實變與泛函 ch2

1、University of science & Technology of China第二章 測度與積分 本章主要介紹Lebesgue測度、可測函數(shù)、Lebesgue積分、抽象測度以及抽象積分等相關(guān)概念和知識。University of science & Technology of China2.1 Lebesgue測度lRiemann積分把區(qū)間分成有限個小區(qū)間,并要求函數(shù)在每一個小區(qū)間上“變化不大”(連續(xù)函數(shù)).l當(dāng)“很不連續(xù)”時,上述要求就得不到滿足,從而使很多常用的函數(shù)Riemann不可積.l改變R-積分對積分區(qū)間的分割方法,把區(qū)間分成一些小集合,使在每個小集合上,函數(shù)

2、值“變化不大”.l這些小集合的“長度”概念 -集合的測度.University of science & Technology of China2.1.1 有界可測集l設(shè) ,用 表示 的Lebesgue測度.記 l定義2.1.1 定義 ;設(shè) , 的構(gòu)成區(qū)間列為 ,這里 為一個至多可數(shù)的指標(biāo)集,定義E m EEBOGG,為有界開集BCFF.為有界閉集()0m BG,GO Gnn,nT T nnn Tm G.University of science & Technology of Chinal注：因 有界, 故 或者為有限項之和, 或者為一個正項收斂級數(shù). l根據(jù)上述定義,顯然有

3、:n1若 , 且 ,則 ;n2若 , 則 . 特別當(dāng) 時,等號成立.12BG ,GO12GG12m Gm G12BG ,GO1122m Gm Gm GG12GG nnn TGUniversity of science & Technology of Chinal定義2.1.2 設(shè) , 任取 , 定義 .l根據(jù)此定義, 顯然有:n1有限集的測度為 ;n2若 ,則 ;n3若 , 則 .BF,FC ()A,BF ()m FBAmA,BF01212BF ,FCFF且,12m Fm FBBFC GOFG且, m Fm GUniversity of science & Technology

4、 of Chinal由上可知,空集,有界開集,有界閉集的測度都為一個非負(fù)實數(shù).l下面給出任意有界集測度的定義.首先,對每一個有界集,顯然存在 及 ,使 ,故可借助于開閉集的測度來定義任意有界集的測度.BGOBFCFEGUniversity of science & Technology of Chinal定義2.1.3 設(shè) 為有界集,記 稱 為 的外測度. 顯然有: E *BmEinf m G GE,GO, *mEE *BGOmGm G ,1212*EEmEmE.University of science & Technology of Chinal定義2.1.4 設(shè) 為有界集

5、,記 稱 為 的內(nèi)測度. 顯然有: l對任意有界集 , .EEE *BmEsup m F FE,FC, *mE *BFCmFm F. *mEmEUniversity of science & Technology of Chinal定義2.1.5 設(shè) 為有界集,若 ,則稱 為Lebesgue可測集, 簡稱為L-可測集或可測集,并稱 為 的Lebesgue測度.E *mEmEE *m EmEmEEUniversity of science & Technology of China 將 上全體有界可測集記為 ,易證:l1空集,有界開集,有界閉集均為可測集,且測度與原定義一致.l2

6、單調(diào)性: 若 ,則 .l3完全性: 若 (一般稱 為 零集或L-零測集),則對 ,有 .1212BE ,EL ,EE12m Em E 0m E mEE0m E BLEUniversity of science & Technology of Chinal定理2.1.1 若 , 為任意一個開區(qū)間, 則 l定理2.1.2 若 有界,則 特別有可列可加性: 當(dāng) 時,有 BEL()A,BBA,BE, A,BEL .11 2nBnnEL ,n, ,EE 11BnnnnEL ,m EmEm E .且ijEEij11nnnnmEm E .University of science & Tec

7、hnology of Chinal定理2.1.3 若 則 . 注：l定理2.1.2對有限并成立,只要取 即可 ; l定理2.1.3對有限交成立,只要取 即可.1 2nBEL ,n, ,1nBnEEL12nnEE12nnEE1 2iA,BE i, ,nUniversity of science & Technology of Chinal此外,不難證明: 若 ,則 .l例例 2.1.1 設(shè) 為有界可數(shù)集,則 , 且 .l由該例可知, 中全體有理數(shù)構(gòu)成一個零測集,而其中全體無理數(shù)構(gòu)成一個可測集,且測度為1.12BE ,EL12BEEL12Ax ,x ,BAL 0m A 01,Univers

