第三章概率與概率分布

1、概率和概率分布第三章第三章第一節(jié)第一節(jié)概率的基本概念概率的基本概念一、確定現(xiàn)象與非確定現(xiàn)象一、確定現(xiàn)象與非確定現(xiàn)象 在保持條件不變的情況下，重復(fù)的進(jìn)行試在保持條件不變的情況下，重復(fù)的進(jìn)行試驗驗 ，其結(jié)果總是確定的必然發(fā)生或必然不發(fā)，其結(jié)果總是確定的必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為生的現(xiàn)象稱為確定現(xiàn)象或必然現(xiàn)象確定現(xiàn)象或必然現(xiàn)象。1、確定現(xiàn)象、確定現(xiàn)象2、非確定現(xiàn)象又叫隨機(jī)現(xiàn)象、非確定現(xiàn)象又叫隨機(jī)現(xiàn)象 具有隨機(jī)性具有隨機(jī)性 ( (不確定性或偶然性不確定性或偶然性) )的現(xiàn)象的現(xiàn)象稱為稱為非確定現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象非確定現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象。在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100時沸騰；時沸騰；

2、明天的最高溫度明天的最高溫度; C. 擲一顆骰子，觀察其向上點數(shù)；擲一顆骰子，觀察其向上點數(shù)；D. 上拋的物體一定下落；上拋的物體一定下落；E. 新生嬰兒體重。新生嬰兒體重。 下列現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？下列現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？是是是是是是否否否否人類生活的世界充滿了隨機(jī)現(xiàn)象人類生活的世界充滿了隨機(jī)現(xiàn)象 從投硬幣、擲骰子和摸撲克等簡單的機(jī)從投硬幣、擲骰子和摸撲克等簡單的機(jī)會游戲，到復(fù)雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，會游戲，到復(fù)雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星殞落，到大到世間萬物的繁衍生息；從流星殞落，到大自然的千變?nèi)f化自然的千變?nèi)f化，我們無時無刻不面對具，我們無時無刻不面對具有

3、不確定性現(xiàn)象有不確定性現(xiàn)象(即隨機(jī)現(xiàn)象即隨機(jī)現(xiàn)象)。隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言? ?否！在一定條件下對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量否！在一定條件下對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀測后就會發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生重復(fù)觀測后就會發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生有一定的規(guī)律性。有一定的規(guī)律性。 將將不定性不定性(隨機(jī)性隨機(jī)性)數(shù)量化數(shù)量化，來嘗試回，來嘗試回答這些問題，直到答這些問題，直到20世紀(jì)初葉才開始。但世紀(jì)初葉才開始。但還不能說這個努力已取得十分成功，不過還不能說這個努力已取得十分成功，不過就是那些就是那些已得到的成果已得到的成果，已經(jīng)給人類活動，已經(jīng)給人類活動的諸多領(lǐng)域帶來了一場深刻的革命。的諸多領(lǐng)

4、域帶來了一場深刻的革命。 研究偶然現(xiàn)象本身規(guī)律性的科學(xué)稱為研究偶然現(xiàn)象本身規(guī)律性的科學(xué)稱為概率概率論。論。 基于實際觀測結(jié)果，利用概率論得出的規(guī)基于實際觀測結(jié)果，利用概率論得出的規(guī)律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科學(xué)就是律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科學(xué)就是統(tǒng)計學(xué)統(tǒng)計學(xué)。 概率論是統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，統(tǒng)計學(xué)是概率論概率論是統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，統(tǒng)計學(xué)是概率論所得出的規(guī)律在各領(lǐng)域中的實際應(yīng)用。所得出的規(guī)律在各領(lǐng)域中的實際應(yīng)用。1. 1. 隨機(jī)試驗隨機(jī)試驗同一組綜合條件的實現(xiàn)，稱為同一組綜合條件的實現(xiàn)，稱為試驗（試驗（trial）。而一個試驗如果滿足下述三個特性，而一個試驗如果滿足下述三個特性， 則則 稱稱

