專題：相似三角形

1、.行成于思，學止于行！專題；相似三角形之一:行成于思，學止于行！兩個形狀相同的圖形稱為相似圖形，最基本的相似圖形是相似三角形對應角相等、對應邊成比例的三角形，叫作相似三角形相似比為1的兩個相似三角形是全等三角形因此，三角形全等是相似的特殊情況，而三角形相似是三角形全等的發(fā)展，兩者在判定方法及性質(zhì)方面有許多類似之處因此，在研究三角形相似問題時，我們應該注意借鑒全等三角形的有關定理及方法當然，我們又必須同時注意它們之間的區(qū)別，這里，要特別注意的是比例線段在研究相似圖形中的作用關于相似三角形問題的研究，我們擬分兩講來講述本講著重探討相似三角形與比例線段的有關計算與證明問題；下一講深入研究相似三角形的

2、進一步應用例1 如圖2-64所示，已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF分析 由于BC是ABC與DBC的公共邊，且ABEFCD，利用平行線分三角形成相似三角形的定理，可求EF解 在ABC中，因為EFAB，所以同樣，在DBC中有得設EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入得說明 由證明過程我們發(fā)現(xiàn)，本題可以有以下一般結論：“如本題請同學自己證明例2 如圖2-65所示 ABCD的對角線交于O，OE交BC于E，交AB的延長線于F若AB=a，BC=b，BF=c，求BE分析 本題所給出的已知長的線段AB，BC，BF位置分散，應設法利用平行四邊形中的等量關系，通過輔助線將長度已知

3、的線段“集中”到一個可解的圖形中來，為此，過O作OGBC，交AB于G，構造出FEBFOG，進而求解解 過O作OGBC，交AB于G顯然，OG是ABC的中位線，所以在FOG中，由于GOEB，所以例3 如圖2-66所示在ABC中，BAC=120°，AD平分分析 因為AD平分BAC(=120°)，所以BAD= EAD=60°若引DEAB，交AC于E，則ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用CEDCAB，可實現(xiàn)求證的目標證 過D引DEAB，交AC于E因為AD是BAC的平分線，BAC=120°，所以BAD=CAD=60°又BAD=EDA=60

4、6;，所以ADE是正三角形，所以EA=ED=AD 由于DEAB，所以CEDCAB，所以由，得從而例4 如圖2-67所示 ABCD中，AC與BD交于O點，E為AD延長線上一點，OE交CD于F，EO延長線交AB于G求證：分析 與例2類似，求證中諸線段的位置過于“分散”，因此，應利用平行四邊形的性質(zhì)，通過添加輔助線使各線段“集中”到一個三角形中來求證證 延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構造平行四邊形AIHB在EIH中，由于DFIH，所以在OED與OBH中，DOE=BOH，OED=OHB，OD=OB，所以 OEDOBH(AAS)從而DE=BH=AI，例5(梅內(nèi)勞斯定理) 一條直線與三角形A

5、BC的三邊BC，CA，AB(或其延長線)分別交于D，E，F(xiàn)(如圖2-68所示)求分析 設法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進行求證證 過B引BGEF，交AC于G由平行線截線段成比例性質(zhì)知說明 本題也可過C引CGEF交AB延長線于G，將求證中所述諸線段“集中”到邊AB所在直線上進行求證例6 如圖2-69所示P為ABC內(nèi)一點，過P點作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d分析 由于圖中平行線段甚多，因而產(chǎn)生諸多相似三角形及平行四邊形利用相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)及平行四邊形對邊相等的性質(zhì)，首先得

6、到一個一般關系：進而求d因為FGBC，HICA，EDAB，易知，四邊形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四邊形BHIAFGABC，從而將代入左端得因為DE=PEPD=AIFB， AF=AIFI， BI=IFFB 由，知，的分子為DEAFBI=2×(AIIFFB)=2AB從而即下面計算d因為DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入得解得d306練習十五1如圖2-70所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O點，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF2已知P為ABCD邊BC上任意一點，DP交AB的延長線于Q3如

7、圖 2-72所示梯形 ABCD中，ADBC，MNBC，且MN與對角線BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN4P為ABC內(nèi)一點，過P點作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA(如圖2-73所示)求證：5如圖 2-74所示在梯形 ABCD中，ABCD，ABCD一條直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DCAB6已知P為ABC內(nèi)任意一點，連AP，BP，CP并延長分別交對邊于D，E，F(xiàn)求證：不少于2專題：相似三角形(二)上一講主要講述了相似三角形與比例線段之間的關系的計算與證明，本講主要講述相似三角形的

