概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第4版) ：8-1 假設(shè)檢驗

1、第一節(jié)第一節(jié) 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念三、假設(shè)檢驗的一般步驟三、假設(shè)檢驗的一般步驟一、假設(shè)檢驗的基本原理一、假設(shè)檢驗的基本原理四、小結(jié)四、小結(jié)一、假設(shè)檢驗的基本原理一、假設(shè)檢驗的基本原理還是拒絕還是拒絕. . 0的假設(shè)等的假設(shè)等期望等于期望等于對于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)對于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué) 在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下但不知其參數(shù)的情況下, 為了推斷總體的某些性為了推斷總體的某些性質(zhì)質(zhì), 提出某些關(guān)于總體的假設(shè)提出某些關(guān)于總體的假設(shè).例如例如, 提出總體服從泊松分布的假設(shè)提出總體服從泊松分布的假設(shè)

2、; ,又如又如假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出判斷判斷: 是接受是接受,假設(shè)檢驗問題是作出這一決策的過程假設(shè)檢驗問題是作出這一決策的過程. .如何利用樣本值對一個具體的假設(shè)進(jìn)行檢驗如何利用樣本值對一個具體的假設(shè)進(jìn)行檢驗? ?事件在一次試驗中幾乎是不可事件在一次試驗中幾乎是不可下面結(jié)合實例來說明假設(shè)檢驗的基本思想下面結(jié)合實例來說明假設(shè)檢驗的基本思想. .假設(shè)檢驗問題是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題假設(shè)檢驗問題是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題. .通常借助于直觀分析和理論通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法分析相結(jié)合的做法, 其基本原理就其基本原理就是人們在實際

3、問題中經(jīng)常采用的是人們在實際問題中經(jīng)常采用的所謂實際推斷原理所謂實際推斷原理:“一個小概率一個小概率能發(fā)生的能發(fā)生的”.例例1某車間用一臺包裝機(jī)包裝葡萄糖某車間用一臺包裝機(jī)包裝葡萄糖, 袋裝糖的袋裝糖的凈重是一個隨機(jī)變量凈重是一個隨機(jī)變量, 它服從正態(tài)分布它服從正態(tài)分布.0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511當(dāng)機(jī)器正當(dāng)機(jī)器正常時常時, 其均值為其均值為0.5kg, 標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0.015kg. 某日開工某日開工后為檢驗包裝機(jī)是否正常后為檢驗包裝機(jī)是否正常, 隨機(jī)地抽取它所包裝隨機(jī)地抽取它所包裝的糖的糖9袋袋, 稱得凈重為稱得凈重為(kg):問機(jī)器是否正常問機(jī)

4、器是否正常? 0.520 0.515 0.512,的的凈凈分分別別表表示示這這一一天天袋袋裝裝糖糖和和以以 ,的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差重總體重總體X,015. 0 ),015. 0,( 2 NX于是于是.未知未知這里這里 由長期實踐表明標(biāo)準(zhǔn)差比較穩(wěn)定由長期實踐表明標(biāo)準(zhǔn)差比較穩(wěn)定,我們就設(shè)我們就設(shè). 0.5 我們提出兩個相互對立的假設(shè)我們提出兩個相互對立的假設(shè). :01 H0.5 問題是根據(jù)樣本值判斷問題是根據(jù)樣本值判斷還是還是 為此，為此， :0H和和 0 5 . 0然后，然后， 我們給出一個合理的法則，我們給出一個合理的法則， 根據(jù)這一法根據(jù)這一法問題問題分析分析則，則，即拒絕即拒絕是接

5、受假設(shè)是接受假設(shè)利用已知樣本作出決策利用已知樣本作出決策(0H, )1H假設(shè)假設(shè). )(10HH即接受假設(shè)即接受假設(shè)還是拒絕假設(shè)還是拒絕假設(shè)，則認(rèn)為則認(rèn)為0 如果如果,0H作出的決策是接受作出的決策是接受工作是正常的工作是正常的,即認(rèn)為機(jī)器即認(rèn)為機(jī)器否則否則, 認(rèn)為是不正常的認(rèn)為是不正常的. , 的無偏估計的無偏估計是是 X不應(yīng)不應(yīng) | 0 x，總體均值總體均值由于要檢驗的假設(shè)涉及由于要檢驗的假設(shè)涉及 .進(jìn)行判斷進(jìn)行判斷本均值本均值X,0為真為真H可借助樣可借助樣,太大太大為真時為真時當(dāng)當(dāng)0H. )1 , 0(/0NnX 的大的大的大小可歸結(jié)為衡量的大小可歸結(jié)為衡量衡量衡量 /|00nxx .

