高中數學第三章數系的擴充與復數的引入3.2.2復數代數形式的乘除運算課時作業(yè)新人教版選修2

1、精品教案3.2.2復數代數形式的乘除運算【明目標、知重點11 .掌握復數代數形式的乘法和除法運算.2 .理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律3 .理解共軻復數的概念.填要點記疑點1 .復數的乘法法則設zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),貝UziZ2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i.2 .復數乘法的運算律對任意復數zi、Z2、Z3eC,有交換律ziz2=z2zi結合律(ziz2)z-3=_zi空z3)乘法對加法的分配律zi(z2+z3)=.2+1芍3 .共軻復數如果兩個復數滿足實部相等，虛部互為相反數時，稱這兩個復數為共軻復數,z的共軻復數

2、用z表示.即z=a+bi,則z=a-bi.4 .復數的除法法則設zi=a+bi,z2=c+di(c+di豐0),zia+biac+bdbcad則=22-+-22i.z2c+dic2+d2c2+d2探要點究所然情境導學我們學習過實數的乘法運算及運算律，那么復數的乘法如何進行運算，復數的乘法滿足運算律么？探究點一復數乘除法的運算思考1怎樣進行復數的乘法？答兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要把已得結果中的i2換成-1,并且把實部與虛部分別合并即可.思考2復數的乘法與多項式的乘法有何不同？答復數的乘法與多項式乘法是類似的，有一點不同即必須在所得結果中把i2換成-1.例1計算：(1)(12i)(3

3、+4i)(2+i);(2)(3+4i)(34i);(1+產解(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=20+15i;(2)(3+4i)(3-4i)=32(4i)2=9(16)=25;(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.反思與感悟復數的乘法可以按多項式的乘法法則進行，注意選用恰當的乘法公式進行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等.跟蹤訓練1計算：(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2.解(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=3+4i;思考3如何理解復數的除法運算法則？

4、答復數的除法先寫成分式的形式，再把分母實數化(方法是分母與分子同時乘以分母的共軻復數，若分母是純虛數，則只需同時乘以i).4-3i4+3i例2計算：(1)4十二；(2)(1+2i)2;1+iG+&i(2G可編輯43i 24 + 3i 2解 (1)原式=4 + 3iZ- + Z - 4-3i4-3i4+3i169 24i16 9 + 24i42+ 32+42+ 32724i7+24i14+=；2525251 + i(2)方法一原式=22-6+3p2 +=i6+透+2i+33_1+i.5方法二(技巧解法)1+i2原式=26+反思與感悟復數的除法是分子、分母同乘以分母的共軻復數.跟蹤訓練27

5、+ i計算：37左(2)1 +i 2 + i7+ i解3+4i7 + i 3 -4i 25 25i =1 i.3 + 4i 3-4i25(2)探究點二共軻復數及其應用1+i2+i-3+i-3+i-i思考1像3+4i和3-4i這樣的兩個復數我們稱為互為共軻復數，那么如何定義共軻復數呢？答一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軻復數.通常記復數z的共軻復數為z.虛部不等于0的兩個共軻復數也叫做共軻虛數.思考2復數a+bi的共軻復數如何表示？這兩個復數之積是實數還是虛數?答復數a+bi的共軻復數可表示為abi,由于(a+bi)a-(bi)=a2+b2,所以兩個共軻復數之

6、積為實數.思考3共軻復數有哪些性質，這些性質有什么作用？答(1)在復平面上，兩個共軻復數對應的點關于實軸對稱.(2)實數的共軻復數是它本身，即z=z?zCR,利用這個性質可證明一個復數為實數.若zwo且z+z=0,則z為純虛數，利用這個性質，可證明一個復數為純虛數.思考4zz與|z|2和|z|2有什么關系？答z-z=|z|2=|z|2.例3已知復數z滿足憶|=1,且(3+4i)z是純虛數，求z的共軻復數z.解設2=2+0缶，bR),則z=abi且|z|=22+b2=1,即a2+b2=1.因為(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i,而(3+4i)z是純虛數,所

