補(bǔ)充：線(xiàn)性回歸與方差分析

1、第第5 5章章 線(xiàn)性回歸分析與方差分析線(xiàn)性回歸分析與方差分析5.1 5.1 一元線(xiàn)性回歸分析一元線(xiàn)性回歸分析 5.2 5.2 可線(xiàn)性化的非線(xiàn)性回歸可線(xiàn)性化的非線(xiàn)性回歸5.3 5.3 多元線(xiàn)性回歸簡(jiǎn)介多元線(xiàn)性回歸簡(jiǎn)介5.4 5.4 方差分析方差分析5.1 5.1 一元線(xiàn)性回歸分析一元線(xiàn)性回歸分析 在許多實(shí)際問(wèn)題中，我們常常需要研究多個(gè)變量之間的相互關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，變量之間的關(guān)系可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是確定性關(guān)系，確定性關(guān)系是指變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)關(guān)系來(lái)表達(dá)，例如電流I電壓V電阻R之間有關(guān)系式V=IR。 另一類(lèi)是非確定性關(guān)系，有些變量之間的關(guān)系是非確定性的關(guān)系，這種關(guān)系無(wú)法用一個(gè)精確的函數(shù)式來(lái)表示。

2、 例如，農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量與施肥量之間有密切的關(guān)系，但是不能由施肥量精確知道單位面積產(chǎn)量，這是因?yàn)閱挝幻娣e產(chǎn)量還受到許多其他因素及一些無(wú)法控制的隨機(jī)因素的影響。 又如，人的身高與體重之間存在一種關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)，人身高越高，體重越大， 但同樣高度的人，體重卻往往不同。這種變量之間的不確定性關(guān)系稱(chēng)之為相關(guān)關(guān)系。對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的變量，雖然不能找到他們之間的確定表達(dá)式，但是通過(guò)大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)他們之間存在一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究變量之間相關(guān)關(guān)系的一種有效方法就是回歸分析。一、 一元線(xiàn)性回歸模型 其中yi是x=xi時(shí)隨機(jī)變量Y的觀測(cè)結(jié)果.將n對(duì)觀測(cè)結(jié)果（xi，yi）（i=1,n）在直角

3、坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)，這種描點(diǎn)圖稱(chēng)為散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖.散點(diǎn)圖可以幫助我們精略地看出Y與x之間的某種關(guān)系. 假定我們要考慮自變量x與因變量Y之間的相關(guān)關(guān)系假設(shè)x為可以控制或可以精確觀察的變量，即x為普通的變量。由于自變量x給定后，因變量Y并不能確定，從而Y是一個(gè)與x有關(guān)的隨機(jī)變量我們對(duì)于可控制變量x取定一組不完全相同的值x1，xn，作n次獨(dú)立試驗(yàn)，得到n對(duì)觀測(cè)結(jié)果：（x1,y1） ，（x2,y2），（xn, yn）例例1 對(duì)某廣告公司為了研究某一類(lèi)產(chǎn)品的廣告費(fèi)x用與其銷(xiāo)售額Y之間的關(guān)系，對(duì)多個(gè)廠家進(jìn)行調(diào)查，獲得如下數(shù)據(jù) 廠 家123456789廣告費(fèi)6102140626290100120銷(xiāo)售額31581

4、24220299190320406380 廣告費(fèi)與銷(xiāo)售額之間不可能存在一個(gè)明確的函數(shù)關(guān)系，事實(shí)上，即使不同的廠家投入了相同的廣告費(fèi)，其銷(xiāo)售額也不會(huì)是完全相同的。影響銷(xiāo)售額的因素是多種多樣的，除了廣告投入的影響，還與廠家產(chǎn)品的特色、定價(jià)、銷(xiāo)售渠道、售后服務(wù)以及其他一些偶然因素有關(guān)。 畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖5-1所示.從圖中可以看出，隨著廣告投入費(fèi)x的增加，銷(xiāo)售額Y基本上也呈上升趨勢(shì)，圖中的點(diǎn)大致分布在一條向右上方延伸的直線(xiàn)附近.但各點(diǎn)不完全在一條直線(xiàn)上，這是由于Y還受到其他一些隨機(jī)因素的影響.這樣，Y可以看成是由兩部分疊加而成，一部分是x的線(xiàn)性函數(shù)a+bx，另一部分是隨機(jī)因素引起的誤差 ，即Y=a+bx

