5.6二項(xiàng)式定理十大典型例題配套練習(xí)

1、選修2-3 :二項(xiàng)式定理常見題型1 .二項(xiàng)式定理:(a b)n C：an C：an 1b L C：an rbr LC：bn(n N),2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù) C； (r 0,1,2, , n).項(xiàng)數(shù)：共n+1項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第r 1項(xiàng)C；an rbr叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用 I 1 C：an rbr表示。3 .性質(zhì):二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C： Cnn k.二項(xiàng)式系數(shù)和：令 a b 1,可得二項(xiàng)式系數(shù)的和為 C0 C： C： L C； L Cnn

2、 2n ,變形式 C； C； L C： L C：2n 1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a 1,b1,則C：CnC：C；L (1)nCn(11)n0,從而得到：C： Cn_ 4_ 2rCnCnc； c； l2r 1C n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)nCn2取得最大值。如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)n是奇數(shù)時，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2，Cn2同時取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別Ar 1Ar為A1,A2, ,An1,設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出r來。Ar

3、 1Ar 2題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；一例：cn C2 6 cl3 62 L Cnn 6n 1 解：(1 6)n Cn0 Cn 6 C： 62 C； 63 L Cnn 6n1 1 C2GC32n n 11/C1GC22n n Cn Cn 6 Cn 6 L Cn 6 (Cn 6 Cn 6 L Cn 6 )61(C0 C： 6 c2 62 L C： 6n 1) 1(1 6)n 1 1(7n 1) 666練：Cn 3Cn 9Cn L 3n 1Cn.4n 1解：413題型二：利用通項(xiàng)公式求 xn的系數(shù);例:在二項(xiàng)式（4 13/Z）n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為.345 ,求含有x的項(xiàng)的系數(shù)?解:由條件

4、知 C： 2 45,即C； 45 ,n 90 0,解得n9（舍去）或n 1010 r練:解:- c,410r, 3、r cTr 1 C10(x ) (x ) C10x3則含有x的項(xiàng)是第7項(xiàng)丁6 1C；0x3求（x2 2）9展開式中x9的系數(shù)?2x1043,解得r 6 ,3 一210x ,系數(shù)為210 。r 2 9 r 1 r 八 r 18 2r 1 r rTr 1 C9(x ) ( 一)Cgx() x2x2C9r( 2)rx183r令18 3r 9,則故x9的系數(shù)為c；（題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);例:2110求一項(xiàng)式（x =）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?2、x解:5 20 5r rC1r0(1)r

5、x 22_ r 2 10 rTr1 C10(x )205r 0,得28 1 8r 8,所以 T9C10()245256練:求二項(xiàng)式（2x2x）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?解:r 6 r r . 1 . rr r 6 r . 1 . rTr1 C6(2x)(1)(2x)(1)C62(2)6 2r 八八 八x ，令 6 2r1)3C320練:若（x2 1）n的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n x解:_4 4 2.n 4.1.44 2 n 12T5 Cn (x ) (一)Cnx ，令 2n 12 0,得 n 6.x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng);例：求二項(xiàng)式（Jx 眩）9展開式中的有理項(xiàng)?解：

6、Tr 1 C；(X2)9r( X3)r27 r(1)rc9X,令 27 z,( 0r 9)得 r3或r9,所以當(dāng)r 3時，2； r27 r當(dāng)r 9時， r 3,63 _ 3 444 , 丁4 ( 1) C9X84x ,3c9 33T10( 1) C9 X X 0題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;1 n例:若（&-=）展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為256,求n.3 X2展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為ao,a1令X 1,則有 a0 a1an 0,，令X 1,則有 a0 a1 a2 a3(1)nan 2n，將-得： 2(a1 a3 a5)2n, a1 a3 a52n 1有題意得，2n 1

