大學物理實驗緒論2016

1、 第一章第一章 測量與誤差測量與誤差1.1 1.1 測量及分類測量及分類 1.2 1.2 測量誤差測量誤差1.3 1.3 誤差的分類誤差的分類一、測量一、測量測量與分類測量與分類是將待測量與選做計量標準的同類物理量進行比較，得到此物理量的是將待測量與選做計量標準的同類物理量進行比較，得到此物理量的測量值的過程。測量值必須包括測量值的過程。測量值必須包括:數(shù)值和單位數(shù)值和單位0(cm)123l待測物待測物理量理量2.00計量標準計量標準待測物理待測物理量的量的數(shù)值數(shù)值單位單位2.00cm測量的分類測量的分類擺長擺長l如：通過測量單擺的振動如：通過測量單擺的振動周期周期T和和擺長擺長l，測，測重力

2、加速度重力加速度g224Tlg 通過待測物通過待測物理量與若干理量與若干直接測量物直接測量物理量的函數(shù)理量的函數(shù)關系關系求出求出的的通過儀通過儀器和量器和量具具直接直接讀出讀出的的周期周期T間接測量間接測量直接測量直接測量按測量方式按測量方式按測量精度按測量精度等精度測量等精度測量- 每次測量的條件都相同每次測量的條件都相同不等精度測量不等精度測量 任一測量條件發(fā)生變化任一測量條件發(fā)生變化測量與分類測量與分類誤差：指的是誤差：指的是測得的值測得的值y與與真值真值Yt之間的差之間的差tYydy 真值真值1.理論真值理論真值（三角形的內(nèi)角和等）（三角形的內(nèi)角和等）2.約定的真值約定的真值（1米、米

3、、1秒、秒、1千克）千克）3.相對的真值相對的真值：高一等級精度的標準所測的量值：高一等級精度的標準所測的量值測量誤差測量誤差影響測量的因影響測量的因素有哪些呢？素有哪些呢？測量方法、測測量方法、測量儀器、測量量儀器、測量環(huán)境和測量者環(huán)境和測量者算術平均值測量值殘差-二、誤差的定義二、誤差的定義一、真值與測量值一、真值與測量值絕對誤差絕對誤差相對誤差相對誤差%100 被被測測真真值值絕絕對對誤誤差差三、誤差分類三、誤差分類-系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差3.1系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差定義：在定義：在同一條件下同一條件下，多次重復測量多次重復測量同一值時保持恒定或以同一值時保持

4、恒定或以 可預知方式變化的測量誤差分量?？深A知方式變化的測量誤差分量。測量誤差分類測量誤差分類特點：特點：有規(guī)律有規(guī)律，可再現(xiàn)可再現(xiàn)，可以預測可以預測系統(tǒng)誤差來源系統(tǒng)誤差來源儀器、裝置誤差儀器、裝置誤差測量理論或方法誤差測量理論或方法誤差測量環(huán)境誤差測量環(huán)境誤差人員誤差人員誤差儀器缺陷儀器缺陷安裝調(diào)安裝調(diào)整不當整不當不水平不水平不垂直不垂直未調(diào)零未調(diào)零理論公式理論公式的近似的近似實驗方法實驗方法不完善不完善外界條件外界條件與儀器要與儀器要求不一致求不一致單擺單擺測加測加速度速度反應速度反應速度讀數(shù)習慣讀數(shù)習慣散熱散熱內(nèi)阻內(nèi)阻一經(jīng)查明就應設法消除其影響一經(jīng)查明就應設法消除其影響各種消減系統(tǒng)誤差的

5、方法都具有較強的針對性，都是些經(jīng)各種消減系統(tǒng)誤差的方法都具有較強的針對性，都是些經(jīng)驗型、具體的處理方法驗型、具體的處理方法! 測量誤差測量誤差系統(tǒng)誤差分類及處理方法系統(tǒng)誤差分類及處理方法: : 定值系統(tǒng)誤差定值系統(tǒng)誤差-其其大小和符號恒定不變大小和符號恒定不變。 例如，千分尺沒有零點修正，天平砝碼的標稱值不準確等。例如，千分尺沒有零點修正，天平砝碼的標稱值不準確等。 未定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差-大小和符號未定從而未知的系統(tǒng)誤差分量大小和符號未定從而未知的系統(tǒng)誤差分量合理評定系統(tǒng)誤差分量大致對應的合理評定系統(tǒng)誤差分量大致對應的B B類不確定度類不確定度分量分量方案選擇、參數(shù)設計、儀器校準、計算方法

6、改進等方案選擇、參數(shù)設計、儀器校準、計算方法改進等對已對已定系統(tǒng)誤差進行修正定系統(tǒng)誤差進行修正如：如：交換法、替換法、抵消法、半周期法等交換法、替換法、抵消法、半周期法等3.23.2隨機誤差隨機誤差 在在相同的條件相同的條件下，由于偶然的不確定的因素造成每一次測量值的下，由于偶然的不確定的因素造成每一次測量值的無無規(guī)則的漲落規(guī)則的漲落，測量值對真值的偏離，測量值對真值的偏離時大時小、時正時負時大時小、時正時負，這類誤差稱為，這類誤差稱為隨機（偶然）誤差隨機（偶然）誤差重復測量中以不可預知的方式變化的誤差分量重復測量中以不可預知的方式變化的誤差分量特點特點:0n對稱性對稱性：絕對值相等的正負誤差

7、次數(shù)相等：絕對值相等的正負誤差次數(shù)相等單峰性單峰性：小誤差多于大誤差：小誤差多于大誤差有界性有界性：隨機誤差絕對值不會超過一定界限：隨機誤差絕對值不會超過一定界限抵償性抵償性：隨次數(shù)增加，算數(shù)平均值趨于零：隨次數(shù)增加，算數(shù)平均值趨于零正態(tài)分布正態(tài)分布測量誤差測量誤差3.23.2隨機誤差隨機誤差22221)( efAxi 測量誤差測量誤差算術平均值算術平均值測量列的最佳值測量列的最佳值設對設對真值為真值為A的物理量的物理量x，作，作n次等精度測量，結果分別為次等精度測量，結果分別為x1、x2、xnAxxii 算術平均值算術平均值: : niixnx11 niixAnx1)(1 niixn11Ax

