具體問題歸納 為一般的為一般的 概率原理概率原理 . 到到18世紀，瑞士數學家世紀，瑞士數學家 J.

2、貝努里貝努里 （Jakob Bernoulli）全面論述了）全面論述了 概率論原理概率論原理 并將概率論并將概率論 建立在數學的基礎上建立在數學的基礎上. 到到 19 世紀，開始利用概率論世紀，開始利用概率論 研究社會經濟現象研究社會經濟現象， 形成以概率論為基礎發(fā)展起來的以隨機現象為主要研究形成以概率論為基礎發(fā)展起來的以隨機現象為主要研究 對象的對象的 數理統(tǒng)計數理統(tǒng)計 . 20 世紀世紀 50 年代以后，受計算機、年代以后，受計算機、 自放自放_引言引言_2信息論等現代科學技術的影響，統(tǒng)計理論、方法和應用信息論等現代科學技術的影響，統(tǒng)計理論、方法和應用 進入了一個全面發(fā)展的階段，出現進入了

3、一個全面發(fā)展的階段，出現 新的研究領域新的研究領域 ： 多元統(tǒng)計分析、多元統(tǒng)計分析、 時間序列分析、貝葉斯統(tǒng)計、非參數時間序列分析、貝葉斯統(tǒng)計、非參數 統(tǒng)計、線性統(tǒng)計模型等統(tǒng)計、線性統(tǒng)計模型等. 隨著統(tǒng)計方法應用領域的不斷隨著統(tǒng)計方法應用領域的不斷 擴展，幾乎所有的科學研究都要用到統(tǒng)計學擴展，幾乎所有的科學研究都要用到統(tǒng)計學. 統(tǒng)計學統(tǒng)計學 產生與發(fā)展的產生與發(fā)展的 兩條線索兩條線索： 政治算術政治算術 社會經濟統(tǒng)計社會經濟統(tǒng)計 ：人口統(tǒng)計、國民經濟統(tǒng)計、物價指數、：人口統(tǒng)計、國民經濟統(tǒng)計、物價指數、 保險統(tǒng)計、衛(wèi)生醫(yī)療統(tǒng)計、工農業(yè)統(tǒng)計等保險統(tǒng)計、衛(wèi)生醫(yī)療統(tǒng)計、工農業(yè)統(tǒng)計等. 概率論概率論 數

4、理統(tǒng)計數理統(tǒng)計 . 第一章第一章_11.1 隨機事件及其運算隨機事件及其運算 1.2 隨機事件的概率隨機事件的概率1.3 條件概率與事件的相互獨立性條件概率與事件的相互獨立性 第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率 第一章第一章_2第一章第一章 隨機事件與概率隨機事件與概率確定性現象：確定性現象： 統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性 隨機現象：隨機現象： 在一定條件下必然發(fā)生的現象在一定條件下必然發(fā)生的現象. 在個別試驗中其結果呈現出在個別試驗中其結果呈現出 不確定性不確定性 , 在大量重復試驗中其結果又具有在大量重復試驗中其結果又具有 統(tǒng)計規(guī)律性統(tǒng)計規(guī)律性 的現象的現象. 概率論就是研究隨機現象的統(tǒng)計

5、規(guī)律性的一門數學概率論就是研究隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數學分支。分支。其研究對象為：隨機現象其研究對象為：隨機現象 研究內容為：隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性。研究內容為：隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性。Section1_11、隨機試驗：、隨機試驗：1.1 隨機事件及其運算隨機事件及其運算隨機試驗，簡稱隨機試驗，簡稱 試驗試驗 .通常用大寫的字母通常用大寫的字母E或或E1,E2等等表示表示. 試驗可在相同的條件下重復進行；試驗可在相同的條件下重復進行； 滿足以下三個特點的試驗稱為滿足以下三個特點的試驗稱為 每次試驗的可能結果不止一個，但所有的可能每次試驗的可能結果不止一個，但所有的可能 結果是明確可知的；結果是

6、明確可知的； 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現. 一一 、 基本概念基本概念Section2_1隨機試驗隨機試驗 E 的所有可能結果所組成的的所有可能結果所組成的 集合集合 稱為稱為 試驗試驗 E 的的 樣本空間樣本空間 . 記為記為 S 或或 . 樣本空間的元素，即樣本空間的元素，即 E 的每一個結果稱為的每一個結果稱為 樣本點樣本點 ，用用 w表示表示.2、樣本空間、樣本空間 例例1. 拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現的情況拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現的情況. = H , T 例例2. 將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬幣拋擲三次, 觀察正反面出現的

7、情況觀察正反面出現的情況. = HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT Section2_1_1例例3. 將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現的次數將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面出現的次數. = 0 , 1 , 2 , 3 例例4. 拋一顆骰子，觀察出現的點數拋一顆骰子，觀察出現的點數. = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 例例5. 觀察某天通過某路口的汽車的數目觀察某天通過某路口的汽車的數目. = 0 , 1 , 2 , 3 , 例例6. 在區(qū)間在區(qū)間0 , 1上任取一數，觀察所取到的數上任取一數，觀察所取到的數. = x | 0 x