8、ity of science & Technology of China2.1.2 一般可測集與可測集類 無界集的測度l定義2.1.6 設(shè) ,若對 ,均有 則稱 為L-可測集, 為 的測度.l由于 是 的單增函數(shù),故定義中的極限一定存在,當(dāng)然此極限值可能為 .l對一般可測集,定理2.1.1, 2.1.2, 2.1.3仍成立.E 0 x Bx,xELE xm Elimmx,xEEmx,xExUniversity of science & Technology of China 中全體可測集組成之集類,記為 .l 對有限交、并,可列交、并, 及有限差運(yùn)算封閉.l 構(gòu)成 -代數(shù).n1

9、若 ,則 ;n2若 ,則 ;n3若 ,則 .LLELELA,BL,AB m ABm Am BAB,BL,BALALLUniversity of science & Technology of Chinal定義2.1.7 凡從開集出發(fā),通過取余集,取有限或可數(shù)并或交等手續(xù)得到的集合,統(tǒng)稱為Borel集,或B-可測集.所有Borel集合組成的集類記為 ,稱為Borel集類.l , 是 的真子集.l不可測集是存在的,但是要舉個反例是十分困難的.BBLBLUniversity of science & Technology of China測度連續(xù)性的兩個定理l定理2.1.4 (從下連

10、續(xù)性) 設(shè) , 且 , 則 l定理2.1.5 (從上連續(xù)性) 設(shè) , 且 , 則 注：定理2.1.5中, 條件 是不可少的.12EE1 2nEL,n, , 1nnnnnElimEEL,m Em E .且12EE11 2nEL,n, ,m E 1nnnnnElimEEL,m Em E .且1m E University of science & Technology of China2.2 可測函數(shù) 討論可測集上的實函數(shù), 先引進(jìn)簡單函數(shù)的概念.l設(shè) , 可測且互不相交, 為實常數(shù), ,稱 為 上的一個簡單函數(shù).這里 為集 的特征函數(shù).l易見, .1niiEL,EEiEi1 2i, ,n

11、1iniEifXEiEXiE 1 2iif x,xE ,i, ,nUniversity of science & Technology of Chinal以下為方便起見,對 及 上的實函數(shù) ,記 l類似有 等.l若 ,則 l定義2.2.1 設(shè) , 為 上的實函數(shù),若對 ,均有 ,則稱 為 上的一個可測函數(shù).Ef E fx|f x,xE .E f,E f,E f12xx12E fxE fxELfEE fLfEUniversity of science & Technology of Chinal可測集 上的可測函數(shù)類記為 .l例 2.2.1 零測集 上任意函數(shù)均是 上的可測函數(shù).

12、l例 2.2.2 可測集 上任意一個簡單函數(shù) 為 上的可測函數(shù).l例 2.2.3 區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù) 必為可測函數(shù).E M EEEEfEIfUniversity of science & Technology of Chinal定理2.2.1 設(shè) ,則對 ,有 .l定理2.2.2 設(shè) ,則l定理2.2.2說明,可測函數(shù)類對四則運(yùn)算封閉. fM E,a,bE f,E f,E f,E ab ,E f,EfL 0f ,gM E ,k, 0fkf , fg, f, f g,g xM EgUniversity of science & Technology of Chinal定理2.2.

13、3 設(shè) ,且對 , 有 ,則 .l由該定理可知,可測函數(shù)類對極限運(yùn)算也封閉. 1 2nfM E ,n, , nfxf xxE fM EUniversity of science & Technology of Chinal定義2.2.2 設(shè) 是一個關(guān)于數(shù)集 上的命題,若 在 上每點(diǎn)均成立,則稱 在 上成立;若 且 ,使 在 上成立,則稱 在 上幾乎處處成立,記為 于 (或 于 ).l 在 上成立 于 . l如著名的Dirichlet函數(shù) ( 于 ).AEAEAE00EL,EE,00m EA0EEAEAa.e.EA P.P.EAE Aa.e.E 0Qx Xa.e.University o

