第24講 原子鏈的振動

1、?本章共本章共3講講第三章第三章 晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)和要求教學(xué)目標(biāo)和要求 掌握一維晶格的振動、長波近似、聲子，了解三維晶格振動、晶格振動熱容理論。原子鏈的振動原子鏈的振動一維布喇菲格子原子鏈的振動一維布喇菲格子原子鏈的振動一維復(fù)式格子原子鏈的振動一維復(fù)式格子原子鏈的振動三維格子原子鏈的振動三維格子原子鏈的振動波恩波恩-卡門邊界條件卡門邊界條件光學(xué)波和聲學(xué)波光學(xué)波和聲學(xué)波第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動本講內(nèi)容本講內(nèi)容 在第二章我們分析晶體結(jié)構(gòu)和計(jì)算晶體的結(jié)合能時，我們把組成晶體的原子或離子看

2、作是固定不變的。而實(shí)際上，在一般溫度下，晶體內(nèi)的原子或離子在各自的平衡位置附近做振動振動。原子間存在的相互作用力各個原子的振動是相互關(guān)聯(lián)的很多振動狀態(tài)振動狀態(tài)在晶格中原子間傳播，形成了各種模式的波格波格波第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 當(dāng)振動微弱時，原子間非諧的相互作用可以忽略，在理論分析時可近似按照簡諧振動來處理。在簡諧近似下，振動模式才是相互獨(dú)立的。而晶格的周期性平移條件，決定了振動模式所取的能量值不是連續(xù)的，而是分立的。晶格振動的總體就看作聲子的系統(tǒng)聲聲 子子描述這些獨(dú)立的振動模式的一系列獨(dú)立的簡諧振子簡諧振子第第三三章

3、章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動晶格振動對光子、電子、晶格振動對光子、電子、中子等的散射就可以看中子等的散射就可以看作聲子與光子、電子、作聲子與光子、電子、中子的相互碰撞中子的相互碰撞簡諧振動簡諧振動 如圖3-1所示的一維布喇菲格子原子鏈的振動。 由于熱運(yùn)動，原子離開各自的平衡位置，而在原子間相互作用所產(chǎn)生的恢復(fù)力的作用下，各原子又有返回平衡位置的趨勢。3.1.1 一維布喇菲格子原子鏈的振動一維布喇菲格子原子鏈的振動3.1 原子鏈的振動原子鏈的振動1. 格波格波nn-2n-1n+2n+1xn+1xn-2xnxn-1xn+2圖3-1 一維布

4、喇菲格子 原子鏈的振動 設(shè)平衡時原子間距為a。用xn表示第n個原子離開平衡位置的位移，則第n個原子和第n+1個原子間的相對位移為=xn+1-xn。第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 設(shè)在平衡位置r=na時，兩原子間的相互作用勢能為u(na)，產(chǎn)生相對位移后，相互作用勢能變成u(na+)。將u(na+)在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，得 22221)()(nanadruddrdunaunau式中，第一項(xiàng)為常數(shù)，第二項(xiàng)為零。當(dāng)振動很微弱時，很小，只保留到2項(xiàng)，則第n+1個原子對第n個原子的恢復(fù)力近似為(3-1)(122, 1nnnann

5、xxdruddduf(3-2)式中，為恢復(fù)力常數(shù)，相當(dāng)于彈性系數(shù)nadrud22第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 第n個原子除了受到第n+1個原子的作用力外，還受到第n-1個原子的作用力，其表達(dá)式為)(11,nnnnxxf(3-3) 如果只考慮相鄰原子的相互作用，則第n個原子受到的總作用力為)2(111, 1nnnnnnnnxxxfff(3-4)那么，第n個原子的運(yùn)動方程可以寫成)2(1122nnnnxxxdtxdm 對于每一個原子，都有一個類似于該式的方程，因此，方程的數(shù)目與原子數(shù)相同。第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體

