概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第4版) ：7-5 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計

1、第五節(jié)第五節(jié) 正態(tài)總體均值與方差的正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計區(qū)間估計一、單個總體的情況一、單個總體的情況二、兩個總體的情況二、兩個總體的情況三、小結(jié)三、小結(jié)一、單個總體一、單個總體 的情況的情況),(2 N ,)1(2為已知為已知 由上節(jié)例由上節(jié)例1 1可知可知: : 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為 .2/ znX 的置信區(qū)間的置信區(qū)間均值均值 1.,1 設(shè)給定置信水平為設(shè)給定置信水平為 , 21nXXX并設(shè)并設(shè),),(2的樣本的樣本為總體為總體 N分別是樣本均值和分別是樣本均值和2,SX.樣本方差樣本方差 ,)2(2為未知為未知 2SS 可用可用的置信區(qū)間的置信區(qū)

2、間的置信度為的置信度為 1 .)1(2/ ntnSX 推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: : , 2/ 中含有未知參數(shù)中含有未知參數(shù)由于區(qū)間由于區(qū)間 znX ,不能直接使用此區(qū)間不能直接使用此區(qū)間 , 22的無偏估計的無偏估計是是但因為但因為 S , 替換替換 )1()1(2/2/ntnSXntnSXP 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得于是得 ),1(/ ntnSX )1(/)1(2/2/ntnSXntP 又根據(jù)第六章定理三知又根據(jù)第六章定理三知則則即即 ,1 ,1 .)1(2/ ntnSX 解解)15(025. 0t . 0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為 ,131

3、5. 2 例例1 有一大批糖果有一大批糖果, 現(xiàn)從中隨機(jī)地取現(xiàn)從中隨機(jī)地取 16 袋袋,稱得重量稱得重量(克克)如下如下: 496509502506496493505514512497510504503499508506設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布, 試求總體均值試求總體均值 1 0.95, 1 n,15 2 025. 0 ,2022. 6 計算得計算得x,75.503 s 1315. 2162022. 675.503).1 .507, 4 .500(這個估計的可信程度為這個估計的可信程度為95%.即即就是說估計袋裝糖果重量的均值在就是說估計袋裝糖果重量的均值在50

4、0.4克與克與507.1 克之間克之間, , 的近似值的近似值為為若依此區(qū)間內(nèi)任一值作若依此區(qū)間內(nèi)任一值作 其誤差不大于其誤差不大于這個誤差的可信度為這個誤差的可信度為95%. 21315. 2162022. 6 ).( 61. 6克克的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為得得5%9 解解 0.025,2 : )1( 2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025. 0 ,2022. 6 s計算得計算得)15(2975. 0 代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間).60. 9,58. 4(續(xù)例續(xù)例) 求補(bǔ)充求補(bǔ)充1中總體標(biāo)準(zhǔn)差中總體標(biāo)準(zhǔn)差 的置信度為的置信度為 ,488.2

5、7,262. 6例例2,151 n 0.975,21 0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 附表附表2-1附表附表2-2推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下: : 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn . 未知的情況未知的情況只介紹只介紹 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間方差方差 2. ,根據(jù)實(shí)際需要根據(jù)實(shí)際需要 , 22的無偏估計的無偏估計是是因為因為 S),1()1(222 nSn 根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知 )1()1()1(22/2222/1nSnnP )1()1()1()1(22/12222/2nSnnSnP

6、則則即即 ,1 ,1 1 2的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信度為的置信度為于是得方差于是得方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 .)1(1,)1(122/122/ nSnnSn 進(jìn)一步可得進(jìn)一步可得: :在密度函數(shù)不對稱時在密度函數(shù)不對稱時, , , 2分布分布分布和分布和如如F 注意注意: :習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間習(xí)慣上仍取對稱的分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間( (如圖如圖).).體的樣本方差體的樣本方差二、兩個總體二、兩個總體 的情況的情況),(),(222211 NN ,1 設(shè)給定置信水平為設(shè)給

7、定置信水平為1, 21nXXX并設(shè)并設(shè),),(211的樣本的樣本為第一個總體為第一個總體 N為第為第2,21nYYY ,),(222的樣本的樣本二個總體二個總體 N分別是第一、二分別是第一、二YX, ,個總體的樣本均值個總體的樣本均值分別是第一、二個總分別是第一、二個總2221, SS 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個總體均值差兩個總體均值差 1.均為已知均為已知和和2221)1( 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為 .2221212/ nnzYX , , , 21的無偏估計的無偏估計分別是分別是因為因為 YX , 21的無偏估計的無偏估計是是 YX推導(dǎo)過程如下推導(dǎo)過程如下:

8、所以所以的獨(dú)立性及的獨(dú)立性及由由 , YX,1211 nNX ,2222 nNY ,22212121 nnNYX ,1, 022212121NnnYX 可知可知或或 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 .2221212/ nnzYX , )50(21則有則有即可即可實(shí)際上實(shí)際上都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的近似置信區(qū)間的近似置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為 .2221212/ nSnSzYX ,2221均為未知均為未知和和 (2),)3(22221 1 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為 , 2為未知為未知但但 .11)2(2

