隨機(jī)信號chap5

1、隨機(jī)信號分析第5章 隨機(jī)信號與線性系統(tǒng)第第5章章 隨機(jī)信號與線性系統(tǒng)隨機(jī)信號與線性系統(tǒng) 載載有各種信息的信號本質(zhì)上都是有各種信息的信號本質(zhì)上都是隨機(jī)信號隨機(jī)信號，信息的獲取、，信息的獲取、變換、傳輸與處理要應(yīng)用各種系統(tǒng)，信息與信號的處理過程變換、傳輸與處理要應(yīng)用各種系統(tǒng)，信息與信號的處理過程就是它們通過相應(yīng)系統(tǒng)的過程。就是它們通過相應(yīng)系統(tǒng)的過程。 本章討論：本章討論： 1）隨機(jī)信號通過系統(tǒng)的一些基本結(jié)論；）隨機(jī)信號通過系統(tǒng)的一些基本結(jié)論； 2）白噪聲通過系統(tǒng)）白噪聲通過系統(tǒng)低通、帶通白噪聲，等效噪聲帶低通、帶通白噪聲，等效噪聲帶寬；寬； 3）信號功率譜的一些特性：信號矩形帶寬；）信號功率譜的一

2、些特性：信號矩形帶寬； 4）噪聲中處理信號的幾種基本方法；）噪聲中處理信號的幾種基本方法； 5）平穩(wěn)序列通過離散系統(tǒng)的基本分析方法。）平穩(wěn)序列通過離散系統(tǒng)的基本分析方法。第5章 隨機(jī)信號與線性系統(tǒng)5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng) 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過LTI系統(tǒng) 5.3 信號功率譜與帶寬 5.4 噪聲中的信號處理 5.5 平穩(wěn)序列通過離散LTI系統(tǒng) 5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) ( )y t( )x t系統(tǒng)是將輸入信號系統(tǒng)是將輸入信號 變換為輸出信號變換為輸出信號 的一種映射規(guī)則。的一種映射規(guī)則。線性時(shí)不變（線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)可以用算子）系統(tǒng)可以用算子 表示為：表示為：( )( )y tL

3、 x t L它滿足：它滿足：1. 線性線性1 12 21122( )( )( )( )L a x ta x taL x ta L x t2. 時(shí)不變性時(shí)不變性()()L x ty t3. 穩(wěn)定系統(tǒng)滿足：穩(wěn)定系統(tǒng)滿足：( )h t dt 5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)i( ,)( ,)iiY tL X t( )X t5.1.1 系統(tǒng)的輸出過程系統(tǒng)的輸出過程 當(dāng)輸入信號是隨機(jī)過程時(shí)，系統(tǒng)對每一個(gè)樣本函數(shù)按規(guī)則進(jìn)當(dāng)輸入信號是隨機(jī)過程時(shí)，系統(tǒng)對每一個(gè)樣本函數(shù)按規(guī)則進(jìn)行映射，即：行映射，即： 由于由于 在（在（ 對應(yīng)的）整個(gè)樣本空間取值，使得對應(yīng)的）整個(gè)樣本空間取值，使得 是隨機(jī)函數(shù)，因此，系統(tǒng)構(gòu)

4、造出另一個(gè)隨機(jī)過程是隨機(jī)函數(shù)，因此，系統(tǒng)構(gòu)造出另一個(gè)隨機(jī)過程( ,)iY t( ,)( ,)iiY tL X t稱它為輸出過程。簡記為：稱它為輸出過程。簡記為：( )( )Y tL X t結(jié)論：結(jié)論：隨機(jī)信號經(jīng)過系統(tǒng)后，輸出仍是一個(gè)隨機(jī)信號。隨機(jī)信號經(jīng)過系統(tǒng)后，輸出仍是一個(gè)隨機(jī)信號。5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)5.1.1 系統(tǒng)的輸出過程系統(tǒng)的輸出過程 對于穩(wěn)定的對于穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，如果輸入信號的均方值系統(tǒng)，如果輸入信號的均方值 存在，那么系統(tǒng)的輸出過程可以表示為：存在，那么系統(tǒng)的輸出過程可以表示為：2()E X t5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)5.1.1 系統(tǒng)的輸出過程系統(tǒng)的輸