6、體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 當(dāng)振動微弱時，原子的振動近似為簡諧振動，所以可設(shè)其解是振幅為A，角頻率為的簡諧振動的運(yùn)動方程，即tqnainAeqnatAx)cos(3-5)式中，qna表示第n個原子振動的位相因子。 當(dāng)?shù)趍個原子和第n個原子的位相因子之差(qma-qna)為2的整數(shù)倍，即ma-na=2s/q(s為整數(shù))時，有即當(dāng)?shù)趍個原子和第n個原子的距離(ma-na)為2/q的整數(shù)倍時，原子因振動而產(chǎn)生的位移相等。ntqnaitqmaimxAeAex第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 由以上討論可以

7、看出，晶格中各個原子間的振動相互之間存在著固定的位相關(guān)系，也就是說晶格中存在著角頻率為的平面波，稱之為格波格波。如圖3-2所示。 格波的波長為=2/q。若令n為格波傳播方向上的單位矢量，則q=(2/)n即為格波的波矢。圖3-2 格波第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動該式表述的是與q的關(guān)系，稱為色散關(guān)系色散關(guān)系。得把式(3-5)代入到式(3-4)2(1122nnnnxxxdtxdmqamcos122即2sin221qam(3-6)第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動tqn

8、ainAeqnatAx)cos(2、格波波矢的取值范圍、格波波矢的取值范圍此時21max4maqmax那么，相鄰兩原子的振動位移之比為iqaiqnatianiqtinneeAeeAexx11在晶格點(diǎn)陣中能夠傳播的波有一最大頻率2sin221qam圖3-3 一維布喇菲格子 振動的頻譜第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動這就是一維晶格點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)。如果取aqqmax則有11nnxx即相鄰兩原子運(yùn)動時位相差為。這說明qa的值被限制在下列范圍內(nèi)，即aqaqa或(3-7)圖3-3 一維布喇菲 格子振動的頻譜第第三三章章 晶晶格格振振動動

9、和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動3、格波的傳播速度、格波的傳播速度 格波的傳播速度是它的相速度，由波速、頻率和波矢的關(guān)系式vp=/q，得格波的傳播速度為amvpsin21可見，格波的傳播速度是波長的函數(shù)。波長不同的格波在晶體中的傳播速度不同，這種情況與可見光通過三棱鏡類似，所以我們將與q的關(guān)系稱為格波的色散關(guān)系色散關(guān)系。色散關(guān)系也稱為振動頻譜振動頻譜或振動譜振動譜。(3-8)圖3-3 一維布喇菲格 子振動的頻譜第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 如圖3-4所示，相鄰兩個不同原子構(gòu)成一個分子,一個

10、分子內(nèi)兩原子平衡位置的距離為b，恢復(fù)力常數(shù)為1，兩分子間兩原子對應(yīng)的恢復(fù)力常數(shù)為2。質(zhì)量m的原子位于2n-1，2n+1，2n+3各點(diǎn)，質(zhì)量為M 的原子位于2n-2，2n，2n+2各點(diǎn)。3.1.2 一維復(fù)式格子原子鏈的振動一維復(fù)式格子原子鏈的振動1.聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波圖3-4 一維復(fù)式格子 原子鏈的振動2n2n-22n-12n+22n+112abmM 考慮由質(zhì)量分別為M和m的兩種不同原子構(gòu)成的一維復(fù)式格子。第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 若只考慮相鄰原子的相互作用，則第2n+1個原子所受的恢復(fù)力為)()(2121122

11、2212nnnnmnxxxxf則第2n個原子所受的恢復(fù)力為)()(122221212nnnnMnxxxxf則相應(yīng)的動力學(xué)方程為)()(2121122222122nnnnnxxxxdtxdm)()(12222121222nnnnnxxxxdtxdM(3-9)2n2n-22n-12n+22n+112abmM第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 該方程組的解是角頻率為的簡諧振動，即其他各點(diǎn)的位移按照下列原則得出：(1) 同種原子振幅相同，原子不同，振幅也不相同;(2) 相隔一個晶格常數(shù)a的同種原子，位相差為qa.將(3-10)代入(3-9

12、)得：)()22(2tqnaitanqinAeAex)()22(12tqnaitqbanqinBeeBx(3-10)()(122ABBAeBmiqa)()(212iqaBeAABAM第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動將該式整理成A和B的線性齊次方程組，即0)()(21221BeAMiqa0)()(22121BmAeiqaA、B有不等于零的解的條件是該方程組的系數(shù)行列式必須等于零0)()()()(2212121221meeMiqaiqa由此可以解得)2(sin)(16)()(2212221212212qamMMmMmmM(3-11)

