浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(盛驟-第四版)——數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分1

1、12第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞：契比雪夫不等式大數(shù)定律中心極限定理31 大數(shù)定律背景 本章的大數(shù)定律，對(duì)第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證為了證明大數(shù)定理，先介紹一個(gè)重要不等式4222225.1 ,0, 1XE XD XP XE XP XE X 定理契比雪夫不等式 ：設(shè)隨機(jī)變量 具有數(shù)學(xué)期望方差 則對(duì)于任意都有：定理的為：等價(jià)形式 ,f x證明： 僅就X為連續(xù)型時(shí)證之 設(shè)X的概率密度為 xP Xf x dx則 22xxf x dx 221xf x dx222D X( )f x5 例1：在n重貝努里試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)事件A 出現(xiàn)的概率為0.75，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁?/p>

2、估 計(jì)n,使A出現(xiàn)的頻率在0.74至0.76之間的概率不 小于0.90。nA解：設(shè)在 重貝努里試驗(yàn)中，事件 出現(xiàn)的次數(shù)為X，,0.75b n則X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn nXfAn又 0.740.760.750.01XPP Xnnn而20.187510.01nn 187510.90n 18750n6 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 1235.1,0,0,nnnX Xlim P XXpn 。定義：設(shè)隨機(jī)變量序列X若存在某常數(shù) ， 使得均有： 則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù) ， 記為：X7122115.2,101limlim1nnnkknnknnkXXnYXnPY

3、PXn 定 理契 比 雪 夫 不 等 式 的 特 殊 情 形 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 X相 互 獨(dú) 立 ， 且 具 有 相 同 的 數(shù) 學(xué) 期 望和 相 同 的 方 差， 作 前個(gè) 隨 機(jī) 變 量 的 算 術(shù) 平 均 ： 則， 有 ： 111,nnkkE YEXnnn證明：由于11nnkkD YDXn211nkkD Xn2221nnn22111nkknPXn 由契比雪夫不等式得：111nknklim PXn8大數(shù)定律的重要意義：貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正因?yàn)檫@種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法，既然

4、頻率nA/n與概率p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計(jì)，這種方法即是在第7章將要介紹的參數(shù)估計(jì)法，參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。5.3 ,0,1AAnApnnnAlim Ppn 定理貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，記為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中 發(fā)生的次數(shù) 則有：,Anb n p證明：利用契比雪夫不等式，因故：11,AAnEE nnppnnn20,1AnpqPpnn 于是，有2211AAnpqDD nnpqnnnn1Annlim Ppn即得：92 中心極限定理背景： 有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量

5、的綜合影響所形成的，而其中每 個(gè)個(gè)別的因素作用都很小，這種隨機(jī)變量往 往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極 限分布是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù) 學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的 時(shí)期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 105.4 定理獨(dú)立同分布的中心極限定理2110,1 .(,),()()().nniinYNN nnbnanP aXbnn nii此定理表明，當(dāng) 充分大時(shí)，近似服從即：X （近似）從而，1X nii=1思考題：X 的近似n分布是什么？2( ,)Nn答案：2122112,1,2,1,2niiniinnitxinnnXXE XD XiXnnYnXnxRlim P Yxlim P

6、xedtn 設(shè)隨機(jī)變量X相互獨(dú)立同分布，則前 個(gè)變量的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量為：有： 證明略。115.5 定理德莫佛-拉普拉斯定理2215.4,(1)2tbAnannplim P abedtnpp由定理1 0 iiAiA第 次試驗(yàn)時(shí) 發(fā)生證明：令X第 次試驗(yàn)時(shí) 未發(fā)生 2201 ,1,lim,(1)2AtbAnannAP Appnnpa bP abedtnpp設(shè)為 次貝努里試驗(yàn)中 發(fā)生的次數(shù)，則對(duì)任何區(qū)間，有：12, (1, ).nXXbpi則X相互獨(dú)立同分布,X12,AnnXXX由于() (,(1).N np nppA即:n近似()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp 12 例2：設(shè)