5、出過程5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)( )()()E Y tEXtu h u du5.1.2 輸出過程的均值和相關(guān)函數(shù)輸出過程的均值和相關(guān)函數(shù)證明：證明：()()EXtuh u du( )( )Xmth t5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)( )() ( )E Y tEX tu h u du()( )E X tuh u du證明：（證明：（1）( )Xm h u du( 0)Xm H j0( 0)( )juH jh u edu ( )h u du其中，其中，5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)1212( ,)( )( )YXRt tE Y t X t

6、12()() ( )EX tu X th u du12()()( )E X tu X th u du（2）12() ( )XRtut h u du12()( )XRttu h u du12tt( )() ( )( )( )YXXXRRu h u duRh令令12() ( )()EX tu h u duX t5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)1212(3) ( ,)( )()XYRt tE X t Y t12( )() ( )EX tX tu h u du12()( )XRttu h u du12()( )XRttuh u du12,tt令令( )() ()( )()XYXXRRv hv dv

7、Rhvu 5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)1212(4) ( ,)( ) ( )YRt tE Y t Y t12()()( ) ( )E X tu X tvh u h v dudv () ( ) ( )XRvu h u h v dudv () ( ) ( )XRvu h u du h v dv ()() ( )XRvhv h v dv12() ( )() ( )EX tu h u duX tv h v dv( )( ) * ()XRhh5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)5.1.2 輸出過程的均值和相關(guān)函數(shù)輸出過程的均值和相關(guān)函數(shù)5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)5

8、.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng) ( )( )bth teu t2| | ( )aXXRe解：解：2222( )XXaSa1()H jbj2 ( )( )()YXSSH j2222221Xaab2222222211Xabaab2| | |22211 ( )abXYaReebaab(2) ( 0)0YXmm Hj22(0)YYYRm(0)YR22()22()( ; )2Xb a b yYXb abfy te0 ( )0( , )0.5YP Y tfy t dy(3) 0Ym 2| | |22211( )abXYaReebaab2()Xb ab5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)11()( )( )1tRCH

9、jh teu tjRCRC0( )cos(2)0XmE X tE af t 解：解：200(, )cos 2()cos(2)XR tta Ef tf t20cos(2)2af 20( )cos(2),21()1XaRfHjjRC5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)5.1 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)5.2 平穩(wěn)白噪聲通過LTI系統(tǒng)5.2.1 白噪聲通過白噪聲通過LTI系統(tǒng)系統(tǒng)5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)5.2.1 白噪聲通過白噪聲通過LTI系統(tǒng)系統(tǒng)例：已知系統(tǒng)輸入為白噪聲過程X(t)，其自相關(guān)函數(shù) 系統(tǒng)為簡單的RC積分電路，(1) 求輸出電壓Y(t)的自相關(guān)

10、函數(shù)與平均功率；(2) 當(dāng)N04106W/Hz時(shí)，確定系統(tǒng)的最小時(shí)間常數(shù)T=RC，使輸出均方差不超過50mV。0( )( )2XNR -500502345678910-500500.20.30.40.50.60.70.80.91-500502345678910輸入功率譜輸入功率譜系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)輸出功率譜輸出功率譜 YS XS圖圖 RC積分電路的功率傳輸函數(shù)及輸入輸出功率譜積分電路的功率傳輸函數(shù)及輸入輸出功率譜 0002XNR 2222H 004YNR平均功率平均功率5.2.1 白噪聲通過白噪聲通過LTI系統(tǒng)系統(tǒng) 由白噪聲通過未知系統(tǒng)的輸出由白噪聲通過未知系統(tǒng)的輸出 來求解來求