8、 1 注：樣本空間是一個集合，它是由樣本點構成。其表注：樣本空間是一個集合，它是由樣本點構成。其表示方法，可以用列舉法，也可以用描述法示方法，可以用列舉法，也可以用描述法.在樣本空間中，樣本點可以是一維的，也可以是多維在樣本空間中，樣本點可以是一維的，也可以是多維的；可以是有限個，也可以是無限個的；可以是有限個，也可以是無限個.對于一個隨機試驗而言，樣本空間并不唯一。在同一對于一個隨機試驗而言，樣本空間并不唯一。在同一試驗中，當試驗的目的不同時，樣本空間往往是不同的，試驗中，當試驗的目的不同時，樣本空間往往是不同的，但通常只有一個會提供最多的信息。例如在運動員投籃但通常只有一個會提供最多的信息

9、。例如在運動員投籃的試驗中，若試驗的目的是考察命中率，則樣本空間為的試驗中，若試驗的目的是考察命中率，則樣本空間為 中，不中；若試驗的目的是考察得分情況，則樣本中，不中；若試驗的目的是考察得分情況，則樣本空間為空間為 .32101分分，分，分，Section2_2試驗試驗 E 的樣本空間的樣本空間 的子集稱為的子集稱為 E 的的 隨機事件隨機事件 ，簡稱簡稱事件事件 . 3、隨機事件、隨機事件 在每次試驗中，在每次試驗中，當且僅當當且僅當 事件中的事件中的 一個樣本點一個樣本點 出現出現 時，稱這個時，稱這個 事件發(fā)生事件發(fā)生 . 基本事件：基本事件： 由一個樣本點組成的單點集由一個樣本點組成

10、的單點集. 必然事件：必然事件： 樣本空間樣本空間 ， 即每次試驗一定發(fā)生的事件即每次試驗一定發(fā)生的事件. 不可能事件：不可能事件： 空集空集 ， 即每次試驗一定不發(fā)生的事件即每次試驗一定不發(fā)生的事件. Section2_2_1隨機事件與集合隨機事件與集合 樣本空間樣本空間 = ：全集：全集 樣本點樣本點 ： 中的元素中的元素 隨機事件隨機事件 A ：由具有某些：由具有某些 特性的樣本點特性的樣本點 所組成的樣本所組成的樣本 空間空間 的一個子集，即的一個子集，即 A . A AASection2_2_2例例7. 將一顆骰子拋擲若干次，直到擲出的點數之將一顆骰子拋擲若干次，直到擲出的點數之 和

11、超過和超過 2 為止為止. 寫出樣本空間與事件寫出樣本空間與事件 A = 恰好拋擲骰子一次恰好拋擲骰子一次 . 解：解： = 3 , 4 , 5 , 6 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 111 , 112 , 113 , 114 , 115 , 116 A = 3 , 4 , 5 , 6 Section2_31. 包含包含 含義：含義：事件事件 A 發(fā)生必然導致事件發(fā)生必然導致事件 B 發(fā)生發(fā)生. 二、事件間的關系與事件的運算二、事件間的關系與事件的運算 若若 A B ，則稱，則稱 事件事件 B 包含事件包含事件

12、 A . 若若 A B 且且 B A ，則稱，則稱事件事件 A 與事件與事件 B 相等相等 ， 記作記作 A = B . BABASection2_3_1事件事件 AB 發(fā)生發(fā)生. 事件事件 B 的的 和事件和事件 或或 并事件并事件 . 2. 和和（并并） 含義：含義：當且僅當事件當且僅當事件 A、B 中至少有一個發(fā)生時，中至少有一個發(fā)生時， 事件事件 AB = | A 或或 B 稱為事件稱為事件 A 與與 ABBA稱稱 為為 n 個事件個事件 的和事件；的和事件； nkkA1nAAA,21稱稱 為可列個事件為可列個事件 的和事件的和事件. 1kkA,21AASection2_3_2事件事件

13、 AB（AB） 發(fā)生發(fā)生. 事件事件 B 的的 積事件積事件 或或 交事件交事件 . 3. 積積（交交） 含義：含義：當且僅當事件當且僅當事件 A 與事件與事件 B 同時發(fā)生時，同時發(fā)生時， 事件事件 AB(或或AB) = | A 且且 B 稱為事件稱為事件 A 與與 AB稱稱 為為 n 個事件個事件 的積事件；的積事件； nkkA1nAAA,21稱稱 為可列個事件為可列個事件 的積事件的積事件. 1kkA,21AASection2_3_3事件事件 AB 發(fā)生發(fā)生. 4. 差差 含義：含義：當且僅當事件當且僅當事件 A 發(fā)生、事件發(fā)生、事件 B 不發(fā)生時，不發(fā)生時， B事件事件 B 的的 差事

14、件差事件. 事件事件 AB = | A 且且 B 稱為事件稱為事件 A 與與 ABASection2_3_45. 互不相容互不相容（互斥互斥） 含義：含義：事件事件 A 與事件與事件 B 不能同時發(fā)生不能同時發(fā)生. 互不相容互不相容 的，或的，或 互斥互斥 的的.此時此時AB 記為記為 A+B. 若若 AB = ，則稱事件，則稱事件 A 與與 事件事件 B 是是 BA可列個（有限個）事件可列個（有限個）事件 兩兩互不相容兩兩互不相容 . BSection2_3_56. 對立對立（互逆互逆） 含義：含義：在每次試驗中，事件在每次試驗中，事件 A 與事件與事件 B 必有必有 一個一個 互為互為 對

