固體材料的導(dǎo)電性1

1、第十二章第十二章 固體材料的導(dǎo)電性固體材料的導(dǎo)電性 本章將具體討論與固體材料的導(dǎo)電性有關(guān)的問(wèn)題。從固體本章將具體討論與固體材料的導(dǎo)電性有關(guān)的問(wèn)題。從固體中的電子在外電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)出發(fā)去中的電子在外電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)出發(fā)去理解和討論金屬，半導(dǎo)體等理解和討論金屬，半導(dǎo)體等材料的導(dǎo)電的機(jī)理。材料的導(dǎo)電的機(jī)理。由于金屬的導(dǎo)電性與費(fèi)米面的情況有密切由于金屬的導(dǎo)電性與費(fèi)米面的情況有密切的聯(lián)系，而費(fèi)米面的測(cè)量又與電子在磁場(chǎng)當(dāng)中的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，所的聯(lián)系，而費(fèi)米面的測(cè)量又與電子在磁場(chǎng)當(dāng)中的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，所以本章還將具體研究以本章還將具體研究固體中的電子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律固體中的電子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 綜上，本章的內(nèi)容可具

2、體的分為下面四個(gè)部分：綜上，本章的內(nèi)容可具體的分為下面四個(gè)部分： 1）關(guān)于固體中電子運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)經(jīng)典描述。）關(guān)于固體中電子運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)經(jīng)典描述。 2）關(guān)于金屬的導(dǎo)電性與費(fèi)米面。）關(guān)于金屬的導(dǎo)電性與費(fèi)米面。 3）關(guān)于半導(dǎo)體的導(dǎo)電性。）關(guān)于半導(dǎo)體的導(dǎo)電性。 4）關(guān)于能帶理論的局限性：）關(guān)于能帶理論的局限性： 電子的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，電子的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，Maott絕緣體與哈伯德模型。絕緣體與哈伯德模型。 有序與無(wú)序，安德森模型與安德森轉(zhuǎn)變等。有序與無(wú)序，安德森模型與安德森轉(zhuǎn)變等。 在對(duì)金屬電導(dǎo)率等問(wèn)題的討論中，要涉及到自由電子在外在對(duì)金屬電導(dǎo)率等問(wèn)題的討論中，要涉及到自由電子在外電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。對(duì)這種問(wèn)題的討論，一般有下

3、面兩種途徑：電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。對(duì)這種問(wèn)題的討論，一般有下面兩種途徑：a）求解含外場(chǎng)的單電子薛定格方程。）求解含外場(chǎng)的單電子薛定格方程。 b）在外場(chǎng)較弱且恒定，不考慮電子的干涉、衍射及碰撞）在外場(chǎng)較弱且恒定，不考慮電子的干涉、衍射及碰撞等情況下，把電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來(lái)處理。等情況下，把電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來(lái)處理。 該方法具有：圖象清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)該方法具有：圖象清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中也是常被采用的。用中也是常被采用的。 這就要求：在這種含外場(chǎng)的單電子薛定格方程能夠求解的這就要求：在這種含外場(chǎng)的單電子薛定格方程能夠求解的前提下，解出描寫(xiě)電子狀態(tài)的波函

4、數(shù)后，在利用流密度的表達(dá)前提下，解出描寫(xiě)電子狀態(tài)的波函數(shù)后，在利用流密度的表達(dá)式可求出電流。然后再討論電流與外場(chǎng)的關(guān)系。式可求出電流。然后再討論電流與外場(chǎng)的關(guān)系。 否則就不能得到滿意的結(jié)果。否則就不能得到滿意的結(jié)果。 這些要求一般是很難被滿足的。這些要求一般是很難被滿足的。 本節(jié)將首先討論在準(zhǔn)經(jīng)典近似下與電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方本節(jié)將首先討論在準(zhǔn)經(jīng)典近似下與電子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程相關(guān)的問(wèn)題，如：運(yùn)動(dòng)方程；有效質(zhì)量等。程相關(guān)的問(wèn)題，如：運(yùn)動(dòng)方程；有效質(zhì)量等。1 自由電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)自由電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)本段對(duì)自由電子的準(zhǔn)經(jīng)典近似從以下幾個(gè)方面做出討論本段對(duì)自由電子的準(zhǔn)經(jīng)典近似從以下幾個(gè)方面做出討論：（1）

5、自由電子狀態(tài)的經(jīng)典描述：）自由電子狀態(tài)的經(jīng)典描述： 經(jīng)典力學(xué)中的自由粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)?？梢酝瑫r(shí)具有確經(jīng)典力學(xué)中的自由粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)?？梢酝瑫r(shí)具有確定的動(dòng)量、能量和位置。定的動(dòng)量、能量和位置。一一、金屬中自由電子的準(zhǔn)經(jīng)典近似：、金屬中自由電子的準(zhǔn)經(jīng)典近似：（2）自由電子狀態(tài)的量子描述：）自由電子狀態(tài)的量子描述： 在量子力學(xué)中自由電子的狀態(tài)由波矢為在量子力學(xué)中自由電子的狀態(tài)由波矢為 k 的平面波來(lái)描述。的平面波來(lái)描述。由于該波函數(shù)既是能量算符的本征函數(shù)，又是動(dòng)量算符的本征由于該波函數(shù)既是能量算符的本征函數(shù)，又是動(dòng)量算符的本征函數(shù)，所以這時(shí)電子的波矢函數(shù)，所以這時(shí)電子的波矢 k 或動(dòng)量或動(dòng)量

6、k 是完全確定的。由不確是完全確定的。由不確定原理，電子的位置就完全不能確定。定原理，電子的位置就完全不能確定。 為了給出一個(gè)為了給出一個(gè)電子在外場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)簡(jiǎn)單而又清晰的物理圖像，電子在外場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)簡(jiǎn)單而又清晰的物理圖像，也經(jīng)常使用準(zhǔn)經(jīng)典近似的方法來(lái)描述自由電子的狀態(tài)。也經(jīng)常使用準(zhǔn)經(jīng)典近似的方法來(lái)描述自由電子的狀態(tài)。（3）準(zhǔn)經(jīng)典近似對(duì)自由電子狀態(tài)的描述：）準(zhǔn)經(jīng)典近似對(duì)自由電子狀態(tài)的描述： 如果一個(gè)量子態(tài)的準(zhǔn)經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中如果一個(gè)量子態(tài)的準(zhǔn)經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中的這個(gè)態(tài)在準(zhǔn)經(jīng)典近似下就常用一個(gè)的這個(gè)態(tài)在準(zhǔn)經(jīng)典近似下就常用一個(gè)“波包波包”來(lái)表示。來(lái)表示。在這種近似下：在

7、這種近似下：自由電子自由電子平均速度平均速度波包的波包的群速度群速度自由電子自由電子的位置的位置波包中波包中心位置心位置（4）準(zhǔn)經(jīng)典近似的使用條件：）準(zhǔn)經(jīng)典近似的使用條件： 若金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)可以使用若金屬中自由電子的運(yùn)動(dòng)可以使用 k 附近附近 k 范圍內(nèi)的平范圍內(nèi)的平面波所組成的波包來(lái)描述。面波所組成的波包來(lái)描述。 就必然要求：電子的位置分布在波包中心就必然要求：電子的位置分布在波包中心 r 附近的附近的r 范圍范圍內(nèi)，內(nèi)，r 和和k必須滿足不確定關(guān)系。必須滿足不確定關(guān)系。 注意到使用量子力學(xué)描述時(shí)，自由電子的波函數(shù)是平面注意到使用量子力學(xué)描述時(shí)，自由電子的波函數(shù)是平面波，其波矢是完全確

8、定的。這反映在準(zhǔn)經(jīng)典近似中就要求波，其波矢是完全確定的。這反映在準(zhǔn)經(jīng)典近似中就要求 k 必須很小。具體地說(shuō)就是要小于第一布里淵區(qū)的線度。即有：必須很小。具體地說(shuō)就是要小于第一布里淵區(qū)的線度。即有：ak2 這樣這樣r 就必須遠(yuǎn)大于晶體原胞的線度。即有：就必須遠(yuǎn)大于晶體原胞的線度。即有： 具體地說(shuō)就是要求：具體地說(shuō)就是要求： （a）波包的尺寸要比原胞的尺寸大得多，金屬中電子的）波包的尺寸要比原胞的尺寸大得多，金屬中電子的運(yùn)動(dòng)就可使用波包的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)描述。運(yùn)動(dòng)就可使用波包的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)描述。 （b）同時(shí)作用于電子的外場(chǎng)的時(shí)空變化應(yīng)比較緩慢，其）同時(shí)作用于電子的外場(chǎng)的時(shí)空變化應(yīng)比較緩慢，其變化的波長(zhǎng)變化

