分離變量法的應(yīng)用

1、關(guān)于分離變量法的應(yīng)用現(xiàn)在學習的是第一頁，共24頁非齊次邊界條件的處理： 022000, .0.,0 ,; 0,.xx lttxxttxxxx lttttwg twh tva vwa wvvvxw xvxu x tv x tw x th tg tw x txg tlwx現(xiàn)在學習的是第二頁，共24頁 思考題思考題 非齊次泛定方程在非齊次邊界條件和非零初始條件下的定解問題應(yīng)該如何求解？現(xiàn)在學習的是第三頁，共24頁三維形式的直角坐標分離變量三維形式的直角坐標分離變量以三維空間三維空間中的熱傳導問題為例，考慮齊次泛定方程：2222222uuuuatxyz考慮如下形式的解： , , , ,u x y z

2、tV x y z T t代入方程可得： 2, , ,TtV x y za T tV x y z現(xiàn)在學習的是第四頁，共24頁2( )( )00T ta T tVV這樣得到如下兩個微分方程：第二個微分方程可以進一步分離變量，令： VX x Y y Z z代入方程中整理可得：0XYZXYZ現(xiàn)在學習的是第五頁，共24頁000XXYYZZ分析易得：時間部分的解為： 2a tT tCe 空間部分（滿足邊界條件要求）的解通常為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的組合。因此，三維熱傳導問題的完整解為：2,( , , , )( )( )( )a tl m nlmnl m nu x y z tCeXx Yy Zz現(xiàn)在學習的是第六

3、頁，共24頁230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z例例8.5 8.5 求解下列定解問題：求解下列定解問題：現(xiàn)在學習的是第七頁，共24頁求解本征值問題可得：221222222232,sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,)llmmnnllXAx laammYBy mbbnnZCz ncc 123現(xiàn)在學習的是第八頁，共24頁相應(yīng)地，2222123222lmnabc 這時，有：, ,sinsinsinlmnlmnl xm yn zVx y zCabc同時可求出 T：222222

4、0222expk tlmnlmnTT eTktabc構(gòu)造特解并疊加得到：22222222,1sinsinsinlmnktabclmnl m nn xn yn zuCeabc現(xiàn)在學習的是第九頁，共24頁代入初始條件可得：,1, , ,0sinsinsin, ,lmnl m nl xm yn zu x y zCx y zabc故定解問題：230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z的解為：22222222,1sinsinsinlmnktabclmnl m nn xn yn zuCeabc現(xiàn)在學習的是第十頁，共24頁

5、在利用分離變量法求解定解問題的時候，對方程和邊界條件都要進行變量分離。一般而言，能否應(yīng)用分離能否應(yīng)用分離變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關(guān)之外，變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關(guān)之外，還和所選擇的坐標系有關(guān)系。還和所選擇的坐標系有關(guān)系。這個時候要根據(jù)邊界情況來選取合適的坐標系。在進一步討論之前，我們引入正交曲線坐標系的概念?，F(xiàn)在學習的是第十一頁，共24頁例例 8.58.5 求解如下定解問題：22222222200, (0)0, xxyyxyaxyuuuxyauuE x（P194，例4）現(xiàn)在學習的是第十二頁，共24頁正交曲線坐標系正交曲線坐標系 由三族互相正交的曲面定義的坐標系稱

6、為正交曲線坐標系。正交曲線坐標系和直角坐標的關(guān)系為：123123123,xx q q qyy q q qzz q q q22arctanxyyxzz例：柱坐標系cossinxyzz112233, , , ,qqx y zqqx y zqqx y z現(xiàn)在學習的是第十三頁，共24頁22222arctanarctanrxyzxyzyxsincossinsincosxryrzr球坐標系 其他正交曲線坐標系還有拋物柱面坐標、橢球坐標等。0,0,02r 現(xiàn)在學習的是第十四頁，共24頁正交曲線坐標系中的正交曲線坐標系中的Laplace算符算符現(xiàn)在學習的是第十五頁，共24頁 一般地，我們總可以對齊次泛定方程的

7、時間和一般地，我們總可以對齊次泛定方程的時間和坐標變量進行分離（和坐標系的選取無關(guān)）。現(xiàn)在坐標變量進行分離（和坐標系的選取無關(guān)）?，F(xiàn)在我們就來考察在不同的正交曲線坐標系下對我們就來考察在不同的正交曲線坐標系下對Laplace方程如何進行變量分離。方程如何進行變量分離?，F(xiàn)在學習的是第十六頁，共24頁柱坐標系的情況柱坐標系的情況現(xiàn)在學習的是第十七頁，共24頁現(xiàn)在學習的是第十八頁，共24頁現(xiàn)在學習的是第十九頁，共24頁球坐標系的情況球坐標系的情況2222222111sinsinsinuuuurrrrrr現(xiàn)在學習的是第二十頁，共24頁現(xiàn)在學習的是第二十一頁，共24頁例例 8.58.5 求解如下定解問題：2222222