二項(xiàng)式定理各種題型匯編

1、二項(xiàng)式定理各種題型匯編二項(xiàng)式定理各種題型匯編 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知第第 項(xiàng)項(xiàng)1r性質(zhì)復(fù)習(xí)性質(zhì)復(fù)習(xí)性質(zhì)性質(zhì)1 1在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端等在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端等 距離的任意兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等距離的任意兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等. .性質(zhì)性質(zhì)2 2：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的 冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系 數(shù)最大；數(shù)最大；性質(zhì)性質(zhì)3 3：性質(zhì)性質(zhì)4 4：( (a+b)a+b)n n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式

2、系的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系 數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和. .題型一題型一 利用利用 的二項(xiàng)展開式解題的二項(xiàng)展開式解題na b解法解法1 1例例1 1 求求 的展開式的展開式直接用二項(xiàng)直接用二項(xiàng)式定理展開式定理展開題型一題型一 利用利用 的二項(xiàng)展開式解題的二項(xiàng)展開式解題na b例例1 1 求求 的展開式的展開式解法解法2 2化簡(jiǎn)后再展開化簡(jiǎn)后再展開例題例題2 2 若若,( 2 1)2,nnnn Nab(,)nna bZnb,則則 的值的值( )A A 一定為奇數(shù)一定為奇數(shù)C C 一定為偶數(shù)一定為偶數(shù)B B 與與n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 與與n n

3、的奇偶性相同的奇偶性相同解解:0nC22( 2)nC所以所以 為奇數(shù)為奇數(shù) 故選故選( (A)A)nb思考思考 能用特殊值法嗎能用特殊值法嗎? ?偶偶奇A熟記二項(xiàng)式定理熟記二項(xiàng)式定理, ,是解答與二項(xiàng)式定理有關(guān)是解答與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條件問(wèn)題的前提條件, ,對(duì)比較復(fù)雜的二項(xiàng)式對(duì)比較復(fù)雜的二項(xiàng)式, ,有時(shí)有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開更便于計(jì)算先化簡(jiǎn)再展開更便于計(jì)算. .例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型二利用通項(xiàng)求符合要求的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)例例3 3 求求 展開式中的有理項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)93xx解:令令原式的有理項(xiàng)為原式的有理項(xiàng)為: :4484Tx310 xT例例4(044(04全國(guó)卷全國(guó)卷) )81()xx的展開

4、式中的展開式中 的的系數(shù)為系數(shù)為_5x解解: : 設(shè)第設(shè)第 項(xiàng)為所求項(xiàng)為所求1r 5x228( 1)28C的系數(shù)為的系數(shù)為分析：第 k+1 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) - 第 k+1 項(xiàng)的系數(shù)-具體數(shù)值的積。解解：求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)求二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng), ,或者求滿足某種條或者求滿足某種條件的項(xiàng)件的項(xiàng), ,或者求某種性質(zhì)的項(xiàng)或者求某種性質(zhì)的項(xiàng), ,如含有如含有x x 項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)的系數(shù), ,有理項(xiàng)有理項(xiàng), ,常數(shù)項(xiàng)等常數(shù)項(xiàng)等, ,通常要用到二項(xiàng)通常要用到二項(xiàng)式的通項(xiàng)求解式的通項(xiàng)求解. . 注意注意(1)(1)二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別. . (2) (2) 表示第表示第 項(xiàng)項(xiàng). .3例題

5、點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型3 二項(xiàng)式定理的逆用例例6 6 計(jì)算并求值計(jì)算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):將原式變形將原式變形題型3 二項(xiàng)式定理的逆用例例7 7 計(jì)算并求值計(jì)算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解:(2):(2)原式原式 例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)的難點(diǎn), ,也是重點(diǎn)也是重點(diǎn), ,只有熟練掌握公式的正只有熟練掌握公式的正用用, ,才能掌握逆向應(yīng)用和變