9、的波長(zhǎng) a 。 （c）外場(chǎng)的存在近似認(rèn)為不破壞電子的能譜，只是引起）外場(chǎng)的存在近似認(rèn)為不破壞電子的能譜，只是引起波矢波矢 k 的變化，否則就必須重新求解有外場(chǎng)時(shí)的薛定格方程。的變化，否則就必須重新求解有外場(chǎng)時(shí)的薛定格方程。ar 這是因?yàn)橐呀?jīng)知道對(duì)于波包必須滿足這是因?yàn)橐呀?jīng)知道對(duì)于波包必須滿足 這一條件。這一條件。2xkx積分可得：積分可得：在金屬中，用平面波函數(shù)組成波包，以一維情況為例：在金屬中，用平面波函數(shù)組成波包，以一維情況為例：（1）準(zhǔn)經(jīng)典近似下自由電子的平均速度）準(zhǔn)經(jīng)典近似下自由電子的平均速度 波包的群速度波包的群速度：2/2/)(00),(kkkktkkxidkAetx利用：利用：)

10、()()(000kkdkdkkk2/2/)()(00000),(kkkktkkdkdtkkxidkeAtxk有：有：2/2/0)()()(0000kktdkdxkkitkxkikkdeAek二二、準(zhǔn)經(jīng)典近似下自由電子的運(yùn)動(dòng)方程：、準(zhǔn)經(jīng)典近似下自由電子的運(yùn)動(dòng)方程：tdkdxtdkdxkAetxkktkxki0000212sin),()(相應(yīng)的幾率分布為：相應(yīng)的幾率分布為：由此可知波包的中心位置在由此可知波包的中心位置在:2222)(22sin),(00ktdkdxktdkdxkAtxkktdkdEtdkdxkk0010這里使用了德布羅意關(guān)系式這里使用了德布羅意關(guān)系式:)()(kkE波包中心移動(dòng)的

11、速度為：波包中心移動(dòng)的速度為： 在三維情況下，波包的中心位置為：在三維情況下，波包的中心位置為： 波包運(yùn)動(dòng)的速度為：波包運(yùn)動(dòng)的速度為： 001)(00kkdkdEdkddtdxkvtErkk010001kkkEv（2）準(zhǔn)經(jīng)典近似下自由電子的運(yùn)動(dòng)方程）準(zhǔn)經(jīng)典近似下自由電子的運(yùn)動(dòng)方程：自由電子能量自由電子能量 E(k) 的改變，應(yīng)該等于外力所作的功。即有：的改變，應(yīng)該等于外力所作的功。即有： dtvFEkdkk代入自由電代入自由電子速度的表子速度的表達(dá)式得：達(dá)式得：0 FdtkdEdtFEkdkk1所以有：所以有：Fkdtd)( 當(dāng)有外加靜電場(chǎng)當(dāng)有外加靜電場(chǎng) E 作用在金屬上作用在金屬上之后，按準(zhǔn)

12、經(jīng)典近似，之后，按準(zhǔn)經(jīng)典近似，電子的運(yùn)動(dòng)方程為：電子的運(yùn)動(dòng)方程為：三三、準(zhǔn)經(jīng)典近似在金屬導(dǎo)電問(wèn)題中的應(yīng)用：、準(zhǔn)經(jīng)典近似在金屬導(dǎo)電問(wèn)題中的應(yīng)用： 這就是說(shuō)，在準(zhǔn)經(jīng)典近似下，電子在受到外場(chǎng)作用時(shí)，這就是說(shuō)，在準(zhǔn)經(jīng)典近似下，電子在受到外場(chǎng)作用時(shí)，滿足經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程。滿足經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程。Eekdtd)(這說(shuō)明：在恒定外場(chǎng)的作用下，所有電子的狀態(tài)都按同樣的規(guī)這說(shuō)明：在恒定外場(chǎng)的作用下，所有電子的狀態(tài)都按同樣的規(guī)律變化，整個(gè)費(fèi)米球在律變化，整個(gè)費(fèi)米球在 k 空間中以勻速率移動(dòng)?？臻g中以勻速率移動(dòng)。Eedtkd 若自由電子氣處于基態(tài)，則費(fèi)米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占若自由電子氣處于基態(tài)，則費(fèi)米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占

13、據(jù)。設(shè)在據(jù)。設(shè)在 t = 0 的時(shí)刻恒定電場(chǎng)的時(shí)刻恒定電場(chǎng) E 施加到電子氣上，那么在施加到電子氣上，那么在 t 時(shí)刻費(fèi)米球的中心將沿與時(shí)刻費(fèi)米球的中心將沿與 E 相反的方向移動(dòng)相反的方向移動(dòng) k 。且有：。且有：ttkkdtEekdk0)()0( 即當(dāng)外電場(chǎng)即當(dāng)外電場(chǎng)E 0時(shí)，電子的定向運(yùn)動(dòng)可看成兩個(gè)過(guò)程：時(shí)，電子的定向運(yùn)動(dòng)可看成兩個(gè)過(guò)程： 電子在電場(chǎng)的電子在電場(chǎng)的 作用下作加速運(yùn)動(dòng)；作用下作加速運(yùn)動(dòng)； 電子由于碰撞而失去定向運(yùn)動(dòng)。如果認(rèn)為電子平均經(jīng)過(guò)一次電子由于碰撞而失去定向運(yùn)動(dòng)。如果認(rèn)為電子平均經(jīng)過(guò)一次碰撞就可達(dá)到平衡，碰撞就可達(dá)到平衡，就可以理解為電子在相鄰的兩次碰中之就可以理解為電子

14、在相鄰的兩次碰中之間平均所經(jīng)歷的時(shí)間。間平均所經(jīng)歷的時(shí)間。 在沒(méi)有電場(chǎng)作用時(shí)，費(fèi)米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占據(jù)。波在沒(méi)有電場(chǎng)作用時(shí)，費(fèi)米面內(nèi)所有狀態(tài)均被電子占據(jù)。波矢為矢為 k 和和 k 的電子成對(duì)出現(xiàn)。的電子成對(duì)出現(xiàn)。即對(duì)任何一個(gè)量子態(tài)即對(duì)任何一個(gè)量子態(tài) k，都有一，都有一個(gè)反方向的個(gè)反方向的k態(tài)與之對(duì)應(yīng)，處在這兩種量子態(tài)的電子具有大態(tài)與之對(duì)應(yīng)，處在這兩種量子態(tài)的電子具有大小相等、方向相反的速度，所以，系統(tǒng)的總電流為小相等、方向相反的速度，所以，系統(tǒng)的總電流為 0。 若在若在 +x 方向加上電場(chǎng)方向加上電場(chǎng) E 后，費(fèi)米球就會(huì)沿后，費(fèi)米球就會(huì)沿 -x 方向漂移。方向漂移。由于電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)被

15、聲子、晶格中的雜質(zhì)和缺陷所散射，由于電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)被聲子、晶格中的雜質(zhì)和缺陷所散射，所以費(fèi)米球不會(huì)無(wú)休止的漂移，而是會(huì)平衡在某一個(gè)位置上。所以費(fèi)米球不會(huì)無(wú)休止的漂移，而是會(huì)平衡在某一個(gè)位置上。這種散射的作用可以用一個(gè)平均漂移時(shí)間這種散射的作用可以用一個(gè)平均漂移時(shí)間 來(lái)描述。來(lái)描述。 在平均漂移時(shí)間在平均漂移時(shí)間 （弛豫時(shí)間）（弛豫時(shí)間） 內(nèi)，達(dá)到平衡。這時(shí)費(fèi)米內(nèi)，達(dá)到平衡。這時(shí)費(fèi)米球的位移為：球的位移為：tEekEek0kxkyE 這表明：在電場(chǎng)作用下，整個(gè)這表明：在電場(chǎng)作用下，整個(gè)電子分布將在電子分布將在k空間沿空間沿E的反方向移的反方向移動(dòng)。所以，費(fèi)米球的球心將偏離原動(dòng)。所以，費(fèi)米球的