7、某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指 數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取得16只，設(shè)它們的壽命是相互 獨(dú)立的,求這16只元件的壽命的總和大于1920小 時(shí)的概率。121616,XX解：記只電器元件的壽命分別為X16116iiX則只電器元件的壽命總和為X,2100,100iiE XD X由題設(shè)16116 10016000,14 100400iiXXN根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理: Y近似服從 192011920P XP X 1920 16001400 10.80.2119 13 例3：某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加，每人每年交200元,若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人1萬(wàn)元。設(shè)老年人死亡率為0.01

8、7，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)虧本的概率。200P X,10000,0.017b n pnp解：設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù)，則X由德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，保險(xiǎn)公司虧本的概率為：1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考題：求保險(xiǎn)公司至少盈利萬(wàn)元的概率。答案： 0.93714 例4：設(shè)某工廠有400臺(tái)同類機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概 率都是0.02，各臺(tái)機(jī)器工作是相互獨(dú)立的，試求機(jī) 器出故障的臺(tái)數(shù)不小于2的概率。400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP XP Xnpq ,400,0.02 b解：設(shè)機(jī)器出故

9、障的臺(tái)數(shù)為X 則X，分別用三種方法計(jì)算：1. 用二項(xiàng)分布計(jì)算40039921011 0.98400 0.02 0.980.9972P XP XP X 2. 用泊松分布近似計(jì)算400 0.028 21011 0.0003350.0026840.9969npP XP XP X 查表得3. 用正態(tài)分布近似計(jì)算15第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念關(guān)鍵詞： 總 體 個(gè) 體 樣 本 統(tǒng) 計(jì) 量 2分布t 分布F 分布16引言：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理、分析 和推斷的科學(xué)。在概率論中已經(jīng)知道，由于大量的隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的規(guī)律性，因而從理論上講只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，各

10、種結(jié)果的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)，但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是有限的，甚至是少量的。例如：若規(guī)定燈泡壽命低于1000小時(shí)者為次品，如何確定次品率？由于燈泡壽命試驗(yàn)是破壞性試驗(yàn)，不可能把整批燈泡逐一檢測(cè)，只能抽取一部分燈泡作為樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，以樣本的信息來(lái)推斷總體的信息，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的問題之一。171 總體和樣本總體：研究對(duì)象的全體。如一批燈泡。個(gè)體：組成總體的每個(gè)元素。如某個(gè)燈泡。抽樣：從總體X中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)行觀察的取值過程。隨機(jī)樣本：隨機(jī)抽取的n個(gè)個(gè)體的集合(X1,X2,Xn), n為樣本容量簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本(X1,X2,Xn)稱 為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。1. 每

11、個(gè)Xi與X同分布2. X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量說明：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由概率論知，若總體X 具有概率密度f(wàn)(x)， 則樣本（X1,X2,Xn）具有聯(lián)合密度函數(shù)： 121,nnniifx xxf x18統(tǒng)計(jì)量：樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。常用統(tǒng)計(jì)量：設(shè)（X1,X2,Xn）為取自總體X的樣本 221231232123323121, 1 X 2 X2 3 max, 1 4 5 iiNXXXXXXXXXXX 思考題：(一)設(shè)在總體中抽取樣本其中 已知，未知 指出在中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量， 為什么？111. XniiXn樣本均值1113. 1,2,1 () 1,2,n

12、kkiinkkiikAXknkBXXkn樣本矩階矩：階中心矩：22112. () ,1niiSXXSn樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差222,.,(),()()_,()_,()_.nXXXE XD XE XD XE S1（二）設(shè)X是總體 的樣本，若，則答：只有(4)不是統(tǒng)計(jì)量。2n219 隨機(jī)變量獨(dú)立性的兩個(gè)定理 1121111211122111126., , 1,2, , ,1 ,iiiknninnknnnkknnnYgXXYgXXXXnygxxxxRikknnngXnkYX設(shè)X是相互獨(dú)立的 個(gè)隨機(jī)變量， 定 又設(shè)是 個(gè)連續(xù)函數(shù)， 且有則 個(gè)隨機(jī)變量： 是相互 理： 獨(dú)立的。11111111111,1,