6、小小,k適當(dāng)選定一正數(shù)適當(dāng)選定一正數(shù),/0時時滿足滿足當(dāng)觀測值當(dāng)觀測值knxx 反之，反之，,0H拒絕假設(shè)拒絕假設(shè) .0H就接受假設(shè)就接受假設(shè),/0時時若若knx ),1 , 0(/0NnXZ 為真時，為真時，由于當(dāng)由于當(dāng)0H由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點的定義得：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點的定義得：,2/ zk .0H接受接受 ,/ 2/0時時 znx ,0H拒絕拒絕,/2/0時時當(dāng)當(dāng) znx 0.05, 在實例中若取定在實例中若取定,96. 1 025. 02/ zzk 則則 , 9 n又已知又已知 0.511, x由樣本算得由樣本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒絕假設(shè)于是拒絕假設(shè)H0,

7、 , 假設(shè)檢驗過程如下假設(shè)檢驗過程如下: :0.015, 認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的. .,總是取得很小總是取得很小因通常因通常 一般取一般取 0.01,0.05. ,0為真為真因而當(dāng)因而當(dāng)H, 0時時即即 2/0/ znX ,是一個小概率事件是一個小概率事件 ,根據(jù)實際推斷原理根據(jù)實際推斷原理 就可以認(rèn)就可以認(rèn) ,0為為真真為為如如果果 H等等式式由由一一次次試試驗驗得得到到滿滿足足不不2/0/ znx ,x的觀察值的觀察值. 幾乎是不會發(fā)生的幾乎是不會發(fā)生的.0H因而只能接受因而只能接受.0H絕絕,

8、/2/0 xznx的的現(xiàn)了滿足現(xiàn)了滿足在一次觀測中竟出在一次觀測中竟出 ,0的正確性的正確性假設(shè)假設(shè)我們有理由懷疑原來的我們有理由懷疑原來的H因而拒因而拒 ,/ 2/0 znxx 滿足不等式滿足不等式若出現(xiàn)觀測值若出現(xiàn)觀測值 ,0H則沒有理由拒絕假設(shè)則沒有理由拒絕假設(shè)二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念1. 顯著性水平顯著性水平;0H則我們拒絕則我們拒絕如果如果,/0knxz 的差異是顯的差異是顯與與則稱則稱0 x,著的著的 . 0H則我們接受則我們接受.稱為顯著性水平稱為顯著性水平數(shù)數(shù) ,反之反之 如果如果 ,/0knxz ,0的差異是不顯著的的差異是不顯著的與與則稱則稱 x . 0

9、H則我們接受則我們接受在顯在顯有無顯著差異的判斷是有無顯著差異的判斷是與與上述關(guān)于上述關(guān)于0 x下做出的，下做出的，著性水平著性水平 2. 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量3. 原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)與備擇假設(shè).稱為檢驗統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量 /0nX Z前面的檢驗問題通常敘述成前面的檢驗問題通常敘述成: : ,下下 . 01”檢驗檢驗針對針對HH 在顯著性水平在顯著性水平檢驗假設(shè)檢驗假設(shè), :00 H . : 01 H也常說成也常說成,下下“在顯著性水平“在顯著性水平 ,0稱為原假設(shè)或零假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)H. 1稱為備擇假設(shè)稱為備擇假設(shè)H4. 拒絕域與臨界點拒絕域與臨界點當(dāng)檢驗統(tǒng)計量取某個

10、區(qū)域當(dāng)檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域C中的值時中的值時, 我們拒我們拒,H0絕原假設(shè)絕原假設(shè)則稱區(qū)域則稱區(qū)域C為拒絕域為拒絕域, 拒絕域的邊界拒絕域的邊界點稱為臨界點點稱為臨界點.如在上例中如在上例中, , ,|2/ zz 拒絕域為拒絕域為.2/ zz 臨界點為臨界點為,2/ zz 5. 兩類錯誤及記號兩類錯誤及記號兩類兩類: :假設(shè)檢驗的依據(jù)是假設(shè)檢驗的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗小概率事件在一次試驗中很難發(fā)生中很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假設(shè)因而假設(shè)檢驗所作出的結(jié)論有可能是錯誤的檢驗所作出的結(jié)論有可能是錯誤的. 這種錯誤有這種錯誤有(1) 當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè)H0為

11、真為真, , . 的概率是顯著性水平的概率是顯著性水平犯第一類錯誤犯第一類錯誤這類錯誤是這類錯誤是“以真為假以真為假”.真錯誤真錯誤,又叫又叫棄棄稱做稱做第一類錯誤第一類錯誤,作出了拒絕作出了拒絕H0的判斷的判斷,而而觀察值卻落入拒絕域觀察值卻落入拒絕域,犯第犯第類錯誤的概率記為類錯誤的概率記為.01HPH接受接受 P00HH 不真接受不真接受當(dāng)當(dāng)或或一般來說，一般來說， 當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量 n 一定時一定時, 若減少犯第若減少犯第一類錯誤的概率一類錯誤的概率, 則犯第二類錯誤的概率往往增大則犯第二類錯誤的概率往往增大.若要使犯兩類錯誤的概率都減小若要使犯兩類錯誤的概率都減小, 除非增加除非

