河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)

1、第九章第九章時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論與方法第一節(jié)第一節(jié) 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別和估計(jì)隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別和估計(jì)第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)整分析與誤差修正模型協(xié)整分析與誤差修正模型9.1 9.1 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸一、問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型模型二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)

2、與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一、問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典一、問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型回歸模型常見(jiàn)的數(shù)據(jù)類型常見(jiàn)的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有： 時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-series data)； 截面數(shù)據(jù)截面數(shù)據(jù)(cross-sectional data) 平行平行/面板數(shù)據(jù)面板數(shù)據(jù)（panel data/time-series cross-section data) 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見(jiàn)，也是最常用到的數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見(jiàn)，也是最常用到的數(shù)據(jù)。經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 經(jīng)典回歸

3、分析經(jīng)典回歸分析暗含暗含著一個(gè)重要著一個(gè)重要假設(shè)假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)“一致一致性性”要求要求被破懷。被破懷。 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變是非隨機(jī)變量量 放寬該假設(shè)：放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 不相關(guān)不相關(guān) Cov(X, )=0nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收斂：依概率收斂： (2) 第（2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性”特性：)(limnPnxnuxx

4、uxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2第（1）條是OLS估計(jì)的需要如果如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），（如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），則（則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性一致性”，基，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此：注意：注意：在雙變量模型中：在雙變量模型中： 表現(xiàn)在表現(xiàn)在:兩個(gè)本來(lái)沒(méi)有任何因果關(guān)系的變量，卻兩個(gè)本來(lái)沒(méi)有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性有很高的相關(guān)性（有較高的R2)： 例如：例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)（非平穩(wěn)的），即使它們沒(méi)有任何

5、有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中： 情況往往是實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過(guò)經(jīng)典的因果關(guān)仍然通過(guò)經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸虛假回歸”問(wèn)題問(wèn)題 時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析模型方法模型方法就是在這樣的情況下，以通過(guò)揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)以通過(guò)揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來(lái)的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方

6、法論展起來(lái)的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。 時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)當(dāng)中。二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 時(shí)間序列分析中首先遇到的問(wèn)題首先遇到的問(wèn)題是關(guān)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性問(wèn)題。 假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程（stochastic process）生成的，即假定時(shí)間序列）生成的，即假定時(shí)間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：滿足下列條件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是是

7、與時(shí)間與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是是與時(shí)間與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差）協(xié)方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只與時(shí)期間隔只與時(shí)期間隔k有關(guān)，有關(guān)，與時(shí)間與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的平穩(wěn)的（stationary)，而該，而該隨機(jī)過(guò)程是一隨機(jī)過(guò)程是一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程（stationary stochastic process）。）。 一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=t ， tN(0

8、,2)另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游走隨機(jī)游走（random walk），該序列由如下隨機(jī)過(guò)程生成： Xt=Xt-1+t這里， t是一個(gè)白噪聲。該序列常被稱為是一個(gè)白噪聲白噪聲（white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的。 為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+ +1+2+t 由于X0為常數(shù)，t是一個(gè)白噪聲，因此Var(Xt)=t2 即即Xt的方差與時(shí)間的方差與時(shí)間t t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序有關(guān)而非

9、常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。列。 容易知道該序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1) 然而，對(duì)X取一階差分一階差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一個(gè)白噪聲，則序列Xt是平穩(wěn)的。 后面將會(huì)看到后面將會(huì)看到: :如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^(guò)取差分的方法而形成平穩(wěn)序列它常?？赏ㄟ^(guò)取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。 事實(shí)上，事實(shí)上，隨機(jī)游走過(guò)程隨機(jī)游走過(guò)程是下面我們稱之為是下面我們稱之為1 1階自回階自回歸歸AR(1)AR(1)過(guò)程過(guò)程的特例的特例 X Xt t= = X Xt-1t-1+ +t 不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證:1)|

10、|1|1時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列是時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升( 1)1)或持續(xù)下降或持續(xù)下降( -1)-1)，因此是非平穩(wěn)的；因此是非平穩(wěn)的； 第二節(jié)中將證明第二節(jié)中將證明:只有當(dāng)只有當(dāng)-1-1 10，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，為均值，1/n 為方差的正態(tài)分布，其中為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。為樣本數(shù)。 也可檢驗(yàn)對(duì)所有也可檢驗(yàn)對(duì)所有k0k0，自相關(guān)系數(shù)都為，自相關(guān)系數(shù)都為0 0的聯(lián)合的聯(lián)合假設(shè)，這可通過(guò)如下假設(shè)，這可通過(guò)如下Q QLBLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行： 該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的2分布