6、式應(yīng)用才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用題型題型4 4 求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)求多項(xiàng)式的展開式中特定的項(xiàng)( (系數(shù)系數(shù)) )例例8 82345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展開式中的展開式中, , 的系數(shù)等于的系數(shù)等于_2x解解: :仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得仔細(xì)觀察所給已知條件可直接求得 的系的系 數(shù)是數(shù)是2x解法解法2 2 運(yùn)用等比數(shù)列求和公式得在在 的展開式中的展開式中,含有含有 項(xiàng)的系數(shù)為項(xiàng)的系數(shù)為6(1)x3x3620C 所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為-202x123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx例例9 9求求 展開式中展開式中 的系數(shù)。的系數(shù)。4x4x解解:

7、 :可逐項(xiàng)求得可逐項(xiàng)求得 的系數(shù)的系數(shù)8)21 (x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為ssxC)2(8當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)2s112428C系數(shù)為系數(shù)為12)31 (x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為1t當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)363112C系數(shù)為系數(shù)為所以所以 展開式中展開式中的系數(shù)為的系數(shù)為123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx1443611244)1 ( x的展開式通項(xiàng)為的展開式通項(xiàng)為當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)3r系數(shù)為系數(shù)為-4-4求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(xiàng)求復(fù)雜的代數(shù)式的展開式中某項(xiàng)( (某項(xiàng)的系數(shù)某項(xiàng)的系數(shù)),),可以逐項(xiàng)分析求解可以逐項(xiàng)分析求解, ,常常對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)常常對(duì)所給代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn), ,可以可以減

8、小計(jì)算量減小計(jì)算量例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型題型5 5 求乘積二項(xiàng)式展開式中特定的項(xiàng)求乘積二項(xiàng)式展開式中特定的項(xiàng)( (特特 定項(xiàng)的系數(shù)定項(xiàng)的系數(shù)) )例題例題10:10:求求 的展開式中的展開式中 項(xiàng)項(xiàng) 的系數(shù)的系數(shù). .65(1) (21)xx6x解解6(1)x 的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是5(21)x的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是65(1) (21)xx的通項(xiàng)是的通項(xiàng)是65(1) (21)xx由題意知解得所以所以 的系數(shù)為的系數(shù)為: :6x 例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)對(duì)于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩對(duì)于較為復(fù)雜的二項(xiàng)式與二項(xiàng)式乘積利用兩個(gè)通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算個(gè)通項(xiàng)之積比較方便運(yùn)算（題型題型6 6）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和求展開式

9、中各項(xiàng)系數(shù)和解：設(shè)解：設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)和為展開式各項(xiàng)系數(shù)和為1例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和常用賦值法：令二項(xiàng)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)和常用賦值法：令二項(xiàng) 式中的字母為式中的字母為1 1上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)上式是恒等式，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=1x=1時(shí)，時(shí)， (2-1) (2-1)n n= =naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210例例11. 11. 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為_nx) 12(2題型題型7 7：求奇數(shù)：求奇數(shù)( (次次) )項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)偶數(shù)( (次次) )項(xiàng)系數(shù)的和項(xiàng)系數(shù)的和(1)(1)(2)(2)題型題型7 7：求奇數(shù)：求奇數(shù)( (次次

10、) )項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)偶數(shù)( (次次) )項(xiàng)系數(shù)的和項(xiàng)系數(shù)的和7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf設(shè)解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf所以（3）例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用賦值法，設(shè)求二項(xiàng)展開式系數(shù)和，常常得用賦值法，設(shè)二項(xiàng)式中的字母為二項(xiàng)式中的字母為1或或-1，得到一個(gè)或幾個(gè)等，得到一個(gè)或幾個(gè)等式，再根據(jù)結(jié)果求值式，再根據(jù)結(jié)果求值題型題型8 8 三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理解：三項(xiàng)式不能用二項(xiàng)式定理,必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式必須轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式再利用二項(xiàng)式定理逐項(xiàng)分析常數(shù)項(xiàng)