13、2, ,6,2,. titntntnn tin ititXXXXit nXXXX設(shè) 個(gè)隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的， 又設(shè)對(duì)每一個(gè)個(gè)隨機(jī)變量X是相互獨(dú)立的， 定理：隨機(jī)變量X是相互 則獨(dú)立的。202 常用的分布 12222221,0,1 1,2, 11nnniiiXXXNinnn設(shè)隨機(jī)變量X相互獨(dú)立，X 則稱 服從自由度為 的， 定 指式右端包含分布記為自的獨(dú)立變度義：由量的個(gè)數(shù) 2212101 02 22 0 6 0.3nynxyeynfynyxe dx分布的概率密度為： 其理中定：2分布x( )f x010n 1n 4n 2分布的概率密度函數(shù)21 2分布的一些重要性質(zhì)： 22221. ,2nEn

14、Dn設(shè)則有22211221212122. ,YnYnY YYYnn設(shè)且相互獨(dú)立，則有22分布的可加性性質(zhì) 稱為，可推廣到有限個(gè)的情形： 221211,mmiimiiiiYnY YYYn設(shè)且相互獨(dú)立，則 22222,01,nnfdynynn為分布的上 分對(duì)給定的概率稱滿足條件的點(diǎn)上 分位數(shù)的值可查位數(shù)分布表 2n02分布的分位數(shù)x( )f x22 2212222122223451, , ,1() )(2) ( ),nniiNXXXXXbXXXk 1例：設(shè)總體X已知。是取自總體X的樣本 求(1)統(tǒng)計(jì)量 的分布； （2）設(shè)n=5,若a(X 則a,b,k各為多少？ 1,2,iiXYin解：(1)作變換

15、 12,0,1 1,2,niY YYYNin顯然相互獨(dú)立，且 22211()nniiiiXYn2于是 22212122()(2)(0,2),(1)2XXXXN2223453452(2)2(0,6),(1)6XXXXXXN123452223451222(2)()(2)26XXXXXXXXXX與2相互獨(dú)立，故221,21,62.abk23 20,1 ,NYnXTntTtYnY n設(shè)X并且X相互獨(dú)立， 服從自由度為 的 分布，記 則稱隨變量為機(jī)定義： , 01,tnf t n dttnt ntt對(duì)給定的稱滿足條件的點(diǎn)為分布的上。 分布的上 分位數(shù)可位數(shù)查分分布表t分布 1212226.4 ,1, n

16、nntt nf t ntnn 定理：分布的概率密度為： tn f xx0t分布的分位數(shù)10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函數(shù)1( )( )tntn 24 221211212212, ,/,/nYnYX nFn nFFF n nY nnn設(shè)X且X獨(dú)立， 則稱隨機(jī)變量服定義：從自由度的 分布，記為 其中 稱為第一自由度，稱為第二自由度F分布 12121222121212122122121110 ,1 0, ;, 0 6., 05 1nnnnnnnbF n nn nxnn xxBf x n nxabB a bxxdx分定理：布的概率密度為： 其中ab 11221( ,),(

17、,)FF n nFF n n性質(zhì)：則25121212,1212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 對(duì)于給定的稱滿足條件的點(diǎn)為分布的上 分位數(shù)。的值可查 分布表0 x12 f x21,20nn 225n 210n F分布的密度函數(shù)0 x12,Fn n( )f xF分布的分位數(shù)111221( ,)(,)Fn nF n n26z,0,1 ,01XNZP XZZ此外 設(shè)若滿足條件 則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位數(shù)。1ZZ 27 正態(tài)總體樣本均值和方差的分布222122222 , 1. X,-1 2. 1 6 3. X.6 nnX XXNSNnSnS 設(shè)是總體的樣本，X