7、25628 , n 9。練：若（d1 jX）n的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為解：Q C0C2 C4C12rCn C3 L Cnr11024,求它的中間項(xiàng)。2n 1 ,2n 1 1024 ,解得 n 11所以中間兩個項(xiàng)分別為n 6,n 7, T51462 x4, 丁6 161462 x 15題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；1例：已知（- 2x）n,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)2最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：QC4 C6 2C；, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14,當(dāng)n 7時，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)1 351 是丁4和丁5 丁4的系數(shù)C3（1

8、）423 35, T5的系數(shù) C；（）324 70,當(dāng)n 14時，展開式中二項(xiàng)式2 221 r r系數(shù)最大的項(xiàng)是丁8,T8的系數(shù)C1；（）727 3432。2T2n ,Tn 1,也就是第n 1項(xiàng)。12練：在（a b）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù) 2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即練:在（2" 方）n的展開式中，只有第 5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解:只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 n26 1 21 5,即n 8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C8 （-）72練:寫出在（a b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)?解:因?yàn)槎?xiàng)式

9、的哥指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有T4C3a4b3的系數(shù)最小，T5 C74a3b4系數(shù)最大。練:1若展開式刖二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79 ,求（2x）n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)?2解:由 Cn C： C279,解出n 12,假設(shè)T一項(xiàng)最大，Q1121 122 2x)(-) (1124x)練:解:ArArArAr 2Cr2 4rCr2 4r系數(shù)最大的項(xiàng)為Tn,有T11Cr 14r 112,化簡得到9.4 r 10.4,又Q0 rC11214r 1,1、1210,10 10()Ci24 x216896x1012,r 10 ,展開式中在（1 2x）10

10、的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?假設(shè)Tr 1項(xiàng)最大，QTr 1 C；0 2rxrArArAC r2rc r1 2r1rC10C1011解得Ar2C；02rC；02r,2(11r 1r) r),化簡彳#到6.32(10 r)k 7.3,又Q0 r 10,r 7,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8 C；27x715360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)例：求當(dāng),25 .一 一-（x 3x 2）的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法:(x2 3x 2)5 (x2 2) 3x5,Tr 1C；(x2 2)5 r(3x)r ,當(dāng)且僅當(dāng)r 1時，Tr 1的展開式中解法:才有x的一次項(xiàng)，此時Tr 1 T2它的系數(shù)為C；C：243

11、 240 。2_ 55_ 5(x 3x 2) (x 1) (x 2)故展開式中含x的項(xiàng)為C54xc525練：求式子（X13pi 2)3的常數(shù)項(xiàng)?解：（X-2)3C5(x2(C0x5C54x242）4 3x ,所以x得一次項(xiàng)為C1C4243xC5x4_ 5_ 0 5_ 1 4C5)(C5xC5x 2240x ,故展開式中x的系數(shù)為6 ,設(shè)第r 1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr 1_ r rC6( 1) x240.C；25)1 r6 - r16 2r(y)(1)C61x ,3 _ 3得6 2r 0, r 3,T31 ( 1) Ce 20.題型八：兩個二項(xiàng)式相乘;例：求(1 2x)3(1 x)4展開式中x2的系

12、數(shù).解：Q(1 2x)3的展開式的通項(xiàng)是 CT (2x)m C1 2m xm,(1 x)4的展開式的通項(xiàng)是 C4( x)nC41n xn,其中 m 0,1,2,3,n 0,1,2,3,4,令m n 2,則 m 0且 n 2, m 1 且n 1,m的展開式中x2的系數(shù)等于C； 20 Cj ( 1)2練：求(1返)6(1 I)10展開式中白常數(shù)項(xiàng).4 xmn解：(1 *)6(12)10展開式的通項(xiàng)為Cmx3C1n0x4 Cm其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10，當(dāng)且僅當(dāng) 4m2且 n 0,因此(1 2x)3(1 x)4C121C1 (1)1C2 22 C0 (1)06C32C4

13、 (I)C3 2 C4 I"6.解：設(shè)(x 物2006=a0 x1 a2x2 a3x3 L2006 a2006x(x -.2) 2006=a023.a2xa3xL2006 a2006x4m 3nC1n0 x 12m 0 m 3m 6,3n,即或 或n 0,n 4,n 8,時得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C60 C100 C； C140 C： C18) 4246.-c1 .練：已知(1 x x2)(x )的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，n N且2 n 8,則n x解：(x L)n展開式的通項(xiàng)為Cn xnr x3rCn xn4r,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得xCn xn 4r,Cn xn4r1,Cn xn4