16、球心將偏離原點(diǎn)位置，從而使原來(lái)對(duì)稱(chēng)的分布偏點(diǎn)位置，從而使原來(lái)對(duì)稱(chēng)的分布偏向一邊，這樣就有一部分電子對(duì)電向一邊，這樣就有一部分電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)不能被抵消，而產(chǎn)生宏觀流的貢獻(xiàn)不能被抵消，而產(chǎn)生宏觀電流。電流。所形成的電流密度為：所形成的電流密度為：Ememkvd電子獲得的由電場(chǎng)引起的漂移速度為：電子獲得的由電場(chǎng)引起的漂移速度為：EEmnevnej2d則可得金屬的電導(dǎo)率為：則可得金屬的電導(dǎo)率為：mne20kxkyEkF 右圖中右圖中和和是關(guān)于是關(guān)于kxky面對(duì)面對(duì)稱(chēng)的這兩個(gè)區(qū)域的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)稱(chēng)的這兩個(gè)區(qū)域的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)相互抵消，只有在費(fèi)米面附近未被補(bǔ)相互抵消，只有在費(fèi)米面附近未被補(bǔ)償部分的電

17、子才對(duì)傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)，償部分的電子才對(duì)傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)，這部分電子所占的分?jǐn)?shù)約為：這部分電子所占的分?jǐn)?shù)約為：這部分電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)為這部分電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)為:FFFvmeEkeEkk11EmneevvmEenjFF21同樣可以得到金屬的電導(dǎo)率為：同樣可以得到金屬的電導(dǎo)率為：mne2mkvFF最后的等號(hào)使用了關(guān)系式最后的等號(hào)使用了關(guān)系式: 根據(jù)后面這一模型，根據(jù)后面這一模型，對(duì)傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目雖然少，對(duì)傳導(dǎo)電流有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目雖然少，但其運(yùn)動(dòng)速度很快，及其速度與費(fèi)米速度大致相等。但其運(yùn)動(dòng)速度很快，及其速度與費(fèi)米速度大致相等?；谶@種基于這種認(rèn)識(shí)所得到的結(jié)果與高濃度但低漂移速度的經(jīng)典電子論中

18、電子認(rèn)識(shí)所得到的結(jié)果與高濃度但低漂移速度的經(jīng)典電子論中電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)相同。對(duì)電流的貢獻(xiàn)相同。嚴(yán)格理論計(jì)算結(jié)果支持了現(xiàn)在的說(shuō)法。這嚴(yán)格理論計(jì)算結(jié)果支持了現(xiàn)在的說(shuō)法。這主要是由于主要是由于Pauli不相容原理的結(jié)果。能量比不相容原理的結(jié)果。能量比 EF 低得多的電子，低得多的電子，其附近的狀態(tài)仍被其它電子所占據(jù)，沒(méi)有空狀態(tài)來(lái)接納它，因其附近的狀態(tài)仍被其它電子所占據(jù)，沒(méi)有空狀態(tài)來(lái)接納它，因此，這些電子不能吸收電場(chǎng)的能量而躍遷到較高的能態(tài)，也無(wú)此，這些電子不能吸收電場(chǎng)的能量而躍遷到較高的能態(tài)，也無(wú)法對(duì)電導(dǎo)作出貢獻(xiàn)，能被電場(chǎng)激發(fā)的只有在費(fèi)米面附近的一小法對(duì)電導(dǎo)作出貢獻(xiàn)，能被電場(chǎng)激發(fā)的只有在費(fèi)米面附近的

19、一小部分電子。部分電子。 此外，費(fèi)米面附近的電子其平均速度約為此外，費(fèi)米面附近的電子其平均速度約為 vF ，要比經(jīng)典電，要比經(jīng)典電子論所計(jì)算的平均速度子論所計(jì)算的平均速度 v0 高出幾個(gè)數(shù)量級(jí)，所以電子的平均自高出幾個(gè)數(shù)量級(jí)，所以電子的平均自由程比經(jīng)典理論計(jì)算的也要大得多，這些都有利于對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的由程比經(jīng)典理論計(jì)算的也要大得多，這些都有利于對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理解。理解。 當(dāng)然，我們不能據(jù)此就認(rèn)為能量比當(dāng)然，我們不能據(jù)此就認(rèn)為能量比 EF 低得多的電子對(duì)金低得多的電子對(duì)金屬的導(dǎo)電就沒(méi)有貢獻(xiàn)。這些處于費(fèi)米面內(nèi)的大部分電子并不是屬的導(dǎo)電就沒(méi)有貢獻(xiàn)。這些處于費(fèi)米面內(nèi)的大部分電子并不是多余的，正是因?yàn)橛辛怂鼈?/p>

20、，才保證了費(fèi)米面的存在，可以說(shuō)多余的，正是因?yàn)橛辛怂鼈?，才保證了費(fèi)米面的存在，可以說(shuō)這些電子起著基礎(chǔ)性的作用。這些電子起著基礎(chǔ)性的作用。2 布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng) 要說(shuō)明輸運(yùn)性質(zhì)，只知道能帶結(jié)構(gòu)是不夠的，還需要研究電要說(shuō)明輸運(yùn)性質(zhì)，只知道能帶結(jié)構(gòu)是不夠的，還需要研究電子在外場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。因?yàn)橐捎脺?zhǔn)經(jīng)典近似來(lái)描述布洛子在外場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。因?yàn)橐捎脺?zhǔn)經(jīng)典近似來(lái)描述布洛赫電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，所以稱(chēng)為赫電子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，所以稱(chēng)為布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)。布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)。 這時(shí)，要討論外場(chǎng)是如何影響電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就要討論它這時(shí)，要討論外場(chǎng)是如何影響電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)

21、，就要討論它的速度和加速度。這就要使用準(zhǔn)經(jīng)典近似。的速度和加速度。這就要使用準(zhǔn)經(jīng)典近似。EVrVm外)(222在有外場(chǎng)時(shí)，電子的定態(tài)薛定格方程可寫(xiě)為：在有外場(chǎng)時(shí)，電子的定態(tài)薛定格方程可寫(xiě)為：一般有：一般有：)(rVV外 這樣就可認(rèn)為：在有外場(chǎng)之后，這樣就可認(rèn)為：在有外場(chǎng)之后，與不加外場(chǎng)時(shí)的情況相比與不加外場(chǎng)時(shí)的情況相比較，晶體的能帶結(jié)構(gòu)和電子的波函數(shù)都沒(méi)有什么變化較，晶體的能帶結(jié)構(gòu)和電子的波函數(shù)都沒(méi)有什么變化。 外場(chǎng)的作用在于只是使電子不停地外場(chǎng)的作用在于只是使電子不停地從外場(chǎng)吸收能量從外場(chǎng)吸收能量，而其，而其狀態(tài)的變化只是在原來(lái)能帶結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，狀態(tài)的變化只是在原來(lái)能帶結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，使電子對(duì)

22、能帶的填使電子對(duì)能帶的填充情況發(fā)生一些改變。充情況發(fā)生一些改變。一、布洛赫電子的平均速度：一、布洛赫電子的平均速度： 由于布洛赫函數(shù)由于布洛赫函數(shù) k(r) 不是動(dòng)量算符的本征函數(shù)。所以，處不是動(dòng)量算符的本征函數(shù)。所以，處于該態(tài)的電子沒(méi)有確定的動(dòng)量和速度，只能計(jì)算其平均值。速于該態(tài)的電子沒(méi)有確定的動(dòng)量和速度，只能計(jì)算其平均值。速度度 v = p / m 在在 k(r) 態(tài)中的平均值為：態(tài)中的平均值為：)()(1)(rprmkvknkn 由于下面的計(jì)算只限于一個(gè)能帶內(nèi)，所以可以略去能帶由于下面的計(jì)算只限于一個(gè)能帶內(nèi)，所以可以略去能帶指標(biāo)。指標(biāo)。由布洛赫定理可知：由布洛赫定理可知：)()(ruer

23、krk ik)()(1)(rprmkvknkndrueiruemkrk ikrk i)()(1*注意到：注意到：drueiruemdruekruemkrk ikrk ikrk ikrk i)()(1)()(1*1、布洛赫電子的平均速度：、布洛赫電子的平均速度：druirumdrukrumkkkk)()(1)()(1*drukprumkvkk)()(1)(*)()()()()2(2222rukErurVkk imkk又有，布洛赫函數(shù)中的又有，布洛赫函數(shù)中的 uk(x) 所滿足的方程為：所滿足的方程為：)()()()()(2(212222rukErurVkikmkk)()()()()(212ruk