18、分別是樣定理：本均值和樣本方差，則有：和相互獨(dú)立221/11/tn XnSXnt nSn且兩者獨(dú)立，由 分布定義得：221,1 ,6.7nXXNSn Xt nS 設(shè)是總體的樣本，X和分別是樣本 均值和樣本方差，則有：定理：22216.60,1 ,1/nSXNnn證明：由定理知，281222111122221222211222121222121222212 , 1 1,12(0,1), 3 6.8 nnXXYYNNSSSFF nnSXYNnnXY 設(shè)樣本和分別來(lái)自總體和 并且它們相互獨(dú)立，其樣本方差分別為理：時(shí)，定則：當(dāng)121212221122221221111 ,2WWWWt nnSnnnSn

19、SSSSnn其中292111222121122222212222111,111FnSnSF nnnSSn且兩者獨(dú)立，由 分布的定義，有： 22112222122212116.61 ,1nSnSnn證明： 1 由定理知，221212122212121212221212(2)6.6,(,),(,),(,)()()(0,1)XNYNnnXYXYNnnXYNnn由定理且 與 相互獨(dú)立，所以，即12120,111XYUNnn 213 222當(dāng)=時(shí)，由（2）得2,且它們相互獨(dú)立 故有分布的可加性知：22112222122211 1 ,1nSnSnn又由給定條件知：6.1,UV由定理知： 與 相互獨(dú)立221

20、1222122112nSnSVnn121212122112wtXYUt nnVnnSnn于是按 分布知： 31復(fù)習(xí)思考題復(fù)習(xí)思考題 6 61.什么叫總體？什么叫簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本？總體X的樣本X1,X2,Xn有 哪兩個(gè)主要性質(zhì)？2.什么是統(tǒng)計(jì)量？什么是統(tǒng)計(jì)量的值？3.樣本均值和樣本方差如何計(jì)算？4.N(0,1)分布,t分布,2分布和F分布的雙側(cè)、下側(cè)、上側(cè)分位點(diǎn)是 如何定義的？怎樣利用附表查這些分位點(diǎn)的值？5.對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的三個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量及其分布是什么？6.對(duì)兩個(gè)正態(tài)總體的三個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量及其分布是什么？32第七章 參數(shù)估計(jì)關(guān)鍵詞： 矩估計(jì)法 極大似然估計(jì)法 置信區(qū)間 置信度33222222 ,1

21、; , 2,xXXf xex 參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題之一，實(shí)際工作中碰到的總體它的分布類型往往是知道的，只是不知道其中的某些參數(shù)，例如：產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo) 服從正態(tài)分布，其概率密度為：但參數(shù)的值未知，要求估計(jì)，有時(shí)還希望以一定的可靠性來(lái)估計(jì) 值是在某個(gè)范圍內(nèi)或者不低于某個(gè)數(shù)。參數(shù)估計(jì)問題就是要求問題的提出：通過樣本估計(jì)總體分布所包含的未知參數(shù)的值。參數(shù)估計(jì)的兩種方法：點(diǎn)估計(jì)法和區(qū)間估計(jì)法341 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)1212,1,2,niiiniXXXikXXXi 點(diǎn)估計(jì)的問題就是根據(jù)樣本，對(duì)每一個(gè)未知參數(shù)，構(gòu)造出一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，作為參數(shù) 的估計(jì)，稱為。的估計(jì)量 點(diǎn)估計(jì)有兩種方法： 矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)