11、（m為滯后長(zhǎng)度）。 因此:如果計(jì)算的如果計(jì)算的Q Q值大于顯著性水平值大于顯著性水平為為 的臨界值，則有的臨界值，則有1-1- 的把握拒絕所有的把握拒絕所有 k k(k0)(k0)同時(shí)為同時(shí)為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 mkkLBknrnnQ12)2(表表 9 9. .1 1. .1 1 一一個(gè)個(gè)純純隨隨機(jī)機(jī)序序列列與與隨隨機(jī)機(jī)游游走走序序列列的的檢檢驗(yàn)驗(yàn) 序號(hào) Random1 自相關(guān)系數(shù) kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相關(guān)系數(shù) kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.05

12、9 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0

13、.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.136 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=

14、14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易驗(yàn)證：該樣本序列的均值為該樣本序列的均值為0 0，方差為，方差為0.07890.0789。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM

15、1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC 從圖形看：它在其樣本均值它在其樣本均值0 0附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到系數(shù)迅速下降到0 0，隨后在，隨后在0 0附近波動(dòng)且逐漸收斂于附近波動(dòng)且逐漸收斂于0 0。 由于該序列由一隨機(jī)過(guò)程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。該序列為一白噪聲。 根據(jù)Bartlett的理論：kN(0,1/19) 因此任一rk(k0)的95%的置信區(qū)間都將是 可以看出可以看出: :k0k0時(shí)，時(shí)，r rk k的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受因此可

16、以接受 k k( (k0)k0)為為0 0的假設(shè)的假設(shè)。 同樣地，從從Q QLBLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后1717期期的計(jì)算值為的計(jì)算值為26.3826.38，未超過(guò)，未超過(guò)5%5%顯著性水平的臨界值顯著性水平的臨界值27.5827.58，因此，因此, ,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)可以接受所有的自相關(guān)系數(shù) k k( (k0)k0)都為都為0 0的假設(shè)。的假設(shè)。 因此，該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。該隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。 4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ 序列Random2是由一隨機(jī)游走過(guò)程 Xt=Xt-1

17、+t 生成的一隨機(jī)游走時(shí)間序列樣本。其中，第0項(xiàng)取值為0， t是由Random1表示的白噪聲。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 樣本自相關(guān)系數(shù)顯示樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間-0.4497, 0.4497之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。 該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。該隨機(jī)游走序列是非平穩(wěn)的。 圖形表示出：圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但

18、隨著時(shí)間的推移，則在0附近波動(dòng)且呈發(fā)散趨勢(shì)。例例 9.1.9.1.4 4 檢驗(yàn)中國(guó)支出法 GDP 時(shí)間序列的平穩(wěn)性。表表 9.1.2 9.1.2 1978200019782000 年中國(guó)支出法年中國(guó)支出法 GDPGDP（單位：億元）（單位：億元）年份GDP年份GDP年份GDP19783605.6198610132.8199446690.719794073.9198711784199558510.519804551.3198814704199668330.419814901.4198916466199774894.219825489.2199018319.5199879003.319836076

19、.3199121280.4199982673.119847164.4199225863.6200089112.519858792.1199334500.6 圖形：表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過(guò)程圖形：表現(xiàn)出了一個(gè)持續(xù)上升的過(guò)程，可，可初步判斷初步判斷是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它，再次表明它的的非平穩(wěn)非平穩(wěn)性。性。 圖圖 9 9. .1 1. .5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0 年年中中國(guó)國(guó) G GD DP P 時(shí)時(shí)間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.22

20、46810121416182022GDPACF020000400006000080000100000788082848688909294969800GDP 拒絕：拒絕：該時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。 結(jié)論結(jié)論:19782000年間中國(guó)GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)序列。從滯后從滯后18期的期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：統(tǒng)計(jì)量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05 檢驗(yàn)2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 圖圖 9.1.6 19811996中中國(guó)國(guó)居居民民人人均均消消費(fèi)費(fèi)與與人人均均 GDP 時(shí)時(shí)間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)圖圖