14、r 2,Q 展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2 n 8n 4r且n 4r 1 且n 4r 2,即 n 4,8且n 3,7且n2,6, n 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和一T例：在(x 揚(yáng)2006的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次哥的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x 6時,S .得 2(a1x a3x3a5x5La2005x2005) (x V2)2006(x 6)2006(x 歷2006展開式的奇次事項(xiàng)之和為S(x) 1(x 揚(yáng)2006 (x 揚(yáng)200623 2006當(dāng)x揚(yáng)tS(6) 1(五 份2006 (笈 回 2006 匚2300822題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式(3#X 1)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p,所有二

15、項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xp s 272，則n等于多少？解：若(33x1)n a0a1xa2x2anxn，有 Pa。aan ,S C0 Cn2n,x令 x 1 得 P 4n，又 p s 272，即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16) 0解得2n 16 或 2n17(舍去)，練：若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為n 4.64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少?解：令x 1 ,則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為%r " / / c 、2009123練：右(1 2x)ao axa?xa3x解：令x 1,可得ao a1 a2需22 22在令x 0可得ao 1,因而曳a|2 2練： 若(x 2)5 a5x5 a

16、4x4 a3x3 a2x2解：令x 0彳#a032,令x 1得a0 a12n 64,所以，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.2009aa2La2009x(x R),則 22 2a1a2a20090，2.2009a0222a2009.20091.21ax a0,則 a a2 a3 a4 a512a3a4 a51,540.a2009 2 2009的值為aia2 a3a， a531.題型十一：整除性;例：證明:32n28n 9( n* 一 、N )能被64整除、十 C2n 2證：38n8n9 (8n 11) 8nCn18ncn18nCnn；82n 1 n 1Cn 18 Cn 1 8nCn18ncn18nC；182

17、8(n 1) 1 8n 9C0 18nC： 18nCnni82由于各項(xiàng)均能被64整除32n 2 8n 9(nN*)能被64整除 練習(xí)：1、(x1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 1、設(shè) f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是f(1) f( 1)( 2)11/2102422、C0 3Cn32C23nC2、4n3、(3/5J)20 的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第53、3,9,15,214、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和是一4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對值之和實(shí)為(2x+1) 5展開式系數(shù)之和，故令 x=1 ,則所求和為355、求(1+x+x 2)(1-x) 10展開

18、式中x4的系數(shù)5、(1 x x2)(1x)10(1 x3)(1 x)9,要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個因式中的 1與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)C4( x)4作積，第一個因式中的x3與(1-x)9展開式中的項(xiàng)C9( x)作積，故x4的系數(shù)是C9 C4 1356、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 10展開式中x3的系數(shù)6、(1 x) (1 x)2(1x)10(1 x)1 (1 x)10 (x 1)111 (1 x)(x D ,原式中x3實(shí)為這分子中的x4,x則所求系數(shù)為C717、若 f(x)(1 x)m(1 x)n(mN)展開式中,x的系數(shù)為21,問m n為何值時,x2的系數(shù)最小?7、由條件得m+n=21, x2的項(xiàng)為Cm_ 222Cnx ,則 CmC2 (n221)2399 巾.因nC N, 4故當(dāng)n=10或11時上式有最小值，也就是m=11 和n=10,或 m=10 和 n=11 時,x2的系數(shù)最小8、自然數(shù)n為偶數(shù)時，求證:_ 1_ 21 2CnCn2Cn C42Cn 1Cn 3 2n 18、原式二(Cn Cn c2cn1 cn) (CnCn C5Cn1)2n 2n 1 3.2n 1119、求80被9除的余數(shù)11110111109、 80(81 1)C1181 C1181C10 81181k1(kZ),.kCZ, .9k-1 CZ,8111 被 9 除余