5、+oxy10020030040050020406080100120L*這就是所謂的這就是所謂的一元線(xiàn)性回歸模型一元線(xiàn)性回歸模型 圖5-1 相互獨(dú)立niiiiNnibxay,), 0(, 112一般地，假設(shè)x與Y之間的相關(guān)關(guān)系可表示為bxaY(1)其中：a, b為未知常數(shù)2),0(2N為隨機(jī)誤差且未知，x與Y的這種關(guān)系稱(chēng)為一元線(xiàn)性回歸模型y=a+bx稱(chēng)為回歸直線(xiàn) b稱(chēng)為回歸系數(shù)),(2bxaNY此時(shí)對(duì)于（x, Y）的樣本（x1，y1），（xn，yn）有：一元線(xiàn)性回歸主要解決下列一些問(wèn)題： （1）利用樣本對(duì)未知參數(shù)a、b、 進(jìn)行估計(jì)； （2）對(duì)回歸模型作顯著性檢驗(yàn)； （3）當(dāng)x=x0時(shí)對(duì)Y的取值作

6、預(yù)測(cè)，即對(duì)Y作區(qū)間估計(jì). 2ba, xbay如果由樣本得到式（1）中，a, b的估計(jì)值 ，則稱(chēng) 為擬合直線(xiàn)或經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)，它可作為回歸直線(xiàn)的估計(jì)二、 參數(shù)a、b、 的估計(jì)最小二乘法就是選擇a，b的估計(jì) ，使得Q(a, b)為最?。▓D5-2） ba, 2現(xiàn)在我們用最小二乘法來(lái)估計(jì)模型（1）中的未知參數(shù)a,b.niniiiibxaybaQQ1122)(),(記稱(chēng)Q(a, b)為偏差平方和圖5-20)2( )(),(0)2( )(),(11iniiiniiixbxaybaQbbxaybaQa為了求Q（a, b）的最小值，分別求Q關(guān)于a，b的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零：經(jīng)整理后得到式（2）稱(chēng)為正規(guī)方程組.

7、 niiiniiniiniiniiyxbxaxbbxna112111（2）niiiniixxyyxxb121)()()(xbyaniniiiynyxnx111,1由正規(guī)方程組解得其中用最小二乘法求出的估計(jì) 、 分別稱(chēng)為a、b的最小二乘估計(jì)a b由矩估計(jì)法，可用 估計(jì)2Eniin121)(xxbyxbay此時(shí)，擬合直線(xiàn)為2下面再用矩法求 的估計(jì)22ED 由于，a、b分別由 、 代入iiiya bx a b而2niiixbayn122)(1故 可用作估計(jì)對(duì)于估計(jì)量 、 、 的分布，有：a b2定理定理1niinixxnxaNa121212)(,（1）niixxbNb122)(,（2）) 2(222

8、nn（3）2a b（4）分別與 、 獨(dú)立。323. 0b37. 4 a064. 422例2 在例1中可分別求出a、b、 的估計(jì)值為：故經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)為：Y=4.37+0.323x三、線(xiàn)性回歸的顯著性檢驗(yàn) 在實(shí)際問(wèn)題中，事先我們并不能斷定Y與x確有線(xiàn)性關(guān)系，Y=a+bx+ 只是一種假設(shè).下面說(shuō)明這一檢驗(yàn)的方法.當(dāng)然，這個(gè)假設(shè)不是沒(méi)有根據(jù)的，我們可以通過(guò)專(zhuān)業(yè)知識(shí)和散點(diǎn)圖來(lái)作出粗略判斷.但在求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，還需對(duì)這種線(xiàn)性回歸方程同實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的效果進(jìn)行檢驗(yàn).若假設(shè)Y=a+bx+ 符合實(shí)際，則b不應(yīng)為零因?yàn)槿绻鸼=0，則Y=a+意味著Y與x無(wú)關(guān)所以Y=a+bx是否合理，歸結(jié)為對(duì)假設(shè)：0:1bHH