7、以3a4b=0,且3b+4aw0.4由聯立，解得a=_一,53b=_一5或z =-+ i.5 5反思與感悟 本題使用了復數問題實數化思想，運用待定系數法，化解了問題的難點.跟蹤訓練3 已知復數z滿足：z z +2iz=8+6i ,求復數z的實部與虛部的和.解設 z = a + bi(a, b R),.a2 + b?+2i(a + bi)=8+6i ,即 a2+b2 2b+ 2ai = 8+6i,精品教案a2+b2-2b=8a=3,解得2a=6b=1，a+b=4,復數z的實部與虛部的和是4.A. iC.D.+ -i當堂測查疑缺1 .設復數z滿足iz = 1,其中i為虛數單位，則z等于（）A. i

8、 B. i C. 1 D. 1答案A解析z = - = - i.i2.已知集合 M =1,2 , zi, i為虛數單位，N = 3,4, M nN = 4,則復數z等于(A. 2i B. 2i C. - 4i D. 4i答案 C解析 由 M AN = 4得 zi=4, z= 4i. i一、基礎過關i+'等于(可編輯答案A4.復數z=2一i（i為虛數單位）在復平面內對應的點所在象限為（）2+iA.第一象限B.第二象限D.第四象限C.第三象限解析因為z=2i=21A. 2iB. C. 0 D. 2i=J4i,故復數z對應的點在第四象限，選D.2+i55呈重點、現規(guī)律1 .復數代數形式的乘除

9、運算(1)復數代數形式的乘法類似于多項式乘以多項式，復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律.(2)在進行復數代數形式的除法運算時，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軻復數，化簡后可得，類似于以前學習的分母有理化.2 .共軻復數的性質可以用來解決一些復數問題.3 .復數問題實數化思想.復數問題實數化是解決復數問題的基本思想方法，其橋梁是設復數z=a+bi(a,bCR),利用復數相等的充要條件轉化.40分鐘課時作業(yè)精品教案可編輯解析一=_i,T=i,X=i,=i,ii3i5i71111.一+t+7+7=0.i3i5i73.若a,bCR,i為虛數單位，且（a+i）i

10、=b+i,則（）A.a=1,b=1C.a=1,b=1答案D解析a+i)i=-1+ai=b+i,b=-1a=14.在復平面內，復數士+（1+，3i）2對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析士+>/3i）2=1+2i+（2+2i）=-3+（22）i,對應點（3,2、/3+1）在第二象限5.設復數z的共軻復數是z,若復數Z1=3+4i,Z2=t+i,且Z122是實數，則實數t等于3A44B.一3C.D.答案A解析.Z2=t+i,1.Z2=t-i.Z1Z2=(3+4i)(ti)=3t+4+(4t3)i,又,ziZ2R-4t3=0,，t=.46.若z=f,則復數

11、z等于（）iB. -2 + iD. 2 + iA.2iC.2-i答案D解析z="=2i,-z=2+i.i7.計算：(1)"2I2+海¥010；1-i21+i(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(43i).2+2iZ+(1+i)20102+2i2+1)-2i2i10052i2i1+i解析由已知得z="=;=1+i.9.復數z滿足（z3）（2-i）=5（i為虛數單位），則z的共軻復數z為（）A.2+iB.2iC.5+iD.5i答案D5解析由(z3)(2i)=5得，z3=口=2+i,，z=5+i,z=5i.10.設復數i滿足i（z+1）=-3+2i

12、（i為虛數單位），則z的實部是答案1解析由i(z+1)=-3+2i得到z=3+2i1=2+3i1=1+3i.i11.已知復數z滿足(1+2i)z=4+3i,求z及=.z解因為(1+2i)z=4+3i,所以z=4-i-=4+3i1-2=2-i,故z=2+i.1+2i5z所以=z2-i2+i2-i23-4i34=i.55551012.已知復數z的共軻復數為z,且zz-3iz=",求z.解z=a+bi(a,bCR),貝Uz=abi.一10又zz-3iz=1-3i101+3i-a2-|-b_3i(a+bi)=0-a2+b2+3b3ai=1+3i,精品教案a2+b2+3b=1,a=1,a=1,或-3a=3.b=0,b=3.z=-1,或z=13i.三、探究與拓展13.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一個根(b、c為實數).(1) 求b，c的值；(2) 試說明1i也是方程的根嗎？解(1)因為1+i是方程x2+bx+c=0的根，.(1W2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+