22、法35 121212121;, 1,2, ,1 1,2, ,1121,212kkkvvknnvviiXF xXkE XE XvkXXXXvAXvkkAknA 設(shè)總體 的分布函數(shù)為是待估計(jì)的未知參數(shù)，假定總體 的 階原點(diǎn)矩存在，則有：對(duì)于樣用樣本矩作為總體矩的估計(jì)，即本其 階樣本：矩是：令 12122 ,12kkAkkk 解此方程即得的一個(gè)矩估計(jì)量一 矩估計(jì)法：矩估計(jì)法：361210, ,nXXXXX 2222例：設(shè)總體 的均值 和方差都存在，且，均未知，是取自 的一個(gè)樣本，試求的矩估計(jì)。 112221 1()niiXAAXXn2令解：先求總體矩：22212, E XE XD XEX221211

23、11, nniiiiAXXAXnn再求樣本矩：37 1122 01 0 0 ,nXxxf xXXXX例 ：設(shè)總體 的密度為：為未知參數(shù)，其他，為取自 的樣本，求 的矩估計(jì)。 E Xxf x dx解：110 xdx1XE XX令21XX38極大似然估計(jì)法極大似然估計(jì)法 極大似然估計(jì)的原理介紹極大似然估計(jì)的原理介紹考察以下例子： 假設(shè)在一個(gè)罐中放著許多白球和黑球，并假定已經(jīng)知道兩種球的數(shù)目之比是1:3，但不知道哪種顏色的球多。如果用返回抽樣方法從罐中任取n個(gè)球，則其中黑球的個(gè)數(shù)為x的概率為：若取n=3，如何通過x來(lái)估計(jì)p值先計(jì)算抽樣的可能結(jié)果x在這兩種p值之下的概率：31;, 1,44xn xnP

24、 x pp qqppx 其中由假設(shè)知，或 0 1 2 334,P xx1 649 6427 64 27 641 6427 6427 649 6414,P x二 390,0,4644644 1 932731 2,2 0,2,46446441 2 33,xPPpxxPPxpxxxp從上表看到： 取更合理；類似；,取更合理； 類似； ： 于是有40 ,; ,xp xP x p xP x pPp x極大似然原 對(duì)每個(gè) 取,使是不同于理：的另一值； 1122211 , , , ,nnininlnL x xxln f xlnLL x xxLL x xx說明 在求的最大值時(shí)，通常轉(zhuǎn)

25、稱為對(duì)數(shù)似然函換為求：數(shù)通常的最大，記為，值121212,( , ),knnXf xp xx xxXXX 設(shè)總體 的概率密度為或分布率為未知參數(shù)，為參數(shù)空間，即 的取值范圍極大似然。設(shè)是樣本的一個(gè)估計(jì)法：觀察值：1211121. 2.,( , ) ), nnniiiinL x xxf xp xL x xx 作似然函數(shù)或稱為求使 的極達(dá)到最大大似的 值，然估計(jì)量4132例 ：求矩估計(jì)部分的例 中 的極大似然估計(jì)量。 221 niinlnX的極大似然估計(jì)量為： 211111,nniinniiiiLf xxx解：似然函數(shù) 11ln2niinlnLlnx 111ln0 22niidlnLnxd令1ln

26、niinx 即： 1 01 0 Xxxf x的密度為：其他42 11 4, 0 0, , xnexXf xXXX 例 ：設(shè)總體 的概率密度為：其它其中是未知常量為 的樣本，求的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)。 1 矩估計(jì)解： E Xxf x dx221xE Xxedx21 1()niiE XXD XXXn令D X21211() 1()niiniiXXnXXXn1xxedx22xxedx2222222E XEX43 2 極大似然估計(jì)11,inxiLe 此處不能通過求偏導(dǎo)數(shù)獲得 的極大似然估計(jì)量，111,niinxnLeL 另一方面，是 的增函數(shù)， 取到最大值時(shí)， 達(dá)到最大。12,inxxmin x xx故

