裂項(xiàng)相消法求和附答案

1、精品字里行間裂項(xiàng)相消法利用列項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)公式列項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使列項(xiàng)前后等式兩邊保持相等。（ 1）若是 an 等差數(shù)列，則11.( 11 )11 .(11 )an an 1d anan 1,2d anan 2an an 2（ 2）1111） nn1n（ n（ 3）1k)1 ( 1n1)n( nknk（ 4）11 (11)（2n 1（)2n 1） 2 2n 1 2n 1（ 5）12)1 1(n1n( n1)(n2n(n 1)1)( n2)（ 6）1n1nn1n（ 7）1k1 (nkn)nnk1

2、.已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為解析 (1)時(shí) , 得 :放心做自己想做的精品字里行間即3分在 中令, 有, 即， 5分故對(duì)2.已知 an是公差為d 的等差數(shù)列，它的前n 項(xiàng)和為 Sn， S4=2S2+8（）求公差d 的值；（）若 a1=1，設(shè) Tn 是數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和，求使不等式Tn對(duì)所有的 nN*恒成立的最大正整數(shù)m 的值；解析 （）設(shè)數(shù)列an的公差為d， S4=2S2+8，即 4a1+6d=2(2a1+d) +8，化簡(jiǎn)得： 4d=8，解得 d=2 4分（）由a1=1， d=2，得 an=2n-1， 5分= 6分 Tn= ， 8分又不

3、等式 Tn對(duì)所有的n N* 恒成立，放心做自己想做的精品字里行間， 分10化簡(jiǎn)得： m2-5m-60，解得： -1 m6 m 的最大正整數(shù)值為6 分123.)已知各項(xiàng)均不相同的等差數(shù)列a n的前四項(xiàng)和S4=14,且 a1,a3,a7 成等比數(shù)列 .( )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;( )設(shè) Tn 為數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 ,求 T2 012 的值 .答案 ( )設(shè)公差為 d,由已知得(3 分)解得 d=1 或 d=0(舍去 ), a1=2. (5 分 )故 an=n+1. (6 分 )()=-,(8 分)Tn= - +-+-= -=. (10 分)T2 012=. (12 分)4.)已知數(shù)列 an是

4、等差數(shù)列 ,-=8n+4,設(shè)數(shù)列 |a n| 的前 n 項(xiàng)和為 Sn,數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為Tn.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;(2)求證 : Tn<1.答案 (1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d,則 an=a1+(n-1)d. (2 分 ) - =8n+4, (an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.放心做自己想做的精品字里行間當(dāng) n=1 時(shí),d(2a1+d)=12;當(dāng) n=2 時(shí),d(2a1+3d)=20.解方程組得或(4 分)經(jīng)檢驗(yàn)知 ,an=2n 或 an=-2n都滿足要求 . an=2n 或 an=-2n. (6 分 )(2)證明 :由 (1) 知

5、:an=2n 或 an=-2n. |a n|=2n.Sn=n(n+1). (8 分 )=-.Tn=1- + - +-=1-. (10 分 ) T<1. (12 分 )n5.已知等差數(shù)列an的公差為2,前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 S1,S2,S4 成等比數(shù)列 .( )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;( )令 bn=(-1)n-1,求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.答案 查看解析解析 ( )因?yàn)?S1=a1,S2 =2a1 +× 2=2a1+2,S4=4a1+× 2=4a1+12,2由題意得 (2a1+2) =a1(4a1+12),放心做自己想做的精品字里行間解得 a1=1,所以

6、 an=2n-1.( )bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ,Tn=-+-=1-= .當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ,Tn=-+-+=1+=.所以 Tn=6. 已知點(diǎn)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列放心做自己想做的精品字里行間的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和( ) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；( ) 若數(shù)列的前項(xiàng)和為，問的最小正整數(shù)是多少？解析 解： ( ) 因?yàn)?，所以，所以，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，又公比，所以，因?yàn)?，又，所以，所以，所以?shù)列構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1 的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，放心做自己想做的精品字里行間所以. （6分）() 由() 得，（10 分）由得，滿足的最小正整數(shù)為72