9、1212/ nnSnntYXw 其中其中2wS,2)1()1(21222211 nnSnSnwS.2wS 例例3為比較為比較, 兩種型號步槍子彈的槍口速度兩種型號步槍子彈的槍口速度, ,),s/m(5001 x),s/m(10. 1 1 s標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)地取隨機(jī)地取得槍口速度平均值為得槍口速度平均值為),s/m(4962 x),s/m(20. 1 2 s標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差且由生產(chǎn)過程可認(rèn)為它們的方差 .950 21的置的置的置信度為的置信度為 信區(qū)間信區(qū)間.隨機(jī)地取隨機(jī)地取型子彈型子彈10發(fā)發(fā), 得到槍口速度的平均值為得到槍口

10、速度的平均值為型子彈型子彈20發(fā)發(fā),地服從正態(tài)分布地服從正態(tài)分布,相等相等, 求兩總體均值差求兩總體均值差解解兩總體樣本是相互獨(dú)立的兩總體樣本是相互獨(dú)立的.由題意由題意,但數(shù)值未知但數(shù)值未知,又因為假設(shè)兩總體的方差相等，又因為假設(shè)兩總體的方差相等，)28(025. 0t.048. 2 1 0.95, 2 ,025. 0 由于由于1n,10 2n,20 221 nn,28 ,28)20. 11910. 19(22 ,1688. 12 wsws2wS .950 的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為故所求的兩總體均值差故所求的兩總體均值差21 201101)28(025. 021tSxx

11、w),93. 04( ).93. 4,07. 3( 即即例例4試圖采用試圖采用為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的得率為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過程的得率,一種新的催化劑一種新的催化劑, 為慎重起見為慎重起見, 在試驗工廠先進(jìn)行在試驗工廠先進(jìn)行試驗試驗.,81次試驗次試驗行了行了設(shè)采用原來的催化劑進(jìn)設(shè)采用原來的催化劑進(jìn) n.73.911 x得到得率的平均值得到得率的平均值,89. 321 s樣本方差樣本方差次試驗，次試驗，又采用新的催化劑進(jìn)行又采用新的催化劑進(jìn)行82 n,75.932 x的平均值的平均值得到得率得到得率,02. 422 s樣本方差樣本方差假設(shè)兩假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布總體都可認(rèn)為近似地

12、服從正態(tài)分布, 且方差相等且方差相等,的置信的置信的置信水平為的置信水平為求兩總體均值差求兩總體均值差95. 021 .區(qū)間區(qū)間解解因為因為 2ws2)1()1(21222211 nnSnSn ,3.96 .950 21的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信水平為的一個置信水平為于是得于是得 8181)14(025. 021tsxxw, )13. 202. 2( ).11. 0,15. 4( 所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為即即 . , 21為未知的情況為未知的情況僅討論總體均值僅討論總體均值 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個總體方差比兩個總體方差比 2.22212221 SS ),1, 1(21 nnF

13、由第六章第三節(jié)定理四由第六章第三節(jié)定理四 .)1, 1(21不依賴任何未知參數(shù)不依賴任何未知參數(shù)并且分布并且分布 nnF為樞軸量得為樞軸量得取取22212221 SS )1, 1()1, 1(212/22222121212/1nnFSSnnFP ,1 即即 )1, 1(1)1, 1(1212/122212221212/2221nnFSSnnFSSP ,1 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 1 2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 例例5設(shè)兩樣本相互獨(dú)設(shè)兩樣本相互獨(dú); )mm(34. 0221 s為為).mm

14、(29. 0 222 s測得樣本方差測得樣本方差研究由機(jī)器研究由機(jī)器 A 和機(jī)器和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑, 隨機(jī)抽取機(jī)器隨機(jī)抽取機(jī)器 A 生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 18 只只, 測得樣本方差測得樣本方差抽取機(jī)器抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 13 只只,區(qū)間區(qū)間. .且設(shè)由機(jī)器且設(shè)由機(jī)器A和機(jī)器和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服服),(),(222211 NN從正態(tài)分布從正態(tài)分布)2 , 1(,2 iii 的置信的置信的置信度為的置信度為求方差比求方差比90. 02221 立立,均未知均未知,解解 1n 2n),mm(34. 02),mm(29. 02)1, 1(212

15、/ nnF )12,17(05. 0F ,59. 2)12,17(95. 0F,38. 21)12,17(2/1 F )17,12(105. 0F ,18 21 s,13 22 s,10. 0 .900 2221的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的一個置信度為的一個置信度為于是得于是得 38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0 .79. 2,45. 0 補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 )1(的置信區(qū)間的置信區(qū)間單個總體均值單個總體均值 ,2為已知為已知 .2/ znX ,2為未知為未知 .)1(2/ ntnSX )2(2的置信區(qū)間的置信區(qū)間單個總體方差單個總體方差 .)1()1(,)1()1(

16、22/1222/2 nSnnSn 三、小結(jié)三、小結(jié) )3(21的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個總體均值差兩個總體均值差 ,2221均為已知均為已知和和 .2221212/ nnzYX ,2221均為未知均為未知和和 .2221212/ nSnSzYX , ,222221為未知為未知但但 .11)2(21212/ nnSnntYXw )4(2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間兩個總體方差比兩個總體方差比 , 21為未知為未知總體均值總體均值 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS附表附表2-12-1=0.250.100.050.0250.010.00512345

17、6789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.378

18、9.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表27.488返回返回附表附表2-22-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.70