27、 的取值范圍最大不超過111 niixinex 12110niidlnLnXXd 令 121,nXmin XXX故 1XX 11niilnLnlnX 又441250,0 ,nXx xx例 ：設(shè)總體 服從上的均勻分布，未知， 試由樣本求出 的極大似然估計(jì)和矩估計(jì)。 1 極解：大似然估計(jì) 1 0;0 xXf x因 的概率密度為：其它 121 0,0 nnx xxL故參數(shù) 的似然函數(shù)為：其它 0,Ldlnnd 由于不能用微分法求:L從義發(fā)以下定出求 120,innxxmax x xx因?yàn)楣?的取值范圍最小為 1LnnnLxLxL又對(duì)的 是減函數(shù)， 越小， 越大，故時(shí)， 最大；012E XxdxX由

28、2 矩估計(jì) 12,LnnXmax x xx所以 的極大似然估計(jì)量為2X45,0,2 X123例6：設(shè)總體 的概率分布率為：其中未知21-3現(xiàn)得到樣本觀測(cè)值2，3，2，1，3，求 的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)。 1 矩估計(jì)解：kkE Xx p E(X)=X令352223 (1 32) 2.2X 0.32 2 極大似然估計(jì)( )(2)(1 32)(2) (1 32)L32116(23 )ln ( )ln163ln2ln(23 )L ln ( )36023dLd0.446表表1 1 例例2 2，例，例4 4，例，例5 5中兩種估計(jì)方法所得結(jié)果中兩種估計(jì)方法所得結(jié)果 例例 題題 矩估計(jì)量矩估計(jì)量極大似然估計(jì)

29、量極大似然估計(jì)量 例 2 例 4 例 521211()1()niiniiXXnXXXn2X nX 11XXX221LniinlnX21XX472 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 從表1看到，對(duì)總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計(jì)量，如何評(píng)價(jià)好壞？ 通常用三條標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)：無(wú)偏性無(wú)偏性，有效性有效性，相合性相合性 無(wú)偏性無(wú)偏性 ,nEliEm E若那么若則稱為估計(jì)量 的偏差漸近稱 是 的無(wú)偏估計(jì)量 12,nEXXX滿足 則稱定義是 的一若參數(shù) 的估計(jì)個(gè)無(wú)偏量：估計(jì)量。482226,XE XD XXS例 ：設(shè)總體 的一階和二階矩存在，分布是任意的，記 證明：樣本均值 和樣本方差分別是 和的無(wú)偏估計(jì)。 12,nX

30、XXX證：因與 同分布，故有：X故 是 的無(wú)偏估計(jì)11niiE XEXn2211()1niiSXXn2211()1niiE SEXXn2211()1niiEXn Xn22211nn22S故是的無(wú)偏估計(jì)11niiE Xn1nn211()1niiEXXn111niiD XnD Xn49 752LnXX例 ：檢驗(yàn)例 的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量的無(wú)偏性。 0, ,2XUE X解：1,nXXX由于與 同分布 2EEX12niiE Xn22nn 2X因此是 的無(wú)偏估計(jì) LnnXX為考察的無(wú)偏性，先求的分布，5由第三章第 節(jié)知： ,nnXFxF x 1 0 0 nnnXnxxfx于是 其它10nnx nxd

31、x LnEE X因此有：1nn LnX所以是有偏的。50 糾偏方法 1,0117,nnnnEaba babanXXXnXX如果 其中是常數(shù)，且則是 的無(wú)偏估計(jì)。在例 中，取則是 的無(wú)偏估計(jì) 無(wú)偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)最常見的重要要求，是“好”估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)之一。 無(wú)偏性的統(tǒng)計(jì)意義是指在大量重復(fù)試驗(yàn)下，由所作的估計(jì)值的平均恰是 ，從而無(wú)偏性保證了 沒有系統(tǒng)誤差。51 有效性有效性 121212,DD 設(shè)是 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)， 如果對(duì)一切成立 則稱：比定義有效。52 1121280, ,12, 72nXUXXXnXX nnn例 ：設(shè)總體是取自 的樣本，已知 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì) 為見例，判別 與哪個(gè)有效時(shí) ？ 2