9、0: b=0進(jìn)行檢驗(yàn)下面介紹檢驗(yàn)假設(shè)H0的二種常用方法.)1 ,0()(12Nxxbnii)2(222nn且 與 獨(dú)立b21t檢驗(yàn)法若H0成立，即b=0，由定理7.1知，)2(|2ntT)2(2/)(2212ntnnxxbTnii因而)2(|2ntTP故為顯著性水平即得H0的拒絕域?yàn)閚iiniiniiiYYxxYYxxR12121)()()(2相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量通常稱(chēng)R為樣本相關(guān)系數(shù).類(lèi)似于隨機(jī)變量間的相關(guān)系數(shù)，R的取值r反映了自變量x與因變量Y之間的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.可以推出:在顯著性水平 下,當(dāng)|rr時(shí)拒絕H0r其中臨界值 在附表中給出相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法是工程技術(shù)中廣是工程技

10、術(shù)中廣泛應(yīng)用的一種檢泛應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法驗(yàn)方法（1）x對(duì)Y沒(méi)有顯著影響；（2）x對(duì)Y有顯著影響，但這種影響不能用線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系來(lái)描述；（3）影響Y取值的，除x外，另有其他不可忽略的因素. 當(dāng)假設(shè) 被拒絕時(shí)，就認(rèn)為Y與x存在線(xiàn)性關(guān)系，從而認(rèn)為回歸效果顯著；0:0bH若接受H0，則認(rèn)為Y與x的關(guān)系不能用一元線(xiàn)性回歸模型來(lái)描述，即回歸效果不顯著.此時(shí)，可能有如下幾種情形：因此，在接受H0的同時(shí)，需要進(jìn)一步查明原因分別處理，此時(shí)，專(zhuān)業(yè)知識(shí)往往起著重要作用. 四、預(yù)測(cè)000bxay), 0(20N00 xbay當(dāng)經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)回歸效果顯著時(shí)，通過(guò)回歸模型可對(duì)Y的取值進(jìn)行預(yù)測(cè). 即當(dāng)x=x0時(shí)，對(duì)Y作區(qū)間估計(jì)

11、.設(shè)當(dāng)x=x0時(shí)Y的取值為y0，有可以取經(jīng)驗(yàn)回歸值) 2()()(112122000ntxxxxnnnyyTnii1)2(|2ntTP作為y0的預(yù)測(cè)值.可以證明從而可得)(),(0000 xyxyniixxxxnnnntx122020)()(112) 2()(1所以，給定置信概率 ，Y0的置信區(qū)間為其中)(20 x可以看出在x0處y的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為xx0當(dāng) 時(shí)置信區(qū)間的長(zhǎng)度最短，估計(jì)最精確，置信區(qū)間愈長(zhǎng)，估計(jì)的精度愈差。22) 2(untxx012nn) , (2020uyuyx當(dāng)n很大且x0位于 附近時(shí)，有1于是y0的置信概率為 的預(yù)測(cè)區(qū)間近似為)05. 0(例3 檢驗(yàn)例2中的回歸效果是否

12、顯著，當(dāng)x0=80時(shí)，求出Y0的預(yù)測(cè)區(qū)間。解解 經(jīng)計(jì)算 T=16.9 r=0.98查表，得t0.025（9）=2.26 r0.05=0.602易見(jiàn)，t檢驗(yàn)法、相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法都拒絕H0，即回歸效果顯著。21.310y于是，當(dāng)x0=80時(shí)，y0的預(yù)測(cè)值為y0的95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為（24.73，35.69）5.2 5.2 可線(xiàn)性化的非線(xiàn)性回歸可線(xiàn)性化的非線(xiàn)性回歸 在實(shí)際問(wèn)題中，常常會(huì)遇到這樣的情形：散點(diǎn)圖上的幾個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)明顯地不在一條直線(xiàn)附近，而在某曲線(xiàn)周?chē)?或者，用線(xiàn)性回歸方程描述變量間的關(guān)系計(jì)算的結(jié)果與樣本值誤差較大，這表明變量之間不存在線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，而是一種非線(xiàn)性的相關(guān)關(guān)系.下面舉例說(shuō)明對(duì)這

