高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第75講)函數(shù)的極限與連續(xù)性

1、題目 (選修)第二章極限函數(shù)的極限與連續(xù)性高考要求 1了解函數(shù)極限的概念 2掌握極限的四則運(yùn)算法則；會求某些數(shù)列與函數(shù)的極限 3了解函數(shù)連續(xù)的意義，4理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì) 知識點(diǎn)歸納 1函數(shù)極限的定義:(1)當(dāng)自變量x取正值并且無限增大時(shí)，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說當(dāng)x趨向于正無窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a記作：f(x)=a，或者當(dāng)x+時(shí)，f(x)a(2)當(dāng)自變量x取負(fù)值并且絕對值無限增大時(shí)，如果函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說當(dāng)x趨向于負(fù)無窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a記作f(x)=a或者當(dāng)x時(shí)，f(x)a(3)如果f(x)=a且f(x)=a，那

2、么就說當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a，記作：f(x)=a或者當(dāng)x時(shí)，f(x)a2常數(shù)函數(shù)f(x)=c(xR)，有f(x)=cf(x)存在，表示f(x)和f(x)都存在，且兩者相等所以f(x)中的既有+，又有的意義，而數(shù)列極限an中的僅有+的意義 3 趨向于定值的函數(shù)極限概念：當(dāng)自變量無限趨近于（）時(shí)，如果函數(shù)無限趨近于一個(gè)常數(shù)，就說當(dāng)趨向時(shí)，函數(shù)的極限是，記作特別地，； 4 其中表示當(dāng)從左側(cè)趨近于時(shí)的左極限，表示當(dāng)從右側(cè)趨近于時(shí)的右極限 5 對于函數(shù)極限有如下的運(yùn)算法則：如果，那么, 當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時(shí):,這些法則對于的情況仍然適用 6 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義: 如果函數(shù)f(x

3、)在點(diǎn)x=x0處有定義，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)7函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)的定義：如果函數(shù)f(x)在某一開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，就說函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，或f(x)是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)8函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)的定義：如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，在左端點(diǎn)x=a處有f(x)=f(a)，在右端點(diǎn)x=b處有f(x)=f(b),就說函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù),或f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)9最大值f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意xa，b，f(x1)f(x)，那么f(x)在點(diǎn)x

4、1處有最大值f(x1)10最小值f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，如果對于任意xa，b，f(x2)f(x)，那么f(x)在點(diǎn)x2處有最小值f(x2)11最大值最小值定理如果f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間a，b上有最大值和最小值 12極限問題的基本類型：分式型，主要看分子和分母的首項(xiàng)系數(shù)；指數(shù)型(型），通過變形使得各式有極限；根式型(型)，通過有理化變形使得各式有極限；題型講解 例1 求下列各極限：（1） （；（2）（x）；（3） ；（4） 分析：若f （x）在x0處連續(xù)，則應(yīng)有f （x）=f （x0）,故求f （x）在連續(xù)點(diǎn)x0處的極限時(shí)，只需求f （x0）即可；若

5、f （x）在x0處不連續(xù)，可通過變形，消去xx0因式，轉(zhuǎn)化成可直接求f（x0）的式子解:（1）原式=（2）原式=a+b（3）因?yàn)?1,而=1，,所以不存在（4）原式=（cos+sin）例2 （1）設(shè)f（x）=;（2）f （x）為多項(xiàng)式,且=1,=5,求f（x）的表達(dá)式解:（1） f （x）= （2x+b）=b,f（x）= （1+2x）=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=2時(shí), f （x）= f （x）,故b=2時(shí),原極限存在（2）由于f（x）是多項(xiàng)式,且=1,可設(shè)f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b為待定系數(shù)）又=5,即（4x2+x+a+）=5,a=5,b=0, 即f （x）=4x3+x2+5x點(diǎn)評:（1

6、）函數(shù)在某點(diǎn)處有極限,與其在該點(diǎn)處是否連續(xù)不同（2）初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每點(diǎn)的極限值就等于這一點(diǎn)的函數(shù)值,也就是對初等函數(shù)而言,求極限就是求函數(shù)值,使極限運(yùn)算大大簡化例3 討論函數(shù)f （x）= x （0x+）的連續(xù)性，并作出函數(shù)圖象分析:應(yīng)先求出f （x）的解析式，再判斷連續(xù)性解:當(dāng)0x1時(shí)，f （x）= x=x;當(dāng)x1時(shí)，f （x）= x=x=x;當(dāng)x=1時(shí)，f （x）=0f （x）=f（x）=（x）=1,f（x）= x=1,f（x）不存在f （x）在x=1處不連續(xù)，f （x）在定義域內(nèi)的其余點(diǎn)都連續(xù)圖象如圖所示 點(diǎn)評:分段函數(shù)討論連續(xù)性，一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限，進(jìn)而判斷連續(xù)性例

7、4 （1）討論函數(shù)f（x）=（2）討論函數(shù)f（x）=在區(qū)間0,3上的連續(xù)性分析：（1）需判斷f（x）=f（x）=f（0）（2）需判斷f（x）在（0,3）上的連續(xù)性及在x=0處右連續(xù),在x=3處左連續(xù)解:（1）f（x）=1, f（x）=1,f（x）f（x）,f（x）不存在f（x）在x=0處不連續(xù)（2）f（x）在x=3處無定義,f（x）在x=3處不連續(xù)f（x）在區(qū)間0,3上不連續(xù)例5 設(shè)f（x）=當(dāng)a為何值時(shí),函數(shù)f（x）是連續(xù)的解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當(dāng)a=1時(shí), f（x）=f（0）,即說明函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù),而在x0時(shí),f（x）顯然連續(xù),