5、其其 為為 一個一個 隨機(jī)試驗（隨機(jī)試驗（random trial），簡稱，簡稱試驗試驗。二、事件及事件的關(guān)系二、事件及事件的關(guān)系2. 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 2）復(fù)合事件）復(fù)合事件 由若干個基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事由若干個基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件件 （compound event）。）。 隨機(jī)試驗的每一種可能結(jié)果，在一定條件下可隨機(jī)試驗的每一種可能結(jié)果，在一定條件下可能發(fā)生能發(fā)生 ，也可能不發(fā)生，稱為，也可能不發(fā)生，稱為隨機(jī)事件（隨機(jī)事件（random event），簡稱事件），簡稱事件(event），），通常用大寫的拉丁字通常用大寫的拉丁字母母 A、B、C 等來表示。等來表示。

6、1）基本事件）基本事件 我們把不能再分的事件稱為基本事件我們把不能再分的事件稱為基本事件（elementary event）用小寫拉丁字母）用小寫拉丁字母 a, b, c 來表來表示示 ，也，也 稱稱 為為 樣本點（樣本點（sample point）。）。 集合集合A與與B的并或和：的并或和：若若 C, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A A或或B,B,則稱集合則稱集合C C為集合為集合A A與與B B的并或和的并或和, ,記成記成AB 或或 A+B。事件事件A與與B的并或和的并或和 ：若事件若事件C發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件事件A A或或B B發(fā)生，則稱事件發(fā)生，則稱事件C C為事件為事件A A與與B

7、的并或和，的并或和，記成記成AB 或或 A+B。3 事件的關(guān)系與運(yùn)算事件的關(guān)系與運(yùn)算3.1事件的和事件的和集合集合A與集合與集合B的交或積：的交或積：若若 C，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng) A且且B, 則稱集合則稱集合C為集合為集合A與與B的的交或積交或積, 記成記成AB或或AB。事件事件A與與B的積或交：的積或交：若事件若事件C C發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件件A A與與B B同時發(fā)生，則稱事同時發(fā)生，則稱事件件C C為事件為事件A與與B的積或交的積或交, 記成記成 A AB B或或ABAB。3.2事件的交事件的交3.3互不相容事件（互不相容事件（mutually eyclusive event

8、) 事件事件A和事件和事件B不能同時發(fā)生，則稱這兩個不能同時發(fā)生，則稱這兩個事件事件A和和B互不相容或互斥。互不相容或互斥。n個事件兩兩互不相容，則稱這個事件兩兩互不相容，則稱這n個事件互斥。個事件互斥。對立事件對立事件 事件事件A和事件和事件B必有一個發(fā)生，但二者不能必有一個發(fā)生，但二者不能同時發(fā)生，且同時發(fā)生，且A和和B的和事件組成整個樣本空間。的和事件組成整個樣本空間。即即A+B=W，AB=V。我們稱事件。我們稱事件B為事件為事件A的對的對立事件。立事件。B = A三、頻率（三、頻率（frequency）若在相同的條件下，進(jìn)行了若在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗，在這次試驗，在這n次試驗中

9、，事件次試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)m稱為事件稱為事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻數(shù)，比值頻數(shù)，比值m/n稱為事件稱為事件A出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率(frequency)，記為記為W(A)=m/n。 表表3-1 玉米種子發(fā)芽試驗結(jié)果玉米種子發(fā)芽試驗結(jié)果種子總數(shù)種子總數(shù)(n) 10 20 50 100 200 500 1000發(fā)芽種子數(shù)發(fā)芽種子數(shù)(m) 9 19 47 91 186 458 920種子發(fā)芽率種子發(fā)芽率(m/n) 0.900 0.950 0.940 0.910 0.930 0.918 0.920種子發(fā)芽與否是不能事先確定的，但從表中種子發(fā)芽與否是不能事先確定的，但從表中可以看出，試驗隨著可以

10、看出，試驗隨著n值的不同，種子發(fā)芽率也值的不同，種子發(fā)芽率也不相同，當(dāng)不相同，當(dāng)n充分大時，發(fā)芽率在充分大時，發(fā)芽率在0.92附近擺動。附近擺動。例：例： 頻率表明了事件頻繁出現(xiàn)的程度，因而頻率表明了事件頻繁出現(xiàn)的程度，因而其穩(wěn)定性說明了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，其穩(wěn)定性說明了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，是其本身固有的客觀屬性，提示了隱藏在隨是其本身固有的客觀屬性，提示了隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性。機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性。概概 率率四、概率（四、概率（probability,P)1. 概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義 P(A) = p 這樣的概率稱為統(tǒng)計概率這樣的概率稱為統(tǒng)計概率(statistics pr

