ArrowDebreu經(jīng)濟(jì)解析

1、ArrowDebreu經(jīng)濟(jì)解析Arrow-Debreu經(jīng)濟(jì)解析Idea l該方法首先由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家Arrow(1964)、Debreu(1959)提出,其目的是用一種簡單的方法來分析資產(chǎn)定價問題,得出了一些普適性的結(jié)論.該方法或模型雖然簡單，但得出的結(jié)論非常具有代表性。l考慮一種有限狀態(tài)、有限證券情形，在此情形下從市場交易證券中抽象出幾個基本證券，從而對其它證券進(jìn)行定價。Idea(續(xù)續(xù))l在該模型中，一個證券就是各種可能的收益集合，每種可能都發(fā)生在互斥的自然狀態(tài)之下。一旦不確定狀態(tài)得到確定，證券的收益也就確定下來。l原則上，存在無限多種自然狀態(tài)，從而與之相應(yīng)的風(fēng)險性證券的期末收益也有無限多種。

2、這一狀態(tài)集必須滿足相互排斥且沒有遺漏的基本特征。l投資者具有狀態(tài)獨立的效用函數(shù)。1、Arrow-Debreu證券市場證券市場lA-D證券市場是由所有A-D證券所構(gòu)成的證券市場。具體地，考慮兩期有限狀態(tài)（S狀態(tài)）情形，如果證券市場包含S個不同的A-D證券，則稱之為A-D證券市場。l由所有可能的狀態(tài)或有證券形成的集合稱為A-D證券的完全集合。l何為A-D證券？l本人簡單地用A-D表示Arrow-DebreuA-D證券的定義證券的定義lA-D證券又稱純證券、狀態(tài)或有證券、狀態(tài)或有要求權(quán)，有時簡稱狀態(tài)證券。 定義：只在某個特定狀態(tài)下支付為一個單位，其它狀態(tài)下的支付為零的證券稱為純證券。 表示： 0 0

3、 1 狀態(tài) 0A-D證券的定義證券的定義(續(xù)續(xù))l每一個狀態(tài)都可以定義一個相應(yīng)的純證券，因此S個狀態(tài)可以定義S個純證券。l每個純證券，其支付向量可以用相應(yīng)的示性函數(shù)來表示：A-D證券的定義（續(xù)）證券的定義（續(xù)） 例子：假如未來只有三種狀態(tài)，則市場上只有三類純證券： 1 0 0 0 1 0 0 0 1 通常情況下，期末有S個狀態(tài)時，有S個不同的純證券，其支付向量對應(yīng)與S維向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。市場結(jié)構(gòu)市場結(jié)構(gòu)l若市場存在S個狀態(tài)證券，這S個狀態(tài)證券形成的市場結(jié)構(gòu)按順序形成一個單位矩陣2、狀態(tài)價格、狀態(tài)價格l回顧：每個證券我們關(guān)系兩個時點的值： 期末的支付X 期初的價格S price payoff

4、 單個證券一個組合狀態(tài)證券純證券價格（續(xù)）純證券價格（續(xù)）l含義：每個純證券的期初價格 記為：l圖示： 0期 1期 0 0 1 狀態(tài)i 0l價格的確定：假如市場上有兩個交易證券，未來只有兩種可能的狀態(tài)，其支付和價格為：證券狀態(tài)1狀態(tài)2價格j$10$20$8k$30$10$9l我們來計算狀態(tài)價格：進(jìn)一步假定某證券在狀態(tài)1、2下的支付分別為$15和$50，則價格應(yīng)該為：一般情形一般情形l單個證券的支付分解一般情形（續(xù)）一般情形（續(xù)）l單個證券的價格上述支付可以通過購買相應(yīng)的狀態(tài)證券而得到，從而其合理價格為：l一般情形（續(xù)）：我們習(xí)慣的寫法我們習(xí)慣的寫法3、完全資本市場、完全資本市場l含義：假定資本

5、市場未來一共有S個狀態(tài)，當(dāng)資本市場上存在S個不同的純證券時，或者能夠由資本市場上的證券構(gòu)造出S個純證券時，我們稱該市場是完全的。l命題：由數(shù)學(xué)知識可知，所有證券的秩等于S時，市場完全l完全市場可以有多種不同的定義各種定義各種定義lWhen we have a complete set of state contingent claim markets, we say that the markets are complete.( chi-fu huang)lThe set of payoffs available via trades in the asset span and denoted