15、立事件對立事件 或或 互為互為 逆事件逆事件 . 若若 AB = 且且 AB = ，則稱事件，則稱事件 A 與事件與事件 B 發(fā)生，且發(fā)生，且 僅有僅有 一個發(fā)生一個發(fā)生. A事件事件 A 的對立事件記作：的對立事件記作： . A.,AAAA.AA注意：注意： ().ABBABABABSection2_3_6例例1. 將一顆骰子拋擲兩次，觀察擲出的點數將一顆骰子拋擲兩次，觀察擲出的點數. 令令 A = 兩次擲出的點數相同兩次擲出的點數相同 ， B = 點數之和為點數之和為 10 C = 最小點數為最小點數為 4 . 寫出該試驗的樣本空間寫出該試驗的樣本空間. 用樣本點表示事件用樣本點表示事件

16、A , B , C 以及以及 AB , ABC , AC , CA , A( BC ) . 解：解： = 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 41 , 42 , 43 , 44 , 45 , 46 , 51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56 , 61 , 62 , 63 , 64 , 65 , 66 Section2_3_6_1 A = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 B = 46 , 55 , 64 C = 4

17、4 , 45 , 46 , 54 , 64 AB = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 ABC = AC = 11 , 22 , 33 , 55 , 66 CA = 45 , 46 , 54 , 64 A( BC ) = 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 46 , 64 Section2_42. 交換律：交換律：AB = BA ， AB = BA . 三、事件運算的性質三、事件運算的性質 3. 結合律：結合律：A( BC ) = ( AB )C ， A( BC ) = ( AB )C . 4. 分配律：分配律：A( BC )

18、= ( AB )( AC ) ， A( BC ) = ( AB )( AC ) . 1. 吸收律：吸收律： 若若 A B ，則，則 AB = A ，AB = B . （交交 取小，取小，并并 取大）取大） .BBAABABABASection2_4_16. 雙重否定律：雙重否定律： . AA 差積轉換公式：差積轉換公式： . BAABABA 直和分解公式：直和分解公式：將一事件分解為若干個互不相將一事件分解為若干個互不相 .ABAABBABABABAB5. 德德摩根律：摩根律： . BABABABA,其它的其它的重要性質：重要性質： 容事件之和容事件之和. .BAABA 記號記號概率論概率論集

19、合論集合論樣本空間樣本空間,必然事件必然事件全集全集不可能事件不可能事件空集空集樣本點（基本事件）樣本點（基本事件）元素元素事件的關系及運算與集合的關系及運算的對照表事件的關系及運算與集合的關系及運算的對照表A事件子集A的對立事件（逆事件）A的余集事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B等價A與B相等AB事件A與B至少有一個發(fā)生A與B的并集AB事件A與B同時發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生A與B之差AB=事件A與事件B互不相容（互斥事件）A與B沒有公共元素Section2_4_2例例2. 設設 A , B , C 為三個事件，試用為三個事件，試用 A , B ,

20、C 表示表示 下列事件：下列事件： A , B 中中 A 發(fā)生；只有發(fā)生；只有 A 發(fā)生發(fā)生. A , B , C 中至少有一個發(fā)生；恰好有一個發(fā)生中至少有一個發(fā)生；恰好有一個發(fā)生. A , B , C 中至少有兩個發(fā)生；恰好有兩個發(fā)生中至少有兩個發(fā)生；恰好有兩個發(fā)生 . A , B , C 中最多有一個發(fā)生中最多有一個發(fā)生. A , B , C 都發(fā)生；都不發(fā)生；不都發(fā)生都發(fā)生；都不發(fā)生；不都發(fā)生 . A , B 中至少有一個發(fā)生，但中至少有一個發(fā)生，但 C 不發(fā)生不發(fā)生. 解：解： A ； .BA A B C ； .ABCABCABCSection2_4_2_1 AB BC AC ABCA

21、BCABC CBAABCABCABCABBCAC ()AB C ABCCBAABCABCABBCACSection2_4_3 第第 2 次出現正面次出現正面. 只有第只有第 2 次出現正面次出現正面. 第第 2 次才出現正面次才出現正面. 正面出現正面出現 2 次次. 例例3. 將一枚硬幣拋擲三次，設將一枚硬幣拋擲三次，設 表示第表示第 i 次出現次出現 iA正面正面 ( i = 1 , 2 , 3 )，試用，試用 表示下列事件：表示下列事件： iA解：解： 2A 321AAA21AA321321AAAAAA321321321AAAAAAAAASection2_4_4例例4. 設設 A , B

22、 為兩個任意事件，化簡下列事件并為兩個任意事件，化簡下列事件并 說明其含義：說明其含義： . )()(BABABA . BABABA解：解： ABBABABA)()( BABABABASection3_11.2 隨機事件的概率隨機事件的概率定義定義 在相同的條件下，進行在相同的條件下，進行 n 次試驗，在這次試驗，在這 n 次次 一、頻率一、頻率 試驗中，事件試驗中，事件 A 發(fā)生的次數發(fā)生的次數 稱為事件稱為事件 A 發(fā)生的發(fā)生的 頻數頻數. An比值比值 稱為事件稱為事件 A 發(fā)生的發(fā)生的 頻率頻率 ，記作，記作 . nnA)(Afn頻率具有以下頻率具有以下 性質性質 ： ； 1)(0Af

