高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第25講)三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用

1、題目 第四章三角函數(shù)三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用高考要求 1掌握求三角函數(shù)最值的常用方法：配方法（主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性）；化為一個(gè)角的三角函數(shù)（主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性）；數(shù)形結(jié)合法（常用到直線的斜率關(guān)系）；換元法（如萬能公式，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題）；基本不等式法等2三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)中所給出的區(qū)間（1）求三角函數(shù)最值時(shí)，一般要進(jìn)行一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及弦函數(shù)的有界性（2）含參數(shù)函數(shù)的最值問題，要注意參數(shù)的作用和影響知識(shí)點(diǎn)歸納 1y=asinx+bcosx型函數(shù)最值的求法：常轉(zhuǎn)化為y= sin（x+）

2、2y=asin2x+bsinx+c型常通過換元法轉(zhuǎn)化為y=at2+bt+c型：3y=型（1）當(dāng)時(shí)，將分母與乘轉(zhuǎn)化變形為sin（x+）型（2）轉(zhuǎn)化為直線的斜率求解（特別是定義域不是R時(shí)，必須這樣作）4同角的正弦余弦的和差與積的轉(zhuǎn)換：同一問題中出現(xiàn)，求它們的范圍，一般是令或或，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)來解決5已知正切值，求正弦、余弦的齊次式的值：如已知，求的值，一般是將不包括常數(shù)項(xiàng)的式子的分母1用代換，然后分子分母同時(shí)除以化為關(guān)于的表達(dá)式6幾個(gè)重要的三角變換：sin cos 可湊倍角公式； 1±cos 可用升次公式；1±sin 可化為，再用升次公式；或（其中 ）這一公式應(yīng)用廣泛，熟

3、練掌握7 單位圓中的三角函數(shù)線:三角函數(shù)線是三角函數(shù)值的幾何表示，四種三角函數(shù)y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的圖象都是“平移”單位圓中的三角函數(shù)線得到的8 三角函數(shù)的圖象的掌握體現(xiàn)：把握?qǐng)D象的主要特征（頂點(diǎn)、零點(diǎn)、中心、對(duì)稱軸、單調(diào)性、漸近線等）；應(yīng)當(dāng)熟練掌握用“五點(diǎn)法”作圖的基本原理以及快速、準(zhǔn)確地作圖9三角函數(shù)的奇偶性 函數(shù)y = sin (x)是奇函數(shù) 函數(shù)y = sin (x)是偶函數(shù) 函數(shù)y =cos (x)是奇函數(shù) 函數(shù)y = cos (x)是偶函數(shù)10正切函數(shù)的單調(diào)性正切函數(shù)f (x) = tan x， ，在每一個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)，

4、但不能說f (x ) = tan x在其定義域上是增函數(shù)注意萬能公式的利弊：它可將各三角函數(shù)都化為的代數(shù)式，把三角式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式但往往代數(shù)運(yùn)算比較繁題型講解例1 函數(shù)y=acosx+b（a、b為常數(shù)），若7y1，求bsinx+acosx的最大值分析：函數(shù)y=acosx+b的最值與a的符號(hào)有關(guān)，故需對(duì)a分類討論解：當(dāng)a0時(shí)，a=4，b=3；這時(shí) bsinx+acosx=3sinx+4cosx=5sin（x+）5（tan=）；當(dāng)a=0時(shí)，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，a=4，b=3這時(shí)bsinx+acosx=3sinx4cosx=5sin（x+）5（tan=）綜上述，當(dāng)a=4，b=3或a=4，b=3時(shí)，bs

5、inx+acosx的最大值為5例2 求函數(shù)y=cotsinx+cotxsin2x的最值分析：先將切函數(shù)化成弦函數(shù)，再通過配方轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)的最值問題解：y=·sinx+·2sinxcosx=2（cosx+）2+sinx0，cosx±1當(dāng)cosx=時(shí)，y有最小值，無最大值點(diǎn)評(píng)：這是個(gè)基本題型，解題時(shí)要注意式中的隱含條件例3 求函數(shù)y=的最大值和最小值分析：此題的解法較多，一是利用三角函數(shù)的有界性；二是數(shù)形結(jié)合法，將y看成是兩點(diǎn)連線的斜率；三是利用萬能公式換算，轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的最值問題（由于萬能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）解法一：去分母，原式化為sinx

6、ycosx=22y，即sin（x）=故1，解得yymax=，ymin=解法二：令x1=cosx，y1=sinx，有x12+y12=1它表示單位圓，則所給函數(shù)y就是經(jīng)過定點(diǎn)P（2，2）以及該圓上的動(dòng)點(diǎn)M（cosx，sinx）的直線PM的斜率k，故只需求此直線的斜率k的最值即可由=1，得k=ymax=，ymin=評(píng)述：數(shù)形結(jié)合法是高考中必考的數(shù)學(xué)思維方法，對(duì)此要有足夠的重視例4已知函數(shù) （）求實(shí)數(shù)的值； （）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)x的值（）函數(shù) 解： 時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為12點(diǎn)評(píng)結(jié)論是歷年高考命題的熱點(diǎn)之一例5 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?5，1 ，求常數(shù)的值解： ， ， ， 當(dāng)a &

