高中數學聯賽模擬試題目

1、.2011高中數學聯賽模擬試題第一試一、填空題（每小題8分，共64分）1.定義在上的函數滿足且則使得 的整數的個數是 .2.已知向量滿足：和都是正整數，且則 與的夾角為 .3.已知雙曲線的左、右焦點分別為、為坐標原點，設為雙曲線上任一點，則的最大值為 .4.在長方體中，為棱上一點，且 在底面正方形內隨機取一點，并設點到直線距離為， ，則所取點滿足的概率為 .5.設是非直角三角形，且有其中，表示不超過實數的最大整數，則滿足條件的的最小內角的弧度數為 .6.在平面直角坐標系中，已知點集設點集則點集所形成圖形的面積為 .7.設有紅、黑、白三種不同顏色的球各10個，現將它們全部放入甲、乙兩個袋子中，要

2、求每個袋子里三種顏色的球都有，且兩個袋子里三種顏色球的個數之積相等，則這樣的放法共有 種8.一個四面體的六條棱長均為整數，且它們的和為2011，則這樣的四面體的最大棱長與最小棱長之差的最大可能值為 .二、解答題（共56分）9.（本題滿分16分）在方格表的每個方格中都寫有一個正數，使得每一列中的兩個數的和都等于1，證明：可以從每一列中刪去一個數，使得每一行中剩下的數的和不超過10.（本題滿分20分）設動圓過點且與圓相切.(I)求動圓圓心的軌跡的方程(II)設點在曲線上,求證:直線有唯一的公共點(III)設(II)中的直線與圓交于、兩點,求證:滿足的點必在圓上.11.(本題滿分20分)已知函數的圖

3、象如圖1所示,直線且直線與函數的圖象切于點、交于點.設點的橫坐標依次為,求證:.第二試一、(本大題滿分40分)如圖2,在中, 、分別是邊延長線上的點,是線段上一點,直線與的外接圓交于點求證:充要條件是為線段的中點.二、(本小題滿分40分)設均為集合的三元子集,求正整數的最大值,使得（I）（II）三、(本大題滿分50分)已知數列滿足求證：（I）（II）四、（本小題滿分50分）求整數使得方程的正整數解的組數最多，并求相應的正整數解.參考答案第一試一、填空題1.2.令得再令，得當時，同理，所以令解得或2因為且所以 解得又所以故3.根據對稱性，不妨設則又 當時， 的最大值為4.如圖3，過點作垂足為過點

4、作交于點，則，故從而由得故點的軌跡是正方形內以為焦點，為準線的拋物線與所圍成的區(qū)域，在平面上，以的中點為原點，直線為軸建立直角坐標系，由題設知拋物線方程為則該區(qū)域的面積又正方形的面積故所求概率5.因為所以從而均為整數，且其中至少有兩個是正整數，不妨設是正整數，則由知也是正整數 不妨設若則這與矛盾，故即的最小內角為6.7.如圖4，點集為正方形區(qū)域，點集為區(qū)域線段的中點為的中點為的中點為的中點為的中點為所以，點集形成的圖形為五邊形區(qū)域，其面積為7.25.設甲袋中紅、黑、白三種顏色的球數分別為則且即所以于是中必有一個為5.不妨設代入得此時有9組解同理，當或時，也各有9組解但滿足的解重復2個故滿足要求

5、的放法共有（種）8.668.該六條棱長分別為其中最大棱長為，最小棱長為當與不共面時，如圖5，得則故所以即故于是此時易知不存在滿足題意的故的最大值為667.事實上，當時，符合題意當與共面時，如圖6，由得又故于是而所以則故的最大值為668.事實上，當時，符合題意綜上所述，的最大可能值為668.二、解答題9.設第一行中所放的數依次為必要時可通過交換列的位置，便得此時，第二行中所放的數依次為如果，那么可以找到使得成立的最小正整數，此時在第一行中刪去，在第二行中刪去由的取法知下面只須證明即可由得所以綜上所述，命題得證10.（I）因為點在圓：內，所以動圓與圓相內切，故由橢圓的定義知，動圓圓心的軌跡是以為焦

6、點，長軸長為的橢圓，其方程為（II）由點在曲線上，得又由得即直線與曲線有唯一的公共點（III）由得設則從而 故即點在圓上11.設三次函數在點的展開式為則，即切線的方程為由得或，則同理又同理 故第二試一、設外接圓半徑為在圓內接四邊形中，由托勒密定理，得又又若，則由得若，代入得即由題設知不恒為0即為線段的中點綜上所述，的充要條件是為線段的中點二、首先，由（I）得其次，由于是集合中互不相同的個元素，因此，這個元素和的最大值為所以解得即最后，說明可以取到220，事實上，當時，于是，我們可以將集合中較大的660個元素中的最小一個341減去110，得231，即用1000，999，998，343，342以及231共660