21、01000200030004000500060008284868890929496GDPPCCPC-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.212345678910 11 12 13 14 15GDPPCCPC 原圖 樣本自相關(guān)圖 從圖形上看：從圖形上看：人均居民消費(fèi)（CPC）與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的是非平穩(wěn)的。 從滯后從滯后1414期的期的QLB統(tǒng)計(jì)量看：統(tǒng)計(jì)量看： CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值均為57.18，超過(guò)了顯著性水平為5%時(shí)的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。表明它們的非平穩(wěn)性。 就此來(lái)說(shuō)，運(yùn)用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的就此來(lái)說(shuō)，運(yùn)用傳

22、統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無(wú)實(shí)際意義的?；貧w方程是無(wú)實(shí)際意義的。 不過(guò)，第三節(jié)中將看到，如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)不過(guò)，第三節(jié)中將看到，如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是間序列是協(xié)整協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時(shí)間序列恰是的，而這兩時(shí)間序列恰是協(xié)整協(xié)整的。的。 四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn) 對(duì)時(shí)間序列的平穩(wěn)性除了通過(guò)圖形直觀判斷外，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則是更為準(zhǔn)確與重要的。 單位根檢驗(yàn)（單位根檢驗(yàn)（unit root test）是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。1 1、DFDF檢驗(yàn)檢驗(yàn)我們已知道，隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其

23、中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型 Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時(shí)的情形。也就是說(shuō)，我們對(duì)式 Xt=Xt-1+t （*） 做回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn)=1，就說(shuō)隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根單位根。 （*）式可變形式成差分形式： Xt=(1-)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根=1，也可通過(guò)（*）式判斷是否有 =0。 一般地一般地: : 檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列XtXt的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小

24、于1 1。 或者：或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式檢驗(yàn)其等價(jià)變形式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* * *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于0 0 。 在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù) 11或或 =1=1時(shí)，時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的; ; 對(duì)應(yīng)于（*）式，則是 00或或 = =0。 因此，針對(duì)式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 我們關(guān)心的檢驗(yàn)為：零假設(shè)零假設(shè) H0： =0。 備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1： 0 上述檢驗(yàn)可通過(guò)上述檢驗(yàn)可通過(guò)OLS法下的法下的t檢驗(yàn)完成。檢驗(yàn)完成。 然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下

25、t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗(yàn)無(wú)法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量），即DF分布分布由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。 因此，可通過(guò)OLS法估計(jì) X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果：如果：t臨界值，則拒絕零假設(shè)臨界值，則拒絕零假設(shè)H0： =0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。表表 9.1.3 DF 分分布布臨臨界界值值表表 樣 本 容 量

26、顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。結(jié)果是相同的。例如：例如：“如果計(jì)算得到的如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，則拒絕臨界值的絕對(duì)值，則拒絕=0”的假設(shè)，原序列的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列

27、。不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 進(jìn)一步的問(wèn)題進(jìn)一步的問(wèn)題：在上述使用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)中，實(shí)際上實(shí)際上假定了時(shí)間序列是由假定了時(shí)間序列是由具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過(guò)程具有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過(guò)程AR(1)生成的生成的。 但在實(shí)際檢驗(yàn)中但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過(guò)程，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過(guò)程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致

28、DF檢驗(yàn)無(wú)效。 另外另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問(wèn)題機(jī)誤差項(xiàng)問(wèn)題。 為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白噪聲特性，Dicky和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗(yàn)）檢驗(yàn)。 2 2、ADFADF檢驗(yàn)檢驗(yàn)ADF檢驗(yàn)是通過(guò)下面三個(gè)模型完成的：檢驗(yàn)是通過(guò)下面三個(gè)模型完成的： 模型模型3 中的中的t是時(shí)間變量是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。 檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)H1: 500-2.58-2.23-1.95-1.

29、6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57500-3.43-3.12-2.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832.522.1625003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4

30、.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.725003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.3835003.46

31、3.112.782.38同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過(guò)ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；2）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问侥Ｐ瓦m當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)過(guò)程：一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)過(guò)程： 檢驗(yàn)19782000年間中國(guó)支出法GDP時(shí)間

32、序列的平穩(wěn)性。21101. 150. 10093. 027.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26） (1.91) (0.31) (8.94) (-4.95) 1）經(jīng)過(guò)償試，模型3取了2階滯后： 通過(guò)拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrange multiplier test）對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)： LM（1）=0.92， LM（2）=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的2分布的臨界值，可見(jiàn)不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。從從 的系數(shù)看，的系數(shù)看，t臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。時(shí)間