11、得再利用二項(xiàng)式定理逐項(xiàng)分析常數(shù)項(xiàng)得=1107=1107的系數(shù)是的展開式中例xxx52) 23(14_解：解：原式化為其通項(xiàng)公式為其通項(xiàng)公式為240240例題點(diǎn)評(píng)括號(hào)里含有三項(xiàng)的情況可以把某兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)括號(hào)里含有三項(xiàng)的情況可以把某兩項(xiàng)合并為一項(xiàng),合合并時(shí)要注意選擇的科學(xué)性并時(shí)要注意選擇的科學(xué)性.也可因式分解化為乘積二也可因式分解化為乘積二項(xiàng)式項(xiàng)式.題型題型9 9 求展開式中系數(shù)最大求展開式中系數(shù)最大( (小小) )的項(xiàng)的項(xiàng)解解: :設(shè)設(shè) 項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng), ,則則1r6 .126 .11 r二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第11項(xiàng),即1020C所以它們的比是1371020128122032

12、11532CC例例16 16 在在 的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng) 20)23 (yx解：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第解：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1r+1項(xiàng)，則項(xiàng)，則rrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為8r812812820923yxCT例例1717求求 的展開式中數(shù)值最大的項(xiàng)的展開式中數(shù)值最大的項(xiàng)50)21 ( 解：設(shè)第解：設(shè)第 項(xiàng)是是數(shù)值最大的項(xiàng)項(xiàng)是是數(shù)值最大的項(xiàng)展開式中數(shù)值最大的項(xiàng)是展開式中數(shù)值最大的項(xiàng)是115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrC

13、CCC251101251102rr88.2988.28 r29r211rrrrTTTT解決系數(shù)最大問(wèn)題，通常設(shè)第解決系數(shù)最大問(wèn)題，通常設(shè)第 項(xiàng)是系數(shù)最項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，則有大的項(xiàng)，則有由此確定由此確定r r的取值的取值例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型題型10 10 整除或余數(shù)問(wèn)題整除或余數(shù)問(wèn)題例例1818。的余數(shù)除以求1009192解解: :前面各項(xiàng)均能被前面各項(xiàng)均能被100100整除整除. .只有只有 不能被不能被100100整除整除929余數(shù)為余數(shù)為正整數(shù)正整數(shù)注意整除性問(wèn)題，余數(shù)問(wèn)題，主要根據(jù)二項(xiàng)式整除性問(wèn)題，余數(shù)問(wèn)題，主要根據(jù)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊成能整定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊

14、成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng),再再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問(wèn)題的最分析整除性或余數(shù)。這是解此類問(wèn)題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)題型題型11 11 證明恒等式證明恒等式析析: :本題的左邊是一個(gè)數(shù)列但不能直接求和本題的左邊是一個(gè)數(shù)列但不能直接求和. .因?yàn)橐驗(yàn)?由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,兩式相加兩式相加例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)利用求和的方法來(lái)證明組合數(shù)恒等式是一種利用求和的方法來(lái)證明組合數(shù)恒等式是一種最常見(jiàn)的方法最常見(jiàn)的方法,證明等式常用下面的等式證明等式常用下面的等式例例2

15、020證明證明： 證明證明!11!1!) 1() 1(1knknnkknnnnCkkkkkh 通項(xiàng)通項(xiàng)3)11 (2nn所以所以題型題型12 12 證明不等式證明不等式例題點(diǎn)評(píng)例題點(diǎn)評(píng)利用二項(xiàng)式定理證明不等式利用二項(xiàng)式定理證明不等式, ,將展開式將展開式進(jìn)行合理放縮進(jìn)行合理放縮題型題型13 13 近似計(jì)算近似計(jì)算例例21.21.某公司的股票今天的指數(shù)為某公司的股票今天的指數(shù)為2,2,以后每天的指以后每天的指 數(shù)都比上一天的指數(shù)增加數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2%,0.2%,則則100100天后這天后這) )解解: :依題意有依題意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 100點(diǎn)評(píng)近似計(jì)算常常利用二項(xiàng)式定理估算前幾項(xiàng)點(diǎn)評(píng)近似計(jì)算常常利用二項(xiàng)式定理估算前幾項(xiàng)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)一選擇題一選擇題a8)(xax 1(041(04福建福建) )已知已知 展開式的常數(shù)項(xiàng)是展開式的常數(shù)項(xiàng)是1120,1120,