13、第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 該式表明，與q之間存在著兩種不同的色散關(guān)系，也就是說，對一維復(fù)式格子，存在兩種獨(dú)立的格波，分別具有各自的色散關(guān)系，這兩種格波可以表述為：)2(sin)(16)()(2212221212212qamMMmMmmMO)2(sin)(16)()(2212221212212qamMMmMmmMA(3-13)(3-12)2(sin)(16)()(2212221212212qamMMmMmmM 同一維布喇菲格子一樣，一維復(fù)式格子的振動頻率在波矢空間內(nèi)具有周期性，即(q+2/a)=(q)，同時具有反演對稱性，

14、即(q)=(-q)。所以，當(dāng)波矢增加2/a的整數(shù)倍時，原子的位移與色散關(guān)系不變。 對于一維復(fù)式格子，波矢q的取值同樣限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，即-/aq/a。212122121221min)(16)()(2mMMmMmmMO212122121221max)(16)()(2mMMmMmmMA 根據(jù)式(3-12)和(3-13)得，A的最大值和O的最小值分別為可見，A的最大值比O的最小值還小，也就是說，A支的格波頻率比O的頻率低。O支的格波可以用激光來激發(fā)，所以常稱為光頻支格波，簡稱光學(xué)波光學(xué)波；而A支稱為聲頻支格波，簡稱聲聲學(xué)波學(xué)波。第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一

15、一講講原原子子鏈鏈的的振振動動2.聲學(xué)波和光學(xué)波的色散關(guān)系聲學(xué)波和光學(xué)波的色散關(guān)系A(chǔ)支的色散關(guān)系可改寫為)2(sin)(16)()(2212221212212qamMMmMmmMA)2(sin)()(161 1)(221222212121qaMmmMMmmM1)2(sin)()(162222121qaMmmM因?yàn)閥qaMmmM)2(sin)()(162222121令第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動由2812111yyy(-1y1)2sin()(2212121qaMmA(3-14)2sin221qam與式(3-6)比較可知，這兩式

16、具有相同的形式，說明在一維布喇菲格子中，只有聲學(xué)波。并考慮精確度，取前兩項(xiàng)，得1 1)(221212yMmmMA則第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動O支的色散關(guān)系式則可改寫為)2(sin)(16)()(2212221212212qamMMmMmmMO)2(sin)()(161 1)(221222212121qaMmmMMmmM當(dāng)q0(即波長很大時)，光學(xué)波的頻率具有最大值，即2121O其中MmmM是兩種原子的折合質(zhì)量。第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動歸納：(2) 當(dāng)

17、q0(即波長很大)時，光學(xué)波的頻率O有最大值(1) 當(dāng)q=/a時，聲學(xué)波的頻率A有最大值212122121221max)(16)()(2mMMmMmmMA當(dāng)q0時，聲學(xué)波的頻率A有最小值0，理解為取值可無限低。2121O當(dāng)q=/a時，光學(xué)波的頻率O有最小值212122121221min)(16)()(2mMMmMmmMO第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 一維雙原子復(fù)式格子中，聲學(xué)波與光學(xué)波的色散關(guān)系色散關(guān)系曲線如圖3-5所示。aa圖3-5 一維雙原子復(fù)式格子的振動頻譜第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)

18、第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動3.聲學(xué)波和光學(xué)波的振幅聲學(xué)波和光學(xué)波的振幅將A代入可得聲學(xué)波相鄰兩原子的振幅之比為0)()(21221BeAMiqa0)()(22121BmAeiqa22121AiqameABiqaOeMAB21221可得光學(xué)波著相鄰兩原子的振幅之比為將O代入第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動(1) 聲學(xué)波聲學(xué)波22121AiqameAB圖3-6 長聲學(xué)波當(dāng)q0時，很大，A0，則振幅之比(B/A)1，此時的聲學(xué)波為長聲學(xué)波長聲學(xué)波。)()22(2tqnaitanqinAeAex)()22(12tqnaitqb