11、obability)或者后驗概率或者后驗概率(posterior probability) 設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗，若事設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗，若事件件A的頻率穩(wěn)定地在某一確定值的頻率穩(wěn)定地在某一確定值p的附近擺動，則的附近擺動，則稱稱p為事件為事件A出現(xiàn)的概率。出現(xiàn)的概率。統(tǒng)計概率 拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗記錄拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗記錄實驗者實驗者 投擲次數(shù)投擲次數(shù) 發(fā)生正面朝上的次數(shù)發(fā)生正面朝上的次數(shù) 頻率頻率(m/n) 蒲豐蒲豐 4040 2048 0.5069K 皮爾遜皮爾遜 12000 6019 0.5016K 皮爾遜皮爾遜 24000 1201

12、2 0.5005 隨著實驗次數(shù)的增多，正面朝上這個事件發(fā)生隨著實驗次數(shù)的增多，正面朝上這個事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定接近的頻率穩(wěn)定接近0.5，我們稱，我們稱0.5作為這個事件的概作為這個事件的概率。率。 在一般情況下，隨機(jī)事件的概率在一般情況下，隨機(jī)事件的概率P是不可是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗次數(shù)能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗次數(shù)n充分大時，充分大時，隨機(jī)事件隨機(jī)事件A的的頻率頻率作為該隨機(jī)事件概率的作為該隨機(jī)事件概率的近似近似值。值。 P(A) = p=lim mnmn（1）試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，即樣）試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，即樣本空間中的基本事件只有有限個本空間中的基本事件只有有限個;

13、（2）所有基本事件的發(fā)生是等可能的）所有基本事件的發(fā)生是等可能的;（3）試驗的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。）試驗的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。2.2.概率的古典定義概率的古典定義隨隨機(jī)機(jī)事事件件 具有上述特征的隨機(jī)試驗，稱為古典概型具有上述特征的隨機(jī)試驗，稱為古典概型（classical model).概率的古典定義概率的古典定義 在滿足上述條件下，設(shè)樣本空間有在滿足上述條件下，設(shè)樣本空間有n個個等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含包含有有m個基本事件，則事件個基本事件，則事件A的概率為的概率為m/n，即，即P(A)=m/n。這樣定義的概率稱為。這樣定義的概率稱為

14、古典概率古典概率(classical probability)或先驗概率或先驗概率(prior probability)。12345678910隨機(jī)抽取一個球，求下列事件的概率隨機(jī)抽取一個球，求下列事件的概率;（1)事件事件A抽得一個編號抽得一個編號 4 （2)事件事件B =抽得一個編號是抽得一個編號是2的倍數(shù)的倍數(shù) 該試驗樣本空間由該試驗樣本空間由10個等可能的基本事件構(gòu)成，個等可能的基本事件構(gòu)成，即即n=10，而事件，而事件A所包含的基本事件有所包含的基本事件有3個，即抽得個，即抽得編號為編號為1、2、3中的任何一個，事件中的任何一個，事件A便發(fā)生。便發(fā)生。P(A)=3/10=0.3P(B

15、)=5/10=0.512345678910 10個球中取一個球，其可能結(jié)果有個球中取一個球，其可能結(jié)果有10個基本事件個基本事件（即每個球被取到的可能性是相等的），即（即每個球被取到的可能性是相等的），即n=10事件事件A：取得紅球，則：取得紅球，則A事件包含事件包含3個基本事件，個基本事件，即即m=3 P(A)=3/10=0.312345678910B “一次取一次取5個球，其中有個球，其中有2個紅球的概率個紅球的概率”10個球中任意取個球中任意取5個，其可能結(jié)果有個，其可能結(jié)果有C105個基本事件，個基本事件，即即n= C105事件事件B =5個球中有個球中有2個紅球，則個紅球，則B包含的