23、n ； 1)(nf 若若 是兩兩互不相容的事件，則是兩兩互不相容的事件，則 kAAA,21. )()(11kiinkiinAfAfSection3_2定義定義 設試驗設試驗 E 的樣本空間為的樣本空間為 ，對于，對于 E 的任意的任意 二、概率二、概率 一個事件一個事件 A 賦于一個實數賦于一個實數 P (A) ，稱為事件，稱為事件 A 的的 概率概率 , 如果集合函數如果集合函數 P ( ) 滿足以下滿足以下 三條公理三條公理 ： 非負性：非負性：對于任意事件對于任意事件 A ，有，有 P (A) 0 ； 規(guī)范性：規(guī)范性：對于必然事件對于必然事件 ，有，有 P ( ) = 1 ； 可列可加性

24、：可列可加性：對任意兩兩互不相容的事件列：對任意兩兩互不相容的事件列： ，有，有 ,21nAAA. )()(11iiiiAPAPSection3_3三、概率的基本性質三、概率的基本性質 對于不可能事件對于不可能事件 ，有有 P ( ) = 0 ； 設設 A , B 是兩個事件，若是兩個事件，若 A B ，則有，則有 的事件，則有的事件，則有 有限可加性：有限可加性：若若 是兩兩互不相容是兩兩互不相容 nAAA,21. )()(11niiniiAPAP, )()()(APBPABP. )()(APBP 對于任一事件對于任一事件 A ，有，有 . 1)(AP注意：注意：由由 P(A) = 0 不能

25、推出不能推出 A 是不可能事件是不可能事件. Section3_3_1 加法公式：加法公式：對于任意兩事件對于任意兩事件 A , B 有有 ()( )( )().P ABP AP BP AB 求逆公式：求逆公式：對于任一事件對于任一事件 A , 有有 . )(1)(APAP 減法公式：減法公式：對于任意兩事件對于任意兩事件 A , B 有有 . )()()(ABPAPBAP)(1)(APAP()1()1()P ABP ABP AB ()( )( )( )()()()().P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABCSection3_3_2 直和公式：直和公式：對于任意兩事件對

26、于任意兩事件 A , B 有有 )()()()(BAPABPBAABPAP()( )()( )()P ABP AP ABP BP AB)()()(ABPBAPBAP例例 1(2)1()()( )( )6P BAP BAP BP A(3)113()()( )()288P BAP BABP BP AB解解 （1）1()()( )()2P BAP BABP BP ABSection4_1四、古典概率四、古典概率 設隨機試驗設隨機試驗 E 的樣本空間為的樣本空間為 ，如果，如果 E 滿足：滿足： 有限性：有限性： 只包含有限個基本事件只包含有限個基本事件. 則稱試驗則稱試驗 E 為為 等可能概型等可能

27、概型 或或 古典概型古典概型 . 等可能性：等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性相同每個基本事件發(fā)生的可能性相同. 對于古典概型，事件對于古典概型，事件 A 的概率為：的概率為： A 包含的基本事件數包含的基本事件數 中的基本事件總數中的基本事件總數 P ( A ) = Section4_2例例1. 將一枚硬幣拋擲三次，求下列事件的概率：將一枚硬幣拋擲三次，求下列事件的概率： 恰好有一次出現正面恰好有一次出現正面. 恰好有二次出現正面恰好有二次出現正面. 至少有一次出現正面至少有一次出現正面. 解：解： = HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TT

28、T 83)(AP 83)(BP 87)(CP87811)(1)(CPCPSection4_31. 加法原理加法原理 假設完成一件事情有假設完成一件事情有 n 種不同的方式，而第種不同的方式，而第 i 種種 排列組合的基本知識排列組合的基本知識 方式又有方式又有 種不同的方法種不同的方法 ，則完成，則完成 im),3,2,1(ni這件事情共有這件事情共有 種不同的方法種不同的方法. nmmmm212. 乘法原理乘法原理 假設完成一件事情必須經過假設完成一件事情必須經過 n 個不同的步驟，而個不同的步驟，而 第第 i 個步驟又有個步驟又有 種不同的方法種不同的方法 ，則，則 im),3,2,1(n

29、i完成這件事情共有完成這件事情共有 種不同的方法種不同的方法. nmmmm21Section4_3_13. 排列排列 不允許重復的排列：不允許重復的排列：從從 N 個個 不同不同 的元素中任的元素中任 允許重復的排列：允許重復的排列：從從 N 個個不同不同的元素中的元素中有放回有放回 取取 m (m N ) 個進行排列，排列數為個進行排列，排列數為 .)!(!mNNPmN地任取地任取 m 個進行排列，排列數為個進行排列，排列數為 . mN4. 組合組合 不允許重復的組合：不允許重復的組合：從從 N 個個 不同不同 的元素中任取的元素中任取 m (m N ) 個進行組合，組合數為個進行組合，組合

30、數為 .)!( !mNmNCmN39CSection4_4例例1. （取球模型取球模型） 設一袋中裝有設一袋中裝有 4 個紅球，個紅球，5 個白球個白球. 現按下列三種現按下列三種 方式從袋中任取方式從袋中任取 3 個球，求取出的球中有個球，求取出的球中有 2 個紅球，個紅球， 1 個白球的概率個白球的概率. 一次取一次取 3 個個. 一次取一次取 1 個，取后不放回個，取后不放回. 一次取一次取 1 個，取后放回個，取后放回. 解：解： 145 )(AP1524CC 無序無序 Section4_4_1注意：注意： 有序與無序有序與無序 要統(tǒng)一要統(tǒng)一 . 不放回地一次取一個，取不放回地一次取一

