空間解析幾何2

1、二、兩向量的數(shù)量積一、向量在軸上的投影 數(shù)量積 向量積上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁三、兩向量的向量積上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 設(shè)點O及單位向量e確定u軸 任給向量 r 作rOM 再過點M作與u軸垂直的平面交u軸于點M 則向量 MO稱為向量 r 在 u 軸上的分向量 設(shè)eMO 則數(shù)稱為向量 r 在 u 軸上的投影 記作 Prjur 或(r)u 一、向量在軸上的投影上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 向量a在直角坐標系Oxyz中的坐標ax ay az就是a在三條坐標軸上的投影 即axPrjxa ayPrjya azPrjza 性質(zhì)3 Prju(a)Prjua 性質(zhì)2 Prju(ab)PrjuaPrjub 性質(zhì)1 Pr

2、jua|a|cos 其中為a與u軸的夾角 v投影的性質(zhì) 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、兩向量的數(shù)量積 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點M1移動到點M2 以s表示位移 數(shù)量積的物理背景 由物理學知道 力F所作的功為W|F|s|cos 其中 為F與s的夾角 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 對于兩個向量a和b 它們的模|a|、|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積 記作a b 即ab|a|b|cos v數(shù)量積的定義 力F所作的功W就是力F與位移s的數(shù)量積 即WFs 二、兩向量的數(shù)量積上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 數(shù)量積與投影 當a0時 |b|cos Prjab 于是ab|a|Prjab 同理 當b0時

3、 ab|b|Prjba 對于兩個向量a和b 它們的模|a|、|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積 記作a b 即ab|a|b|cos v數(shù)量積的定義 二、兩向量的數(shù)量積v數(shù)量積的性質(zhì) (1) aa|a|2 (2) 向量a與b垂直的充分必要條件是 ab0 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v數(shù)量積的運算律 (1)交換律: abba (2)分配律: (ab)cacbc (3)結(jié)合律: (a)ba(b)(ab) (a)(b)(ab) 其中、為數(shù) 對于兩個向量a和b 它們的模|a|、|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積 記作a b 即ab|a|b|cos v數(shù)量積的定義 二、兩

4、向量的數(shù)量積上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例1 試用向量證明三角形的余弦定理要證c2a2b2-2abcos 則有 ca-b 從而 |c|2 cc(a-b)(a-b) aabb-2ab |a|2|b|2-2|a|b|cos(a b) 即 c2a2b2-2abcos 證明 在DABC中 BCA |CB|a |CA|b |AB|c 記CBa CAb ABc 則有 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁提示：v數(shù)量積的坐標表示 aaxiay jazk bbxiby jbzk ab(axiay jazk)(bxiby jbzk) axbxiiaxbyijaxbzik aybx jiayby jjaybz jk azbxkia

5、zbykjazbzkk axbxaybyazbz abaxbxaybyazbz 設(shè)a(ax ay az ) b(bx by bz ) 則 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v數(shù)量積的坐標表示abaxbxaybyazbz 設(shè)a(ax ay az ) b(bx by bz ) 則 設(shè)(a b) 則當a0、b0時 有 v向量夾角余弦的坐標表示 提示: a b|a|b|cos 222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例2 已知三點M(1 1 1)、A(2 2 1)和B(2 1

6、2) 求AMB 從M到A的向量記為a 從M到B的向量記為b 則AMB 就是向量a與b的夾角 2011|222a 2101|222b 所以 21221|cosbabaAMB 從而 3AMB 因為 ab1110011 b(2 1 2)- -(1 1 1)a(2 2 1)- -(1 1 1)(1 1 0) (1 0 1) 解 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 向量積的物理背景 由力學規(guī)定 力F對支點O的力矩是一向量M 它的模|M|OP|F|sin 設(shè)O為杠桿L的支點 力F作用于這杠桿上P點處 F 與OP的夾角為 而M的方向垂直于 與F所決定OP從 以不超過 的角轉(zhuǎn)向F 來確定的 OP的平面 M的指向是按右手規(guī)

7、則三、兩向量的向量積PMOF上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁三、兩向量的向量積 設(shè)向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|a|b|sin(a b) c的方向垂直于a與b所決定的平面 c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定 v向量積的定義右手規(guī)則 那么 向量c叫做向量a與b的向量積 記作ab 即cab v向量積的性質(zhì) (1) aa0 (2) 向量a與b平行的充要條件是ab0 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 在空間直角坐標系中 iijjkk? ij? jk? ki? (1)反交換律: ab-ba (2)分配律: (ab)cacbc (3)結(jié)合律: (a)ba(b)(ab)(為數(shù)) v向量積的運算律討論：

8、提示： iijjkk0 ijk jki kij上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v向量積的坐標表示 設(shè)aaxiay jazk bbxiby jbzk 則提示： ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k azbxkiazbykj ab(axiay jaz k)(bxiby jbzk)axbyijaxbzik aybx jiaybz jk(aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k iijjkk0 ijk jki kij上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 利用三階行列式符號 上式可寫成 記憶方法 v向量積的坐標表示 設(shè)aaxiay jazk bbxiby

9、jbzk 則 ab (aybz-azby)i(azbx-axbz)j(axby-aybx)k zyxzyxbbbaaa kjiba .yzxyxzyzxzxyaaaaaabbbbbb-ijk 二階行列式.abadbccd-上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例3 設(shè)a(2 1 -1) b(1 -1 2) 計算ab 設(shè)aaxiay jazk bbxiby jbzk 則 解 zyxzyxbbbaaa kjiba 211112-kjiba .yzxyxzyzxzxyaaaaaabbbbbb-ijk112121121211-ijk53 -ijk上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁由于AB(2 2 2) 解 三角形ABC的面積 例4 已知三角形ABC的三個頂點分別是A(1 2 3)、B(3 4 5)、C(2 4 7) 求三角形ABC的面積 因此 421222kjiACAB|21sin|21ACABAACABSABCD|21sin|21ACABAACABSABCD (