33、T的t統(tǒng)計(jì)量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不能拒絕不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)不存在趨勢(shì)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托柽M(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ? 。2）經(jīng)試驗(yàn)，模型2中滯后項(xiàng)取2階：21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90） (3.38) (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM檢驗(yàn)表明模型殘差不存在自相關(guān)性，因此該模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 常數(shù)項(xiàng)的t統(tǒng)計(jì)量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒不能拒絕不

34、存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。絕不存常數(shù)項(xiàng)的零假設(shè)。需進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。3)經(jīng)試驗(yàn)，模型1中滯后項(xiàng)取2階： LM檢驗(yàn)表明模型殘差項(xiàng)不存在自相關(guān)性，因此模型的設(shè)定是正確的。 從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計(jì)量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 可斷定中國(guó)支出法可斷定中國(guó)支出法GDP時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。 211194. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15） (11.46) (-6.05) LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 例例檢驗(yàn)2.10中關(guān)于人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時(shí)間序列的平穩(wěn)性。 1)

35、對(duì)中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)償試，三個(gè)模型的適當(dāng)形式分別為模型 2： 211425. 1040. 0652. 002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78） (3.26) (0.08) (-2.96) 43403. 1412. 0ttGDPPCGDPPC (-0.67) (-2.20) LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=10.92 模型 3： 1103. 115. 036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0.75） (1.93) (-1.04) (2.31)

36、LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 三個(gè)模型中參數(shù)的估計(jì)值的t統(tǒng)計(jì)量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設(shè)不能拒絕存在單位根的零假設(shè)。 結(jié)論：人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)）是非平穩(wěn)的。的。 模型 1： 211975. 0875. 0196. 0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63） (2.61) (-2.72) LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 2）對(duì)于人均居民消費(fèi)CPC時(shí)間序列來(lái)說(shuō)，三個(gè)模型的適當(dāng)形式為 模型 3： 114627. 13646. 098.3423.26tttCPCCPCtCPC (-0.477)

37、 (2.175) (-1.478) (2.318) LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2： 3211027. 0655. 1508. 0545. 088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37) (3.37) (1.16) (-3.44) (-0.05) 4824. 1tCPC (-3.03) LM(1)=3.57 LM(2)= 4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 三個(gè)模型中參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計(jì)量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時(shí)間不能拒絕該時(shí)間序列存在單位根的假設(shè)序列存在單位根的假設(shè)， 因此,可判斷人均居民消費(fèi)

38、序列可判斷人均居民消費(fèi)序列CPC是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 模型 1： 4321171. 108. 048. 188. 037. 0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60) (2.37) (-2.97) (0.12) (-2.68) LM(1)=1.83 LM(2)= 1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)五、單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程過(guò)程 隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價(jià)地變形為 Xt=t 由于t是一個(gè)白噪聲，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。單整單整 一般地，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一般地

39、，如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)d次差分后變成平穩(wěn)序列，次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是則稱原序列是d 階單整階單整（integrated of d）序列序列，記為，記為I(d)。 顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時(shí)間序列。代表一平穩(wěn)時(shí)間序列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，只有少數(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的時(shí)間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等如利率等;2)大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，大多數(shù)指標(biāo)的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如一些價(jià)格指數(shù)常常如一些價(jià)格指數(shù)常常是是2階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為階單整的，以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)

40、間序列一般可通過(guò)一次或多次差分的形式大多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列一般可通過(guò)一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時(shí)間序列，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次差分，都不能變?yōu)槠降灿幸恍r(shí)間序列，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為穩(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（非單整的（non-integrated）。 如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是序列是一階單整一階單整（integrated of 1）序列序列，記為，記為I(1)。中國(guó)支出法GDP的單整性。經(jīng)過(guò)試算，發(fā)現(xiàn)中國(guó)支出法中國(guó)支出法GDP是是1階單整的階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?/p>

41、 1212966. 0495. 025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （-5.18） (6.42) 2R=0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 中國(guó)人均居民消費(fèi)與人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。經(jīng)過(guò)試算，發(fā)現(xiàn)中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值中國(guó)人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是是2階單階單整的整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?12360. 0ttGDPPCGDPPC （-2.17） 2R=0.2778， LM(1)=0.31 LM(2)= 0.54 同樣地，CPC也是也是2階單整的階單整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?12367. 0ttCPCCPC （-2.08） 2R=0.2515 LM(1)=1.99 LM(2)= 2.36 趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì)，