高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第40講)簡單的線性規(guī)劃及實際應(yīng)用

1、題目 第七章直線和圓的方程簡單的線性規(guī)劃及實際應(yīng)用高考要求 1了解二元一次不等式表示平面區(qū)域 2了解線性規(guī)劃的意義并會簡單的應(yīng)用 知識點歸納1二元一次不等式表示平面區(qū)域:在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點P（x0，y0）B0時，Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的上方；Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的下方對于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)當(dāng)B0時，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域2線性規(guī)劃:求

2、線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；（2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答

3、案題型講解 例1 求不等式x1+y12表示的平面區(qū)域的面積分析：依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積解：x1+y12可化為或或或其平面區(qū)域如圖面積S=×4×4=8點評：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界例2 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h（4v20）從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h（30w100）自B港向距300 km的C市駛?cè)?yīng)該在同一天下午4至9點到達(dá)C市設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h（1）作圖表示滿足上述條件的x、y范圍；（2）如果已知所需的經(jīng)費p=100+3×（5

4、x）+2×（8y）（元），那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟(jì)?此時需花費多少元?分析：由p=100+3×（5x）+2×（8y）可知影響花費的是3x+2y的取值范圍解：（1）依題意得v=，w=，4v20，30w1003x10，y 由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應(yīng)在9至14個小時之間，即9x+y14 因此，滿足的點（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界） （2）p=100+3·（5x）+2·（8y），3x+2y=131p設(shè)131p=k，那么當(dāng)k最大時，p最小在通過圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為的直線3x+2y=k中，使k值最大的直

5、線必通過點（10，4），即當(dāng)x=10，y=4時，p最小此時，v=125，w=30，p的最小值為93元點評：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達(dá)約束條件的不等式然后分析要求量的幾何意義例3 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?分析：弄清題意，明確與運輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其

6、整數(shù)最優(yōu)解解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費為z元，那么z=252x+160y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖 作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小觀察圖形，可見當(dāng)直線252x+160y=t經(jīng)過點（2，5）時，滿足上述要求此時，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時，zmin=252×2+160×5=1304答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低點評：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系f（x，y）=t的

7、斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點法”先作出可行域中的各整點例4 設(shè)，式中變量滿足條件 求的最大值和最小值解：由已知，變量滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，因此所表示的區(qū)域為如圖中的四邊形ABCD 當(dāng)過點C時，取最小值，當(dāng)過點A時，取最大值即當(dāng)時，當(dāng)時，例5 某糖果公司得一條流水線不論生產(chǎn)與否每天都要支付3000元的固定費用，它生產(chǎn)1千克糖果的成本是10元，而銷售價是每千克15元，試問：每天應(yīng)生產(chǎn)并銷售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈虧平衡點是多少？解：設(shè)生產(chǎn)千克的糖果的成本函數(shù)為，銷售千克的糖果的收益函數(shù)為，在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像，交點的橫坐標(biāo)就是反映盈虧平衡的產(chǎn)銷量

8、，令，得，即每天必須生產(chǎn)并銷售600千克糖果，這條流水線才能做到盈虧平衡，從圖中可以看出，當(dāng)時，表示有盈利，反之則表示虧本例6 某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180m，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18，可住游客5名，每名游客每天住宿費為40元，小房間每間面積為15，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元，裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他們只能籌8000元用于裝修，且游客能住滿客房，它應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲最大利益？ 解：設(shè)應(yīng)隔出大房間間和小房間間，則且，目標(biāo)函數(shù)為，作出約束條件可行域：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，作出一組平行線當(dāng)此線經(jīng)過直線和直線的

9、交點，此直線方程為，由于不是整數(shù)，所以經(jīng)過整點（3，8）時，才是他們的最優(yōu)解，同時經(jīng)過整點(0,12)也是最優(yōu)解即應(yīng)隔大房間3間，小房間8間，或者隔大房間0間，小房間12間，所獲利益最大如果考慮到不同客人的需要，應(yīng)隔大房間3間，小房間8間小結(jié)：簡單的線性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務(wù)；或是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一

10、步一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉平面區(qū)域第二是畫好線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確通常最優(yōu)解在可行域的頂點（即邊界線的交點）處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標(biāo)的近似值它應(yīng)是目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐標(biāo)學(xué)生練習(xí) 1下列命題中正確的是A點（0，0）在區(qū)域x+y0內(nèi) B點（0，0）在區(qū)域x+y+1<0內(nèi)C點（1，0）在區(qū)域y>2x內(nèi) D點（0，1）在區(qū)域xy+1>0內(nèi)解析：將（0，0）代入x+y0，成立答案：A2設(shè)動點坐標(biāo)（x，y）滿足（xy+1）（x+y4）0，x3

11、，則x2+y2的最小值為A B C D10解析：數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10答案：D3不等式組 2xy+10，x2y10， x+y1表示的平面區(qū)域為A 在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域 B等腰三角形及其內(nèi)部C 不包含第一象限內(nèi)的點的一個有界區(qū)域 D正三角形及其內(nèi)部答案：B4點（2，t）在直線2x3y+6=0的上方，則t的取值范圍是_解析：（2，t）在2x3y+6=0的上方，則2×（2）3t+60，解得t 答案：t5不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點）共有_個解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3個 答案：36（x1）2+（y1）2

12、=1是x1+y11的_條件A充分而不必要 B必要而不充分C充分且必要 D既不充分也不必要答案：B7（x+2y+1）（xy+4）0表示的平面區(qū)域為A B C D答案：B8畫出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）為頂點的ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標(biāo)函數(shù)z=3x2y的最大值和最小值分析：本例含三個問題：畫指定區(qū)域；寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式不等式組；求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值解：如圖，連結(jié)點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求ABC區(qū)域直線AB的方程為x+2y1=0，BC及CA的直線方程分別為xy+2=

13、0，2x+y5=0在ABC內(nèi)取一點P（1，1），分別代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y1>0，xy+2>0，2x+y5<0因此所求區(qū)域的不等式組為x+2y10，xy+20，2x+y50作平行于直線3x2y=0的直線系3x2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y=xt過A（3，1）時，縱截距t最小此時t最大，tmax=3×32× （1）=11；當(dāng)直線y=xt經(jīng)過點B（1，1）時，縱截距t最大，此時t有最小值為tmin= 3×（1）2×1=5因此，函數(shù)z=3x2y在約束條件x+2y10，xy+20，2x+y

14、50下的最大值為11，最小值為59某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價05元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價04元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費用最少?解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克），所需費用為S=05x+04y，且x、y滿足6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由圖可知，直線y=x+S過A（，）時，縱截距S最小，即S最小故每盒盒飯為面食百克，米食百克時既科學(xué)又費用最少10配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A

15、種藥需甲料3 mg，乙料5 mg；配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料4 mg今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法?解：設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑（x、yN），則x1，y1，3x+5y20，5x+4y25上述不等式組的解集是以直線x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域，這個區(qū)域內(nèi)的整點為（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法11某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有

16、多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資 金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）空調(diào)機洗衣機成 本3020300勞動力（工資）510110單位利潤68試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少?解：設(shè)空調(diào)機、洗衣機的月供應(yīng)量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，由題意有30x+20y300，5x+10y110，x0，y0，x、y均為整數(shù)由圖知直線y=x+P過M（4，9）時，縱截距最大這時P也取最大值Pmax=6&