24、ErurVkimkk定義：定義：)()(212rVkimHk布洛赫函數(shù)中的布洛赫函數(shù)中的 uk(x) 所滿足的方程可寫(xiě)為：所滿足的方程可寫(xiě)為：)()()(rukEruHkkk把方程兩邊對(duì)把方程兩邊對(duì) k 求梯度可得：求梯度可得：)()()(rukEruHkkkkk)()()()()()()(rukErukEruHrukimkkkkkkkkr)()()()()()()(212rukErukErurVkimkkkkkrk把該式兩邊同乘以把該式兩邊同乘以 在對(duì)整個(gè)空間積分可得：在對(duì)整個(gè)空間積分可得：)(*rukdrurukEdrurukEdruHrudrukirumkkkkkkkkkkkrk)()(

25、)()()()()()()()( )(*drukprumkvkk)()(1)(*1)()(*drurukk注意到有：注意到有：和：和：可得：可得：)(1)(kEkvk這樣，平均速度就可由能帶函數(shù)的梯度求出。這樣，平均速度就可由能帶函數(shù)的梯度求出。 值得注意的是：由于布洛赫態(tài)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的定態(tài)，盡管值得注意的是：由于布洛赫態(tài)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的定態(tài)，盡管電子與周期排列的離子實(shí)相互作用，但其平均速度將永遠(yuǎn)保持電子與周期排列的離子實(shí)相互作用，但其平均速度將永遠(yuǎn)保持不會(huì)衰減。這就是說(shuō)：一個(gè)理想的晶體金屬會(huì)有無(wú)窮大的電導(dǎo)。不會(huì)衰減。這就是說(shuō)：一個(gè)理想的晶體金屬會(huì)有無(wú)窮大的電導(dǎo)。平均速度、能帶隨 k 變化的曲線

26、（示意圖）2、對(duì)結(jié)果的討論：、對(duì)結(jié)果的討論：（1）關(guān)于速度）關(guān)于速度 v(k) 的對(duì)稱(chēng)性：的對(duì)稱(chēng)性： 由于速度由于速度 v(k) 是由是由 E(k) 決定的，而決定的，而 E(k) 既是既是 k 的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，也是也是 k 的偶函數(shù)。所以，的偶函數(shù)。所以， v(k) 也具有以下的對(duì)稱(chēng)性：也具有以下的對(duì)稱(chēng)性：)()(Gkvkv)()(kvkv 矢量矢量 k 給出布洛赫波的傳播方向。所以，當(dāng)給出布洛赫波的傳播方向。所以，當(dāng) k 變?yōu)樽優(yōu)?k 時(shí)時(shí)波的傳播就反了一個(gè)方向，因此速度也就會(huì)反一個(gè)方向。波的傳播就反了一個(gè)方向，因此速度也就會(huì)反一個(gè)方向。（2）速度）速度 v(k) 與等能面：與等能

27、面： 由于速度由于速度 v(k) 決定于決定于 E(k) 的梯度。所以，的梯度。所以， v(k) 的方向必與等的方向必與等能面相垂直。能面相垂直。 對(duì)于自由電子：對(duì)于自由電子：mkkv)(速度方向與波矢的速度方向與波矢的方向是一致的。方向是一致的。 對(duì)于布洛赫電子：由于等能面的形狀比較復(fù)雜，一般并對(duì)于布洛赫電子：由于等能面的形狀比較復(fù)雜，一般并不存在這種一致性。不存在這種一致性。 這也從一個(gè)方面說(shuō)明了：由于受晶格周期場(chǎng)的作用，這也從一個(gè)方面說(shuō)明了：由于受晶格周期場(chǎng)的作用， k 只只是電子的準(zhǔn)動(dòng)量。是電子的準(zhǔn)動(dòng)量。（3）晶體的電阻：）晶體的電阻： 由于布洛赫態(tài)由于布洛赫態(tài)k(r) 是定態(tài)是定態(tài)

28、，v(k) 并不隨時(shí)間變化，電子可并不隨時(shí)間變化，電子可以在晶體中無(wú)阻礙地運(yùn)動(dòng)，不受靜止在晶格位置上的離子實(shí)的散以在晶體中無(wú)阻礙地運(yùn)動(dòng)，不受靜止在晶格位置上的離子實(shí)的散射。這是因?yàn)殡x子實(shí)的作用已經(jīng)包含在單電子的周期勢(shì)中，而布射。這是因?yàn)殡x子實(shí)的作用已經(jīng)包含在單電子的周期勢(shì)中，而布洛赫函數(shù)又是晶體單電子薛定格方程的本征函數(shù)，所以在理想晶洛赫函數(shù)又是晶體單電子薛定格方程的本征函數(shù)，所以在理想晶體中電阻為零。體中電阻為零。 電阻的產(chǎn)生是由于晶體中嚴(yán)格的周期性被破壞，如：雜質(zhì)、電阻的產(chǎn)生是由于晶體中嚴(yán)格的周期性被破壞，如：雜質(zhì)、缺陷和在缺陷和在 T 0 時(shí)，晶格的振動(dòng)所產(chǎn)生的聲子與電子的電時(shí)，晶格的振

29、動(dòng)所產(chǎn)生的聲子與電子的電 聲子聲子相互作用，這些因素都會(huì)使電子被散射，從而體現(xiàn)出電阻的存在。相互作用，這些因素都會(huì)使電子被散射，從而體現(xiàn)出電阻的存在。二、準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本方程：二、準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本方程： 討論有外場(chǎng)作用時(shí)晶體中電子的運(yùn)動(dòng)，本應(yīng)直接求解有外場(chǎng)存討論有外場(chǎng)作用時(shí)晶體中電子的運(yùn)動(dòng)，本應(yīng)直接求解有外場(chǎng)存在時(shí)的薛定格方程，但問(wèn)題會(huì)很復(fù)雜，因而難于求解。在時(shí)的薛定格方程，但問(wèn)題會(huì)很復(fù)雜，因而難于求解。在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)滿足條件：在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)滿足條件： 外場(chǎng)的強(qiáng)度比晶格周期場(chǎng)弱得多。外場(chǎng)的強(qiáng)度比晶格周期場(chǎng)弱得多。 外場(chǎng)的變化很緩慢。外場(chǎng)的變化很緩慢?？砂巡悸搴针娮右暈闇?zhǔn)經(jīng)典粒子，采用準(zhǔn)經(jīng)典

30、近似來(lái)解決問(wèn)題。可把布洛赫電子視為準(zhǔn)經(jīng)典粒子，采用準(zhǔn)經(jīng)典近似來(lái)解決問(wèn)題。 按準(zhǔn)經(jīng)典近似，在外場(chǎng)力按準(zhǔn)經(jīng)典近似，在外場(chǎng)力 F 的作用下，使用功能原理，在的作用下，使用功能原理，在 dt 時(shí)間內(nèi)電子能量的改變?yōu)椋簳r(shí)間內(nèi)電子能量的改變?yōu)椋篸tkvFkdE)()( 電子能量的改變應(yīng)通過(guò)波矢電子能量的改變應(yīng)通過(guò)波矢 k 的改變來(lái)實(shí)現(xiàn)。只要不發(fā)生的改變來(lái)實(shí)現(xiàn)。只要不發(fā)生能帶間的躍遷，電子狀態(tài)的變化只限于一個(gè)能帶內(nèi)，則電子能能帶間的躍遷，電子狀態(tài)的變化只限于一個(gè)能帶內(nèi)，則電子能量的改變可表示為：量的改變可表示為：kdkvkdkEkdEk)()()()(1)(kEkvk代入上式可得：代入上式可得：dtkvFk

31、dkv)()(0)(kvFdtkd（1）對(duì)電場(chǎng)：）對(duì)電場(chǎng)：只要只要)(kvFdtkd與不在相互垂直的方向上，就可得出：不在相互垂直的方向上，就可得出：Fdtkd 從這里可以看出：從這里可以看出：)(1)(kEkvkFdtkd描述布洛赫電子的準(zhǔn)描述布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本方程經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本方程 （2）對(duì)磁場(chǎng)：由于洛倫茲力與）對(duì)磁場(chǎng)：由于洛倫茲力與 v(k) 方向垂直不能引起電方向垂直不能引起電子能量的變化，所以不能使用功能原理來(lái)導(dǎo)出上式，但是可子能量的變化，所以不能使用功能原理來(lái)導(dǎo)出上式，但是可以證明：該式依然成立。以證明：該式依然成立。b) 能帶的能量函數(shù)：能帶的能量函數(shù)： 則完全由量子力