13、類(lèi)問(wèn)題用線(xiàn)性化處理的方法。例例1 在彩色顯像技術(shù)中，考慮析出銀的光學(xué)密度x與形成染料光學(xué)密度Y之間的相關(guān)關(guān)系，其中11個(gè)樣本數(shù)據(jù)如下所示：xi0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47yi0.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29解解 根據(jù)這11個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi,yi）作出散點(diǎn)圖（圖5-3）.圖5-3從散點(diǎn)圖上看出，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)在一條曲線(xiàn)L周?chē)?xy1lnln根據(jù)有關(guān)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，結(jié)合散點(diǎn)圖，可以認(rèn)為曲線(xiàn)L大致為：xey)0,(對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)：yylnxx1lnab令xbay即有：0.250.220.1

14、70.110.00-0.24-0.53-0.99-1.47-1.97-2.302.132.332.633.234.005.007.1410.0014.2916.6720.00 xx1yyln于是數(shù)據(jù)（ ）相應(yīng)地變換成（ ）iiyx ,iiyx,將變換后的數(shù)據(jù)點(diǎn)（ ）畫(huà)出散點(diǎn)圖（圖5-4）iiyx,從散點(diǎn)圖可以看出 與 具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，因此用一元線(xiàn)性回歸分析.xy利用一元線(xiàn)性回歸的方法可以計(jì)算出 與 的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為xy15. 058. 0 xy圖5-4可求得x與y之間相關(guān)關(guān)系的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：79. 158. 0eea15. 0 bxey15.079.1這里a=0.58，b= -0.15所以3

15、32.1213.9142.443.8619.729.95時(shí)間時(shí)間t（分（分秒秒）15001000800400200100距離距離x（米）（米）例例2 賽跑是大家熟知的一種體育活動(dòng)。下表給出了截至1997年底在6個(gè)不同的距離上中短跑成績(jī)的世界記錄：試根據(jù)這些記錄數(shù)據(jù)分析出運(yùn)動(dòng)員的賽跑成績(jī)與所跑距離間的相關(guān)關(guān)系。解解 根據(jù)記錄數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，ti）作出散點(diǎn)圖 (圖5-5)圖5-5從散點(diǎn)圖上看出，全部點(diǎn)（xi，ti）分布在一條曲線(xiàn)附近，因而x與t之間可以存在一種線(xiàn)性關(guān)系。 我們用一無(wú)線(xiàn)性回歸分析，可計(jì)算出x與t間的線(xiàn)性回歸模型為 t=-99.9+0.1455x由此模型，當(dāng)x=100,200,400,8

16、00,1000,1500(米)時(shí)，t的理論值分別為:4.56, 19.10,48.20,146.4,215.5,328.2可以看出t的理論值與實(shí)際記錄數(shù)據(jù)多數(shù)都比較接近。仔細(xì)分析，可發(fā)現(xiàn)線(xiàn)性回歸模型的一些不合理之處。如：當(dāng)賽跑距離小于68米時(shí)，所需時(shí)間為負(fù)值；當(dāng)賽跑距離為100米時(shí)所需時(shí)間只須4.56.再仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)：短距離100米、200米及長(zhǎng)距離1500米需要的時(shí)間實(shí)際值均高于線(xiàn)性模型的理論值，而中間的400米、800米、1000米需要的時(shí)間實(shí)際值均低于線(xiàn)性模型的理論值.它告訴我們x與t的關(guān)系可能為一曲線(xiàn)，且曲線(xiàn)是下凸的。具有這種性質(zhì)的最簡(jiǎn)單曲線(xiàn)當(dāng)屬冪函數(shù)：t=axb 它告訴我們x與t的