14、f science & Technology of Chinal定理2.2.4 設(shè) , 若 ( 于 ), 則 l定義2.2.3 設(shè) , 為 上的一個函數(shù),若對 ,均有 ,且 , 則稱 在 上依測度收斂到 ,記為 (于 ).l顯然有, . fM Efga.e. E gM E . 1 2nfM E ,n, , fE01 2nEffL,n, ,0nnlimm Eff nfEfnffEa.e.nnnffffff 一致University of science & Technology of Chinal定理2.2.5 設(shè) , 且有 ,則 .l該定理說明,在 的條件下,幾乎處處收斂強(qiáng)于依

15、測度收斂.若 ,該定理不成立.l此外,該定理之逆也不成立,但有F.Riesz定理: 若 ,則有子列 ,使 . 1 2nfM E ,n, ,m E a.e.nff nff m E m E nffknfka.e.nff University of science & Technology of China 下面的魯津定理是可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)定理,它把可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)聯(lián)系起來. l定理2.2.6 設(shè) ,則對 ,必有 的閉子集 ,使 ,且 在 上連續(xù). fM E0EFm EFfFUniversity of science & Technology of China 下面介紹魯津定理的另一

16、種形式.l定理2.2.7 設(shè) ,則對 ,存在 上的連續(xù)函數(shù) ,使 . 此外, 若還有 , 則可以要求 . m E, fM E 0gm E fg0fM0gMUniversity of science & Technology of Chinal例 2.2.4 證明: .l例 2.2.5 舉例說明依測度收斂并不能推出幾乎處處收斂. fM ErQ,E frL University of science & Technology of China2.3 Lebesgue積分 R-積分過多依賴連續(xù)性,存在諸多缺陷.n逐項積分或積分與極限運(yùn)算交換需要很強(qiáng)的條件.n區(qū)間 上R-可積函數(shù)全體,

17、按照一種很自然的距離 成為不完備空間. 對R-積分加以改進(jìn),引進(jìn)L-積分,從而克服上述缺陷,并能在特定條件下,使L-積分與R-積分一致.a,b baf ,gf xg x dxUniversity of science & Technology of China2.3.1 有限可測集上有界函數(shù)的L-積分l設(shè) ,若 ( ), 且 ,則稱 為 的一個分割, 記為 . 的分割全體記為 或簡記為 ,一般稱此分割為D型分割或子集式分割. EL,m E 12nijE ,E ,EL,EEij1niiEE12nE ,E ,EE1niiD: EEE E ,DDUniversity of science &

18、amp; Technology of Chinal設(shè) 為 上的有界函數(shù),對 令 , 作積分小和與積分大和: l易見, 小和與大和均有界, 且 .l運(yùn)用分割加細(xì)的方法可以證明: 對 ,有 .fE 1niiDE ,D: EE ,D iiiiinfsupmf x,Mf xxExE11nnDiiDiiiismm E ,SM m E .DDsS 12D ,DED12DDsSUniversity of science & Technology of Chinal定義2.3.1 令 分別稱為 在 上的下積分與上積分.l可以證明, . DEEDsupf x dxs ,D DEEDinff x dxS

19、,DfE EEf x dxf x dxUniversity of science & Technology of Chinal定義2.3.2 若 則稱 在 上Lebesgue可積, 簡稱L-可積,且記 并稱為 在 上的Lebesgue積分.l例如,易證Dirichlet函數(shù)為 上的L-可積函數(shù),且有 . EEf x dxf x dx,fE EEEf x dxf x dxf x dx,fE01E, 0Ef x dx University of science & Technology of Chinal例 2.3.1 若 在 上R-可積,則 在 上也L-可積,且具有相同的積分值.