8、 nAx 期待值或最佳值期待值或最佳值n6標準偏差（貝塞爾公式）標準偏差（貝塞爾公式） niixxns12)(11 統(tǒng)計意義統(tǒng)計意義：當測量次數(shù)足夠多時，測量列：當測量次數(shù)足夠多時，測量列中任一中任一測量值與算數(shù)平均值之差測量值與算數(shù)平均值之差落在落在 之間的之間的概率為概率為0.683，反映樣本反映樣本中各測量數(shù)據(jù)相對樣本平均值的分散程度中各測量數(shù)據(jù)相對樣本平均值的分散程度 ,s s反映了隨機誤反映了隨機誤差的分布特征差的分布特征s s大大：測量值：測量值分散分散，隨機誤差分布范圍寬，隨機誤差分布范圍寬，精密度精密度低低s s小?。簻y量值：測量值密集密集，隨機誤差分布范圍窄，隨機誤差分布范圍

9、窄，精密度精密度高高 1 1 2 3 3 2 0.00.10.20.40.3 1 1 2 3 3 2 0.00.10.20.40.322221)( ef測量誤差測量誤差正態(tài)分布正態(tài)分布 ix正態(tài)分布正態(tài)分布0n大大測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率計算測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率計算1)( fp6826.0)( fp9544.0)(22 fp9973.0)(33 fp34.13%2.14%0.14%13.59%期望值期望值小小 3 xxi測量誤差測量誤差算術平均值的標準差算術平均值的標準差測量結果離散程度測量結果離散程度相同條件下，對同一測量量進行若干組測量（每次均為相同條件下，對同一測量量進行若干

10、組測量（每次均為n）算數(shù)平均值列：算數(shù)平均值列：4321xxxx、 niixxxnnnss12)()1(1 是表征同一被測量的是表征同一被測量的各個各個獨立測量列獨立測量列算數(shù)算數(shù)平均值（測量結果）平均值（測量結果）分散性的參數(shù)分散性的參數(shù)1、增加測量次數(shù)、增加測量次數(shù)n，可提高測量精度，可提高測量精度2、n10時，時， 變緩，增加變緩，增加n對精度提對精度提高效果有限高效果有限xs6n10要提高測量精度，應采用適當精要提高測量精度，應采用適當精度的儀器，選取適當?shù)臏y量次數(shù)度的儀器，選取適當?shù)臏y量次數(shù)xsn05101520測量誤差測量誤差四、精度四、精度是反映測量結果與真值接近程度的量是反映測

11、量結果與真值接近程度的量表示測量結果表示測量結果中中系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差大大小的程度。小的程度。表示測量結果中表示測量結果中隨機誤差隨機誤差大小的大小的程度。結果之間程度。結果之間符合的程度符合的程度表示測量結果與被測表示測量結果與被測量的量的“真值真值”之間的之間的一致程度，又稱一致程度，又稱精確精確度度 。正確度高，緊密度低正確度高，緊密度低精密度高，正確度低精密度高，正確度低緊密度、正確度、精準度均高緊密度、正確度、精準度均高第二章第二章 有效數(shù)字及其運算法則有效數(shù)字及其運算法則 1.1.直接測量的有效數(shù)字記錄直接測量的有效數(shù)字記錄2.2.有效數(shù)字的運算法則有效數(shù)字的運算法則測量的有效數(shù)字測

12、量的有效數(shù)字測量含測量含誤差誤差是是近似數(shù)近似數(shù)精度有限度，精度有限度，那么，測量那么，測量結果的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)運算結果的數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)運算的的位數(shù)位數(shù)的選取應以什么為的選取應以什么為依據(jù)依據(jù)呢？呢？0(cm)1232.00cm一個數(shù)據(jù)中，小數(shù)點后位數(shù)越多，這個數(shù)值越精確一個數(shù)據(jù)中，小數(shù)點后位數(shù)越多，這個數(shù)值越精確數(shù)據(jù)運算中，保留位數(shù)越多，精度越高數(shù)據(jù)運算中，保留位數(shù)越多，精度越高2.000cm測量結果的精度與所用的測量方法及儀器有關測量結果的精度與所用的測量方法及儀器有關,記錄或數(shù)據(jù)運算記錄或數(shù)據(jù)運算時時,所取數(shù)據(jù)的位數(shù)其精度不能所取數(shù)據(jù)的位數(shù)其精度不能超過或低于測量所能達到的精度超過或低于測量所能

13、達到的精度.00001.11 yxyx09999.01 yxyx1000010001 yx100009999 yx一個系數(shù)差萬分之二，一個系數(shù)差萬分之二，結果卻差異極大結果卻差異極大!研究有效數(shù)字及數(shù)據(jù)運研究有效數(shù)字及數(shù)據(jù)運算規(guī)律非常重要算規(guī)律非常重要!測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字一、有效數(shù)字定義一、有效數(shù)字定義有效數(shù)字：我們把有效數(shù)字：我們把準確數(shù)字準確數(shù)字加上最后一位有實際意義的加上最后一位有實際意義的估計數(shù)估計數(shù)字字總稱為總稱為有效數(shù)字。有效數(shù)字。測量結果用且只用它的測量結果用且只用它的有效數(shù)有效數(shù)字字表示。表示。0(cm)1232.25 cm 準確數(shù)字準確數(shù)字估計數(shù)字估計數(shù)字有效位數(shù)：

