二次函數(shù)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)

1、二次函數(shù)知識點(diǎn)一、二次函數(shù)概念1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a,b,c就是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：與一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域就是全體實(shí)數(shù).22 、二次函數(shù)yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征：等號左邊就是函數(shù)，右邊就是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)就是2.a,b,c就是常數(shù),a就是二次項(xiàng)系數(shù)內(nèi)就是一次項(xiàng)系數(shù)，c就是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1、二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x 的增大而減小；x 0時(shí)，y有最小值

2、0.a 0問卜0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨x 的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0.減。a的絕對值越 大，拋物線的 開口越小。2、2y ax c 的性質(zhì)：上加下a的符口勺開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)3、a0向上0,cy軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁0時(shí)，y有最小值c.ya的性質(zhì)a0x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨x右減。a1的符尹開0,c口方|rJ頂點(diǎn)心不對稱軸摩女而增人；x0時(shí)，丫慢撮大值c.的性(a0向上h,0X=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)的增大而減??；xh時(shí)，y有最小值,y隨x0.三、aE科姓開卜保洞頂點(diǎn)坐標(biāo)X桃軸

3、xh時(shí)，y隨x的增用嘛成?。粁h時(shí),y隨x的增大而增大；以小時(shí)，y有最大值xh時(shí)，y隔x的塔大而增大;xhHr0.1,y隨x次a0向上h,kX=h的增大而減??；xh時(shí)，y有最小值k.數(shù)a0問卜h,kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而減??；xh時(shí)的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值,y隨xk.4、質(zhì):左加2yaxh2xh平移1、平移步驟：2萬法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k二次函數(shù)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h,k處，具體平移方法如下_ 2y=ax2y= y=ax 2+k向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|個單位y=a(x-h)

4、2向上（k>0）【或向下（k<0）】平移|k|個單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個單位向上（k>0）或下（k<0） 平移|k|個單位向右（h>0）或左（h<0） 平移|k|個單位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|個單位y= y=a(x-h)2+k2、 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上概括成八個字“左加右減方法二：2四、二次函數(shù)y a x h2ax bx c的比較從解析式上瞧，yk與y ax2 bx c就是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前者22即y ax W翌c，其中h2b 4ac b一,k 2a 4a,_,2五

5、、二次函數(shù)y axbx c圖象的畫法h值正右移，負(fù)左移;k值正上移，負(fù)下移”.，上加下減”.yax2bxc沿y軸平移晌上（下）平移m個單位,yax2bxc變成2,j2,yaxbxcm(或yaxbxcm)yax2bxc沿軸平移：向左（右）平移m個單位，yax2bxc變成ya（xm）2b（xm）c（或2ya(xm)b(xm)c)五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a（xh）2k,確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖、一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0,c、以及0,c關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)2h,c、與x軸的交點(diǎn)4,0,x2,0（若與x軸沒有

6、交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）、畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)、2六、二次函數(shù)Vaxbxc的性質(zhì)2bb4acb當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，對稱軸為x旦，頂點(diǎn)坐標(biāo)為一，2a2a4a2當(dāng)x2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x2時(shí)，y隨x的增大而增大；Hx_b時(shí)，y有最小值4acb2a2a2a4a二次函數(shù)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)2b4acb2、當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x工,頂點(diǎn)坐標(biāo)為_,4acb.當(dāng)x_b時(shí)，y隨x的增大而2a2a4a2a2bb4acb增大；當(dāng)X2時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)xH時(shí)，y有最大值b.2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1、 一般式：

7、yax2bxc(a,b,c為常數(shù)，a0);2、頂點(diǎn)式：ya(xh)2k(a,h,k為常數(shù)，a0);3、兩根式：ya(xxi)(xx2)(a0,x,x2就是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)卜注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化、八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1、二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0.當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上田的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向下，a的值越小，開

8、口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小與方向，a的正負(fù)決定開口方向，a|的大小決定開口的大小.2、 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下由決定了拋物線的對稱軸.在a0的前提下，當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對2a2a稱軸就就是y軸;當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).2a在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線的對稱軸就就是y軸;當(dāng)b0時(shí)，0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).2a2a總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置.bab的符號的判定：對

9、稱軸x在y軸左邊則ab0,在y軸的右側(cè)則ab02a3、常數(shù)項(xiàng)c當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;當(dāng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來儲決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1、已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2、已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)(1,一般選用頂點(diǎn)

10、式；3、已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；十、二次函數(shù)與一元二次方程：1、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2bxc0就是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y。時(shí)的特殊情況、圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)：當(dāng)b24ac。時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)A8,0,B%,0（x1x2）淇中的、，x2就是一元二次方程b24acaxbxc0a0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ABx?x、a當(dāng)0時(shí),圖象與x軸只有一個交點(diǎn)；當(dāng)0時(shí),圖象與x軸沒有交點(diǎn)、1'當(dāng)a。時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；2'當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有