16、基本事件包含的基本事件數(shù)數(shù)m= C32 C73P(B) = C32 C73 / C105 = 0.4170P(A)1 任何事件任何事件P( W )=1 必然事件必然事件P(V)0 不可能事件不可能事件0P(A)0，研究事件，研究事件B已發(fā)生已發(fā)生的條件下，事件的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為：發(fā)生的概率，記為：P（AB）1.1.條件概率條件概率例例2.2 使用兩種不同藥物殺滅螟蟲，結(jié)果見下表：使用兩種不同藥物殺滅螟蟲，結(jié)果見下表： 死亡（死亡（A） 存活（存活（A） 和和甲藥物（甲藥物（B） 96 24 120乙藥物（乙藥物（B） 64 16 80 和和 160 40 200 計算以下概率：計

17、算以下概率：P（A）=160/200=0.80P（B）=120/200=0.60P（ A B）=96/200=0.48P（ B A ）= P（ A B）/ P（A）=0.48/0.80=0.602.2.概率乘法法則概率乘法法則()()()()()P ABP AP B AP BP A B 可以敘述為：兩事件交的概率，等于其中一事可以敘述為：兩事件交的概率，等于其中一事件（其概率必須不為件（其概率必須不為0 0）的概率乘以另一事件在已知）的概率乘以另一事件在已知前一事件發(fā)生條件下的條件概率。前一事件發(fā)生條件下的條件概率。3.3.獨立事件獨立事件 P P( (B BA A)= )= P P( (B

18、B) ) ，或，或 P P( (A AB B)=)=P P( (A A) )，稱，稱A A和和B B是是獨立事件獨立事件。對于獨立事件概率乘法公式為：對于獨立事件概率乘法公式為： P P( (ABAB)=)=P P( (A A) )P P( (B B) )第三節(jié)第三節(jié)概率分布1.隨機(jī)變量（隨機(jī)變量（random variable)例：例： 觀察觀察10只新生動物的性別，是一組隨機(jī)試只新生動物的性別，是一組隨機(jī)試驗，其中雄性動物出現(xiàn)的只數(shù)用驗，其中雄性動物出現(xiàn)的只數(shù)用y表示，則表示，則y的取的取值為值為0、1、2、10。 隨機(jī)試驗中被測定的量叫隨機(jī)變量。隨機(jī)試驗中被測定的量叫隨機(jī)變量。做做一次試

19、驗，其結(jié)果有多種可能。每一種可能一次試驗，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變結(jié)果都可用一個數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變量量Y的取值范圍，則試驗結(jié)果可用變量的取值范圍，則試驗結(jié)果可用變量y來表來表示，隨機(jī)變量所取得的值稱為示，隨機(jī)變量所取得的值稱為觀測值觀測值。1.1 隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的定義 如果表示試驗結(jié)果的變量如果表示試驗結(jié)果的變量y，其可能取值為有，其可能取值為有限個，或者可數(shù)無窮個孤立的值，則限個，或者可數(shù)無窮個孤立的值，則 稱稱 Y為為離散離散型隨機(jī)變量型隨機(jī)變量 ( discrete random variable)； 如果表示試驗結(jié)果的變量如果表示

20、試驗結(jié)果的變量y ，其可能取值為某，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值范圍內(nèi)的任何數(shù)值 ，且，且y在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時，其概率是確定的，則稱間中取值時，其概率是確定的，則稱Y為為連續(xù)型隨連續(xù)型隨機(jī)變量機(jī)變量( continuous random variable)。1.2 隨機(jī)變量的類型隨機(jī)變量的類型2.離散型變量的概率分布離散型變量的概率分布要了解離散型隨機(jī)變量要了解離散型隨機(jī)變量Y的統(tǒng)計規(guī)律，必須知道的統(tǒng)計規(guī)律，必須知道它的一切可能值它的一切可能值 yi 及取每種可能值的概率及取每種可能值的概率pi。對離散型變量對離散型變量Y的所取得的值的所取得的值y的概率的