14、有效位數(shù)：有效數(shù)字的個數(shù)叫作有效數(shù)字的個數(shù)叫作有效位數(shù)有效位數(shù)。第一位有效數(shù)字第一位有效數(shù)字4.510550例：說出下列各數(shù)的有效數(shù)字個數(shù)例：說出下列各數(shù)的有效數(shù)字個數(shù)0.0027582.401037位有效數(shù)字位有效數(shù)字4位有效數(shù)字位有效數(shù)字3位有效數(shù)字位有效數(shù)字測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字通過儀表、量具等讀取原始數(shù)據(jù)時，通過儀表、量具等讀取原始數(shù)據(jù)時，把計量器具所，把計量器具所來來有效數(shù)字的多少直接反映實驗測量的有效數(shù)字的多少直接反映實驗測量的!鋼尺：鋼尺：d=6.4mm；儀器誤差；儀器誤差 0.5mm%8 . 7%1004 . 65 . 0 E游標卡尺：游標卡尺：d=6.36mm； 儀器誤

15、差儀器誤差 0.02mm%31. 0%10036. 602. 0 E千分尺：千分尺：d=6.347mm； 儀器誤差儀器誤差 0.005mm %079. 0%100347. 6005. 0 E測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字 ，如游標卡尺、分光計方位角的游標度盤、水銀大，如游標卡尺、分光計方位角的游標度盤、水銀大氣壓力計的讀數(shù)游標尺等，一般氣壓力計的讀數(shù)游標尺等，一般0.02mm副尺：副尺：12 0.02=0.24mm主尺：主尺：13mm13.24mm1234012345測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字 數(shù)顯儀表數(shù)顯儀表及有及有十進步進式標度盤的儀表十進步進式標度盤的儀表，如數(shù)字電表、電阻箱、，如數(shù)字電

16、表、電阻箱、電橋等，應電橋等，應 指針式儀表，讀數(shù)時一般指針式儀表，讀數(shù)時一般要估讀到最要估讀到最小分度值的小分度值的1/41/10，由于人眼分辨能，由于人眼分辨能力的限制，一般不力的限制，一般不可能估讀到最小分度可能估讀到最小分度的的1/10以下以下6.8+0.2 0.3 =6.86V 對于可估讀到最小分度值以下的計量器具，當最小分度不小對于可估讀到最小分度值以下的計量器具，當最小分度不小于于1mm時，通常要估讀到時，通常要估讀到0.1分度，如螺旋測微計和測量顯分度，如螺旋測微計和測量顯微鏡鼓輪的讀數(shù)，都要微鏡鼓輪的讀數(shù)，都要測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字4.5mm40.9 0.01mm4.9

17、09mm測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字1. 有效數(shù)字位數(shù)與有效數(shù)字位數(shù)與儀器最小分度值儀器最小分度值和和被測量的大小被測量的大小有關有關如用最小分度值如用最小分度值0.01mm的千分尺的千分尺測量的長度讀數(shù)為測量的長度讀數(shù)為 5.738mm（四四位位有效數(shù)字），用最小分度值為有效數(shù)字），用最小分度值為1mm的刻度尺測量，其讀數(shù)為的刻度尺測量，其讀數(shù)為 5.7mm（兩位兩位有效數(shù)字）。有效數(shù)字）。用最小分度值為用最小分度值為1mm的刻度尺測量：的刻度尺測量：5.7mm；15.7mm兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字三位有效數(shù)字三位有效數(shù)字三、有效數(shù)字的基本特性三、有效數(shù)字的基本特性:測量的有效數(shù)字測量的有效

18、數(shù)字2、位數(shù)與小數(shù)點的位置（單位）無關；、位數(shù)與小數(shù)點的位置（單位）無關；9.80ms29.80 x10-3kms2有效數(shù)字的科學計數(shù)法表示有效數(shù)字的科學計數(shù)法表示9.80 x103mms20.00980kms2980cms29800mms2有效數(shù)字位數(shù)有有效數(shù)字位數(shù)有a決定；決定；n可正可負可正可負na 10 不可寫成不可寫成9.8x103mms2對于計算公式中常數(shù)的約定對于計算公式中常數(shù)的約定 e可根據(jù)需要任意選取，計算中一般比參可根據(jù)需要任意選取，計算中一般比參與運算的各數(shù)中有效數(shù)字最多的多一位與運算的各數(shù)中有效數(shù)字最多的多一位測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字四、有效數(shù)字的修約（所有例子保留

19、四、有效數(shù)字的修約（所有例子保留4位有效數(shù)字）位有效數(shù)字）1.擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字小于小于5時時-舍舍2.擬舍棄數(shù)字的的最左一位數(shù)字擬舍棄數(shù)字的的最左一位數(shù)字大于大于5，或等于，或等于5而其后跟非零數(shù)字而其后跟非零數(shù)字 -末位數(shù)加末位數(shù)加1（入）（入）7.691497.6912.727692.7283.2155013.2163.擬舍棄數(shù)字的的最左一位數(shù)字擬舍棄數(shù)字的的最左一位數(shù)字為為5，其后全為零數(shù)字，其后全為零數(shù)字 -奇進偶不進奇進偶不進3.125503.1263.120503.1204.負數(shù)修約不受負號的影響負數(shù)修約不受負號的影響-3.12550-3.1265.

20、不允許連續(xù)修約不允許連續(xù)修約3.12546183.1254623.125463.12553.1263.125測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字五、有效數(shù)字運算規(guī)則五、有效數(shù)字運算規(guī)則可靠可靠數(shù)字與數(shù)字與可靠可靠數(shù)字間的數(shù)字間的四則運算四則運算，結果是，結果是可靠可靠數(shù)字，數(shù)字，否則否則為為可疑可疑數(shù)字數(shù)字103.313.561116.861103.131.652101.478103.3+13.561=116.9103.13+1.652=101.48有效數(shù)字有效數(shù)字中的可疑中的可疑數(shù)數(shù)只保留只保留一位一位1)加減法加減法 結果的非準確位與參與運算的所有數(shù)字結果的非準確位與參與運算的所有數(shù)字中中非準確位