11、y0.2、拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）;3、二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a,b,c的符號，或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合；（4）二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求與已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點(diǎn)坐標(biāo)、0拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)一兀二次方程有兩個/、相等實(shí)根二次函數(shù)0拋物線與x軸只什-個交點(diǎn)一兀二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

12、二次方程-At-0拋物線與x軸尢交點(diǎn)一兀二次方程無實(shí)數(shù)根、內(nèi)在聯(lián)系:函數(shù)的下面以例，揭示與一元之間的a0時(shí)為應(yīng)用剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤最大面積是多少二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型1 .考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數(shù)y（m2）x2m2m2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值就是2 .綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)就是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大致就是（）3 .考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)

13、的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題與選拔性的綜合題，如：5已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為x,求這條拋物線的解析式。34 .考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：3已知拋物線yaxbxc(aw0)與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是一-(1)確定拋物線的解析式;(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)、5 .考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例1、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,0)、(xi,0),且1<xi<

14、;2,與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(0,2)的下方.下列結(jié)論：a<b<0;2a+c>0;4a+c<0;2a-b+1>0,其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A1個B、2個C、3個D.4個答案:D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例2、已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸就是直線x=2,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A(2,-3)B、(2,1)C(2,3)D.(3,2)答案:C例3、已知拋物線y=x2+x-5.22(1)用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對稱軸.(2)若該拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B,求線段AB的長.【點(diǎn)評】本題(1)

15、就是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.12例4、“已知函數(shù)y-x2bxc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(c,-2),II2求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸就是x=3?！鳖}目中的矩形框部分就是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。(1)根據(jù)已知與結(jié)論中現(xiàn)有的信息，您能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。(2)請您根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。點(diǎn)評：對于第(1)小題,要根據(jù)已知與結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸就是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)

16、合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn)A(c,2)”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第(2)小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式就是第(1)小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)等。1解答根據(jù)y -x22bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn) A(c, -2),圖象的對稱軸就是1c2bcc2,23,解得3,12c C-X2 3x 2.圖象如圖所不。23x 2 0,解得 x1 3 J5,x2 3 J5.2.所以所求二次函數(shù)解析式為y1c（2）在解析式中令y=0,

17、得x22所以可以填“拋物線與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)就是（3+U5,0）”或“拋物線與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)就是(3.5,0).*，-5令x=3代入解析式，得y-,215所以拋物線yx3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-）,22所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,5）等等。2函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例5、某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）？與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030y（件）25

18、2010若日銷售量y就是銷售價(jià)x的一次函數(shù).（1） 求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2） 要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤就是多少元？15kb25【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.則解得k=-1,b=40,?即一次函數(shù)表達(dá)式為2kb20y=-x+40.（3） 設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤為225元.【點(diǎn)評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）

19、設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中,?“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）?問的求解依靠配方法或最值公式，而不就是解方程.例6、您知道不？平時(shí)我們在跳大繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地瞧為拋物線.如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m2.5m處.繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過她們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高就是1.5m,則學(xué)生丁的身高為（建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示）()A.1.5 m B.1.625 mC.i.66mD.i.67m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案:B二次函數(shù)單元測評、選

20、擇題i、下列關(guān)系式中，屬于二次函數(shù)的就是（x為自變量）（）A、C、1 =-22、函數(shù)y=x2-2x+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)就是A、 (1,-4)B、(-1,2)C、() (i,2)D、(0,3)3、拋物線y=2（x-3）2的頂點(diǎn)在（）A、 5、A、 C、A、第一象限1 a不,¥ = 一 一X" -+x 44、拋物線 4x=-2 B、x=2的對稱軸就是（C、 x=-4已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示ab>0,c>0ab<0,c>0B、ab>0,c<0D、ab<0,c<06、二次函數(shù)A、C、D、x軸上x=4，則下列結(jié)論中

21、y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點(diǎn)B、C、D、且在第四D、y軸上7、如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）的圖象的頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)就是4 圖象交x軸于點(diǎn)A（m,0）與點(diǎn)B,且m>4,那么AB的長就是（）A、 4+mC、 2m-8D、8-2m8、，正確的就是（若一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2+bx的石府7V5圖象只可能就是（）Ac9、已知拋物線與直線上在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，拋物線的對稱軸為直線x=-i,Pi（xi,yi）,P2（x2,y2）就是拋物線上的點(diǎn),P3（x3,y3）就是直線,上的點(diǎn),-1<xi<x2,

22、x3<-1,則yi,y2,y3的大小關(guān)系就是（）A、 yi<y2<y3B、 y2<y3<yiC、y3<yi<y2D、 y2<yi<y3io、把拋物線y三-2工+4工+i的圖象向左平移 函數(shù)關(guān)系式就是（）2個單位，再向上平移3個單位，所得的拋物線的A、y = -2(j-1)3+6B、y = -2(x 1尸6C、D、填空題二次函數(shù)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)11、二次函數(shù)y=x2-2x+1的對稱軸方程就是>12、若將二次函數(shù)y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式，則y=?13、若拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長為?14、拋物線y=x2+bx+c,經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，則這條拋物線的解析式為>15、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交