17、關(guān)系可能為一曲線(xiàn)，且曲線(xiàn)是下凸的。對(duì)上式二邊取對(duì)數(shù)lnt=lna+blnx令t=lnt a=lna x=lnx得t= a+bx為一線(xiàn)性關(guān)系具有這種性質(zhì)的最簡(jiǎn)單曲線(xiàn)當(dāng)屬冪函數(shù)：t=axbaea用一元線(xiàn)性回歸分析估計(jì)a、b，從而算出最后可得t與x間的冪函數(shù)模型： t=0.48x1.145當(dāng)x=100，200，400，800，1000，1500（米）時(shí)，利用冪函數(shù)模型算出t的理論值分別為：9.39,20.78,45.96,141.68, 211.29,328.88比較計(jì)算結(jié)果可知：冪函數(shù)模型比線(xiàn)性回歸模型更能確切地反映t與x間的關(guān)系。5.3 5.3 多元線(xiàn)性回歸簡(jiǎn)介多元線(xiàn)性回歸簡(jiǎn)介 其中b0，b1，

18、bp， 為與x1，xp無(wú)關(guān)的未知參數(shù)。2假定要考察p個(gè)自變量x1，x2，xp與因變量Y之間的相關(guān)關(guān)系。 ppxbxbbY110), 0(2N設(shè)這就是p元線(xiàn)性回歸模型iippiixbxbby 110), 0(2Ni對(duì)變量x1，xp,Y作n次觀測(cè)得到樣本值：iipyxx;,1 （ ） i=1,，n這里y1，yn獨(dú)立、同分布，且有nyyyY21npnnppxnxxxxxxxX212222111211111pbbbb10n21為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)處理，引進(jìn)矩陣表示，記 XbY則等式iippiixbxbby110i=1，,n可表示為pbbb,10用最小二乘法求未知參數(shù)的估計(jì)，即參數(shù) niTippiiXbYXbY

19、xbxbbyQ12110)()()(應(yīng)使為最小YXXXbbbbTTp110)(ppxbxbbY110根據(jù)高等數(shù)學(xué)中求最小值的方法，可求得b0，b1，bp的估計(jì)：從而得到Y(jié)與x1，xp的經(jīng)驗(yàn)回歸方程： 類(lèi)似于一元線(xiàn)性回歸，多元線(xiàn)性回歸模型的假設(shè)是否符合實(shí)際，同時(shí)需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。 另外，在實(shí)際問(wèn)題中，影響因變量Y的因素往往很多.如果將它們都取作自變量，必然會(huì)導(dǎo)致所得到的回歸方程很復(fù)雜。 因而，我們應(yīng)剔除那些對(duì)Y影響較小的自變量，保留對(duì)Y有顯著影響的自變量，以便我們對(duì)變量間的相關(guān)變化有更明確的認(rèn)識(shí)。 在此我們對(duì)多元性回歸分析作一簡(jiǎn)單介紹.在實(shí)際問(wèn)題中多元線(xiàn)性回歸的應(yīng)用非常廣泛，有興趣的讀者可以查閱

20、有關(guān)的專(zhuān)門(mén)書(shū)籍。5.4 5.4 方差分析方差分析 一、單因素方差分析 在實(shí)際問(wèn)題中，影響一事物的因素往往是很多的。例如，在化工生產(chǎn)中，有原料成分、原料劑量、催化劑、反應(yīng)溫度、壓力、反映時(shí)間等因素，每一因素的改變都有可能影響產(chǎn)品的質(zhì)量。有些因素影響較大，有些影響較小.方差分析就是根據(jù)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行分析，鑒別各有關(guān)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的有效方法。在試驗(yàn)中，將要考察的指標(biāo)稱(chēng)為試驗(yàn)指標(biāo)，影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱(chēng)為因素因素因素所處的狀態(tài)稱(chēng)為該因素的水平水平如果試驗(yàn)僅考慮一個(gè)因素，則稱(chēng)為單因素試驗(yàn)單因素試驗(yàn)，否則稱(chēng)為多因素試驗(yàn)多因素試驗(yàn).我們先討論單因素試驗(yàn)例例1 某消防隊(duì)要考察4種不同型號(hào)冒煙報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間