20、l定理2.3.1 設(shè) , 在 上有界,則 在 上可積 .l在 的條件下, 在 上有界可積與有界可測等價,以后記 上的有界可測函數(shù)全體為 fa,bfa,b m E fEfE fM E m E fEE BLE .University of science & Technology of Chinal推論2.3.1 設(shè) , 是 的任意一個T型分割,令 任取 則有l(wèi)該推論之逆也成立. Bm E, fLE AfB,01nAyyyBA,B111iiiiii nEE yfy ,max yy, iiE , 10niiiEf x dxlimfm E .University of science &

21、; Technology of China 積分的一些性質(zhì).設(shè) .n1線性性: .n2有限可加性: .n3單調(diào)性: 若 ,則 .n4若 ,則 .n5 .n6若 ,且 ,則 . Bf ,gLE ,m E EEEfg dxfdxgdxfg1iniEEfdxfdxEEfdxgdx0fa.e.E于0Efdx EEfdxf dx0f 0Efdx 0fa.e.E于University of science & Technology of Chinal定理2.3.2 在 上R-可積 在 上幾乎處處連續(xù).fa,bfa,bUniversity of science & Technology of

22、 China2.3.2 一般可測集上一般函數(shù)的L-積分 1. 的情況n設(shè) ,令 , 則 是一列漸升的非負(fù)有界函數(shù), 并稱 為 的第 個截斷函數(shù).n若對 ,有 , 則稱 在 上積分有定義或稱 在 上有積分值. 由于 為一個增數(shù)列, 故 總存在(可能為 ), 稱它為 在 上的積分值. 特別當(dāng) 時, 稱 在 上L-可積. m E 0f ( )nfx , fxnn, fxnfx ( )nfx ( )nxf fxnn ( )nBLEffEfE( )nEf dx( )nEEnfdxlimf dxEfdx ffEEUniversity of science & Technology of China

23、l對一般的函數(shù) ,令 若 與 均在 上有積分值,且不同時為 ,則稱 在 上有積分值,其值為 . 若 與 均在 上可積, 則稱 在 上可積.f 2fxf xf x/, 2fxf xf x/,ffEfEEEEfdxf dxf dxffEfEUniversity of science & Technology of China 2. 的情況n令 ,則 在整個 上有定義. 若對 與 均在 上可積,且 與 不同時為 ，則稱 在 上有積分值, 其積分值為 n若上述二極限均有限,則稱 在 上可積.n以后記可測集 上的L-可積函數(shù)全體為 m E 0fx ,xEF x,xEFn, FFn,nn,nnli

24、mF dx,n,nnlimF dxfEEn,nn,nnnfdxlimF dxlimF dx.fEE( ).L EUniversity of science & Technology of China 設(shè) ,不難證明:n1 ;n2 若 ,則 ;n3 線性性: 若 ,則 , ,且 ;n4 若 ,則 ;n5 若 ,則 . f ,gM E fL EfL E0fg gL EfL E f ,gL E, fg L EEEEfg dxfdxgdx fL EEEfdxf dx 00fL E ,EE,EL0fL EUniversity of science & Technology of Chin

25、al定理2.3.3 (積分的絕對連續(xù)性) 如果 , 則對 , , 當(dāng) 且 時,有 對一般可測集上的一般函數(shù), 可積與可測并不等價, 但有下列結(jié)論.l引理2.3.1 若 ,則 在 上有積分值l定理2.3.4 (Fatou) 設(shè) 為 上的一列非負(fù)可測函數(shù), 且 , 則有 fL E0 0eE, m eefdx.0f fE fM E . nfEa.e.nff nEEnfdxsupf dx .University of science & Technology of Chinal更一般的Fatou引理n 設(shè) 為 上的一列非負(fù)可測函數(shù),則有 l推論2.3.2 設(shè) 為 上一列非負(fù)可測函數(shù), 若 ,

26、且 存在, 則 nnEElimf dxlimf dx. nfE nfEa.e.nff nEnlimf dxnEEnfdxlimf dx.University of science & Technology of Chinal定理2.3.5 (Levi) 設(shè) 為 上一列漸升的非負(fù)可測函數(shù), 且 , 則 l定理2.3.6 (Lebesgue逐項積分定理) 設(shè) 為 上的非負(fù)可測函數(shù)列, 則 nfEa.e.nff nEEnfdxlimf dx. nuE 11nnnnEEux dxux dx.University of science & Technology of Chinal定理2.