7、gt; 0時(shí)，b f ( x ) 3a + b， 解得 當(dāng)a < 0時(shí)，3a + b f ( x ) b 解得 故a、b的值為 或 點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)作為函數(shù)，其定義域和值域也是它的要素，要待定表達(dá)式中的常數(shù)值，需注意常數(shù)變化對(duì)值域的影響例6設(shè)的周期，最大值，（1）求、的值； （2）若是方程的兩根，的終邊不共線，求的值解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ， 且 ，由 、解出 (2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， 點(diǎn)評(píng)：方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法；在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的周期性例7 已知函數(shù)(1)求函數(shù)y的最大值，并求此時(shí)x的值(2)該函數(shù)的圖象

8、可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：(1)，；（2）將函數(shù)的圖象依次進(jìn)行如下變換： 把函數(shù)的圖象向左平移，得到函數(shù)的圖象； 把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象； 把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)+的圖象；綜上得函數(shù)的圖象說明：本題是2000年全國(guó)高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=

9、0時(shí)，y=1；當(dāng)cosx0時(shí)，y=+1=+1化簡(jiǎn)得 2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0,解之得：yymax=，此時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x的值集為x|x=k+,kZ例8 已知：定義在上的減函數(shù)，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立，求實(shí)數(shù)的范圍解：由題意可得 ，即 ，又 ， ， ， ， 或 點(diǎn)評(píng)：利用三角函數(shù)的值域來求解變量的取值范圍，是較為常見的解題思路，在利用單調(diào)性列出不等式時(shí)，不能忘記函數(shù)的定義域小結(jié)：1求三角函數(shù)最值的常用方法有：配方法（主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性）；化為一個(gè)角的三角函數(shù)（主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性）；數(shù)形結(jié)合法（常用到直線的斜率

10、關(guān)系）；換元法（如萬能公式，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題）；基本不等式法等2三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上取得的，因而特別要注意題設(shè)中所給出的區(qū)間（1）求三角函數(shù)最值時(shí)，一般要進(jìn)行一些代數(shù)變換和三角變換，要注意函數(shù)有意義的條件及弦函數(shù)的有界性（2）含參數(shù)函數(shù)的最值問題，要注意參數(shù)的作用和影響3注意題中的隱含條件學(xué)生練習(xí) 1若0，sin+cos=a，sin+cos=b，則Aab1Bab1 Cab1Dab1解析：a=sin（+），b=sin（+），0+，1ab，ab1答案：D2函數(shù)f（x）=cos2x+sinx在區(qū)間，上的最小值是AB C1D解析：f（x）=1sin2x+sinx=（sinx）2+當(dāng)x

11、=時(shí)，ymin=答案：D3函數(shù)y=xsinx在，上的最大值是A1B+1 CD解析：y=xsinx在，上是增函數(shù)，x=時(shí)，ymax=答案：D4y=的最大值是_，最小值是_解析一：y=1當(dāng)sinx=1時(shí)，得ymin=1，當(dāng)sinx=1時(shí)，得ymax=解析二：原式sinx=（y1）|11yymax=，ymin=1答案： ， 15y=（0x）的最小值是_解析：y可視為點(diǎn)A（sinx，cosx），B（0，2）連線的斜率kAB，而點(diǎn)A的軌跡x（0，）是單位圓在第二、三象限的部分（如右圖），易知當(dāng)A（，）時(shí)，ymin=kAB=答案：6函數(shù)y=log2（1+sinx）+log2（1sinx），當(dāng)x，時(shí)的值域?yàn)?/p>

12、A1，0 B（1，0 C0，1）D0，1解析：y=log2（1sin2x）=log2cos2x當(dāng)x=0時(shí)，ymax=log21=0；當(dāng)x=時(shí)，ymin=1值域?yàn)?，0答案：A7當(dāng)y=2cosx3sinx取得最大值時(shí)，tanx的值是ABCD4解析：y=sin（x）（其中tan=）y有最大值時(shí)，應(yīng)sin（x）=1x=2k+x=2k+tanx=tan（x）=tan（2k+）=cot=答案：B8函數(shù)y=的最大值是_，最小值是_解析：y=3，當(dāng)sinx=1時(shí)，ymax=3=；當(dāng)sinx=1時(shí)，ymin=4答案： 49在ABC中，a=sin（A+B），b=sinA+sinB，則a與b的大小關(guān)系為_解析：a

13、=sinAcosB+cosAsinBsinA+sinB=b答案：ab10已知向量=（cos，sin），向量=（，1），則|2|的最大值是_解析：2=（2cos，2sin+1），|2|=4|2|的最大值為4答案：410求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域解：設(shè)t=sinx+cosx，則t，由（sinx+cosx）2=t2sinxcosx= y=1+t+=（t+1）2ymax=（+1）2=，ymin=0 值域?yàn)?，11已知對(duì)任意x，恒有ysin2x+4sin2xcos2x，求y的最小值解：令u=sin2x+4sin2xcos2x，則u=sin2x+sin22x=（1cos2x）+（1cos22x）=cos22xcos2x+=（cos2x+）2+，得umax