分類思想在初中教學中的滲透

1、分類思想在初中教學中的滲透行素質教育，培養(yǎng)面向新世紀的合格人才，使學生具有創(chuàng)新意識，在創(chuàng)造中學會學習，教育應更多的的關注學生的學習方法和策略。數(shù)學家喬治。波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路” .隨著課程改革的深入， "應試教育“向”素質教育“轉變的過程中，對學生的考察，不僅考查基礎知識，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識概念、法則、性質、公式、公理、定理的學習和探索過程中所反映出來的數(shù)學思想和方法；要求學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點。從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，對學生進行思想觀念層次上的數(shù)學教育。 &

2、#160;  數(shù)學學習離不開思維，數(shù)學探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學教學中逐步滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數(shù)學素質教育的一個切入點。    數(shù)學分類思想，就是根據(jù)數(shù)學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學思想。它既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種重要的數(shù)學邏輯方法。    所謂數(shù)學分類討論方法，就是將數(shù)學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。&

3、#160;   分類討論思想，貫穿于整個中學數(shù)學的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學問題，就其引起分類的原因，可歸結為：涉及的數(shù)學概念是分類定義的；運用的數(shù)學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；求解的數(shù)學問題的結論有多種情況或多種可能；數(shù)學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學生研究問題，探索規(guī)律的能力。    分類思想不象一般數(shù)學知識那樣，通過幾節(jié)課的教學就可掌握。它根據(jù)學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水

4、平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。教學中可以從以下幾個方面，讓學生在數(shù)學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應用。     一、  滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識    每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類遷移到數(shù)學中來，在教學中進行數(shù)學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質等，都是滲透分類思想的很好機會。  

5、0; 整數(shù)、    分數(shù)    正有理數(shù)    零    負有理數(shù)    教授完負數(shù)、有理數(shù)的概念后，及時引導學生對有理數(shù)進行分類，讓學生了解到對不同的標準，有理數(shù)有不同的分類方法，如分為：    有理數(shù)               有理數(shù)    為

6、下一步分類討論奠定基礎。    認識數(shù)a可表示任意數(shù)后，讓學生對數(shù)a 進行分類，得出正數(shù)、零、負數(shù)三類。    講解絕對值的意義時，引導學生得到如下分類：    通過對正數(shù)、零、負數(shù)的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學習理解數(shù)學概念。    又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負數(shù)、負數(shù)和零、負數(shù)和負數(shù)幾類情況來比較，而負數(shù)和負數(shù)的大小比較是新的知識點，這就突出了學習的重點。    結合“有理數(shù)”這一章的教學，反

7、復滲透，強化數(shù)學分類思想，使學生逐步形成數(shù)學學習中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復等錯誤。如把有理數(shù)分為：正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論。    二、  學習分類方法，增強思維的縝密性    在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當?shù)臉藴?，根?jù)對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解

8、決問題的關鍵所在。    分類的方法常有以下幾種：    1、根據(jù)數(shù)學的概念進行分類    有些數(shù)學概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。例1，化簡解：    這是按絕對值的意義進行分類。    例2、比較 與 易得 的錯誤，導致錯誤在于沒有注意到數(shù) 可表示不同類的數(shù)。而對數(shù) 進行分類討論，既可得到正確的解答：    0 時 ，= 0 時 ，< 0 時 ，2、根據(jù)數(shù)學的法則、性質或特殊規(guī)定

9、進行分類    學習一元二次方程 ， 根的判別式時，對于變形后的方程    用兩邊開平方求解，需要分類研究 大于0，等于0，小于0這三種情況對應方程解的情況。而此題  的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程 的根的三種情況。    例3、解關于x的不等式：ax32x+a    分析通過移項不等式化為（a2）x>a3的形式，然后根據(jù)不等式的性質可分為a20，a20，和a20三種情況分別解不等式。    當a20，即

10、a2時，不等式的解是x>    當，a20，即a2時，不等式的左邊0，不等式的右邊1    因為011，所以不等式的解是一切實數(shù)。    當a20，即a2時，不等式的解是x<    3、根據(jù)圖形的特征或相互間的關系進行分類    如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。    例如 等腰三角形一腰上的高與另一腰

11、的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是     .（2002年河南中考題）    分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD，如圖，可得腰上的高是 或從幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同的位置進行分類    在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓

12、心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。三、引導分類討論，提高合理解題的能力    初中課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學中，通過

13、分類討論還有利于幫助學生概括，總結出規(guī)律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。    一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題    例4、已知函救y（m-1）x2（m-2）x1（m是實數(shù)）。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。    分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m1=0 和 m110 兩種情況來研究解決問題。

14、0;   解：當ml 時函數(shù)就是一個一次函數(shù)yx1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。    當 m11 時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y（m1）x2（m2）x1    當（m2）2+4（m1）=0，得 m=0.    拋物線 y=x22x1，的頂點（1，0）在x軸上    例5、 函數(shù) y = x6 x5 + x4- x3 + x2 x +1，求證：y 的值恒為正數(shù)。    分析：將y的表達式分解因式，雖可證得結論但較難。分析可發(fā)

15、現(xiàn)，若將變量x在實數(shù)范圍內(nèi)適當分類，則問題容易解決。    證明： 當x 0時    x5 - x3 - x 0 ， y1恒成立；    當0 < x <1時    y = x6 + （ x4 x5 ） + （ x2 x3 ） + （ x 1）    x4 > x5 ， x2 > x3 ， 1> x    y > 0 成立；    當x = 1 時，

16、y = 1 > 0 成立；    當x >1時    y = （ x6 x5 ） + （ x4 x3 ） + （ x2 x ） + 1    x6 > x5 ， x4 > x3 ， x2 > x    y > 1成立    綜上可知，y > 0 成立。例6、已知ABC是邊長為2的等邊三角形，ACD是含30°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一個凸四邊形ABCD.（1）畫出四邊形ABCD；（2）求

17、四邊形ABCD的面積。    分析含30°角的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊二類情況來研究。如圖1是以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD（DDAC=30°和DDAC=60°這兩種圖形算出的四邊形ABCD面積相同的，故歸納為同一類）。AC為直角邊又可分為二種不同情況如圖2和3.從圖1，S四邊形ABCD=；從圖2，可算得S四邊形ABCD=；可算得S四邊形ABCD=3    由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當中，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。