31、個，取 n 次次 放回與不放回放回與不放回 結果不同結果不同 . 與一次取與一次取 n 個個 結果相同結果相同 . 99914141315CCCC24380 )(CP39P13141315CCCC145 )(BPSection4_5例例2. （抽簽問題抽簽問題） 設一袋中有設一袋中有 10 個球，其中白球個球，其中白球 2 個，黑球個，黑球 8 個個. 從中隨機地逐一取球，取后不放回，求第從中隨機地逐一取球，取后不放回，求第 8 次取到白次取到白 球的概率球的概率. 解：解： )(AP810P1279CP 51102注意：注意：抽簽的結果與抽簽的順序無關抽簽的結果與抽簽的順序無關. Secti

32、on4_5_1例如例如 某商店有某商店有 10 件商品，其中有件商品，其中有 3 件一等品，件一等品， 先后有先后有 2 位顧客去購買這種商品，每人隨機購買一件位顧客去購買這種商品，每人隨機購買一件. 求下列事件的概率：求下列事件的概率： 第第 1 位顧客買到一等品位顧客買到一等品. 第第 2 位顧客買到一等品位顧客買到一等品. Section4_6例例3. （取數問題取數問題） 事件的概率事件的概率. 三個數字中不含三個數字中不含 0 和和 5 . 三個數字中不含三個數字中不含 0 或或 5 . 三個數字中含三個數字中含 0 但不含但不含 5 . 從從 09 十個數字中任取十個數字中任取 3

33、 個不同數字，求下列個不同數字，求下列 157解：解： )(AP310C38CSection4_6_11514307 )(BP310C382828CCC或者或者 )(1)(BPBP3101C18C1514 )(CP310C28CSection4_7例例4. （組數問題組數問題） 從從 09 十個數字中任取十個數字中任取 4 個數字，求能排成一個個數字，求能排成一個 四位偶數的概率四位偶數的概率. 9041解：解： )(AP410P28181439PCCP Section4_8例例5. （分配模型分配模型） 將將 m 個球隨機地放入個球隨機地放入 N（m N）個盒子中，每個）個盒子中，每個 盒子

34、可放入任意多個球盒子可放入任意多個球. 試求下列事件的概率試求下列事件的概率. 某指定的某指定的 m 個盒子各有一個球個盒子各有一個球. 恰好有恰好有 m 個盒子各有一個球個盒子各有一個球. 某指定的某指定的 k（k m）個盒子各有一個球）個盒子各有一個球. 某指定的一個盒子中恰好有某指定的一個盒子中恰好有 k（k m）個球）個球. 解：解： )(APmN!m )(BPmN!mCmNSection4_8_1mNmN )(CPkmkmkNkC)( ! )(DPkmkmNC) 1(Section4_9將將 3 封信隨機地投入到封信隨機地投入到 4 個空郵筒中，個空郵筒中，求郵筒中求郵筒中 信的最大

35、數量分別為信的最大數量分別為 1，2，3 封的概率封的概率. 對于對于 分配問題：分配問題：將將 m 個不同的球隨機地分配到個不同的球隨機地分配到 N 個不同的盒子里，個不同的盒子里，分配方案數分配方案數 為為 每個盒子可容納任意多個球每個盒子可容納任意多個球 ： . mN 每個盒子最多可容納一個球每個盒子最多可容納一個球 ： . mNP類似的問題：類似的問題：生日問題，住房分配問題，乘客乘車生日問題，住房分配問題，乘客乘車 （電梯）問題（電梯）問題. Section4_10例例6. 設事件設事件 A、B、C 滿足滿足 則則 P( AB C ) =_. ,97. 0)(,9 . 0)(CBAP

36、BAP解：解： )(1)(9 . 0BAPBAP)(1ABP由于由于 又又 得得 得得 1 . 0)(ABP)(1)(97. 0CBAPCBAP)(1ABCP03. 0)(ABCP所以所以 07. 0)()()(ABCPABPCABPSection4_11例例7. 設事件設事件 A , B 僅發(fā)生一個的概率為僅發(fā)生一個的概率為 0.3，且，且 P(A) + P(B) = 0.5 ，求，求 A , B 至少有一個不發(fā)生的概率至少有一個不發(fā)生的概率. 解：解： )()()(3 . 0BAPBAPBABAP)()()()(ABPBPABPAP由于由于 又又 5 . 0)()(BPAP所以所以 得得

37、1 . 0)(ABP()1()P ABP AB 9 . 0)(1ABPSection4_12解題思路：解題思路： 利用概率的性質與公式利用概率的性質與公式. 利用公式求概率利用公式求概率. 解題方法：解題方法： 確定試驗的基本事件的結構特征確定試驗的基本事件的結構特征. 計算基本事件總數與事件計算基本事件總數與事件 A 包含的基本事件數包含的基本事件數. 古典概型中事件概率求解的思路與方法：古典概型中事件概率求解的思路與方法： 利用對立事件利用對立事件. 直接計算基本事件數直接計算基本事件數. 將復雜事件分解為互斥事件之和將復雜事件分解為互斥事件之和. 自放自放_事件表示事件表示 AB ：事件

38、事件 A 發(fā)生，發(fā)生，同時同時 事件事件 B 不發(fā)生，即不發(fā)生，即 AB ：事件事件 A 、B 同時同時（都都） 發(fā)生發(fā)生. 利用事件的運算利用事件的運算 表示事件：表示事件： 事件事件 A 發(fā)生，發(fā)生，或者或者 事件事件 B 發(fā)生發(fā)生. .BA ：事件事件 A 不發(fā)生不發(fā)生. A A B ：事件事件 A 、B 至少至少 有一個發(fā)生；有一個發(fā)生； 五、五、幾何概率幾何概率定義：定義：例例 1（會面問題）兩人相約（會面問題）兩人相約7點到點到8點在某地會面，先到點在某地會面，先到者等候另一人者等候另一人20分鐘，這時就可離去，試求這兩人分鐘，這時就可離去，試求這兩人能會面的概率？能會面的概率？9