21、最高者相同非準確位最高者相同測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字有效數(shù)字間的乘除法運算有效數(shù)字間的乘除法運算4.17 810.1 4 17 84.17810.1=42.2 41 7 842.1 97 823.44 682 6 1 38 46 06.423.426=6.1102(2)乘除法乘除法 結果的位數(shù)與所有參與運算的數(shù)字中有結果的位數(shù)與所有參與運算的數(shù)字中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同效數(shù)字位數(shù)最少的相同測量的有效數(shù)字測量的有效數(shù)字如如23.42 = 547.56 = 548對數(shù)對數(shù)結果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同結果的位數(shù)與真數(shù)的位數(shù)相同如如 ln23.4 = 3.1527 = 3.15 三角函數(shù)三角函數(shù)角度

22、誤差角度誤差10 ”1 ”0.1 ”0.01 ”選擇位數(shù)選擇位數(shù)5678乘方開方乘方開方結果的位數(shù)與相應的底數(shù)的位數(shù)相同結果的位數(shù)與相應的底數(shù)的位數(shù)相同如如sin(16O2512)的結果取為的結果取為0.282676 以上方法對少量數(shù)據(jù)運算可用以上方法對少量數(shù)據(jù)運算可用, 。對大量數(shù)據(jù)用統(tǒng)計方法處理對大量數(shù)據(jù)用統(tǒng)計方法處理.1 1 測量不確定度的概念測量不確定度的概念2 2 直接測量結果與不確定度的估算直接測量結果與不確定度的估算 3 3 間接測量結果與不確定度的估算間接測量結果與不確定度的估算不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定 不確定度反映了可能存在的誤差分布范圍，即不確定度反

23、映了可能存在的誤差分布范圍，即和和的聯(lián)合分布范圍。的聯(lián)合分布范圍。不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定一、不確定度的概念一、不確定度的概念UxX 不確定度不確定度測量值測量值待測物理量待測物理量A類不確定度類不確定度B類不確定度類不確定度測量結果可以采用合成標準不確定度測量結果可以采用合成標準不確定度uc或采用擴展不確定或采用擴展不確定度度U表示本教材表示本教材采用擴展不確定度采用擴展不確定度U的表示方法的表示方法U是概率約等于是概率約等于0.95的擴展不確定度的擴展不確定度不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定二二. .直接測量結果與不確定度估算直接測量結果與不確定度估

24、算 jjBUUU22A)(是（重復測量時）用統(tǒng)計是（重復測量時）用統(tǒng)計方法計算的分量方法計算的分量A類分量類分量是用其它方法（非統(tǒng)計方是用其它方法（非統(tǒng)計方法）評定的分量法）評定的分量xvAsptU )(1.A1.A類分量類分量UA A的計算：的計算：不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定設某一物理量的重復測量次數(shù)為設某一物理量的重復測量次數(shù)為n n算數(shù)平均值的標準差算數(shù)平均值的標準差:系統(tǒng)誤差為零時，真值在區(qū)間系統(tǒng)誤差為零時，真值在區(qū)間 內(nèi)的概率約為內(nèi)的概率約為pAxU置信因子置信因子本教材要求本教材要求p=95%: n次重復測量的物理量之間次重復測量的物理量之間,存在存在k個獨立

25、的線性約束條個獨立的線性約束條件件,則則n個變量的獨立變量個數(shù)為個變量的獨立變量個數(shù)為n-k,即自由度為即自由度為n-k1 nv不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定置信因子置信因子 可以查國家標準的數(shù)表得到可以查國家標準的數(shù)表得到)(ptv但概率但概率p = 0.95 的因子的因子t由下式算出更為方便，式中由下式算出更為方便，式中v=n-1064. 1406. 2959. 1)95. 0( vtv)3( vp2345678915200.6831.321.21.14 1.11 1.09 1.081.071.061.041.0310.902.922.35 2.13 2.02 1.94

26、1.891.861.831.761.731.650.954.303.18 2.78 2.56 2.45 2.372.312.262.132.091.960.9979.935.84 4.60 4.03 3.71 3.503.363.252.982.862.58系統(tǒng)誤系統(tǒng)誤差來源差來源不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定2. B類分量的近似評定與類分量的近似評定與U的計算的計算原理原理方法方法環(huán)境環(huán)境人為人為因素因素儀器儀器調(diào)整調(diào)整測量測量儀器儀器 ：一般取儀表、器具的示值誤差限或基本：一般取儀表、器具的示值誤差限或基本誤差限誤差限,它的大小有時由實驗室近似給出它的大小有時由實驗室近似

27、給出I IBU 22BAUUU 22)(IxvsptU 不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定普通物理實驗常用測量儀器的誤差限普通物理實驗常用測量儀器的誤差限( 1 ) 鋼直尺鋼直尺(米尺米尺)(分度值為分度值為1mm) 取其誤差限為取其誤差限為0.3mm，實驗中也可以約定取，實驗中也可以約定取0.5mm( 2 ) 游標卡尺游標卡尺分度值分度值0.02mm0.05mm0.1mm( 3 ) 螺旋測微計（千分尺螺旋測微計（千分尺,精度為一級精度為一級）誤差限與測量范圍（量程）有關誤差限與測量范圍（量程）有關 (0.004 0.006 mm) 本課程約定為：本課程約定為：不確定度與測量結果

28、的評定不確定度與測量結果的評定( 4 ) 機械停表和數(shù)字毫秒表機械停表和數(shù)字毫秒表:一般一般分度值即為儀器誤差限分度值即為儀器誤差限機械停表分度值為機械停表分度值為0.1s誤差限為誤差限為0.1s數(shù)字秒表時基值為數(shù)字秒表時基值為0.1ms1ms10ms( 6 ) 電磁式測量指示表電磁式測量指示表NxNxmmI 100%儀表量程儀表量程準確度級別準確度級別(0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0)( 5 ) 水銀水銀- -玻璃溫度計：玻璃溫度計：為為0.5不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定( 7 ) 旋鈕式電阻箱旋鈕式電阻箱 (0.02、0.05、0.1、0.2四個