12、增加樣本容量樣本容量.(2) 當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè) H0 不真不真, , 這類錯誤是這類錯誤是“以假為真以假為真”. 取偽錯誤取偽錯誤, 又叫又叫稱做稱做第二類錯誤第二類錯誤,而作出了接受而作出了接受 H0 的判斷的判斷,而觀察值卻落入接受域而觀察值卻落入接受域,6. 顯著性檢驗顯著性檢驗7. 雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗只對只對犯第一類錯誤的概率加以控制犯第一類錯誤的概率加以控制, 而不考而不考慮犯第二類錯誤的概率的檢驗慮犯第二類錯誤的概率的檢驗, 稱為顯著性檢稱為顯著性檢驗驗.為雙邊假設(shè)檢驗為雙邊假設(shè)檢驗 , : : 0100中中和和在在 HH1 H備擇假設(shè)備擇假設(shè) ,

13、0 可能大于可能大于表示表示 ,0 也可能小于也可能小于稱為雙邊備擇稱為雙邊備擇,假設(shè)假設(shè)的假設(shè)檢驗稱的假設(shè)檢驗稱形如形如 : , : 0100 HH8. 右邊檢驗與左邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗 .稱為右邊檢驗稱為右邊檢驗的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗形如形如 : , : 0100 HH的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗形如形如 : , : 0100 HH.稱為左邊檢驗稱為左邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗.9. 單邊檢驗的拒絕域單邊檢驗的拒絕域 . 給定顯著性水平給定顯著性水平),(2 NX設(shè)總體設(shè)總體,為已知為已知 nXXX,21,的樣本的樣本是來自總體是來自總體 X右邊檢驗的

14、拒絕域為右邊檢驗的拒絕域為 ,/0 znxz 左邊檢驗的拒絕域為左邊檢驗的拒絕域為./0 znxz 則：則： (1)(1)右邊檢驗右邊檢驗 , 10要小要小中的中的都比都比中的全部中的全部因因 HH , 往往偏大往往偏大觀察值觀察值 x為為當(dāng)當(dāng) 1H,真時真時證明證明 )( 是某一正常數(shù)是某一正常數(shù)k, kx 因此拒絕域的形式為因此拒絕域的形式為 00HHP為真拒絕為真拒絕由由 kXPH 0 nknXP/000 nknXP/00 上式不等號成立的原因上式不等號成立的原因: :, 0 因為因為,/0nX 所以所以nX/ ./0 nknX , 00 HHP為真拒絕為真拒絕要控制要控制 nknXP/

15、00 事件事件 nknX/00 只需令只需令. ,/ 0 znk ,0 znk ),1, 0(/ NnX 由于由于所以所以故右邊檢驗的拒絕域為故右邊檢驗的拒絕域為./0 znxz ,0 znx 即即類似證，類似證，左邊檢驗的拒絕域為左邊檢驗的拒絕域為./0 znxz 三、假設(shè)檢驗的一般步驟三、假設(shè)檢驗的一般步驟 ; 1H設(shè)設(shè) ; . 2n以及樣本容量以及樣本容量給定顯著性水平給定顯著性水平 3. 3. 確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域形式確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域形式; ; ;. 400求出拒絕域求出拒絕域為真拒絕為真拒絕按按 HHP ,. 5取樣取樣 ,. 1根據(jù)實際問題的要求根據(jù)實際問題的要求及備擇

16、假及備擇假提出原假設(shè)提出原假設(shè) 0H .0H受還是拒絕受還是拒絕根據(jù)樣本觀測值確定接根據(jù)樣本觀測值確定接例例2 2 公司從生產(chǎn)商購買牛奶公司從生產(chǎn)商購買牛奶. 公司懷疑生產(chǎn)商在公司懷疑生產(chǎn)商在牛奶中摻水以謀利牛奶中摻水以謀利. 通過測定牛奶的冰點，通過測定牛奶的冰點， 可以檢可以檢驗出牛奶是否摻水驗出牛奶是否摻水.天然牛奶的冰點溫度近似服從天然牛奶的冰點溫度近似服從正態(tài)分布，正態(tài)分布，,545. 00C 均值均值C.008. 0 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差).0(C 點溫度點溫度溫度，溫度，測得生產(chǎn)商提交的測得生產(chǎn)商提交的5批牛奶的冰點批牛奶的冰點,535. 0Cx 其均值其均值商在牛奶中摻了水？商在牛奶中摻了水？問是否可以認(rèn)為生產(chǎn)問是否可以認(rèn)為生產(chǎn)05. 0 取取牛奶摻水可使冰點溫度升高而接近于水的冰牛奶摻水可使冰點溫度升高而接近于水的冰解解按題意需檢驗假設(shè)按題意需檢驗假設(shè)545. 00 :0H(即設(shè)牛奶未摻水即設(shè)牛奶未摻水)0 :1H(即設(shè)牛奶已摻水即設(shè)牛奶已摻水)這是右邊檢驗問題，這是右邊檢驗問題， 其拒絕域為其拒絕域為 znx 0 05. 0z .645. 1現(xiàn)在現(xiàn)在z5008. 0)545. 0(535. 0