11、解 的問題稱為的問題稱為系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨識。通常由。通常由 由入手，求出由入手，求出 ，但這種解具有多重，但這種解具有多重性。例如：性。例如：( )Y t( )H j()H j( )YS22111( )YSaajaj由此，可以認(rèn)為由此，可以認(rèn)為1()H jaj1()H jaj或或相應(yīng)地，相應(yīng)地，( )( )ath teu t或或( )()ath te ut 如果限定系統(tǒng)是因果的如果限定系統(tǒng)是因果的,則可以認(rèn)定系統(tǒng)為則可以認(rèn)定系統(tǒng)為( )( )ath teu t5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTI系統(tǒng)系統(tǒng)例：未知系統(tǒng)沖激響應(yīng)的估值方法 理想白噪聲過程X(t)，其自相關(guān)函數(shù)通過一個(gè)沖激響應(yīng)為h

12、(t) 的線性系統(tǒng)，求系統(tǒng)響應(yīng)與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。0( )( )2XNR 解：解：5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)由此構(gòu)建系統(tǒng)的沖激響應(yīng)由此構(gòu)建系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)的測量系統(tǒng)如下：的測量系統(tǒng)如下： X(t)測量系統(tǒng)h(t)理想可變延遲線 LPF( )YXR( )Y t()X t5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)5.2.2 低通與帶通白噪聲低通與帶通白噪聲1. 低低通白噪聲通白噪聲5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)00sinsin( )22

13、YNWN WWRW( )( )( )(0)(0)YYYYYCRCR00sin( )cYWddW011( )222WYYWNPSdd 00(0)2YN WRN BsinWW01222NWsinxdxx124WB5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)2. 帶通白噪聲帶通白噪聲5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)0000sin/2sin/2( )coscos2/2YNWN WWRW( )( )( )(0)(0)YYYYYCRCR0sin/ 2/ 2cWdW00011( )22222Y

14、YNNWPSdWN B 0sin/ 2cos/ 2WW sinxdxx12WB5.2 5.2 平穩(wěn)白噪聲通過平穩(wěn)白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)5.2 5.2 平穩(wěn)平穩(wěn)白噪聲通過白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)( )X t X n解：解： 以以1/2B間隔采樣后得到的序列間隔采樣后得到的序列 的均值為：的均值為： 因此，因此，Xn是平穩(wěn)白噪聲序列，并且是高斯的，因而也是獨(dú)是平穩(wěn)白噪聲序列，并且是高斯的，因而也是獨(dú)立序列。它的均值為立序列。它的均值為0，方差為，方差為 。0N B5.2 5.2 平穩(wěn)平穩(wěn)白噪聲通過白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng) X n的的5.2 5.2 平穩(wěn)平穩(wěn)白噪聲通過白噪聲通過L

15、TILTI系統(tǒng)系統(tǒng)5.2.3 系統(tǒng)的等效噪聲帶寬 對一般的系統(tǒng)對一般的系統(tǒng)h(t)，常常需要簡便快速地計(jì)算白噪聲通過它，常常需要簡便快速地計(jì)算白噪聲通過它之后的輸出功率之后的輸出功率 。YP5.2 5.2 平穩(wěn)平穩(wěn)白噪聲通過白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)2001( )()22YYNPSdH jd 5.2.3 系統(tǒng)的等效噪聲帶寬5.2 5.2 平穩(wěn)平穩(wěn)白噪聲通過白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)解解:白噪聲通過高斯型帶通系統(tǒng))(H0K00222002()|( )|exp2HK5.2平穩(wěn)白噪聲通過LTI系統(tǒng)輸出功率譜：22020020)(exp)()(KNHNFY相關(guān)函數(shù)：04200cos2)(22e