29、級別四個級別)電阻箱誤差電阻箱誤差 = 箱內(nèi)電阻器的阻值誤差箱內(nèi)電阻器的阻值誤差 + 旋鈕的接觸誤差旋鈕的接觸誤差)%(RmbaRI 旋鈕個數(shù)旋鈕個數(shù)所用電阻值所用電阻值級別級別級別常數(shù)級別常數(shù)級別(a)0.020.050.10.2常數(shù)(b)0.10.10.20.5表：電阻箱表：電阻箱級別與對應常數(shù)級別與對應常數(shù)不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定3. 直接測量結果的完整表示直接測量結果的完整表示UxX 單次測量值單次測量值或多次測或多次測量的量的算術平均值算術平均值概率約等于概率約等于95%的的擴展不確定度擴展不確定度cm422.20 xcm72. 0 Ucm)7 . 04 .2

30、0( XU一般只取一位有效數(shù)字一般只取一位有效數(shù)字修約前修約前首位數(shù)字較小首位數(shù)字較小時（如時（如1、2等）一般等）一般取取2位位m4005.180 xm018. 0 Um)018. 0400.180( X根據(jù)擴展不確定度進行有效數(shù)字修約根據(jù)擴展不確定度進行有效數(shù)字修約, 末位數(shù)字對齊末位數(shù)字對齊不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定4. 相對擴展不確定度相對擴展不確定度為更直觀地評價測量結果的準確為更直觀地評價測量結果的準確度，引入度，引入相對擴展不確定度相對擴展不確定度Ur的的概念，它是概念，它是擴展不確定度擴展不確定度U與量與量值值x之比之比 xUUr 判斷下列哪個測量結果的準

31、確度高判斷下列哪個測量結果的準確度高cm)7 . 04 .20( Xcm)9 . 04 .120( X034. 04 .207 . 0 rU0075. 04 .1209 . 0 rU相對不確定度一般取兩位有效數(shù)字相對不確定度一般取兩位有效數(shù)字不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定5. 單次測量的不確定度單次測量的不確定度U單次測量單次測量不能用統(tǒng)計方法不能用統(tǒng)計方法求標準差，測量的求標準差，測量的隨機分布隨機分布特征客特征客觀存在，應如何判斷待測量的不確定度呢？觀存在，應如何判斷待測量的不確定度呢？2. s顯著小于儀器的誤差限顯著小于儀器的誤差限 2Is 1. 因條件限制，僅測一次數(shù)

32、據(jù)因條件限制，僅測一次數(shù)據(jù)IU 注意：這只是一個近似的估算方法，不能得出單次測量的注意：這只是一個近似的估算方法，不能得出單次測量的不確定度小于多次測量的不確定度的結論！不確定度小于多次測量的不確定度的結論！不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定6. 不確定度的微小分量判據(jù)不確定度的微小分量判據(jù) 如果某一分量小于最大分量（或合成結果）的如果某一分量小于最大分量（或合成結果）的1/5到到1/6，就可將這一分量看作是可忽略的就可將這一分量看作是可忽略的微小分量微小分量 微小分量判據(jù)的臨界比微小分量判據(jù)的臨界比1/取取“1/5到到1/6”有一定的靈活有一定的靈活性，要求較低時可放寬到性，要

33、求較低時可放寬到1/3 有幾個微小分量可能都被忽略時也可取有幾個微小分量可能都被忽略時也可取“1/6到到1/10”僅有兩個分量方和根合成時，如小分量等于大分量的僅有兩個分量方和根合成時，如小分量等于大分量的1/5，忽略小分量后引起的相對偏差為：忽略小分量后引起的相對偏差為：22221112%22511 不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定例例1：用：用0.2級，量程為級，量程為20k 的萬用表測量某個電阻的電阻值，的萬用表測量某個電阻的電阻值，測量結果單位為測量結果單位為 (k ) : 3.72, 3.92，3.89，3.88，3.86，3.88，3.87，3.86，3.85，3.

34、87，3.89 給出最終結果表示給出最終結果表示 。 解解: :計算平均值：計算平均值： k863. 3111111iiRR計算標準差：計算標準差： k025. 0111)863. 3(1112iiRRs因第一個數(shù)據(jù)因第一個數(shù)據(jù) K075. 0025. 033Rs865. 372. 31 RR k075. 00.143k剔除剔除不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定重新計算重新計算 k877. 3101101iiRR k020. 0110)877. 3(1012iiRRs k060. 0020. 033Rs 其他數(shù)據(jù)不需剔除其他數(shù)據(jù)不需剔除 A A類不確定度類不確定度RAstU)95

35、. 0(9 26. 2064. 19406. 2959. 1)95. 0(9 tnssRR 020. 01026. 2 AU k014. 0不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定B B類不確定度類不確定度NxUmIB 100 k04. 02 . 010020合成擴展不確定度合成擴展不確定度22BAUUU k04. 0k042. 004. 014. 022最終結果表示最終結果表示 k)04. 088. 3(R k88. 3R修約結果的平均值修約結果的平均值不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定小小 結結算術平均值算術平均值 niixnx11實驗標準偏差實驗標準偏差 niixx

36、ns12)(11 niixxxnnnss12)()1(1 平均值的實平均值的實驗標準偏差驗標準偏差A類不確定度類不確定度snptsptUvxvA )()(不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定擴展不確定度擴展不確定度IjBBUU B類不確定度類不確定度22)(Ixvspt jjBUUU22A)(直接測量的實驗結果直接測量的實驗結果UxX 不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定三、間接測量結果與不確定度的估算三、間接測量結果與不確定度的估算設間接測量量設間接測量量F為相互獨立的直接測量量為相互獨立的直接測量量x,y,z.的函數(shù)的函數(shù)),(zyxfF 每個直接測量量的結果可表示