19、anqinBeeBx原子位移變成x2nx2n+1。這說明相鄰原子都沿著同一方向振動的，相鄰原子的位移趨于相同，原胞內(nèi)的原子以相同的振幅和位相做整體運(yùn)動。因此長聲學(xué)波描述的是原胞的剛性運(yùn)動。第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動(2) 光學(xué)波光學(xué)波iqaOeMAB21221圖3-7 長光學(xué)波當(dāng)q0時，很大，此時的光學(xué)波稱為長光學(xué)波長光學(xué)波。將O代入上式有B/A=-M/m,即B/A0。這說明對于長光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的振動方向是相反的，原胞中不同原子作相對振動，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，原胞的質(zhì)心保持不動。也就是說，光學(xué)波是保持

20、質(zhì)心不動的一種振動模式。mMMmO)(21max2第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動相鄰原相鄰原子的振子的振動方向動方向振動振動的的頻率頻率 長長 波波振動質(zhì)點(diǎn)振動質(zhì)點(diǎn)振動質(zhì)點(diǎn)振動質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的質(zhì)量同號同號 雙雙原子原子異號雙原子異號雙原子聲聲學(xué)學(xué)波波相同相同慢慢原胞原胞 重重連續(xù)介質(zhì)的彈性波連續(xù)介質(zhì)的彈性波光光學(xué)學(xué)波波相反相反快快異號原子異號原子相對振動相對振動 輕輕產(chǎn)生電偶極產(chǎn)生電偶極矩，發(fā)射電矩，發(fā)射電磁波磁波 聲學(xué)波與光學(xué)波的比較聲學(xué)波與光學(xué)波的比較第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原

21、原子子鏈鏈的的振振動動4.玻恩玻恩卡門邊界條件卡門邊界條件 上述討論中，由于要求振動波函數(shù)單值，考慮了波矢q取值的范圍，即在(-/a，/a中連續(xù)取值，這其實(shí)是假定一維晶體無限大。實(shí)際晶體是有限的，導(dǎo)致q只能取有限數(shù)目的分立值。玻恩玻恩-卡門周期性邊界條件卡門周期性邊界條件 設(shè)想在一長為 Na 的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個相同的晶體，并且各塊晶體內(nèi)相對應(yīng)的原子的運(yùn)動情況一樣，即第j個原子和第 tN+j 個原子的運(yùn)動情況一樣，其中 t = 1,2,3,。 由于互作用主要是短程的，實(shí)際晶體中絕大部分原子的運(yùn)動實(shí)際上不會受到這些假想晶體的影響。第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)

22、學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 在上述假想的周期性邊界條件下，對于一維有限的布喇菲格子，第1個原胞的原子應(yīng)和第N+1個原胞的原子振動情況相同，即x1=xN+1。因?yàn)?1(1)(1taNqiNtqaiAexAex，所以有1iqNae顯然，只有qNa=2l(l為整數(shù))時，上式才成立。因aqa故有22NlN第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動可以確定，l只能取)2()22() 12(NfloNfloNflo， N個不同的值，那么描寫晶格振動的波矢q只能取N個分立的值。 由于每個q對應(yīng)一個獨(dú)立的振動模式，因此，一維布喇菲格子的獨(dú)立振動模式數(shù)等于其原胞的數(shù)目N。 一維布喇菲格子中，每個原子的自由度為1，則由N個原子構(gòu)成的晶體總的自由度為N。結(jié)論結(jié)論：(1) 晶格振動波矢數(shù)等于晶體的原胞數(shù)；晶格振動波矢數(shù)等于晶體的原胞數(shù)； (2) 晶格獨(dú)立振動狀態(tài)數(shù)等于晶格的自由晶格獨(dú)立振動狀態(tài)數(shù)等于晶格的自由度數(shù)。度數(shù)。第第三三章章 晶晶格格振振動動和和晶晶體體的的熱熱學(xué)學(xué)性性質(zhì)質(zhì)第第一一講講原原子子鏈鏈的的振振動動 對于一維有限的復(fù)式格子，根據(jù)周期性邊界條件x2n+1=x2(n