16、KNRY輸出功率：2) 0(2002KNRYY0040cos22de相關(guān)時(shí)間：04cos)(22erY相關(guān)系數(shù)：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3高斯型帶通隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù) 5.2 5.2 平穩(wěn)平穩(wěn)白噪聲通過白噪聲通過LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)5.3 5.3 信號功率譜與帶寬信號功率譜與帶寬5.3.1 功率譜的物理含義功率譜的物理含義構(gòu)造如下的理想窄帶系統(tǒng)構(gòu)造如下的理想窄帶系統(tǒng)在輸入為在輸入為 時(shí)，該系統(tǒng)的輸出的功率譜為：時(shí)，該系統(tǒng)的輸出的功率譜為：( )X t00001, (/2,/2)()0, (/2,/2)H j0000( ), (/2,/

17、2)( )0, (/2,/2)XYSS5.3 5.3 信號功率譜與帶寬信號功率譜與帶寬5.3.1 功率譜的物理含義功率譜的物理含義假定假定 足夠小，則輸出功率為足夠小，則輸出功率為00/ 220/ 2()1( )()022XXSE YtSd 結(jié)論：結(jié)論：2( )0E Yt ，所以，所以5.3 5.3 信號功率譜與帶寬信號功率譜與帶寬1212( ,)( )()UVRt tE U t V t1122( )()ELX tLX t( )X t解解: 若若 和和 是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的，則是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的，則 和和 也也是聯(lián)合廣義是聯(lián)合廣義平穩(wěn)的，則有：平穩(wěn)的，則有：( )Y t( )U t( )V t222

18、( )( )V tL Y t 結(jié)論結(jié)論：（1 1）正交或無關(guān)的平穩(wěn)信號分別經(jīng)過）正交或無關(guān)的平穩(wěn)信號分別經(jīng)過LTILTI系統(tǒng)后仍是正交或無關(guān)的；（系統(tǒng)后仍是正交或無關(guān)的；（2 2）平穩(wěn)信號）平穩(wěn)信號的不同頻帶內(nèi)的分量部是彼此正交且無關(guān)的。的不同頻帶內(nèi)的分量部是彼此正交且無關(guān)的。5.3 5.3 信號功率譜與帶寬信號功率譜與帶寬5.3.2 5.3.2 隨機(jī)信號的帶寬隨機(jī)信號的帶寬1.（矩形）等效帶寬（矩形）等效帶寬5.3 5.3 信號功率譜與帶寬信號功率譜與帶寬2. 均方根帶寬均方根帶寬5.3.2 5.3.2 隨機(jī)信號的帶寬隨機(jī)信號的帶寬5.3 5.3 信號功率譜與帶寬信號功率譜與帶寬解解:5.4

19、 5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理n平滑n維納濾波器n匹配濾波器信號平滑實(shí)例5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理形成隨機(jī)信號形成隨機(jī)信號5.4.1 5.4.1 平滑平滑這一這一當(dāng)接收到當(dāng)接收到 后，希望從中盡量恢復(fù)出后，希望從中盡量恢復(fù)出 。為此。為此，如下圖所示：如下圖所示：5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理 ( )X t是非平穩(wěn)的，它通過系統(tǒng)后的輸出為：是非平穩(wěn)的，它通過系統(tǒng)后的輸出為：式中：式中：是確定的，是確定的，是隨機(jī)的。是隨機(jī)的。5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理5.4.1 5.4.1 平滑平滑5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理( )s t( )N t

20、5.4.1 平滑平滑 常見信號常見信號 的頻譜與噪聲的頻譜與噪聲 的功率譜如下圖所示。的功率譜如下圖所示。在信號盡量完整通過的情況下，最大限度地濾除噪聲。在信號盡量完整通過的情況下，最大限度地濾除噪聲。5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理1( )( )2tTtTY tX t dtT5.4.1 平滑平滑實(shí)際應(yīng)用中實(shí)施平滑的一種簡單方法是采用積分器，使實(shí)際應(yīng)用中實(shí)施平滑的一種簡單方法是采用積分器，使其沖激響應(yīng)與頻率響應(yīng)分別如圖所示：其沖激響應(yīng)與頻率響應(yīng)分別如圖所示： 顯然，顯然，T 值很小時(shí)，值很小時(shí)， 相對于相對于 的畸變較小，但輸出中的畸變較小，但輸出中的噪聲很多，要根據(jù)信號頻譜的具體情況