39、5604060222p20 yx解：以解：以x，y分別表示兩人到達時刻（分別表示兩人到達時刻（7點設為零時刻），則會面的充要條件為點設為零時刻），則會面的充要條件為 這是一幾何概率問題，可能的結果全體是邊長為這是一幾何概率問題，可能的結果全體是邊長為60的正方形里的點，能會面的點為圖中陰影部分，的正方形里的點，能會面的點為圖中陰影部分，所求概率所求概率Section5_11.3 條件概率與事件的相互獨立性條件概率與事件的相互獨立性的情況的情況. 設設 A 表示表示 “至少有一次出現正面至少有一次出現正面”，B 表示表示 “兩次擲出同一面兩次擲出同一面”. 引例引例 將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正反

40、面出現將一枚硬幣拋擲兩次，觀察正反面出現 試用集合表示試用集合表示 、A、B、AB，并求，并求 P(A)、 P(B)、P(AB) . 求：求： . A 中屬于中屬于 B 的基本事件數的基本事件數 A 包含的基本事件數包含的基本事件數 一、條件概率一、條件概率 Section5_1_1解：解： = HH , HT , TH , TT ， A = HH , HT , TH ， B = HH , TT ， AB = HH ， ,43)(AP,21)(BP.41)(ABP . A 中屬于中屬于 B 的基本事件數的基本事件數 A 包含的基本事件數包含的基本事件數 31Section5_1_2定義定義 設

41、設 A , B 是兩個事件，且是兩個事件，且 P (A) 0，稱，稱 為在事件為在事件 A 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的發(fā)生的 條件概率條件概率 . )()()|(APABPABP條件概率條件概率 具有概率的三個基本屬性：具有概率的三個基本屬性： )|(AP 非負性：非負性：對于任意事件對于任意事件 B ，有，有 P (B | A) 0 ； 規(guī)范性：規(guī)范性：對于必然事件對于必然事件 ，有，有 P ( | A) = 1 ； 可列可加性：可列可加性：對任意兩兩互不相容的事件列：對任意兩兩互不相容的事件列： ，有，有 ,21nBBB. )|()|(11iiiiABPABPSectio

42、n5_1_3理解：理解： P(AB) 、P(B | A) 與與 P(B) 之間的區(qū)別之間的區(qū)別. P(AB) 表示事件表示事件 A 與與 B 同時發(fā)生的概率，在計同時發(fā)生的概率，在計 算算 P(AB) 時，試驗的所有可能結果所構成的集合為樣本時，試驗的所有可能結果所構成的集合為樣本 P(B | A) 表示在事件表示在事件 A 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)發(fā) 生的概率，在計算生的概率，在計算 P(B | A) 時，試驗的所有可能結果所時，試驗的所有可能結果所 空間空間 . 構成集合為構成集合為 A . 在計算在計算 P(B) 時，試驗的所有可能結果所構成的時，試驗的所有可能結果所構成

43、的 集合為樣本空間集合為樣本空間 . 例例1 設設10件產品中有件產品中有3件次品，現進行無放回地從中取出件次品，現進行無放回地從中取出兩件，求在第一次取到次品的條件下，第二次取到的也兩件，求在第一次取到次品的條件下，第二次取到的也是出次品的概率是出次品的概率.211213232(|)()/()()( )/109109P A AP A AP AiA解：令解：令表示表示第第i i次取到次品次取到次品，（，（i=1,2i=1,2），則要求的概率為），則要求的概率為例例2 甲、乙兩條生產線生產同一種元件甲、乙兩條生產線生產同一種元件,已知甲生產線生產已知甲生產線生產8個元個元件件,其中其中2個次品個

44、次品,乙生產線生產乙生產線生產9個元件個元件,其中其中1個次品個次品.現在從全部現在從全部17個元件中任取一個元件個元件中任取一個元件,求求: (1)P(1)P（A A）, ,其中其中；產品這個元件是甲生產線的A （2 2）P P（B B）, ,其中其中；這個元件是次品B（3）P（AB）；3(2) ( );17P B 2(3) ();17P AB 2(4).3P A B 8( );17P A 解解: : （1 1）( )P A 這說明事件這說明事件B的發(fā)生對事件的發(fā)生對事件A的發(fā)生有影響的發(fā)生有影響,且且顯然顯然)()(32BPABPBAPSection5_2乘法公式乘法公式 設設 P (A)

45、 0，則有，則有 二、乘法公式二、乘法公式 推廣推廣 設設 P (AB) 0，則有，則有 . )|()()(ABPAPABP)|()()(ABCPAPABCP. )|()|()(ABCPABPAPSection5_2_1例例1. 設某批產品中有設某批產品中有 a 個合格品，個合格品，b 個廢品個廢品. 現現 從中不放回地隨機抽取兩次，一次抽取一個從中不放回地隨機抽取兩次，一次抽取一個. 求下列求下列 事件的概率：事件的概率： 第一次抽到合格品第一次抽到合格品. 已知第一次抽到合格品，第二次抽到合格品已知第一次抽到合格品，第二次抽到合格品. 二次都抽到合格品二次都抽到合格品. 第二次才抽到合格品