32、學(xué)決定。則完全由量子力學(xué)決定。a) 布洛赫電子的運(yùn)動(dòng)方程：布洛赫電子的運(yùn)動(dòng)方程：Fdtkd與牛頓第二定律與牛頓第二定律具有相同的形式。具有相同的形式。)(kE這兩條充分反映了這兩條充分反映了“準(zhǔn)經(jīng)典近似準(zhǔn)經(jīng)典近似”的含義。的含義。 它也表明它也表明 k 起動(dòng)量的作用，但它又不是布洛赫電子的真實(shí)起動(dòng)量的作用，但它又不是布洛赫電子的真實(shí)動(dòng)量。所以被稱(chēng)為準(zhǔn)動(dòng)量或晶體動(dòng)量。動(dòng)量。所以被稱(chēng)為準(zhǔn)動(dòng)量或晶體動(dòng)量。三、電子的有效質(zhì)量：三、電子的有效質(zhì)量：1、電子的有效質(zhì)量：、電子的有效質(zhì)量：)(1)(kEkvkdtkvda)()(1)(1dtkdkEdtkdEakkkFdtkdFkEakk)(12寫(xiě)成矩陣形式

33、為：寫(xiě)成矩陣形式為：其分量表達(dá)式為：其分量表達(dá)式為：3122312)(1)(1jjjijjjiiFkkkEFkkEka) 3 , 2 , 1( i3212322321323222221223122122122321)()()()()()()()()(1FFFkkEkkkEkkkEkkkEkkEkkkEkkkEkkkEkkEaaa 可見(jiàn)，可見(jiàn)，a 與與 F 的關(guān)系，類(lèi)似于牛頓第二定律的的關(guān)系，類(lèi)似于牛頓第二定律的 a = F / m 的關(guān)系。定義：的關(guān)系。定義：jiijkkkEm)(1122* m*ij 有效質(zhì)量。有效質(zhì)量。 若做坐標(biāo)變換，使若做坐標(biāo)變換，使 k1, k2, k3 沿主軸方向。則

34、有效質(zhì)量沿主軸方向。則有效質(zhì)量張量就變?yōu)閷?duì)角張量，前式就簡(jiǎn)化為：張量就變?yōu)閷?duì)角張量，前式就簡(jiǎn)化為：321*3*2*1321100010001FFFmmmaaa其中：其中：222*)(11iikkEm分量式也可被簡(jiǎn)化為：分量式也可被簡(jiǎn)化為：iiiFam*) 3 , 2 , 1( i 顯然，在這里顯然，在這里 m*i 代替了電子的慣性質(zhì)量代替了電子的慣性質(zhì)量 m 。電子在外力。電子在外力 F 下的運(yùn)動(dòng)就如同具有有效質(zhì)量下的運(yùn)動(dòng)就如同具有有效質(zhì)量 m*i 的經(jīng)典粒子。而的經(jīng)典粒子。而晶格周期晶格周期場(chǎng)的作用就體現(xiàn)在場(chǎng)的作用就體現(xiàn)在 m*i 中。中。 必須指出：該式中的力必須指出：該式中的力 F 只表

35、示電子所受的外力。只表示電子所受的外力。因?yàn)?，若把?jīng)典理論應(yīng)用到本問(wèn)題，應(yīng)有：因?yàn)椋舭呀?jīng)典理論應(yīng)用到本問(wèn)題，應(yīng)有：外內(nèi)FFam在前面的討論中，在前面的討論中，F(xiàn)內(nèi)內(nèi) 的作用是通過(guò)的作用是通過(guò) m* 表現(xiàn)出來(lái)的：表現(xiàn)出來(lái)的：外外外外內(nèi)FmFFFFma*11 當(dāng)然，這里只是當(dāng)然，這里只是為了強(qiáng)調(diào)一下前面所要說(shuō)明的問(wèn)題為了強(qiáng)調(diào)一下前面所要說(shuō)明的問(wèn)題，簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單地表示一下，它并地表示一下，它并不給出真正物理的含義不給出真正物理的含義。2、對(duì)電子有效質(zhì)量的幾點(diǎn)討論：、對(duì)電子有效質(zhì)量的幾點(diǎn)討論：（1）有效質(zhì)量）有效質(zhì)量決定于電子在能帶中所處的狀態(tài)決定于電子在能帶中所處的狀態(tài)： 電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)

36、量完全不同于電子慣性質(zhì)量，完全不同于電子慣性質(zhì)量，一般不是常量一般不是常量而而是波矢是波矢 k 的函數(shù)，由能量的函數(shù)，由能量 E(k) 的二階導(dǎo)數(shù)決定。的二階導(dǎo)數(shù)決定。其數(shù)值的大其數(shù)值的大小及符號(hào)就決定于電子在能帶中所處的狀態(tài)。小及符號(hào)就決定于電子在能帶中所處的狀態(tài)。jiijkkkEm)(1122*按定義：電子的有效質(zhì)量為：按定義：電子的有效質(zhì)量為：在帶底附近有效質(zhì)量是正的；在帶底附近有效質(zhì)量是正的；在帶頂附近有效質(zhì)量是負(fù)的。在帶頂附近有效質(zhì)量是負(fù)的。（2）能量與有效質(zhì)量：）能量與有效質(zhì)量： 在能帶極值（假定為在能帶極值（假定為 k = 0 處）附近，可將處）附近，可將 E(k) 展開(kāi)。由展開(kāi)

37、。由于在極值處的一階導(dǎo)數(shù)為零，于在極值處的一階導(dǎo)數(shù)為零，k 很小只保留到二次項(xiàng)，同時(shí)取很小只保留到二次項(xiàng)，同時(shí)取主軸坐標(biāo)系，使展式中不出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)的交叉項(xiàng)，就可得到：主軸坐標(biāo)系，使展式中不出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)的交叉項(xiàng)，就可得到：*3232*2222*1212230232220222210212222) 0()()()(21) 0()(mkmkmkEkkkEkkkEkkkEEkE若有：若有：*222)0()(mkEkE*3*2*1mmmm上式可簡(jiǎn)化為：上式可簡(jiǎn)化為：等能面為橢球面。等能面為橢球面。等能面為球面。等能面為球面。 該式說(shuō)明：該式說(shuō)明：在能帶的極大值或極小值附近的電子，都可看在能帶的極大值或極

38、小值附近的電子，都可看成是具有有效質(zhì)量的自由電子成是具有有效質(zhì)量的自由電子。 這時(shí)，這時(shí)，晶格周期場(chǎng)的作用通過(guò)晶格周期場(chǎng)的作用通過(guò) m* 就可以體現(xiàn)就可以體現(xiàn)，剩下的就，剩下的就可視為自由電子?？梢暈樽杂呻娮?。 這一點(diǎn)在這一點(diǎn)在半導(dǎo)體物理半導(dǎo)體物理中往往很重要。因?yàn)槟抢锿龅降闹型苤匾Ｒ驗(yàn)槟抢锿龅降氖悄軒ы敽湍軒У透浇碾娮?。是能帶頂和能帶低附近的電子。例：求：一維晶體在緊束縛近似下的有效質(zhì)量。例：求：一維晶體在緊束縛近似下的有效質(zhì)量。解：對(duì)一維晶體在緊束縛近似下的能量為：解：對(duì)一維晶體在緊束縛近似下的能量為：akEkExiscos2)(若若 0 則：則：k = 0 為能帶低；為能

39、帶低；k = /a 為能帶頂。為能帶頂。akadkkdEkvxxxxsin2)(1)(akadkkEdmxxxcos2)(*22222一維晶體在緊束縛近似下 E(k) 、v(k) 、m* 隨 k 的變化曲線若若 0 則：則：k = 0 為能帶低；為能帶低；k = /a 為能帶頂。為能帶頂。akadkkdEkvxxxxsin2)(1)(akadkkEdmxxxcos2)(*222223 能帶的填充與材料的導(dǎo)電性能帶的填充與材料的導(dǎo)電性 導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體一、能帶的填充與導(dǎo)電性：一、能帶的填充與導(dǎo)電性： 根據(jù)能帶結(jié)構(gòu)和電子的填充情況可以說(shuō)明為什么晶體可以根據(jù)能帶結(jié)構(gòu)和電子的填