8、判定與性質(zhì)的應用例1 如圖2-76所示ABC中，AD是BAC的平分線求證：ABAC=BDDC分析 設法通過添輔助線構造相似三角形，這里應注意利用角平分線產(chǎn)生等角的條件證 過B引BEAC，且與AD的延長線交于E因為AD平分BAC，所以1=2又因為BEAC，所以2=3從而1=3，AB=BE顯然BDECDA，所以 BEAC=BDDC，所以 ABAC=BDDC說明 這個例題在解決相似三角形有關問題中，常起重要作用，可當作一個定理使用類似的還有一個關于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個命題將在練習中出現(xiàn)，請同學們自己試證在構造相似三角形的方法中，利用平行線的性質(zhì)(如內(nèi)錯角相等、同位角相等)，將等角

9、“轉移”到合適的位置，形成相似三角形是一種常用的方法例2 如圖 2-77所示在ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分BAC，BDAE的延長線于D，且交AM延長線于F求證：EFAB分析 利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構造三角形，設法證明MEFMAB，從而EFAB證 過B引BGAC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H因為AE是BAC的平分線，所以BAE=CAE因為BGAC，所以CAE=G，BAE=G，所以 BA=BG又BDAG，所以ABG是等腰三角形，所以ABF=HBF，從而ABBH=AFFH又M是BC邊的中點，且BHAC，易知ABHC是平行四邊形，從而BH=AC，所以 ABAC=A

10、FFH因為AE是ABC中BAC的平分線，所以ABAC=BEEC，所以 AFFH=BEEC，即(AM+MF)(AM-MF)=(BM+ME)(BM-ME)(這是因為ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC)由合分比定理，上式變?yōu)锳MMB=FMME在MEF與MAB中，EMF=AMB，所以MEFMAB(兩個三角形兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似)所以ABM=FEM，所以 EFAB例3 如圖2-78所示在ABC中，ABC=124 即可，為此若能設法利用長度分別為AB，BC，CA及l(fā)=ABAC這4條線段，構造一對相似三角形，問題可能解決注意到，原ABC中，已含上述4條線段中的三

11、條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎添加輔助線，構造一個三角形，使它與ABC相似，期望能解決問題證 延長AB至D，使BD=AC(此時，AD=ABAC)，又延長BC至E，使AE=AC，連結ED下面證明，ADEABC設A=，B=2，C=4，則A+B+C=7=180°由作圖知，ACB是等腰三角形ACE的外角，所以ACE=180°-43，所以 CAE=180°-3-3=7-6=從而EAB=2EBA，AEBE又由作圖AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，BDE是等腰三角形，所以DBEDCAB，所以 ABCDAE，所以例4 如圖2-79所示P，Q分別是正方形ABCD的邊A

12、B， BC上的點，且BP=BQ，BHPC于H求證：QHDH.分析 要證QHDH，只要證明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且BHPC，熟知PBH=PCB，從而HBQ=HCD，因而BHQ與DHC應該相似證 在RtPBC中，因為BHPC，所以PBC=PHB=90°，從而 PBH=PCB顯然，RtPBCRtBHC，所以由已知，BP=BQ，BC=DC，所以因為ABC=BCD=90°，所以HBQ=HCD，所以 HBQHCD，BHQ=DHC，BHQQHC=DHCQHC又因為BHQQHC=90°，所以 QHD=QHCDHC=90°，即 DHHQ例5 如圖2-80所

13、示P，Q分別是RtABC兩直角邊AB，AC上兩點，M為斜邊BC的中點，且PMQM求證：PB2QC2=PM2QM2分析與證明 若作MDAB于D，MEAC于E，并連接PQ，則PM2QM2=PQ2=AP2AQ2于是求證式等價于PB2+QC2=PA2+QA2， 等價于PB2-PA2=QA2-QC2 因為M是BC中點，且MDAC，MEAB，所以D，E分別是AB，AC的中點，即有AD=BD，AE=CE，等價于(ADPD)2-(AD-PD)2=(AEEQ)2-(AE-EQ)2， 等價于AD·PD=AE·EQ 因為ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故等價于ME·PD=M

14、D·EQ 為此，只要證明MPDMEQ即可下面我們來證明這一點事實上，這兩個三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對銳角相等即可由于ADME為矩形，所以DME=90°=PMQ(已知) 在的兩邊都減去一個公共角PME，所得差角相等，即PMD=QME 由，所以MPDMEQ由此成立，自逆上，步步均可逆推，從而成立，則原命題獲證例6 如圖2-81所示ABC中，E，D是BC邊上的兩個三等分點，AF=2CF，BF=12厘米求：FM，MN，BN的長解 取AF的中點G，連接DF，EG由平行線等分線段定理的逆定理知DFEGBA，所以CFDCAB，MFDMBA 所以MB=3MF，從而BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)又在BDF中，E是BD的中點，且EHDF，所以因為EHAB，所以NEHNAB，從而顯然，H是BF的中點，所以故所求的三條線段長分別為練習十六1如圖2-82所示在ABC中，AD是BAC的外角CAE的平分線求證：ABAC=BDDC2如圖2-83所示在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求證：EFBC3如圖2-84所示在ABC內(nèi)有一點P，滿足APB=BP