27、3.7 (Lebesgue控制收斂定理) 設(shè) , , , ,且 , 則 . 其中 稱為 的控制函數(shù).l推論2.3.3 (Lebesgue有界收斂定理) 設(shè) 在 上一致有界,即存在常數(shù) 使對 , 均有 若 , 則 nfM E1 2n, , FL E1 2nfF,n, ,nffnEEnlimf dxfdx nfF m E, 1 2nfM E ,n, ,E0M ,n,xE 0nfxM ,nEEnlimf dxfdx.nffUniversity of science & Technology of Chinal推論2.3.4 設(shè) 若 , , 則l例 2.3.2 設(shè) 在 上有積分值, 為一列互不

28、相交的可測集, 則 1 2nm E, fM E ,n, , 1 2FL E , fF,n, ,nEEnlimf dxfdx.fE1nnEE ,1nnEEfdxfdx.a.e.nff 12E ,E ,University of science & Technology of China2.4 抽象測度與抽象積分以上對 建立的Lebesgue測度及其積分理論,很容易推廣到空間 中.下面介紹更一般的測度與積分理論,即抽象測度及其積分理論.nUniversity of science & Technology of China2.4.1 抽象測度的定義 上的L-測度具有下列幾條基本性質(zhì)

29、 1空集與全集是L-可測集; 2兩個L-可測集的差集是L-可測集; 3一列L-可測集的并集是L-可測集,且當(dāng) 兩兩互不相交時,有可列可加性: 4每個L-可測集的測度.12E ,E ,11;nnnnmEm EUniversity of science & Technology of China 定義2.4.1 設(shè) 是非空基本集, 是 的一個子集族,且滿足條件:n若 ,則 ;n若 ,則 . 則稱 為 上的一個 -環(huán).若還有 ,則稱 為 上的一個 -代數(shù)或 -域.12E ,E 12EE1 2nE,n, ,1nnEUniversity of science & Technology o

30、f Chinal 上L-可測集全體 是 上的一個 -代數(shù);lB-可測集全體 是 上的一個 -代數(shù);l若 為無限集,其有限子集及可列子集(包括空集)全體組成的集族 是一個 -環(huán). 若 本身還是可列集,則 是一個 -代數(shù).LUniversity of science & Technology of China 定理2.4.1 設(shè) 是一個 -代數(shù),則 1 ; 2若 ,則 ; 3若 ,則 .EE 1 2nE,n, ,1nnEUniversity of science & Technology of China定義2.4.2 設(shè) 是 上的一個 -代數(shù), 是定義在 上的一個非負(fù)的,允許取

31、,但不恒取 的集函數(shù).若 滿足可列可加性,即當(dāng) 時,有 , 則稱 是 上的一個測度,而 稱為一個測度空間, 中的集合稱為可測集, 稱為 的測度.l L-測度 是 和 上的測度, 與 均是測度空間.nijE,EEij11nnnnEE, EELm,L,m,mUniversity of science & Technology of China設(shè) 非空有限, 是 的一切子集組成的 -代數(shù),定義 上的一個集函數(shù) 為 易驗證, 是 上的一個測度,且 .是一個測度空間, 且 , 稱為概率空間. EE,E. 1E, 1 University of science & Technology o

32、f China2.4.2 抽象測度的基本性質(zhì)前面2.1節(jié)中給出了Lebesgue測度的一些基本性質(zhì), 對于抽象測度也有相應(yīng)的性質(zhì),下面將通過幾條定理一一給出.University of science & Technology of China 定理2.4.2 設(shè) 是測度空間, 則有1規(guī)定性: ;2有限可加性: 若 兩兩不交, 則3單調(diào)性: 若 ,則 ;4可減性: 若 , 則 5半可列可加性: , 0 11;nniiiiEE12EE12EE1E 2121;EEEE11nnnnEE.12E ,E,12nE ,EE,12EE,University of science & Tech

33、nology of China 定理2.4.3 (從下連續(xù)性) 設(shè) 是一個測度空間, , 則 定理2.4.4 (從上連續(xù)性) 設(shè) 是測度空間, 則有, 121 2nE,n, ,EEnnnnlimElimE., 1211 2nE,n, ,EE,E, nnnnlimElimE.University of science & Technology of China2.4.3 可測函數(shù)及其性質(zhì) 定義2.4.3 設(shè) 是測度空間, , 為 上的一個實函數(shù),若對 ,均有 , 則稱 為 上的一個可測函數(shù).l可測集上的簡單函數(shù)是可測函數(shù). 定理2.4.5 設(shè) 是測度空間, , 為 上的可測函數(shù),則對 ,