37、成如下形式每個直接測量量的結果可表示成如下形式xUxX yUyY zUzZ UfF 如何根據(jù)直接測量如何根據(jù)直接測量量的不確定的來評量的不確定的來評價間接量的不確定價間接量的不確定度呢？度呢？不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定1. 不確定度的傳播規(guī)律不確定度的傳播規(guī)律),(zyxfF 求上式的全微分求上式的全微分 dzzfdyyfdxxfFd DzzfDyyfDxxfDF 不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定 222222F zyxUzfUyfUxfU不確定度按不確定度按的方法進行合成的方法進行合成DF FU Dx xU Dy yU 2222222)()()()()(

38、)()( DzzfDyyfDxxfDF DxDyyfxf2自變量相互獨立，自變量相互獨立，交叉項為交叉項為0不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定相對不確定度相對不確定度),(zyxfF ),(lnlnzyxfF 求對數(shù)式全微分求對數(shù)式全微分 dzzfdyyfdxxfFFlnlnlnd FzyxEUzfUyfUxfFU 222222Flnlnln 絕對不確定度絕對不確定度FFEFU 不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定函數(shù)表達式函數(shù)表達式不確定度傳遞公式不確定度傳遞公式常見函數(shù)的不確定度合成公式常見函數(shù)的不確定度合成公式y(tǒng)xN 22yxNUUU yxN yxN/ 22 y

39、UxUNUyxNkxN xNUkU xeN xNUxU cosxNsin xxNUeU 間接測量數(shù)據(jù)處理的一般程序：間接測量數(shù)據(jù)處理的一般程序：不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定設間接測量量可寫成設間接測量量可寫成 . ,z , yxfF (1). 求各直接測量量的結果求各直接測量量的結果xUxX yUyY zUzZ (2). 然后根據(jù)不確定度的傳遞公式求最終結果的不確定度然后根據(jù)不確定度的傳遞公式求最終結果的不確定度 222222F zyxUzfUyfUxfU(3). 將每個直接測量量的值代入函數(shù)關系式得將每個直接測量量的值代入函數(shù)關系式得f(4). 寫出最終表達式寫出最終表達

40、式FUfF 不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定例例2：已知質(zhì)量為：已知質(zhì)量為 的銅圓柱體，用的銅圓柱體，用0125mm、精度為、精度為0.02mm的游標卡尺測得其高度的游標卡尺測得其高度hh(mm)為：為：80.38，80.36，80.36，80.38，80.36，80.38；用一級用一級025mm千分尺測得其直徑千分尺測得其直徑dd(mm)為：為：19.465，19.466，19.465，19.464，19.467，19.466。求該銅柱體的密度求該銅柱體的密度。gm)05. 004.213( 解：解：求高度的求高度的算術平均算術平均值及不確定度值及不確定度mmhhii370.

41、806161 不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定mmhsiih0089. 016)37.80(612 A A類不確定度類不確定度mmstUhA0093. 060089. 057. 26)95. 0(5 57. 2064. 15406. 2959. 1)95. 0(5 t游標卡尺的示值誤差為游標卡尺的示值誤差為0.02mm,即即h的的B類不確定度為：類不確定度為： B B類不確定度類不確定度mmUIB02. 0 h的的擴展擴展不確定度為：不確定度為：22BAUUU mm022. 0 得到得到h的最終結果的最終結果mmh)022. 0370.80( 不確定度與測量結果的評定不確定度與

42、測量結果的評定求直徑的算術平均求直徑的算術平均值值及不確定度及不確定度 mmddii4655.196161 mmdsiih00105. 016)4655.19(612 d的的A類不確定度類不確定度為：為：mmstUdA0011. 0600105. 057. 26)95. 0(5 一級千分尺的儀器誤差限為一級千分尺的儀器誤差限為0.005mm，則，則d的的B類不確定度類不確定度為：為：mmUIB005. 0 d的的擴展擴展不確定度為：不確定度為：22BAdUUU mm005. 0 得到得到d的最終結果的最終結果mmh)005. 0466.19( 不確定度與測量結果的評定不確定度與測量結果的評定求

43、密度及其不確定度求密度及其不確定度相對不確定度相對不確定度：322/0089068. 037.80466.1904.21344mmghdm 3/9068. 8cmg %063. 010276. 624222 hUdUmUUEhdmp 34/006. 00056. 09068. 8103 . 6cmgEU 最終結果為最終結果為3/)006. 0907. 8(cmg 第三章第三章 常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法一、列表法一、列表法 實驗的數(shù)據(jù)處理實驗的數(shù)據(jù)處理不單純是數(shù)學運算，而是要以一定的物理不單純是數(shù)學運算，而是要以一定的物理模型為基礎，以一定的物理條件為依據(jù)

44、，模型為基礎，以一定的物理條件為依據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理、通過對數(shù)據(jù)的整理、分析和歸納計算，得出明確的實驗結論。分析和歸納計算，得出明確的實驗結論。常用方法常用方法二、作圖法二、作圖法三、逐差法三、逐差法四、線性回歸（擬合）四、線性回歸（擬合）常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法一、列表法一、列表法- 記錄和處理數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)列成表格記錄和處理數(shù)據(jù)時，把數(shù)據(jù)列成表格表表1 1 伏安法測電阻伏安法測電阻在表格上方中間寫在表格上方中間寫表的內(nèi)容（表名）表的內(nèi)容（表名）寫明表中各寫明表中各（不許（不許寫在各數(shù)字后）寫在各數(shù)字后）數(shù)據(jù)要忠實原始測量結數(shù)據(jù)要忠實原始測量結果，注意果，注意，伏特計：伏特計：1.