40、充情況可以說(shuō)明為什么晶體可以分為導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體，這是能帶理論的巨大成就之一。分為導(dǎo)體、絕緣體和半導(dǎo)體，這是能帶理論的巨大成就之一。1、沒(méi)有外場(chǎng)時(shí)的情況：、沒(méi)有外場(chǎng)時(shí)的情況： （1）沒(méi)有外場(chǎng)時(shí)，能帶中電子的分布是對(duì)稱(chēng)的。占據(jù)波矢）沒(méi)有外場(chǎng)時(shí)，能帶中電子的分布是對(duì)稱(chēng)的。占據(jù)波矢為為 k 的狀態(tài)的電子數(shù)目，與的狀態(tài)的電子數(shù)目，與占據(jù)波矢為占據(jù)波矢為 - k 的狀態(tài)的電子數(shù)目的狀態(tài)的電子數(shù)目是相等的。是相等的。 （3）能帶中每個(gè)電子對(duì)電流密度的貢獻(xiàn)為：）能帶中每個(gè)電子對(duì)電流密度的貢獻(xiàn)為：)()(kvkv （2）在準(zhǔn)經(jīng)典近似下，電子的平均速度具有對(duì)稱(chēng)性，滿足）在準(zhǔn)經(jīng)典近似下，電子的平均速度具有對(duì)稱(chēng)

41、性，滿足關(guān)系式：關(guān)系式：)(kve所以，能帶中所有電子對(duì)電流密度的貢獻(xiàn)為：所以，能帶中所有電子對(duì)電流密度的貢獻(xiàn)為：kdkveVj)()(1 積分應(yīng)包括能帶中所有被占據(jù)的態(tài)。積分應(yīng)包括能帶中所有被占據(jù)的態(tài)。結(jié)論：結(jié)論： 當(dāng)沒(méi)有外場(chǎng)存在時(shí)，分布在當(dāng)沒(méi)有外場(chǎng)存在時(shí)，分布在 k 和和 k 狀態(tài)中的電子對(duì)電流的狀態(tài)中的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)相互抵消，盡管電子都在運(yùn)動(dòng)但不會(huì)形成電流。貢獻(xiàn)相互抵消，盡管電子都在運(yùn)動(dòng)但不會(huì)形成電流。2、有外場(chǎng)存在時(shí)的情況：、有外場(chǎng)存在時(shí)的情況：Fdtkd 設(shè)外場(chǎng)為靜電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為設(shè)外場(chǎng)為靜電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為 E ，滿足準(zhǔn)經(jīng)典近似的條件：，滿足準(zhǔn)經(jīng)典近似的條件：EeF電子所受的靜電力：電子所

42、受的靜電力：準(zhǔn)經(jīng)典近似下，準(zhǔn)經(jīng)典近似下，電子的運(yùn)動(dòng)方程：電子的運(yùn)動(dòng)方程：Eedtkd特點(diǎn)：在電場(chǎng)恒定時(shí)，每一個(gè)波矢特點(diǎn)：在電場(chǎng)恒定時(shí)，每一個(gè)波矢 k 都都 以同樣的速率在以同樣的速率在 k 空間中變化?？臻g中變化。（1）滿帶在電場(chǎng)的作用下，不會(huì)產(chǎn)生電流：）滿帶在電場(chǎng)的作用下，不會(huì)產(chǎn)生電流： 如果能帶被填滿，則在電場(chǎng)作用下，第一布里淵區(qū)內(nèi)所有如果能帶被填滿，則在電場(chǎng)作用下，第一布里淵區(qū)內(nèi)所有的電子態(tài)整體發(fā)生平移，如圖所示。的電子態(tài)整體發(fā)生平移，如圖所示。vv 但由于但由于 E(k) 是是 k 的周期的周期函數(shù)，平移后布里淵區(qū)中空函數(shù)，平移后布里淵區(qū)中空出的部分與移開(kāi)的部分相同。出的部分與移開(kāi)的部

43、分相同。 平移前后能帶中電子的分布平移前后能帶中電子的分布情況實(shí)際上并沒(méi)有變化情況實(shí)際上并沒(méi)有變化。因。因此，滿帶在電場(chǎng)的作用下并此，滿帶在電場(chǎng)的作用下并不會(huì)產(chǎn)生電流。不會(huì)產(chǎn)生電流。電場(chǎng)作用下滿帶中的電子分布示意圖 （2）外場(chǎng)作用下晶體中）外場(chǎng)作用下晶體中電流的形成：電流的形成： 布洛赫振蕩：布洛赫振蕩： k 空間中的圖像：空間中的圖像： 設(shè)外電場(chǎng)為沿設(shè)外電場(chǎng)為沿 x 方向的恒定電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為方向的恒定電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為 E 。 在靜電場(chǎng)存在的情況下，在靜電場(chǎng)存在的情況下， 布洛赫電子完全與自由電子不布洛赫電子完全與自由電子不同，會(huì)在真實(shí)空間作周期性振蕩。同，會(huì)在真實(shí)空間作周期性振蕩。 這是晶

44、體動(dòng)力學(xué)所得到的一個(gè)與其之前的所有其它理論這是晶體動(dòng)力學(xué)所得到的一個(gè)與其之前的所有其它理論都完全不一樣的結(jié)論。都完全不一樣的結(jié)論。電子所受的電場(chǎng)力應(yīng)為：電子所受的電場(chǎng)力應(yīng)為：eEF 沿沿 x 軸正方向。軸正方向。eEdtdkx電子的運(yùn)動(dòng)方程為：電子的運(yùn)動(dòng)方程為：常數(shù)eEdtdkx這表明：這表明：電子在電子在 k 空間中做勻速運(yùn)動(dòng)?？臻g中做勻速運(yùn)動(dòng)。注意到：注意到：（a）在準(zhǔn)經(jīng)典近似中電子是在同一能帶中運(yùn)動(dòng)。）在準(zhǔn)經(jīng)典近似中電子是在同一能帶中運(yùn)動(dòng)。 （b）按能帶理論，在同一能帶中，電子的能量值是隨波）按能帶理論，在同一能帶中，電子的能量值是隨波矢矢 k 作周期變化的。因此，在穩(wěn)恒電場(chǎng)的作用下，電

45、子在作周期變化的。因此，在穩(wěn)恒電場(chǎng)的作用下，電子在 k 空間的勻速運(yùn)動(dòng)，這就意味著電子的能量本征值沿空間的勻速運(yùn)動(dòng)，這就意味著電子的能量本征值沿 E(k) 函數(shù)函數(shù)曲線做周期性的變化。曲線做周期性的變化。 （c）當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)到布里淵區(qū)的邊界時(shí)：例如已到達(dá)）當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)到布里淵區(qū)的邊界時(shí)：例如已到達(dá) k = /a 處，由于處，由于 k = - /a 和和 k = /a 代表的是同一狀態(tài)（相差一代表的是同一狀態(tài)（相差一個(gè)倒格矢），這時(shí)電子從個(gè)倒格矢），這時(shí)電子從 k = /a 移出就等于又從移出就等于又從 k = - /a 處處移進(jìn)來(lái)。移進(jìn)來(lái)。結(jié)論：電子所做的運(yùn)動(dòng)為循環(huán)運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：電子所做的運(yùn)動(dòng)為循環(huán)

46、運(yùn)動(dòng)。電子在恒定電場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)討論：電子的循環(huán)運(yùn)動(dòng)：討論：電子的循環(huán)運(yùn)動(dòng)： （a）在能量上：在這種運(yùn)動(dòng)中，電子的能量值是隨波矢）在能量上：在這種運(yùn)動(dòng)中，電子的能量值是隨波矢 k 的變化而作周期變化的。的變化而作周期變化的。 （b）在速度上：在這種運(yùn)動(dòng)中，電子速度的大小和方向）在速度上：在這種運(yùn)動(dòng)中，電子速度的大小和方向也是隨波矢也是隨波矢 k 的變化而作周期變化的?；蛘f(shuō)：速度的變化而作周期變化的?；蛘f(shuō)：速度 v 是隨時(shí)是隨時(shí)間振蕩變化的。具體情況是：間振蕩變化的。具體情況是： 設(shè)：設(shè)：t = 0 時(shí)，電子處在能帶低處，對(duì)應(yīng)于時(shí)，電子處在能帶低處，對(duì)應(yīng)于 k = 0 的情況。的情況。這時(shí)，電子