21、（單位：秒）。今將每種型號(hào)的報(bào)警器5個(gè)安裝在同一條煙道中，當(dāng)煙量均勻時(shí)觀測(cè)報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間，得數(shù)據(jù)如下：報(bào)警器型號(hào)報(bào)警器型號(hào)反反 應(yīng)應(yīng) 時(shí)時(shí) 間間A1（甲型）（甲型）5.26.34.93.26.8A2（乙型）（乙型）7.48.15.96.54.9A3（丙型）（丙型）3.96.47.99.24.1A4（丁型）（丁型）12.39.47.810.88.5這里，試驗(yàn)的指標(biāo)是報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間，報(bào)警器為因素。4種不同型號(hào)的報(bào)警器是因素的4個(gè)不同水平。這是一個(gè)單因素試驗(yàn).我們要考察：各種型號(hào)的報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間有無(wú)顯著性差異？如果各種型號(hào)的報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間有顯著性差異，那么何種型號(hào)的報(bào)警器最優(yōu)？ 4321,4

22、3210:H43211,:H上表中數(shù)據(jù)可看作來(lái)自4個(gè)不同總體（每個(gè)水平對(duì)應(yīng)一個(gè)總體）的樣本值，將各個(gè)總體均值依記為則各型號(hào)報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間有無(wú)顯著性差異的問(wèn)題相當(dāng)于需檢驗(yàn)假設(shè)不全相等。若再假定各總體均值為正態(tài)總體，且各總體方差相等，那么這是一個(gè)檢驗(yàn)同方差的多個(gè)正態(tài)總體均值是否相等的問(wèn)題。顯然，檢驗(yàn)假設(shè)H0可以用前面所講的t檢驗(yàn)法，只要檢驗(yàn)任何二個(gè)總體均值相等就可以了。下面所要討論的方差分析法就是解決這類(lèi)問(wèn)題的一種檢驗(yàn)方法。但是這樣做要檢驗(yàn)3次，比較繁瑣.總體均值總體均值樣本均值樣本均值Xs2X22X12Xs1X21X11AsA2A1 水平水平觀測(cè)值觀測(cè)值 .SX1S2.2X22nX.1Xssn

23、X11nX設(shè)影響指標(biāo)值的因素A有s個(gè)水平A1，A2，As)2(iinn在水平Ai（i=1,s）下，進(jìn)行 次獨(dú)立試驗(yàn)，得樣本Xij，j=1，ni：injijiiXnX11si, 1sinjijiXnX111siinn1假定水平Ai下的樣本來(lái)自正態(tài)總體 ， 未知，且不同水平Ai下的樣本獨(dú)立),(2iN2,i記),(2iijNX有j=1,，ni i=1，sXij相互獨(dú)立), 0(2Nij于是ijiijXij為隨機(jī)誤差由假設(shè)在方差分析中，為了便于推廣到多因素試驗(yàn)的情形，習(xí)慣上又有下列表示式：ijiijXj=1,，ni i=1，s iisiiin10siiinn11其中稱(chēng) 為總平均is,1稱(chēng) 為水平Ai

24、的效應(yīng)，滿(mǎn)足0:210sHs21現(xiàn)在，要檢驗(yàn)等價(jià)于檢驗(yàn)sH,:211不全為零下面從平方和的分解著手,導(dǎo)出上述假設(shè)H0的檢驗(yàn)方案sinjijTiXXS112)(記ST能反映全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，因此稱(chēng)ST為總偏總偏差平方和差平方和sinjijTiXXS112)(sinjiiijiXXXX112)()(sinjiiijiXXXX112)()(sinjsinjiiijiijiiXXXXXX11112)(2)(sinjiiXX112)(sinjisiiiijiXXnXX11212)()(由于sinjiijEiXXS112)(siiiAXXnS12)(于是有平方和分解式：ST=SE+SA其中稱(chēng)SE為誤