32、2142123DDXnn解： 1 0 0 nnnXnxxfx由 其它 222221nnnDE XE Xn于是221221 32DDnn n因?yàn)楸?更有效 1220 2nnnnxnE Xdxn22n n53相合性相合性1,0, 0nnnnnXXnlim P 設(shè)為參數(shù) 的估計(jì)量， 若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)， 依概率收斂于 ， 定義：則稱為 即的相有：成立， 合估計(jì)量或一 致估計(jì)量54 12,EE證： 11290, ,1 2nnXUXXXnXXn例 ：設(shè)總體是取自 的樣本， 證明：和是 的相合估計(jì)。0,n 由契比雪夫不等式，當(dāng)時(shí)， 112DP有：2203n12所以 和都是 的相合估計(jì)。 21,3Dn222D

33、n n222DP同理：2220n n553 區(qū)間估計(jì) 111221112,nnnXXXXXXX 點(diǎn)估計(jì)是由樣本求出未知參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)值 ， 而區(qū)間估計(jì)則要由樣本給出參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)范圍，并指出 該區(qū)間包含 的可靠程度。假設(shè)是總體 的一個(gè)樣本， 區(qū)間估計(jì)的方法是給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 使區(qū)間以一定的可靠程度引：蓋住言。56 置信區(qū)間置信度 1122111121121;01 , ,11 , ,1 7 1nnnnXF xXXXXPXXXX 定義：設(shè)總體 的分布函數(shù)含有一個(gè)未知參數(shù) ，對(duì)給定的值如果有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量， 使得： 隨機(jī)區(qū)間是 的雙側(cè)置信區(qū)間 則；稱稱為置信度；和2分別稱為雙側(cè)置信下限和雙側(cè)置信上限。

34、57 單側(cè)置信區(qū)間11111 7 1, 7,1, 2,1,nnXXPXX 為 的單側(cè)置信下限在以上定義中，若將式改為：則稱隨機(jī)區(qū)間是 的置信度為單側(cè)置 的 。信區(qū)間 。2221172,1, , , 731nnXXPXX 又若將式改為：則稱隨機(jī)區(qū)間是 的置信度為 為 的的單側(cè)置信上限單。側(cè)置信區(qū)間 。58 正態(tài)總體均值方差的區(qū)間估計(jì)2 ,N 一 單個(gè)正態(tài)總體的情形2212, 1nXXXNXS 來(lái)自和分別為樣本均值和方差 置信度為1. 均值 的置信區(qū)間 21 已知時(shí), 0,1XXNn是 的無(wú)偏估計(jì) 由 21XPZn 有221P XZXZnn 即22,XZXZnn置信區(qū)間為： 1-?思考題：均值 的

35、置信度的置信下限是什么呢: X-nz答案59 22 未知時(shí)1Xt nSn由 22111XPtntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即221 ,1SSXtnXtnnn置信區(qū)間為： 0t1220t 6022. 方差的置信區(qū)間設(shè) 未知22211nSn由 22212221111nSPnn 有2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnSnn置信區(qū)間為： 222121221-?2思考題:方差的置信度的置信上限是什么221:(n-1)S.(1)n答案61 222210,36,15. ,95 116; 2,16;X cmNcmS 例 ：設(shè)某種植物的高度服從正態(tài)分布

36、隨機(jī)選取棵 其平均高度為就以下兩種情形 求 的 雙側(cè)置信區(qū)間：未知 36,15,4nX解： 11.961.960.95P XXnn由1.96 41.961513.69336Xn得：1.96 41.961516.30736Xn13.693,16.307的置信區(qū)間為62 2 36,15,16nXS20.0250.0251 0.05SSP XtXtnn 由0.025352.0301t查表得：2.0301 42.0301 4 1513.647,1516.35366又：13.647,16.353的置信區(qū)間為 9912求置信度為 時(shí) 兩種情況下 的置信區(qū)間？ 1 13.333,16.667 2 13.18