21、概率P (Y=y)寫成寫成y的函數(shù)的函數(shù)p (y)，這樣的函數(shù)稱為，這樣的函數(shù)稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y的的概率函數(shù)概率函數(shù)。p (y)= P (Y =y)2.1 概率函數(shù)（概率函數(shù)（probability function )2.2 概率分布概率分布 將將Y的一切可能值以及取得這些值的概率，排列的一切可能值以及取得這些值的概率，排列起來，就構(gòu)成了離散型隨機(jī)變量的起來，就構(gòu)成了離散型隨機(jī)變量的概率分布概率分布（probability distribution)。 表表3-1 離散型變量的概率分布表離散型變量的概率分布表變量變量(y)= y1 y2 y3 y4 yn 概率概率(P)= p（y1） p

22、 （y 2 ） p （y3） p （y 4 ） p （yn） 2.3 概率分布圖和概率分布表概率分布圖和概率分布表圖圖3-1概率分布圖概率分布圖 y1 y2 yn分布函數(shù)（分布函數(shù)（distribution function)000()()()iiyyF yp yP Yy指隨機(jī)變量小于等于某一可能值（指隨機(jī)變量小于等于某一可能值（ ）的概率。的概率。0y例：例： 表表3-2某魚群的年齡組成某魚群的年齡組成年齡年齡(y) 1 2 3 4 5 6 7概率概率(P) 0.4597 0.3335 0.1254 0.0507 0.0215 0.0080 0.0012 此表給出了該魚群年齡構(gòu)成的全部，我們

23、稱之此表給出了該魚群年齡構(gòu)成的全部，我們稱之為該魚群年齡的概率分布。為該魚群年齡的概率分布。 表表3-3 嬰兒的性別情況表嬰兒的性別情況表性別性別(y) 0（男）（男） 1（女）（女）概率概率(P) 0.517 0.483此表列出了性別變量的取值及相應(yīng)值的此表列出了性別變量的取值及相應(yīng)值的概率，揭示了觀察嬰兒性別試驗的統(tǒng)計規(guī)律。概率，揭示了觀察嬰兒性別試驗的統(tǒng)計規(guī)律。例：例：4. 離散型變量的概率分布的特點離散型變量的概率分布的特點p (y) 01iPi= 15.5.連續(xù)型變量的概率分布連續(xù)型變量的概率分布 設(shè)設(shè) y0是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量Y 的一個可能的值，的一個可能的值，Y=y0的概的概率等

24、于率等于0。我們通常關(guān)心的是。我們通常關(guān)心的是Y取值在一個區(qū)間的概取值在一個區(qū)間的概率。率。Y 值落在區(qū)間值落在區(qū)間 內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為 ：, y yy P yYyy ()0,P yYyyyy 的極限是表示的極限是表示Y在點在點y處的概率密度。處的概率密度。0()( )limyp yYyyf yy 稱稱f(y)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量的密度函數(shù)的密度函數(shù)( density function)，概率密度的圖形稱為概率密度的圖形稱為分布曲線（分布曲線（distribution curve)。連續(xù)型分布曲線：連續(xù)型分布曲線：3248( )(2)3yf yye對于一個連續(xù)型隨機(jī)變量對于一個連續(xù)型隨機(jī)變量

25、Y，取值于區(qū)間，取值于區(qū)間a,b內(nèi)的概率內(nèi)的概率?ab()( )baP aybf y dy也就是區(qū)間（也就是區(qū)間（a,b)所夾的曲線下的面積。所夾的曲線下的面積。()( )1Pyf y dy 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f(y)曲線與曲線與x軸所圍成的面積為軸所圍成的面積為1。連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)（或稱累積分布函數(shù)）連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)（或稱累積分布函數(shù)）F( y0 ) = P (Y y0 )=0( )yf y dyF( )=0, F( ) =1P(ayb)=F(b)-F(a)()()()PY aPa Y bPY b 6.概率分布與頻率分布的關(guān)系概率分布與頻率分布的關(guān)系n頻率分布又稱為統(tǒng)計分布或經(jīng)驗分布，概率分頻率分布又稱為統(tǒng)計分布或經(jīng)驗分布，概率分布又稱為理論分布或者總體分布。布又稱為理論分布或者總體分布。n對于種種不同的頻率分布，都有其相應(yīng)的理論對于種種不同的頻率分布，都有其相應(yīng)的理論分布。分布。n理論分布雖然很