6、 by M If ,then markets are complete王江的定義王江的定義l一個證券市場的有效性與它允許參與者在多大程度上為不同消費計劃融資是緊密相關(guān)的。在AD證券市場的情況下，它提供了最大的靈活性。我們稱這種市場是完全的。l定義：如果市場中的任一有限消費計劃都可以通過有限成本的可交易證券的組合來融資，那么我們就稱這個證券市場是完全的。如何解讀？如何解讀？lStep1 ：A-D證券市場上的消費如果存在S個純證券，則任意未來消費計劃可以復(fù)制l如何復(fù)制？ 取組合 該組合的期末支付為：lStep2：該消費計劃可以通過購買上述組合而得到。為實現(xiàn)該消費計劃的融資成本為：小結(jié)小結(jié)l當(dāng)市場上

7、存在S個不同的狀態(tài)證券時，可以通過買賣這些狀態(tài)證券（即構(gòu)造相應(yīng)的投資組合）為任何可行的消費計劃融資；同時任何一種可行的消費計劃都可以通過市場上的交易而得到。l該市場上任何一個證券，只要其期末各狀態(tài)下的支付有限，該證券都可以通過買賣狀態(tài)證券來復(fù)制。 因此，我們可以簡單地將完全市場定義為含S個不同狀態(tài)證券的市場。小結(jié)（續(xù)）小結(jié)（續(xù)）l由線性代數(shù)的知識可知，下列方程組有解的充分條件是X是行滿秩的 故 也可以作為完全市場的定義。小結(jié)（續(xù)）小結(jié)（續(xù)）l我們還可以進(jìn)一步用數(shù)學(xué)知識來說明，但其本質(zhì)是： 任何有限的消費計劃都可以通過有限成本融資來構(gòu)造投資組合，從而實現(xiàn)該消費計劃。 市場完全還意味著，任何有限的

8、支付向量都可以通過市場交易而復(fù)制。 后面我們還要證明，完全市場可以復(fù)制所有的狀態(tài)證券。4、參與者的優(yōu)化、參與者的優(yōu)化l我們按如下幾個步驟來考慮參與者的優(yōu)化問題 Step 1：參與者的條件 Step2：參與者的預(yù)算約束 Step3：參與者的優(yōu)化問題 Step4：優(yōu)化的必要條件參與者的優(yōu)化參與者的優(yōu)化lStep1： 參與者的條件 參與者的稟賦：在A-D框架下，實物稟賦和證券稟賦是沒有區(qū)別的。 實物稟賦： 實物加證券：易證，兩種稟賦帶來的兩期消費完全相同！我們稱 為 的復(fù)制組合，因為前者復(fù)制了后者參與者的財富：由于稟賦組合復(fù)制了稟賦的實物形式，故可用復(fù)制組合的成本度量實物稟賦的價值，從而計算兩期稟賦

9、的總價值： 我們稱之為參與者的金融財富或簡稱財富。 lStep2：預(yù)算約束 在A-D框架下，我們假定可以將稟賦 兌換成現(xiàn)金 ，然后用現(xiàn)金購買即期消費 和證券組合 這一消費組合決策必須滿足一定的約束，我們稱之為預(yù)算約束：01(,)e e NoImagelStep3 ：優(yōu)化問題 狀態(tài)獨立 時間可加 效用 NoImageNoImagelStep4：優(yōu)化的條件 存在性定理存在性定理：若 且U(.)在C上連續(xù)，則上述優(yōu)化問題有解。證明思路預(yù)算集是閉集，閉集上的連續(xù)函數(shù)存在最值。不滿足公理不滿足公理：不滿足性意味著效用函數(shù)單調(diào)增若可微則有：NoImageNoImageNoImage優(yōu)化的條件優(yōu)化的條件l優(yōu)化問題處理： 令定理定理：假定 ，則上述優(yōu)化問題的解滿足條件：NoImageNoImageNoImage例子例子l考慮“Lucas樹模型”，1期有兩個等概率的狀態(tài)a和b。已知狀態(tài)價格和參與者的稟賦，其效用函數(shù)為對數(shù)效用函數(shù)。l求最優(yōu)消費組合選擇。優(yōu)化的條件（續(xù)）優(yōu)化的條件（續(xù)）上述問題考慮邊界問題。如果達(dá)到最優(yōu)時非負(fù)約束不起作用，則最優(yōu)解稱為內(nèi)點解內(nèi)點解。如果非負(fù)約束起作用，則最優(yōu)解叫邊角解邊角解。通常假定效用函數(shù)滿足Inada條件：因此，一般認(rèn)為所有的最優(yōu)解為內(nèi)點解。