25、差平方和誤差平方和，SA為因素A的平方和的平方和SE反映了各水平Ai內(nèi)由于隨機(jī)誤差而引起的抽樣誤差SA反映了因素A的水平不同而引起的誤差外加隨機(jī)誤差定理定理1)(122snSE（1）（2）SE與ST相互獨(dú)立；01s) 1(122sSA（3）當(dāng) 時(shí)， 。0:10sH)() 1(snSsSFEA為了檢驗(yàn)取FF（s-1，n-s）當(dāng)H0成立時(shí)，由定理1，直觀上，當(dāng)H0成立時(shí)，由因素水平的不同引起的偏差相對(duì)于隨機(jī)誤差而言可以忽略不計(jì)，即F的值應(yīng)較??；反之，若F值較大，自然認(rèn)為H0不成立。), 1(snsFF若檢驗(yàn)結(jié)果認(rèn)為假設(shè)H0不成立，則可用 作為 的點(diǎn)估計(jì)，或者對(duì) 進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。iXii), 1(sn

26、sFFP由得到：在顯著性水平 下H0的拒絕域：計(jì)算F的值可用表9-1所示的方差分析表n-1ST總和總和n-sSE誤差誤差s-1SA因素因素AF值值均方和均方和自由度自由度平方和平方和偏差來(lái)源偏差來(lái)源1sSSAAsnSSEEEASSF 表表5-1 單因素方差方析表單因素方差方析表來(lái)源來(lái)源平方和平方和自由度自由度均方和均方和F值值因素因素A56.29318.76F=6.15誤差誤差48.77163.05在實(shí)際應(yīng)用中，一般在 下若仍不能拒絕H0時(shí)則接受原假設(shè)H010. 0例例2 在例1中，s=4,n1=n2=n3=n4=5,n=20，經(jīng)計(jì)算列方差分析表如下：查表，得F0.10（3.16）=2.46，

27、F0.05（3.16）=3.2410. 010. 0從而在顯著性水平下檢驗(yàn)結(jié)果拒絕H028. 51X56. 62X30. 63X76. 94X28. 5156. 6230. 6376. 94由方差分析可知，4種型號(hào)的報(bào)警器的反應(yīng)時(shí)間確有顯著性差異計(jì)算：故即反應(yīng)時(shí)間較短的是甲，丙次之二、雙因素方差分析。假定要考察兩個(gè)因素A、B對(duì)某項(xiàng)指標(biāo)值的影響因素A取s個(gè)水平A1，A2，As因素B取r個(gè)水平B1，B2，Br在A、B的每對(duì)組合水平（Ai，Bj）上作一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果為Xij，i=1，s；j=1，r。所有Xij獨(dú)立，數(shù)據(jù)列于下表：XsrXs2Xs1A As sX2rX22X21A2X1rX12X11

28、A1BrB2B1 因素因素B因素因素ArX2 X1 XjX sX 2X 1X iXsiXrXrjiji, 2 , 111rjXsXriijj, 2 , 111其中要考察因素A、B是否指標(biāo)值產(chǎn)生顯著性影響？),(2ijijNX設(shè)ijijijX則有),0(2Nij為隨機(jī)誤差，且ij相互獨(dú)立 i=1，s j=1，, r再假定在水平組合（Ai, Bj）下的效應(yīng)可以用水平Ai下的效應(yīng)（記為 ）與水平Bj下的效應(yīng)（記為 ）之和來(lái)表示，ij即jiij其中sirjijrs111sii10rjj100:2101sH0:2102rH作假設(shè)ij如果H01成立，那么 與i無(wú)關(guān)這表明因素A對(duì)指標(biāo)值無(wú)顯著影響同樣，作假設(shè)ij如果H02成立，則 與i無(wú)關(guān)這表明因素B對(duì)指標(biāo)值無(wú)顯著影響sirjijXrsX111rsjiijTXXS12)(siiAXXrS12)(rjjBXXsS12)(sirjjiijEXXXXS112)(類(lèi)似于單因素方差分析，通過(guò)下面的平方和分解式可以檢驗(yàn)假設(shè)H01，H02記EBATSSSS通過(guò)簡(jiǎn)單推導(dǎo)可以證明下列平方和分解式：2SA是由因素A的