46、第二次才抽到合格品. 第二次抽到合格品第二次抽到合格品. Section5_2_1_1解：解： 設設 表示第表示第 i 次抽到合格品（次抽到合格品（i = 1 , 2）. iA baaAP)(1 11)|(12baaAAP )(21AAP)|()(121AAPAP) 1)() 1(babaaa )(21AAP)|()(121AAPAP1baabab) 1)(babaab baaAP)(2例例2 設在設在10個同一型號的元件中有個同一型號的元件中有7個一等品個一等品,從這些元件中不放回從這些元件中不放回地連續(xù)取三次地連續(xù)取三次,每次取一個元件每次取一個元件,求（求（1）三次都取得一等品的概率；）

47、三次都取得一等品的概率；（2）三次中至少有一次取得一等品的概率）三次中至少有一次取得一等品的概率.解：解： 設設1,2,3ii次取得一等品，第iA，則12312131276 5(1) ()() () ()10 9 8P A A AP A P A A P A A A123123123121312(2) ()11()32 11() () ()110 9 8P AAAP AAAP A A AP A P AA P A A ASection5_3三、全概率公式和貝葉斯公式三、全概率公式和貝葉斯公式 為為 E 的一組事件的一組事件. 若若 定義定義 設試驗設試驗 E 的樣本空間為的樣本空間為 ， nBBB

48、,21 ,2,1,njijiBBji .21nBBB則稱則稱 為為 的一個的一個 劃分劃分（或（或 完備事件組完備事件組）. nBBB,21若若 為為 的一個劃分，則對的一個劃分，則對 每次試驗每次試驗 , nBBB,21事件事件 中中 必有一個且僅有一個必有一個且僅有一個 發(fā)生發(fā)生. nBBB,21Section5_3_1定理定理 設試驗設試驗 E 的樣本空間為的樣本空間為 ，A 為為 E 的事件的事件, 有有 為為 的一個劃分的一個劃分, 且且 nBBB,21. ), 2 , 1(0)(niBPi. )|()()(1niiiBAPBPAP稱為稱為 全概率公式全概率公式 . 若若 P(A)

49、0，則有，則有 . ),2,1()|()()|()()|(1niBAPBPBAPBPABPniiiiii稱為稱為 貝葉斯貝葉斯 公式公式（或（或 逆概公式逆概公式、后驗概率公式后驗概率公式）. Section5_3_2適合適合 全概全概 與與 逆概公式逆概公式 求解的概型：求解的概型： 從從 時間順序時間順序（或（或邏輯關系邏輯關系）上看，試驗可分為）上看，試驗可分為 兩個階段兩個階段（或（或 層次層次）進行，第一階段的試驗結果會）進行，第一階段的試驗結果會 影響第二階段某試驗結果影響第二階段某試驗結果 A 的發(fā)生，第一階段的所有的發(fā)生，第一階段的所有 可能結果是已知的，但具體哪一個結果發(fā)生是

50、未知的可能結果是已知的，但具體哪一個結果發(fā)生是未知的. 若求若求 P(A) ，則利用，則利用 全概公式全概公式 . 若已知若已知 A 發(fā)生，求它是由第一階段某結果發(fā)生，求它是由第一階段某結果 iB引起（或導致）的概率，則利用引起（或導致）的概率，則利用 逆概公式逆概公式 . 利用全概或逆概公式的利用全概或逆概公式的 關鍵：關鍵：選取完備事件組，選取完備事件組， 即確定第一階段試驗的即確定第一階段試驗的 所有可能結果所有可能結果 . Section5_3_3 3 個紅球和個紅球和 3 個白球個白球. 從袋中任取從袋中任取 2 個球放入盒中，然個球放入盒中，然 后從盒中任取后從盒中任取 1 個球，

51、求這個球是白球的概率個球，求這個球是白球的概率. 83例例1. 設盒中裝有設盒中裝有 4 個紅球和個紅球和 2 個白球，袋中裝有個白球，袋中裝有 解：解： 設設 A 表示取到白球，表示取到白球， 表示從袋中取出的兩表示從袋中取出的兩 iB個球中有個球中有 i 個白球（個白球（i = 0 , 1 , 2）. ,51)(26230CCBP,53)(2613131CCCBP,51)(26232CCBP,82)|(0BAP,83)|(1BAP,84)|(2BAP)|()()|()()|()(221100BAPBPBAPBPBAPBP)(APSection5_3_4產品，三個車間生產的產量分別占總產量的

52、產品，三個車間生產的產量分別占總產量的 25% , 35%，40%，三個車間生產的次品率分別為，三個車間生產的次品率分別為 5% , 4% , 2%. 現從該廠的所有產品中任取一件進行檢驗現從該廠的所有產品中任取一件進行檢驗. 如取到次品，求它是如取到次品，求它是 1 號車間生產的概率號車間生產的概率. 求取到次品的概率求取到次品的概率. 解：解： 設設 A 表示取到次品，表示取到次品， ,4 . 0)(,35. 0)(,25. 0)(321BPBPBP表示所取到的產品是表示所取到的產品是 iB由第由第 i 號車間生產的（號車間生產的（i = 1 , 2 , 3）. ,02. 0)|(,04.

