第1章重要極限與極限存在準則習題集及答案

1、第一章習題二重要極限與極限存在準則無窮小的比較.選擇題1 n2sin(e n )1 n2ne n(A) 0；(B)1;(C)1；(D)2. lim(1 2)knn ne3,則 k(A)I；(C)3 .設(shè)函數(shù)(刈在(，)上單調(diào)有界，Xn為數(shù)列，則以下選項正確的是(B )(A)若Xn收斂，則f(Xn)收斂(B)若Xn單調(diào)，則f(Xn)收斂(C)若f(Xn)收斂,則Xn收斂(D)若f(Xn)單調(diào),則 4收斂4 .當 x 0時，X2 2(V1 x 1)是 *的(D )(A)高階無窮小；(B)同階但不等價無窮?。?C)低階無窮?。?D)等價 無窮小.23235.當 n 時，1 2n 43n 是1 2n

2、53n 的(C )1 n1 n(A)高階無窮??；(B)同階但不等價無窮??；(C)低階無窮小；(D)等價 無窮小.6.當x 0時，下列結(jié)論正確的是(D )(A) ln(1 x2) x2 ;( B) 2x 1 x ;(C) 1 e2x 2X；(D) ln(1 sin x) x .7.當x(A) 1o時，與a等價的無窮小是(e我 (B) In 工 (C) J1 五 11. X)(D) 1 cosVx二.填空題1.設(shè)x 0,則. i x lim 2 tannsin(x2 2x 1)x2 3x 23.x c x xim(。)4.11lim( xsin - -sin x) x 0 x x5.2.1x si

3、n lim-x 0 sin2x6.ln cosax lim x 0 ln cosbx2 a b27.lim3ZJ x 0 arctan x8.29.0時,1(1 ax2)41與xsinx是等價無窮小，則a10.當 x0時,sin2x 2sinx是x的k階無窮小量，k=311.設(shè)當x 0時，(1 cosx)ln(1x2)是比xsin(xn)更高階的無窮小，而 xsin(xn)是2比ex 1更局階的無窮小。則正整數(shù).計算題n (|)n .解:wl)3 n(2)n.21,lim n(2)n另解:limnlim?2n 1lim nlim2.求lim( n1nr1 n2解:1 r=11 nr1 n2=n

4、1 n2=1且 lim limn所以lim( n1 n111n2n3.求 lim(二 nn2 12 nnn2 2n n - J) n n解:n - nn2 1且limnlimn2 n 2 nn2 21 n lim n n n2n2 nnn2n)n4.已知limx 0tan x sin x求常數(shù)解:tanxsin x tan x(1cosx) x1.1 tan x sin x 13 P lim - lim x p , 從叩 P 3 .2 x o xp2x05.求 lim (1 x 1x) tan x .2, u 1 x解： 原式 lim utan( u) u o 22,u u22lim u co

5、t u limcos uu oou oosin u2216.求 lim(cos x)sin2x x 0解：原式lim(11 sin2 x 1sin2 x)2sin1 lim(cos 2 x)2sin2x x 0lim(1sin2 x)sin2x1 2sin 2x7.求 limx(sin 1 xcos1)x.x解：原式1/xsin u cos u 1o(sin u、1/u cosu)ulim01(sin ucosu 1)sinucosu1 usin u cosu 1lim u 0 0 ue usin ulim 一0 0 um1 cosuu8.求 lim - x 0 x(2cosx1 )x12解：

6、lim (x 0 xcosx1)limx 01-ln(excosx1ln( lim x 02 cosxcosx 1 lim ； x 0 3x29.求極限 limln( 1ln(1b-)， n其中a、解：當b 0時,原式 limln(1 eannln(10)lim 0n0;當b 0時,原式 limlnean(1nan ie )ln(1-) nlim an nln(1an)bnab lim ln(1 e an) lim 10.求極限limx 0n nln(1 2x)(tan x sin x)(ex1)2 sin(x2)解：原式limx 02x tanx (1 cosx)2x lim x 011.已

7、知limx 0Jf(x) 13 ,求常數(shù)a、b ,使得當0時,函數(shù)f(x)b ax解：由已知可得lim f (x) x 0limx 01 f(x)sin x12. lim -(cos x b)x 0 e a解： 因為 limsin x(cosx b) x 00(1 b)0,lim，x)2-xlimb axx 02x6,由此可知a 1，代入條件可得513.已知 lim 3x vOXbx1 2 ,xlim -x 0ex求a,b而sin xsin xx e a(cosxb) 5所以lim ex x 00,-(cos x b) 1 a解：設(shè)t x,則原式畫了二2。因為在此過程中，分母t為無窮小,分子3

8、 ,t2 bt a也是無窮小，即lim(3小2 bt a) 0,由此可知a 9。所以2 lim3、t2 bt 9 lim t-bt t 0 tt 0 t(3.t2 bt 9)叫，由此可知b12。14 .設(shè)f (x)是三次多項式，且有：lim x)lim (x)1 ,其中a 0 ,求lim (x)。X 2ax 2ax 4ax 4ax 3a x 3a解：由無窮小的性質(zhì)，可知：f(2a) f(4a) 0。又因為f(x)是三次多項式，所以f (x)的因式分解中包含x 2a和x 4a兩個因子。因此，可 設(shè)1f(x) A(x 2a)(x 4a)(x b),代入已知條件，可解得：A 2,b 3a。所以2a.

9、f (x)1lim x 3ax 3a2四、證明題1 .設(shè)數(shù)列x1 72 , xn 1 、：xn 2 .試證lim xn存在，并且求lim xn . nn證：利用數(shù)學歸納法易知，0 xn 2, xnixn,數(shù)列4單調(diào)增加且有界，故lim xn存在. n記ymxn A.由xni 也 2可知x2i xn 2 0.令n得A2 A 2 0,解得A 1或 A 2 .又由 xn0可知 A 0, lim xn 2 .n1a2.設(shè)數(shù)列：xn 1 -(xn -)，其中a 0 , x1 0。試證lim xn存在，并且求lim xn .2Ann證明：因為a 0, x1 0,由數(shù)學歸納法易證xn 0。因此xn 1函1

10、)后。2 x 1于是，汕 1(13)1。至此，證明了 xn單調(diào)遞減且有下界，所以lim xn存在。 xn2xnn下設(shè)lim4 A,由遞推公式知：A 1(A史)，解得An2 A33.設(shè) P(x)是多項式函數(shù)，且 lim P(x)2 x 2,limPX 1.證明：P(x) x3 2x2 x. xx2x 0 x3證：由lim P(x)2 x 2可知，P(x) x3為二次多項式，且二次項系數(shù)為2,故可 x x設(shè) P(x) x3 2x2 ax b ,即 P(x) x3 2x2 ax b .由1lmx 0晅11mdxx 02,2x ax b11m (x2 2x a -) x 0xa lim - 1x 0 x1,b 0,所以P(x)x3 2x2 x.證畢.4.設(shè)當x時，有(x) o(1),(x) o，且當|x|充分大時有(x),得0 .試證：若(x) (x),(x)