34、有, E fEE fffE, EE,a,bE f,E f,E f,E f,E afb.University of science & Technology of China 定理2.4.6 設(shè) 是測度空間, , 為 上的可測函數(shù), ,則 都是可測函數(shù). 定理2.4.7 設(shè) 為 上一個可測函數(shù)列,且 ,則 也是 上的可測函數(shù)., E f ,gE0k,kf , fg, f, f g, 0fg xg nfEnfffEUniversity of science & Technology of China 定理2.4.8 設(shè) 為 上的可測函數(shù)列, , 且 ,則 . 定理2.4.9 (F.

35、Risze) 設(shè) 為 上的可測函數(shù)列,且 ,則存在 的子列 ,使 .l注意,對抽象測度而言,由于無完全性,即零測集的子集未必可測,故當(dāng) 在 上可測,且 時, 在 上未必可測. nfE E a.e.nff nff nfEnff nfknfka.e.nff fEfg a.e.E于gEUniversity of science & Technology of China2.4.4 抽象積分 定義2.4.4 設(shè) 是測度空間, ,若 , 兩兩互不相交,且 ,則稱 為 的一個可測分割或D型分割,簡稱分割,記為 .l設(shè) 與 為 的兩個分割,若 中每個 均是 中有限個 之并,則稱分割 比 更細(xì)., E

36、iE 1 2i, ,n1niiEE12E ,E ,n,EE1niiD: EE 111niiD : EE 221mjjD : EEE1D 1iE2D 2jE2D1DUniversity of science & Technology of China有限可測集上有界函數(shù)的積分 定義2.4.5 設(shè) 是測度空間, 為 上有界函數(shù), 為 任一分割,令 稱和數(shù) 與 分別為 關(guān)于分割 的積分小和與積分大和.l 與 關(guān)于 有界,且對任意兩分割 與 ,有 隨分割加細(xì), 大和不增, 小和不減., E,E, fE1niiD: EEE 1 2iiiix Ex Eminff x,Msup f x,i, ,n,

37、1nDiiismE1nDiiiSMEfDDsDSD1D2D12DDsS.University of science & Technology of China 定義2.4.6 令 與 ,并分別稱為 在 上的下積分與上積分.l易知, . 定義2.4.7 若 ,則稱 在 上可積,且稱 為 在 上的積分.l -零集 上有界函數(shù)都在 上可積,且 .l -零集的子集未必可測,若其可測,則必是 -零集.EDDfdsupsEDDfdinf SfEEEfdfd EEfdfdfEEEEfdfdfdfEEE0EfdUniversity of science & Technology of Chin

38、a 定理定理2.4.10 設(shè) , 為 上有界可測函數(shù),則 在 上可積,且 其中, l注意到一般測度無完全性,故該定理之逆不成立. E fEfE 10niiiEfdlimfE . 01nAfB,AyyyB,111iiiiiiii nEE yfy ,E ,max yy. University of science & Technology of China 定理2.4.11 設(shè) , 在 上可積,則有 1對 , 在 上可積,且 . 2若 ,則 在 上也可積,且 . 3若 ,則 . 4若 ,則 . E f ,gE, fgEEEEfg dfdgd121212E ,E,EE,EEE f12E ,E

39、12EEEfdfdfdfgEEfdgd0fa.e.0EfdUniversity of science & Technology of China一般可測集上一般函數(shù)的積分 定義2.4.8 設(shè) ,令 若對每個 , 均在 上可積,則稱 在 上有積分值 .特別當(dāng)積分值有限時,稱 在 上可積. 0E, f 1 2nn, f xn,fxn, ,f x , f xn,n nfEfE nEEnfdlimfdfEUniversity of science & Technology of China一般可測集上一般函數(shù)的積分 對一般可測集 , , 若對 在 上均有積分值, 則稱 在 上有積分值 特別當(dāng)積分值有限時, 稱 在 上可積.EfE0f 11() +EE,E, fEfE111()+EEEE,Efdsupfd .University of science & Technology of China一般可測集上一般函數(shù)的積分 對一般