8、于是我們可判斷當(dāng)a=1時(shí), f（x）在（,+）內(nèi)是連續(xù)的點(diǎn)評：分段函數(shù)討論連續(xù)性,一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限,進(jìn)而斷定連續(xù)性例6 求下列函數(shù)的極限：（1） （2）（3） （4）解：（1） （2） （3） （4）點(diǎn)評：有理分式函數(shù)求極限的問題，其解題依據(jù)是函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則應(yīng)用極限運(yùn)算法則必須保證該法則成立的條件，若條件不具備，則需對函數(shù)式變形！變形的基本途徑有三條：在分式極限中除以的最高次冪；在分式極限中約去可能存在的零因子；當(dāng)與均不存在時(shí)，求時(shí)，應(yīng)該對進(jìn)行運(yùn)算例7 討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性（1），點(diǎn)；（2），點(diǎn)；（3），點(diǎn)解（1）因?yàn)樵邳c(diǎn)處無定義，所以在點(diǎn)處不連續(xù)（2）因?yàn)?/p>

9、當(dāng)時(shí)，所以又時(shí)，所以所以故不存在，故在點(diǎn)處不連續(xù)（3）因?yàn)樗?，故在點(diǎn)處連續(xù)點(diǎn)評：連續(xù)性定義是判斷函數(shù)在給定點(diǎn)處是否連續(xù)的依據(jù)，也可以先作函數(shù)的圖象，再從圖象直觀上作出判斷，從直觀上看，一個(gè)函數(shù)在處連續(xù)是指這個(gè)函數(shù)的圖象在處沒有中斷在研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí)，先求在處的左右極限，再檢驗(yàn)其在處的極限是否存在；若存在，則進(jìn)一步驗(yàn)證在分段點(diǎn)處的極限值是否與分段點(diǎn)處的函數(shù)值相等換言之，判斷分段函數(shù)在其分段點(diǎn)處連續(xù)的基本依據(jù)是：例8 函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是 ，最小值是 分析：由于在閉區(qū)間上連續(xù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，取最大值點(diǎn)評：求連續(xù)函數(shù)在給定閉區(qū)間上的最大值和最小值的依據(jù)是連續(xù)函數(shù)

10、的最值定理該定理只說明了最值的存在性，在何處獲得最值，可結(jié)合函數(shù)的圖象作出判斷小結(jié)：1 f（x）=Af（x）= f（x）=A,f（x）=Af（x）=f（x）=A2函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足三個(gè)條件：（1）函數(shù)f（x）在x=x0處及其附近有定義；（2）f（x）存在；（3） f（x）=f（x0）3會熟練應(yīng)用常見技巧求一些函數(shù)的極限4 在學(xué)習(xí)過程中，要弄清函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系與區(qū)別，借助于函數(shù)圖象弄清處連續(xù)性的意義5函數(shù)極限比數(shù)列極限復(fù)雜之處在于它有左、右極限，并有趨近于無窮大和趨近于常數(shù)兩類，需給予關(guān)注6在求函數(shù)極限時(shí)，需觀察，對不能直接求的可以化簡后求，但要注意類似于與的區(qū)別學(xué)生練

11、習(xí) 1f（x）=f（x）=a是f（x）在x0處存在極限的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案:C2f（x）=下列結(jié)論正確的是A=f（x） B=2，不存在C f （x）f （x） D f （x）=0, 不存在答案: C3函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)是f（x）在點(diǎn)x0處有極限的A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案:A4已知函數(shù)f (x)是偶函數(shù),且f (x)=a,則下列結(jié)論一定正確的是A f (x)=a B f （x）=aC f (x)=|a| D f（x）=|a|解析：f （x）是偶函數(shù),f （x）=f（x）又f （x）=a,

12、f（x）=a, f （x）=f （x）,f（x）= f （x）=a答案：B5等于A B1 C D解析:=答案:A6f（x）在x=x0處連續(xù)是f（x）在x=x0處有定義的_條件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0處有定義不一定連續(xù)答案：A7f（x）=的不連續(xù)點(diǎn)為Ax=0Bx=（k=0,1,2,）Cx=0和x=2k（k=0,1,2,）Dx=0和x=（k=0,1,2,）解析：由cos=0,得=k+（kZ）,x=又x=0也不是連續(xù)點(diǎn),故選D答案：D8函數(shù)f（x）=則有Af（x）在x=1處不連續(xù) Bf（x）在x=2處不連續(xù)Cf（x）在x=1和x=2處不連續(xù) Df（

13、x）處處連續(xù)解析：f（x）=0, f（x）=1,f（x）在x=1處不連續(xù)答案：A9若f（x）在定義域a,b上有定義,則在該區(qū)間上A一定連續(xù) B一定不連續(xù) C可能連續(xù)也可能不連續(xù) D以上均不正確解析：有定義不一定連續(xù)答案：C10 =_解析: =3答案:311若=2,則a=_解析: =2,=2a=4答案:412已知函數(shù)y=f （x）在點(diǎn)x=x0處存在極限,且f （x）=a22,f （x）=2a+1,則函數(shù)y=f （x）在點(diǎn)x=x0處的極限是_解析:y=f（x）在x=x0處存在極限,f（x）=f（x）,即a22=2a+1a=1或a=3f （x）=2a+1=1或7答案:1或713若f （x）=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則f （0）=_解析:f（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，f （0）=f （x）,f （x）= = =答案:14四個(gè)函數(shù):f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d其中在x=0處連續(xù)的函數(shù)是_（把你認(rèn)為正確的代號都填上）答案：15求y=f（x）=的不連續(xù)點(diǎn)解：易求f（x）的定義域?yàn)閤|x1,0,1,所以f（x）的不連續(xù)點(diǎn)為x=