45、01.0級，量程級，量程15V15V，內(nèi)阻，內(nèi)阻15K15K毫安計：毫安計：1.01.0級，量程級，量程20mA20mA，內(nèi)阻，內(nèi)阻1.21.2注明測量儀器的型號、注明測量儀器的型號、量程、級別；環(huán)境參量程、級別；環(huán)境參數(shù)、常量等數(shù)、常量等測量次數(shù)測量次數(shù)n n1 12 23 34 45 56 67 78 89 9電壓電壓U(v)U(v)1.00 1.00 2.00 2.00 3.00 3.00 4.00 4.00 5.00 5.00 6.00 6.00 7.00 7.00 8.00 8.00 9.00 9.00 電流電流I(mA)I(mA)2.00 2.00 4.01 4.01 6.05 6

46、.05 7.85 7.85 9.70 9.70 11.83 11.83 13.75 13.75 16.02 16.02 17.86 17.86 電阻電阻R=U/I(R=U/I() )500500499499496496510510515515507507509509499499504504常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法二、作圖法二、作圖法-將數(shù)據(jù)之間的關系或其變化情況用圖線直觀地表示出來將數(shù)據(jù)之間的關系或其變化情況用圖線直觀地表示出來優(yōu)點：優(yōu)點：形象直觀、簡單方便形象直觀、簡單方便，可直觀的反應，可直觀的反應物理量之間的變化規(guī)律物理量之間的變化規(guī)律缺點：缺點：三個三個及其及其以上的變量不適用

47、以上的變量不適用；繪圖時易；繪圖時易引入人為誤差引入人為誤差。作圖步驟作圖步驟 ： 選用合適的坐標紙選用合適的坐標紙 坐標軸的比例與標度坐標軸的比例與標度 標實驗點（描點）標實驗點（描點） 連圖線（擬合線）連圖線（擬合線）(5) 注解說明注解說明U/vI/mA2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000I-U關系圖關系圖實驗者：實驗者：實驗日期實驗日期常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法作圖的基本規(guī)范作圖的基本規(guī)范 坐標紙的大小和坐標坐標紙的大小和坐標軸的比例選取要合適軸的比例選取要合適,坐坐標軸均勻分度標軸均勻分度,標明數(shù)值。標明數(shù)值。 用箭頭標出坐標軸的用箭頭標出坐

48、標軸的方向方向,標明物理量及單位標明物理量及單位.， 要使圖線比較對稱地要使圖線比較對稱地充滿整張圖紙充滿整張圖紙, 坐標軸的坐標軸的 起點不一定是零點起點不一定是零點;U/vI/mA2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000定容氣體壓強溫度曲線定容氣體壓強溫度曲線常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法作圖的基本規(guī)范作圖的基本規(guī)范圖紙使用不當圖紙使用不當。實際。實際作圖時，坐標作圖時，坐標原點的原點的讀數(shù)讀數(shù)可以可以不從不從零零開始。開始。1.20001.60000.80000.4000P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040

49、.0020.00150.00 160.001.20001.60000.80000.4000P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00150.00 160.001.15001.20001.10001.0500P(105Pa)t()60.00140.00100.00 120.0080.0040.0020.00150.00 160.001.0000常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法作圖的基本規(guī)范作圖的基本規(guī)范f/kHz/kHzU/v/v0.6001.0001.4001.8002.2001.002.003.004.00R-C串聯(lián)電路電容元件幅頻關

50、系串聯(lián)電路電容元件幅頻關系描點時描點時以以“+”、“”、 “ ”、 “ ”等符號標出實等符號標出實驗點，測量驗點，測量數(shù)據(jù)落在所標符號數(shù)據(jù)落在所標符號的中心的中心，大小適中。，大小適中。禁止用禁止用“ ”曲線太粗，不均勻，不光滑，曲線太粗，不均勻，不光滑，直接連點；直接連點；應該用直尺、曲線板等工具把應該用直尺、曲線板等工具把實驗點實驗點連成光滑、均勻的細實連成光滑、均勻的細實線線。使各數(shù)據(jù)點對于所連成的。使各數(shù)據(jù)點對于所連成的圖線有圖線有對稱對稱的分布的分布如果作校準曲線，則要通過校如果作校準曲線，則要通過校準點連成折線準點連成折線2.004.006.008.00常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理

51、方法作圖的基本規(guī)范作圖的基本規(guī)范U/v1.002.003.005.0010.0015.0020.000I-U關系圖關系圖橫軸坐標分度選取不當。橫軸坐標分度選取不當。橫軸以橫軸以3 cm 代表代表1 V，使使作圖和讀圖都作圖和讀圖都很困難很困難。原則上，原則上，可根據(jù)情況選擇可根據(jù)情況選擇這一位的這一位的“1”、“2” 、“5” 或或10的整數(shù)次冪的整數(shù)次冪倍倍; 應應既滿足有效數(shù)字的要求又既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，便于作圖和讀圖，I/mA常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法作圖的基本規(guī)范作圖的基本規(guī)范U/vI/mA2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000

52、I-U關系圖關系圖一條實驗曲線用同一一條實驗曲線用同一種符號，當同一圖中種符號，當同一圖中有多條曲線是，描點有多條曲線是，描點應有區(qū)分，并標明每應有區(qū)分，并標明每條曲線的名稱條曲線的名稱R1R2常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法作圖法處理實驗數(shù)據(jù)：通過求直線的斜率和截距求相關的間接物理量作圖法處理實驗數(shù)據(jù)：通過求直線的斜率和截距求相關的間接物理量 (y=a+bx)yx2.004.006.008.005.0010.0015.0020.000XXXXXX1、在圖線上、在圖線上任取兩相距較遠任取兩相距較遠的的非實驗點非實驗點,用不同于實驗點的符用不同于實驗點的符號表明號表明.2、讀兩點坐標、讀兩點坐標

53、(8.69,17.25)(1.40,2.90),畫直角三角形畫直角三角形1212xxyyb 94. 140. 169. 890. 225.17 3.3.直線延長線與縱坐標軸的交直線延長線與縱坐標軸的交點的縱坐標數(shù)值，即為直線的點的縱坐標數(shù)值，即為直線的截距截距( )( )ayx , 0在物理實驗的坐標系中，縱坐標和橫坐標代表不同的物理量，分度值與在物理實驗的坐標系中，縱坐標和橫坐標代表不同的物理量，分度值與空間坐標不同，所以空間坐標不同，所以。常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法作圖及作圖法處理實驗數(shù)據(jù)作圖及作圖法處理實驗數(shù)據(jù)要用要用鉛筆作圖鉛筆作圖，以便作必要的修改有關的計算，以便作必要的修改有

