分離變量法的應(yīng)用

1、關(guān)于分離變量法的應(yīng)用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共24頁非齊次邊界條件的處理： 022000, .0.,0 ,; 0,.xx lttxxttxxxx lttttwg twh tva vwa wvvvxw xvxu x tv x tw x th tg tw x txg tlwx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共24頁 思考題思考題 非齊次泛定方程在非齊次邊界條件和非零初始條件下的定解問題應(yīng)該如何求解？現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共24頁三維形式的直角坐標(biāo)分離變量三維形式的直角坐標(biāo)分離變量以三維空間三維空間中的熱傳導(dǎo)問題為例，考慮齊次泛定方程：2222222uuuuatxyz考慮如下形式的解： , , , ,u x y z

2、tV x y z T t代入方程可得： 2, , ,TtV x y za T tV x y z現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共24頁2( )( )00T ta T tVV這樣得到如下兩個微分方程：第二個微分方程可以進(jìn)一步分離變量，令： VX x Y y Z z代入方程中整理可得：0XYZXYZ現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共24頁000XXYYZZ分析易得：時間部分的解為： 2a tT tCe 空間部分（滿足邊界條件要求）的解通常為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的組合。因此，三維熱傳導(dǎo)問題的完整解為：2,( , , , )( )( )( )a tl m nlmnl m nu x y z tCeXx Yy Zz現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六

3、頁，共24頁230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z例例8.5 8.5 求解下列定解問題：求解下列定解問題：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共24頁求解本征值問題可得：221222222232,sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,),sin,(1,2,3,)llmmnnllXAx laammYBy mbbnnZCz ncc 123現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共24頁相應(yīng)地，2222123222lmnabc 這時，有：, ,sinsinsinlmnlmnl xm yn zVx y zCabc同時可求出 T：222222

4、0222expk tlmnlmnTT eTktabc構(gòu)造特解并疊加得到：22222222,1sinsinsinlmnktabclmnl m nn xn yn zuCeabc現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共24頁代入初始條件可得：,1, , ,0sinsinsin, ,lmnl m nl xm yn zu x y zCx y zabc故定解問題：230000,(0,0,0,0)000( , , )txx ayy bzz ctukuxaybzc tuuuuuuux y z的解為：22222222,1sinsinsinlmnktabclmnl m nn xn yn zuCeabc現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共24頁

5、在利用分離變量法求解定解問題的時候，對方程和邊界條件都要進(jìn)行變量分離。一般而言，能否應(yīng)用分離能否應(yīng)用分離變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關(guān)之外，變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關(guān)之外，還和所選擇的坐標(biāo)系有關(guān)系。還和所選擇的坐標(biāo)系有關(guān)系。這個時候要根據(jù)邊界情況來選取合適的坐標(biāo)系。在進(jìn)一步討論之前，我們引入正交曲線坐標(biāo)系的概念。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共24頁例例 8.58.5 求解如下定解問題：22222222200, (0)0, xxyyxyaxyuuuxyauuE x（P194，例4）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共24頁正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系 由三族互相正交的曲面定義的坐標(biāo)系稱

6、為正交曲線坐標(biāo)系。正交曲線坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)的關(guān)系為：123123123,xx q q qyy q q qzz q q q22arctanxyyxzz例：柱坐標(biāo)系cossinxyzz112233, , , ,qqx y zqqx y zqqx y z現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共24頁22222arctanarctanrxyzxyzyxsincossinsincosxryrzr球坐標(biāo)系 其他正交曲線坐標(biāo)系還有拋物柱面坐標(biāo)、橢球坐標(biāo)等。0,0,02r 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共24頁正交曲線坐標(biāo)系中的正交曲線坐標(biāo)系中的Laplace算符算符現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共24頁 一般地，我們總可以對齊次泛定方程的

7、時間和一般地，我們總可以對齊次泛定方程的時間和坐標(biāo)變量進(jìn)行分離（和坐標(biāo)系的選取無關(guān)）?，F(xiàn)在坐標(biāo)變量進(jìn)行分離（和坐標(biāo)系的選取無關(guān)）?，F(xiàn)在我們就來考察在不同的正交曲線坐標(biāo)系下對我們就來考察在不同的正交曲線坐標(biāo)系下對Laplace方程如何進(jìn)行變量分離。方程如何進(jìn)行變量分離?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共24頁柱坐標(biāo)系的情況柱坐標(biāo)系的情況現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁，共24頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共24頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共24頁球坐標(biāo)系的情況球坐標(biāo)系的情況2222222111sinsinsinuuuurrrrrr現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共24頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共24頁例例 8.58.5 求解如下定解問題：2222222