7、. （12 分）7. 在數(shù)列，中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（） .（）求，及，由此歸納出，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（）證明：.解析 （）由條件得，由此可得.猜測(cè). （4分）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，由上可得結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，放心做自己想做的精品字里行間那么當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.由，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立. （ 7 分）（）因?yàn)?當(dāng)時(shí)，由（）知.所以.綜上所述，原不等式成立. (12 分）8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；放心做自己想做的精品字里行間（） 設(shè)，求使成立的最小的正整數(shù)的值解析 （ 1） 當(dāng)時(shí)，由，1分當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列4分

8、故6分（2）由（ 1）知，8分，故使成立的最小的正整數(shù)的值. 分12放心做自己想做的精品字里行間9. 己知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列 an的前四項(xiàng)和 S4=14，且 a1， a3， a7 成等比數(shù)列（ I）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（ II）設(shè) Tn 為數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，若 Tn¨對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值解析 122.（）設(shè)公差為d. 由已知得3分解得，所以6分（），9分對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立又 的最小值為分1210. 已知數(shù)列前項(xiàng)和為 ，首項(xiàng)為，且 ，成等差數(shù)列 .（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ II）數(shù)列滿足，求證：，放心做自己想做的精品字里行間解析 （）成等差數(shù)列 , ，當(dāng)時(shí)，,兩式相減得

9、：.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2 的等比數(shù)列，.（ 6 分）( )， （8分），.（12 分）11.等差數(shù)列 an各項(xiàng)均為正整數(shù), a1=3, 前 n 項(xiàng)和為 Sn, 等比數(shù)列 bn中 , b1 =1, 且 b2S2=64, 是公比為 64 的等比數(shù)列 . ( ) 求 an 與 bn;() 證明:+< .答案 ( ) 設(shè) an的公差為d, bn的公比為q, 則 d 為正整數(shù) ,an=3+(n-1) d, bn=qn-1.依題意有放心做自己想做的精品字里行間由 (6+d) q=64 知 q 為正有理數(shù) , 又由 q= 知 , d 為 6 的因子 1, 2, 3, 6 之一 , 解 得 d=2

10、, q=8.n-1故 an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8.( ) 證明 :Sn=3+5+ +(2n+1) =n(n+2) ,所以+=+=< .12. 等比數(shù)列 an的各項(xiàng)均為正數(shù), 且 2a1 +3a2 =1,=9a2 a6 .( ) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;( ) 設(shè) bn=log3a1+log3a2+ +log3an, 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 .答案 ( ) 設(shè)數(shù)列 an的公比為q. 由=9a2a6 得=9, 所以 q2= .因?yàn)闂l件可知q>0, 故 q= .由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1, 所以 a1= .故數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an=.( )

11、bn=log3a1+log3a2+ +log3an=-(1+2+ +n)=-,故=-=-2,放心做自己想做的精品字里行間+ =-2+=-.所以數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 -.13.等差數(shù)列 an的各項(xiàng)均為正數(shù) ,a1=3,其前 n 項(xiàng)和為 Sn,bn為等比數(shù)列 ,b1=1,且 b2S2=16,b3S3=60.( )求 an 和 bn;()求+ .答案 ( )設(shè) an的公差為d,且 d 為正數(shù) ,bn的公比為q,an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依題意有b2S2=q·(6+d)=16,b3S3=q2 ·(9+3d)=60,(2 分 )解得 d=2,q=2.(4 分 )故 an

12、=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6 分 ) ( )Sn=3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分 )所以+=+=(10 分)= -.(12 分 )14.設(shè)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 :Sn=nan-2n(n-1). 等比數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn,公比為 a1, 且 T5=T3+2b5.放心做自己想做的精品字里行間(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;(2)設(shè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 M n,求證 : Mn< .答案 (1) T5=T3+2b5, b4+b5=2b5,即 (a1-1)b4=0,又 b4 0, a1=1.n2時(shí) ,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)a n-1-4