54、關的計算不要不要寫在圖紙上要寫在圖紙上要保保持圖面的整潔、清晰和美觀持圖面的整潔、清晰和美觀寫上實驗者姓名、實驗日期，將圖紙與實驗報告訂在一起寫上實驗者姓名、實驗日期，將圖紙與實驗報告訂在一起作圖作圖一定要用坐標紙一定要用坐標紙因為我們作圖的目的不僅是定性的觀察，還要進行因為我們作圖的目的不僅是定性的觀察，還要進行定量的計算定量的計算,求出有關的結果不用坐標紙，就不能保證結果的準確程度求出有關的結果不用坐標紙，就不能保證結果的準確程度作圖法處理數(shù)據(jù)時，在圖上要作圖法處理數(shù)據(jù)時，在圖上要保留保留必要的必要的作圖痕跡作圖痕跡若已知圖線不是直線，可利若已知圖線不是直線，可利常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處

55、理方法三、逐差法三、逐差法 有一長為有一長為x0的彈簧，逐次在其下端加掛質(zhì)量為的彈簧，逐次在其下端加掛質(zhì)量為m的砝碼，共的砝碼，共加加7次，測出其對應長度分別為次，測出其對應長度分別為x1，x2，x7。求每增加單位砝。求每增加單位砝碼，彈簧的伸長量碼，彈簧的伸長量 x。)()()(71671201xxxxxxmx )(7107xxm 常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法 432144141xxxxxxii 常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法數(shù)據(jù)是偶數(shù)對。數(shù)據(jù)是偶數(shù)對。bxay 常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法四、直線擬合方法四、直線擬合方法(根據(jù)實驗數(shù)據(jù)用函數(shù)解析形式求出經(jīng)驗公式）根據(jù)實驗數(shù)據(jù)用函數(shù)

56、解析形式求出經(jīng)驗公式） 函數(shù)關系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知的，確定系數(shù)；函數(shù)關系已經(jīng)確定，但式中的系數(shù)是未知的，確定系數(shù)； y和和x之間的函數(shù)關系未知，尋找出它們之間的函數(shù)關系式。之間的函數(shù)關系未知，尋找出它們之間的函數(shù)關系式。直線擬合方法的適用條件：直線擬合方法的適用條件：1. 系統(tǒng)誤差已經(jīng)修正系統(tǒng)誤差已經(jīng)修正2. 粗大誤差（異常值）已經(jīng)剔除粗大誤差（異常值）已經(jīng)剔除3. n次測量條件相同（即為等精度測量）次測量條件相同（即為等精度測量）常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法直線擬合方法解題思路直線擬合方法解題思路已知兩個物理量已知兩個物理量x和和y成較嚴格的直線關系時，成較嚴格的直線關系時，由

57、于誤差普遍存在，需由于誤差普遍存在，需在合理的范圍內(nèi)測量在合理的范圍內(nèi)測量n組散布開的數(shù)據(jù)，組散布開的數(shù)據(jù)，通常使通常使n7，然后再直線擬合，然后再直線擬合把測量精度較高的物理量作為自變量把測量精度較高的物理量作為自變量bxay 再求出直線斜率、截距的再求出直線斜率、截距的最佳估值最佳估值a、b以及與實驗以及與實驗目的有關的其它參量目的有關的其它參量.這一求解過程稱為直線回歸，也稱擬合這一求解過程稱為直線回歸，也稱擬合 , . , . ,2121 nnyyyxxxn 個數(shù)據(jù)對個數(shù)據(jù)對 常常常常先測量先測量n組組值值(xi , yi),若若a、b為最佳值，則有為最佳值，則有iibxay 1. 殘

58、差與最小二乘法殘差與最小二乘法)(iiiyy 最小二乘法最小二乘法（method of least squares），簡稱），簡稱MLS它是它是一種根據(jù)實驗數(shù)據(jù)求未知量一種根據(jù)實驗數(shù)據(jù)求未知量“最佳最佳”估值的方法，其原理估值的方法，其原理可表述為：使（等精密度的因變量）可表述為：使（等精密度的因變量）yi的殘差平方和的殘差平方和（residual sum of square）或標準差的平方為極小值殘差）或標準差的平方為極小值殘差平方和最小平方和最小常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法殘差殘差是測量列中某一測得值是測量列中某一測得值yi與該測量列的算術平均值之與該測量列的算術平均值之差更一般的定義

59、為與其（最佳）估計值差更一般的定義為與其（最佳）估計值 之差，記作之差，記作iy niiiiyyvRSS122)(iibxay min)(12 niiibxay常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法2. 截距為零直線的截距為零直線的MLS擬合擬合儀表、傳感器檢定時回歸直線常常必須過坐標原點，截距應儀表、傳感器檢定時回歸直線常常必須過坐標原點，截距應為零為零bxy 2)(iibxyRSS 求最小值求最小值0)(2dd iiibxyxbRSS0dd22 bRSS 2iiixyxbb代入代入min RSS因變量標準差因變量標準差sy和斜率的標準差和斜率的標準差sb分別為：分別為：vbxysiiy 2)(

60、2iybxss1 nv常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法3. 一般直線的一般直線的MLS擬合擬合一般直線一般直線 的的MLS擬合，判據(jù)是使擬合，判據(jù)是使yi的殘差平方和的殘差平方和最小，相近于各測量點到回歸直線距離平方和最小最小，相近于各測量點到回歸直線距離平方和最小 bxay2)( iibxayRSS殘差殘差求極小值求極小值0)(21 niiibxayaRSS0)(21 iniiixbxaybRSS022 aRSS022 bRSS0 xbay02 xbxaxy常用數(shù)據(jù)處理方法常用數(shù)據(jù)處理方法方程的解方程的解22)(xxyxyxb xbya niixnx11 niiyny11 niixnx122