37、4,16.815?答案：63 12比較兩種情形下 的置信區(qū)間：22,16,13.693,16.307已知置信區(qū)間：22,16,13.647,16.353S未知置信區(qū)間：, ,tX S n2但第二種情形更實(shí)用,因?yàn)槎鄶?shù)時(shí)候,未知用 分布求 的置信區(qū)間只依賴于樣本數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)量區(qū)間短精度高區(qū)間長(zhǎng)精度低64置信區(qū)間的含義：, 若反復(fù)抽樣多次 每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)間每個(gè)這樣的區(qū)間或者包含 的真值 或者不包含 的真值。見下圖10,0.05,95%0.01,99%在例 中 當(dāng)即置信水平為時(shí),20個(gè)區(qū)間中只有大約1個(gè)不包含 值； 當(dāng)即置信水平為時(shí),100個(gè)區(qū)間中將有99個(gè)包含 值；ba0 .9 90 .0 0

38、 50 .0 0 5652211,25,4.25.9599S例 ：一個(gè)園藝科學(xué)家正在培養(yǎng)一個(gè)新品種的蘋果 這種蘋果除了口感好和顏色鮮艷以外 另一個(gè)重要特征是單個(gè)重量差異不大。為了評(píng)估新蘋果 她隨機(jī)挑選了個(gè)測(cè)試重量 單位：克其樣本方差為試求的置信度為 和的的置信區(qū)間。 95%解：置信度為時(shí)222221 0.0250.025111 0.05nSnSP 220.9750.0252439.4,2412.4;查表得：25 14.2525 14.25 2.59,8.2339.412.4又：2.59,8.232的置信區(qū)間為20.99520.00599%,2445.6,249.89,25 14.252.24,

39、45.625 14.2510.319.89置信度為時(shí)2.24,10.312的置信區(qū)間為66221122 ,NN 二 兩個(gè)正態(tài)總體的情形1212222121112222211211,11, , 1.nnnnijijXXXNY YYNXX YYSSnn 來(lái)自來(lái)自和分別為第一 二個(gè)總體的樣本方差 置信度為121. 的置信區(qū)間 22121 ,已知時(shí)22121212,XYNnn由 122212120,1XYNnn有 2212212XYZnn置信區(qū)間為： 67 2222122 ,未知1212126.8, 211wXYt nnSnn此時(shí)由第六章定理221122221211 ,2wwwnSnSSSSnn其中1

40、2212112wXYtnnSnn置信區(qū)間為： 6821222. 的置信區(qū)間12, 設(shè)未知22121222121,1SSF nn由 2212121222122121,11,11SSP FnnFnn 有 22112212122212211,1,11,1SSFnnFnnSS置信區(qū)間為： 22211122212122221221111,11,1SSPFnnFnnSS 即 69 例12：兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一個(gè)型號(hào)的滾珠，從甲機(jī)床生產(chǎn)的滾 珠中抽取8個(gè)，從乙機(jī)床生產(chǎn)的滾珠中抽取9個(gè)，測(cè)得這 些滾珠得直徑(毫米)如下: 甲機(jī)床 15.0 14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8 乙機(jī)床 15.2 15.0 14.8 15.1 14.6 14.8 15.1 14.5 15.0 22112212121212211222, ,1 0.18,0.24,0.902 0.904 ,0.90X YXNYN 設(shè)兩機(jī)床生產(chǎn)的滾珠直徑分別為且求的置信度為的置信區(qū)間；若未知，求的置信度為的置信區(qū)間；若未知，求的置信度為的置信區(qū)間；70221122 8, 15.05, 0.04579, 14.9, 0.0575nxSnyS解：； 12122 0.90當(dāng)時(shí)，的置信度為的未知置信區(qū)間為： 11221 ,0.0.18,