21、合適地選擇的噪聲很多，要根據(jù)信號頻譜的具體情況合適地選擇T，在使信號，在使信號充分通過的前提下應(yīng)該盡量使充分通過的前提下應(yīng)該盡量使 T 值取得大一些。值取得大一些。)(tys)(ts5.4 5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理解解:5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理0(0)2hNN rP 5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理Wiener Nobert 實(shí)現(xiàn)維納濾波的要求 1 輸入過程是廣義平穩(wěn)的 2 輸入過程的統(tǒng)計(jì)特性是已知的 5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理 當(dāng)噪聲是一般的（非白色的），而有用信號是隨機(jī)的平穩(wěn)信當(dāng)噪聲是一般的（非白色的），而有用信號是隨機(jī)的平穩(wěn)信號號 時(shí)

22、，其自相關(guān)函數(shù)與功率譜分別時(shí)，其自相關(guān)函數(shù)與功率譜分別 為為 與與 ，因此，因此希望設(shè)計(jì)濾波器使得其輸出希望設(shè)計(jì)濾波器使得其輸出 在均方意義上接近在均方意義上接近 ,即即 達(dá)到最小。達(dá)到最小。解為解為 的最佳濾波器稱為的最佳濾波器稱為維納濾波器維納濾波器。5.4.2 維納濾波器維納濾波器)(SR5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理5.4.2 維納濾波器維納濾波器 可見：維納濾波器是對準(zhǔn)信號的濾波器，通帶內(nèi)可見：維納濾波器是對準(zhǔn)信號的濾波器，通帶內(nèi) 隨信隨信號按上式波動，以達(dá)到最佳效果。號按上式波動，以達(dá)到最佳效果。)(jH5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理)()()(tNtxtX)(

23、tx5.4.3 匹配濾波器匹配濾波器 匹配濾波器匹配濾波器是一種用于檢測噪聲中某個(gè)確定信號是否存在的最佳濾波方是一種用于檢測噪聲中某個(gè)確定信號是否存在的最佳濾波方法，它是通信、雷達(dá)等應(yīng)用中的重要技術(shù)。法，它是通信、雷達(dá)等應(yīng)用中的重要技術(shù)。以便于檢測。一般并不在乎以便于檢測。一般并不在乎 中的信號部分是否發(fā)生畸變，而只關(guān)心在中的信號部分是否發(fā)生畸變，而只關(guān)心在某某 時(shí)刻是否可由時(shí)刻是否可由 有效地判定有效地判定 的存在。的存在。因此，設(shè)計(jì)因此，設(shè)計(jì)LTI濾波器濾波器 ，使，使 有關(guān)的典型問題是：有一個(gè)已知有限長的確定信號有關(guān)的典型問題是：有一個(gè)已知有限長的確定信號 ，希望從接收信，希望從接收信號號 中檢測它是否出現(xiàn)。這里中檢測它是否出現(xiàn)。這里 ，其中，其中 是白噪聲，是白噪聲， 是未知信號。當(dāng)是未知信號。當(dāng) 出現(xiàn)時(shí)，出現(xiàn)時(shí)， 。5.4 5.4 噪聲中的信號處理噪聲中的信號處理5.4.3 匹配濾波器匹配濾波器 為此可將目標(biāo)設(shè)定為：使為此可將目標(biāo)設(shè)定為：使 中的信號與噪聲之比達(dá)到中的信號與噪聲之比達(dá)到最大，這樣在最大，這樣在 大于某個(gè)合適的門限時(shí)，就有把握認(rèn)為大于某個(gè)合適的門限時(shí)，就有把握認(rèn)為 中包含有中包含有 。這一處理過程如下圖所示，。這一處