53、 0)|(,05. 0)|(321BAPBAPBAP例例2. 設某工廠有設某工廠有1 , 2 , 3 號三個車間生產同一種號三個車間生產同一種 Section5_3_4_169250345. 0 )|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP)(AP )|(1ABP)()(1APABP)()|()(11APBAPBPSection6_1四、事件的相互獨四、事件的相互獨 立立 性性 正反面出現的情況正反面出現的情況”. 設設 A 表示表示 “甲出現正面甲出現正面”，B 表示表示 “乙出現正面乙出現正面”. 求求 P(A) , P(B) , P(AB) , P(B | A

54、) . 引例引例 設試驗設試驗 E 為為 “拋甲、乙兩枚硬幣，觀察其拋甲、乙兩枚硬幣，觀察其 解：解： = HH , HT , TH , TT ， A = HH , HT ， B = HH , TH ， AB = HH . ,21)(AP,21)(BP,41)(ABP.21)|(ABPSection6_1_1定理定理 設設 A , B 是兩事件，且是兩事件，且 P(A) 0 . 則則 則稱事件則稱事件 A 與與 B 相互獨立相互獨立 ，簡稱，簡稱 A , B 獨立獨立 . 定義定義 設設 A , B 是兩事件，如果滿足等式是兩事件，如果滿足等式 )()()(BPAPABP A 與與 B 相互獨

55、立相互獨立 . )()|(BPABPSection6_1_2性質性質 若事件若事件 A 與與 B 相互獨立，則相互獨立，則 與與 ， 與與 ， 與與 . ABABAB.)(1)(1 1)()(1)(BPAPBPAPBAP 概率為概率為 1 或或 0 的事件與任何事件相互獨立的事件與任何事件相互獨立. 事件事件 A 與與 B 相互獨立相互獨立 ) 1)(0()|()|(BPBAPBAP) 1)(0(1)|()|(BPBAPBAP)()()(BPAPABP)0)()()|(APBPABP)0)()()|(BPAPBAPSection6_1_3如果如果 A , B , C 滿足條件，則稱事件滿足條件

56、，則稱事件 A , B , C 定義定義 設設 A , B , C 是三個事件，對于條件：是三個事件，對于條件： , )()()(BPAPABP , )()()(CPBPBCP , )()()(CPAPACP , )()()()(CPBPAPABCP 兩兩獨立兩兩獨立 ，如果，如果 A , B , C 滿足條件，則稱事滿足條件，則稱事 件件 A , B , C 相互獨立相互獨立 . 若若 m + n 個事件個事件 相互獨立相互獨立, nmBBBAAA,2121則事件則事件 與與 相互獨立，相互獨立， ),(21mAAAf),(21nBBBg后所得的事件后所得的事件. 其中其中 分別表示對其相應

57、事件進行各種事件運算分別表示對其相應事件進行各種事件運算 )(, )(gfSection6_1_4元件（或系統(tǒng)）的元件（或系統(tǒng)）的 可靠性可靠性 . 例例1. 一個元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為一個元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為 如圖所示，設有如圖所示，設有4個獨立工個獨立工 作的元件作的元件1 , 2 , 3 , 4 按以下兩種方式聯接構成兩個系統(tǒng)按以下兩種方式聯接構成兩個系統(tǒng). 設第設第 i 個元件的可靠性為個元件的可靠性為 . )4 , 3 , 2 , 1( ipi求兩個系統(tǒng)的可靠性求兩個系統(tǒng)的可靠性. 1 2 3 4 1 2 3 4 系統(tǒng)系統(tǒng) 1 系統(tǒng)系統(tǒng) 2 Section6

58、_1_5解：解： 系統(tǒng)系統(tǒng) 1 正常工作的概率正常工作的概率 p 設設 表示第表示第 i 個元件正常工作個元件正常工作. iA)(4321AAAAP)()()(43214321AAAAPAAPAAP)()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP43214321pppppppp 系統(tǒng)系統(tǒng) 2 正常工作的概率正常工作的概率 q )(4321AAAAP)()()()(2121APAPAPAP)(43432121pppppppp)()(4321AAPAAP)()()()(4343APAPAPAP例例2 甲、乙二人同時向同一目標射擊一次，甲擊中率為甲、乙二人同時向同一目

59、標射擊一次，甲擊中率為0.8，乙擊，乙擊中率為中率為0.6，求在一次射擊中，目標被擊中的概率。，求在一次射擊中，目標被擊中的概率。解：設解：設A A 甲擊中甲擊中 ，B B 乙擊中乙擊中 ，C C 目標被擊中目標被擊中 ，則，則C CA A)()()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPAPBAPCP92. 06 . 08 . 06 . 08 . 0或或( ) 1( ) 1() 1() 1( ) ( )1 (1 0.8)(1 0.6)0.92P CP CP ABP ABP A P B 五、五、伯努利概型伯努利概型1 1泊努利試驗泊努利試驗2. n重泊努利試驗重泊努利試驗例例1 設

60、某種藥對某種疾病的治愈率為設某種藥對某種疾病的治愈率為80%,現有現有10名患有這種疾病的名患有這種疾病的病人同時服用這種藥病人同時服用這種藥,求其中至少有求其中至少有6人被治愈的概率人被治愈的概率.Section總結總結_1第一章第一章 總總 結結 一、事件的關系、運算及概率的重要性質一、事件的關系、運算及概率的重要性質 1. BABBAABABABABABA,BAABA2. )()()()(ABPBPAPBAP)()()()(ABPAPBAPBAP)(1)(APAP)(1)(1)(BAPBAPBAP)()()(BAPABPAP)|()()|()()(BAPBPABPAPABPBAABABA