47、的有效質(zhì)量這時(shí)，電子的有效質(zhì)量 m* 0 。外力的作用會(huì)使電子的速度。外力的作用會(huì)使電子的速度增加。當(dāng)達(dá)到增加。當(dāng)達(dá)到 k = /2a 處時(shí)：處時(shí)：m*+ ，時(shí)的外力的加速作，時(shí)的外力的加速作用消失，這時(shí)電子的速度達(dá)到極大值。用消失，這時(shí)電子的速度達(dá)到極大值。 A) 電子速度的振蕩：電子速度的振蕩：電子的有效質(zhì)量 當(dāng)波矢的值超過(guò)當(dāng)波矢的值超過(guò) k = /2a 的點(diǎn)后，電子的有效質(zhì)量會(huì)變?yōu)榈狞c(diǎn)后，電子的有效質(zhì)量會(huì)變?yōu)?m* 0 ，這樣外力的作用會(huì)使電子減速，直至，這樣外力的作用會(huì)使電子減速，直至 k = /a 時(shí)，速時(shí)，速度變?yōu)榱恪＿@時(shí)電子正處在帶頂，仍然是度變?yōu)榱?。這時(shí)電子正處在帶頂，仍然是

48、m* 0 的情況。的情況。外力就會(huì)使反向速度減小，直至外力就會(huì)使反向速度減小，直至 k = 0 處，處，v = 0 。這樣就完成。這樣就完成了一次振蕩。了一次振蕩。 周期場(chǎng)中的電子的能量本征值周期場(chǎng)中的電子的能量本征值 E(k) 在有外場(chǎng)時(shí)，會(huì)增加在有外場(chǎng)時(shí)，會(huì)增加一個(gè)靜電勢(shì)能一個(gè)靜電勢(shì)能 -eEx ，它會(huì)使電子的能帶發(fā)生傾斜。如圖所示：，它會(huì)使電子的能帶發(fā)生傾斜。如圖所示： 電子速度的這種振蕩，意味著電子在實(shí)空間（坐標(biāo)空間）電子速度的這種振蕩，意味著電子在實(shí)空間（坐標(biāo)空間）的振蕩。的振蕩。B) 電子在坐標(biāo)空間的振蕩：電子在坐標(biāo)空間的振蕩：晶體受電場(chǎng)作用能帶會(huì)出現(xiàn)傾斜xE = 0電子能量(a)

49、(b)xE 0電子能量 設(shè)：設(shè)：t = 0 時(shí)，電子處在較低的能帶低時(shí)，電子處在較低的能帶低 A 處，在電場(chǎng)力的處，在電場(chǎng)力的作用下，電子從作用下，電子從 A（能帶底）（能帶底） B C（能帶頂）。對(duì)應(yīng)于（能帶頂）。對(duì)應(yīng)于 電子從電子從 k = 0 運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到 k = /a 。在。在 C 點(diǎn)，電子遇到能隙，相當(dāng)點(diǎn)，電子遇到能隙，相當(dāng)于存在一個(gè)勢(shì)壘。于存在一個(gè)勢(shì)壘。 在布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典近似中，電子被限制在同一能帶在布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典近似中，電子被限制在同一能帶中運(yùn)動(dòng)，所以，當(dāng)電子遇到勢(shì)壘后將全部被反射回來(lái)。中運(yùn)動(dòng)，所以，當(dāng)電子遇到勢(shì)壘后將全部被反射回來(lái)。 在被反射回來(lái)后的運(yùn)動(dòng)中，電子從在被反

50、射回來(lái)后的運(yùn)動(dòng)中，電子從 C（能帶頂）（能帶頂） B A（能帶底）（能帶底） 。對(duì)應(yīng)于。對(duì)應(yīng)于 從從 k = - /a 到到 k = 0 的運(yùn)動(dòng)。至此完的運(yùn)動(dòng)。至此完成了一次在實(shí)空間（坐標(biāo)空間）中的振蕩過(guò)程。成了一次在實(shí)空間（坐標(biāo)空間）中的振蕩過(guò)程。電子在實(shí)空間的運(yùn)動(dòng)示意圖 （c）必須指出：前述的電子的振蕩現(xiàn)象，在實(shí)際中是很）必須指出：前述的電子的振蕩現(xiàn)象，在實(shí)際中是很難觀察到的。難觀察到的。 原因就在于：在實(shí)際的晶體中，電子的運(yùn)動(dòng)會(huì)不斷受到原因就在于：在實(shí)際的晶體中，電子的運(yùn)動(dòng)會(huì)不斷受到聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射。若以聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射。若以 來(lái)表示相鄰的兩次散射來(lái)表示相鄰的兩次散射（碰撞）

51、之間的平均間隔時(shí)間（碰撞）之間的平均間隔時(shí)間 弛豫時(shí)間。如果弛豫時(shí)間。如果 很小，很小，使得電子還沒(méi)有來(lái)得及完成一次振蕩過(guò)程就已經(jīng)被散射，這使得電子還沒(méi)有來(lái)得及完成一次振蕩過(guò)程就已經(jīng)被散射，這樣前述的電子的振蕩現(xiàn)象在實(shí)際中就是很難觀察到的。樣前述的電子的振蕩現(xiàn)象在實(shí)際中就是很難觀察到的。 一般的講：一般的講： T 10-5 s ; 10-14 s 這就是說(shuō)：在完成振蕩的一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)這就是說(shuō)：在完成振蕩的一個(gè)周期時(shí)間內(nèi) ，電子要被碰，電子要被碰撞約為撞約為 109 次。次。 正是由于這種頻繁的碰撞，前述的振蕩現(xiàn)象就會(huì)完全被正是由于這種頻繁的碰撞，前述的振蕩現(xiàn)象就會(huì)完全被“沖擊沖擊”掉了。所以，

52、前述的電子的振蕩現(xiàn)象在實(shí)際中就很掉了。所以，前述的電子的振蕩現(xiàn)象在實(shí)際中就很難被觀察到。難被觀察到。 若以若以 T 來(lái)表示電子完成一次上述振蕩所需要的時(shí)間來(lái)表示電子完成一次上述振蕩所需要的時(shí)間 振蕩周期。振蕩周期。 未滿帶電子導(dǎo)電：未滿帶電子導(dǎo)電：能夠觀察到振蕩現(xiàn)象的條件為：能夠觀察到振蕩現(xiàn)象的條件為：T在晶體中：在晶體中：m103,s101014a 這樣就可以估算出為觀察到電子的振蕩現(xiàn)象所需要加的這樣就可以估算出為觀察到電子的振蕩現(xiàn)象所需要加的外電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為：外電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為：V/cm1025EeEaeEakT22空間的速度電子在簡(jiǎn)約區(qū)的寬度 對(duì)能夠觀察到振蕩現(xiàn)象所需實(shí)驗(yàn)條件的具體估算：對(duì)能夠

53、觀察到振蕩現(xiàn)象所需實(shí)驗(yàn)條件的具體估算：如果是絕緣體，在這種強(qiáng)度的電場(chǎng)下，它也已經(jīng)被擊穿。如果是絕緣體，在這種強(qiáng)度的電場(chǎng)下，它也已經(jīng)被擊穿。 對(duì)金屬，其本身就無(wú)法實(shí)現(xiàn)高強(qiáng)度的電場(chǎng)的。對(duì)金屬，其本身就無(wú)法實(shí)現(xiàn)高強(qiáng)度的電場(chǎng)的。 所以，為觀察到電子的這種振蕩現(xiàn)象所需的實(shí)驗(yàn)條件在所以，為觀察到電子的這種振蕩現(xiàn)象所需的實(shí)驗(yàn)條件在實(shí)際中也將無(wú)法實(shí)現(xiàn)。實(shí)際中也將無(wú)法實(shí)現(xiàn)。Eaa2a3aaa2a3a 對(duì)于未滿帶，對(duì)于未滿帶，只有部分狀態(tài)被電子只有部分狀態(tài)被電子占據(jù)。這時(shí)在電場(chǎng)的占據(jù)。這時(shí)在電場(chǎng)的作用下，整個(gè)電子分作用下，整個(gè)電子分布向反方向移動(dòng)。布向反方向移動(dòng)。 雖然布洛赫振雖然布洛赫振蕩從理論上說(shuō)是存在蕩從理

54、論上說(shuō)是存在的。但由于電子在運(yùn)的。但由于電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中必然會(huì)受到動(dòng)過(guò)程中必然會(huì)受到聲子、雜質(zhì)和缺陷的聲子、雜質(zhì)和缺陷的散射，但由于其振蕩散射，但由于其振蕩周期要比散射的弛豫周期要比散射的弛豫時(shí)間長(zhǎng)得多，所以時(shí)間長(zhǎng)得多，所以電電子還沒(méi)能來(lái)得及有效子還沒(méi)能來(lái)得及有效地完成一次振蕩，就地完成一次振蕩，就已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)新的已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)新的穩(wěn)定的分布穩(wěn)定的分布，如圖所，如圖所示。示。 在有電場(chǎng)存在時(shí)達(dá)到的在有電場(chǎng)存在時(shí)達(dá)到的這種新的穩(wěn)定分布中，在未滿帶的這種新的穩(wěn)定分布中，在未滿帶的情況下，沿電場(chǎng)正、反方向運(yùn)動(dòng)的電子數(shù)目不再相等。情況下，沿電場(chǎng)正、反方向運(yùn)動(dòng)的電子數(shù)目不再相等。使原來(lái)使原來(lái)的對(duì)稱(chēng)分布

55、被破壞。這就使得總的電流不再為零。所以不滿的的對(duì)稱(chēng)分布被破壞。這就使得總的電流不再為零。所以不滿的能帶可以導(dǎo)電。能帶可以導(dǎo)電。二、近滿帶時(shí)的空穴導(dǎo)電：二、近滿帶時(shí)的空穴導(dǎo)電： 通過(guò)前面的討論可知：不滿的能帶可以導(dǎo)電，其電流的載通過(guò)前面的討論可知：不滿的能帶可以導(dǎo)電，其電流的載流子是電子。流子是電子。 近滿帶就是指能帶基本被填滿，只有少量空態(tài)時(shí)的情況。近滿帶就是指能帶基本被填滿，只有少量空態(tài)時(shí)的情況。并經(jīng)常稱(chēng)這些空態(tài)為空穴。在描述這種近滿帶的導(dǎo)電性時(shí)，通并經(jīng)常稱(chēng)這些空態(tài)為空穴。在描述這種近滿帶的導(dǎo)電性時(shí)，通常不用數(shù)量很大的電子而使用數(shù)量較少的空穴，時(shí)?？梢允箚?wèn)常不用數(shù)量很大的電子而使用數(shù)量較少的

56、空穴，時(shí)?？梢允箚?wèn)題大為簡(jiǎn)化也更為直觀。題大為簡(jiǎn)化也更為直觀。1、空穴導(dǎo)電與電子導(dǎo)電的等效性：、空穴導(dǎo)電與電子導(dǎo)電的等效性： 為簡(jiǎn)單，我們考慮在一個(gè)能帶中只有一個(gè)波矢為為簡(jiǎn)單，我們考慮在一個(gè)能帶中只有一個(gè)波矢為 k 的狀態(tài)的狀態(tài)是空的，而其余的狀態(tài)全部被電子占滿時(shí)的簡(jiǎn)單情況。是空的，而其余的狀態(tài)全部被電子占滿時(shí)的簡(jiǎn)單情況。 在電場(chǎng)作用下，這缺少一個(gè)電子的近滿帶應(yīng)有電流產(chǎn)生。在電場(chǎng)作用下，這缺少一個(gè)電子的近滿帶應(yīng)有電流產(chǎn)生。其電流密度的表達(dá)式可寫(xiě)為：其電流密度的表達(dá)式可寫(xiě)為：)()()(kkkvVekj 現(xiàn)設(shè)想，用一個(gè)電子把上述空穴填滿。注意到滿帶電子的現(xiàn)設(shè)想，用一個(gè)電子把上述空穴填滿。注意到滿

57、帶電子的總電流為零，則應(yīng)有：總電流為零，則應(yīng)有：0)()()()(kkkkvVekvVekvVe所以可得：所以可得：)()(kvVekj 這就是說(shuō)，缺少一個(gè)電子的能帶所產(chǎn)生的電流與一個(gè)帶正這就是說(shuō)，缺少一個(gè)電子的能帶所產(chǎn)生的電流與一個(gè)帶正電荷電荷 e 的載流子以速度的載流子以速度 v(k) 運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的電流是相同的。運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的電流是相同的。 這樣就可以把缺少一個(gè)電子的能帶其所有這樣就可以把缺少一個(gè)電子的能帶其所有 2N-1 個(gè)電子對(duì)個(gè)電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)歸結(jié)為一個(gè)帶正電荷電流的貢獻(xiàn)歸結(jié)為一個(gè)帶正電荷 e 的空穴的貢獻(xiàn)。的空穴的貢獻(xiàn)。2、在外場(chǎng)中空穴的運(yùn)動(dòng)方程：、在外場(chǎng)中空穴的運(yùn)動(dòng)方程： 在電

58、場(chǎng)和磁場(chǎng)的作用下，波矢為在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的作用下，波矢為 k 的空狀態(tài)也隨其它有電的空狀態(tài)也隨其它有電子占據(jù)的狀態(tài)一起運(yùn)動(dòng)，其所受外力子占據(jù)的狀態(tài)一起運(yùn)動(dòng)，其所受外力 F 與電子相同。即有：與電子相同。即有：)()()(*BkvEkmedtkvde 其中其中 me* 為空狀態(tài)的電子有效質(zhì)量（這里為簡(jiǎn)單假定它是各向?yàn)榭諣顟B(tài)的電子有效質(zhì)量（這里為簡(jiǎn)單假定它是各向同性的）。因?yàn)殡娮涌偸窍日紦?jù)低能量的狀態(tài)，空出來(lái)的狀態(tài)同性的）。因?yàn)殡娮涌偸窍日紦?jù)低能量的狀態(tài)，空出來(lái)的狀態(tài)一般就在能帶頂附近。所以應(yīng)有：一般就在能帶頂附近。所以應(yīng)有：me* 0 。現(xiàn)在定義：?，F(xiàn)在定義：)()(*kmkmeh 為空穴的有效質(zhì)量

59、，它是正的。這樣上式就可表示為：為空穴的有效質(zhì)量，它是正的。這樣上式就可表示為：)()()(*BkvEkmedtkvdh 這樣就可以把空穴看成是帶正電荷這樣就可以把空穴看成是帶正電荷 e 具有正有效質(zhì)量具有正有效質(zhì)量 mh*(k) 的的準(zhǔn)粒子。這樣，近滿帶中大量電子的運(yùn)動(dòng)就可以使用少量的空準(zhǔn)粒子。這樣，近滿帶中大量電子的運(yùn)動(dòng)就可以使用少量的空穴的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。穴的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。三、導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體的區(qū)分：三、導(dǎo)體、絕緣體與半導(dǎo)體的區(qū)分：1、導(dǎo)體與絕緣體、半導(dǎo)體的區(qū)別：、導(dǎo)體與絕緣體、半導(dǎo)體的區(qū)別：（1）外層價(jià)電子的能帶填充情況決定晶體的導(dǎo)電性：）外層價(jià)電子的能帶填充情況決定晶體的導(dǎo)電性： 當(dāng)原子結(jié)合成晶體后，原子的內(nèi)層滿殼層電子將填滿相應(yīng)當(dāng)原子結(jié)合成晶體后，原子的內(nèi)層滿殼層電子將填滿相應(yīng)的一系列能帶。所以，這些電子的數(shù)量雖然很大但卻不參與導(dǎo)的一系列能帶。所以，這些電子的數(shù)量雖然很大但卻不參與導(dǎo)電。因此，只需考慮電。因此，只需考慮外層價(jià)電子的能帶填充情況就可判斷晶體外層價(jià)電子的能帶填充情況就可判斷晶體的導(dǎo)電性。的導(dǎo)電性。（3）每個(gè)原胞含有偶數(shù)個(gè)價(jià)電子時(shí)的兩種情況：）每個(gè)原胞含有偶數(shù)個(gè)價(jià)電子時(shí)的兩種情況： 一個(gè)能帶可以容納一個(gè)能帶可以容納 2N 個(gè)電子，這里個(gè)電子，