七年級數(shù)學下冊8.4因式分解導學案(新版)滬科版-(新版)滬科版初中七年級下冊數(shù)學學案

1、word8.4因式分解1. 了解因式分解的意義及其與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系，養(yǎng)成逆向思維的能力2. 理解因式分解的常用方法，能靈活地應用因式分解的常用方法進行因式分解3. 能用因式分解的知識解決相關的數(shù)學及實際問題1. 因式分解(1) 因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個多項式分解因式(2) 因式分解的注意事項因式分解的實質是多項式的恒等變形，與整式乘法的過程恰好相反，整式乘法是“積化和差”，而因式分解是“和差化積”，利用這種關系可以檢驗因式分解結果是否正確2分解因式的對象必須是多項式，如把5abc分解成5aabc就不是分解因式，因為211115abc不

2、是多項式；再如把x21分解為x1x1也不是分解因式，因為x21不是整式2分解因式的結果必須是積的形式，如xx1x(x1)1就不是分解因式，因為結果x(x1)1不是積的形式6 /6分解因式結果中每個因式都必須是整式，如x2xx211x就不是分解因式，因為x211x不是整式的乘積形式22x6xx(4x6)結果中的因式4x6中4和6的公約數(shù)不為1，正確的分解結果應是4x6x2x(2x3)【例11】在下列四個式子中，從等號左邊到右邊的變形是因式分解的是()xAx2yxx2y12Bx43x(x2)(x2)3x2Cab22abab(b2)D(x3)(x3)x9解析：選項A右邊的其中一個因式不是整式，不符合

3、；選項B的結果不是整式的乘積，只分解了一部分；選項D是整式乘法；選項C符合因式分解的意義，故選C答案：C分解因式與整式乘法是兩種相反方向的變形過程，即它們互為逆過程，互為逆關系，例如：n(abc)nanbnc，因式分解是把多項式化為積的形式，注意一要是整式，二要是多項式22【例12】下列從左到右的變形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？為什么？(1)12ab3a4ab；2(2)(x3)(x3)x9；(3)4x8x14x(x2)1；(4)2ax2ay2a(xy)；222(5)a4abb(a2b).22解：(1)不是分解因式因為等號左邊必須是一個多項式，而12ab是單項式(2) 不是分解因式因為

4、等號左邊(x3)(x3)是積的形式，右邊x9是一個多項式，不符合分解因式的定義(3) 不是分解因式因為等號左邊雖然是一個多項式，但是等號右邊的4x(x2)1不是整式積的形式(4) 是分解因式因為等號左邊2ax2ay是一個多項式，且等號右邊2a(xy)是整式積的形式(5) 不是分解因式因為分解因式是多項式的恒等變形，左右兩邊必須相等，而此題左22222邊a4abb；右邊(a2b)a4ab4b.因為左、右兩邊不相等，即不是恒等變形，當然不是分解因式判斷一個式子由左到右的變形是不是分解因式，關鍵看它是不是把多項式變形為幾個整式積的形式，也就是說，變形后第一必須是整式；第二必須是乘積的形式2. 因式分

5、解的基本方法提公因式法(1) 公因式的意義多項式中的每一項都含有一個相同因式，這個相同因式叫做這個多項式各項的公因式如多項式abacad中，各項都含有因式a，故a是這個多項式的公因式(2) 公因式的確定準確地確定公因式，是運用提公因式法因式分解的關鍵確定一個多項式各項的公因式，其方法如下：確定公因式系數(shù)，即數(shù)字因數(shù)當各項系數(shù)都是整數(shù)時，取各項的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；當各項系數(shù)中有分數(shù)時，則公因式的系數(shù)為分數(shù)，分母取各項系數(shù)分母的最小公倍數(shù)，分子取各項系數(shù)分子的最大公約數(shù)確定公因式的字母及字母指數(shù)公因式的字母應是多項式各項都含有的字母，其指數(shù)4232取最低的如：多項式4x6x12xy中，系

6、數(shù)的最大公約數(shù)是2，相同字母為x，它的最低指數(shù)是2，所以這個多項式的公因式應為2x.注意：公因式可能是單項式，也可能是多項式當公因式是多項式時，要把這個多項式看作一個整體，這時要注意符號的變化，經常用的變形有：(ba)(ba)(ab)nn(ab)(n為正整數(shù))，nn(n為偶數(shù))，nn(ba)(ab)(n為奇數(shù))【例21】指出下列各多項式中各項的公因式：2334(1)4xyz12xy；(2)47(x1)2y312(x1)3y4；(3)12xny2n16xn1yn1(n為大于1的整數(shù))解：(1)系數(shù)4和12的最大公約數(shù)為4，相同字母有x和y，x的最低次數(shù)是2，y的最低次數(shù)是3，所以公因式為4x2y

7、3.4(2) 系數(shù)4和12，分母的最小公倍數(shù)是7，分子的最大公約數(shù)是4，所以公因式的系數(shù)為7，有相同的因式(x1)和相同的字母y，(x1)的最低次數(shù)是2，y的最低次數(shù)是3，因此7423公因式是(x1)y.7(3) 系數(shù)12和16的最大公約數(shù)是4，相同的字母是x和y，而指數(shù)nn1,2nn1，因此，公因式是4x(3) 提公因式法n1yn1.如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而把多項式化成兩個整式乘積的形式，這種分解因式的方法叫提公因式法我們在學習乘法分配律時知道，m(abc)mambmc，現(xiàn)在把它反過來就有mambmcm(abc)，這正是提公因式法，可見提公因式法在

8、實質上是逆用乘法分配律提公因式法的步驟運用提公因式法分解因式一般分為三步：第一步，確定公因式；第二步，把多項式的各項寫成含公因式的乘積形式；第三步，把公因式提到括號前面，余下的項寫在括號內2(1) 若首項系數(shù)為負數(shù)時，一般先要提出“”，但要注意，此時多項式的各項都要變號，如x2xx(x2)；(2) 所提的公因式必須是“最大公因式”，即提取公因式后，另一個因式中不能含有公因式；(3) 提出公因式后，另一個因式必須化簡整理，不能帶有中括號，如2x(yz)24y(y3222z)2(yz)x2y(yz)2(yz)(x2y2yz)；(4) 多項式中各項的公因式要一次提盡；(5) 公因式提取后，要用整式乘

9、法來檢驗是否正確【例22】把下列各式分解因式：223(1)2(mn)m(nm)；(2)5a(xy)10a(yx).分析：(1)觀察該多項式，可發(fā)現(xiàn)其沒有公因式，但是(nm)可以變形為(mn)，從2而原式變形為2(mn)m(mn)，這樣每一項都含有多項式(mn)，且(mn)的最低次數(shù)是1，所以變形后的多項式的公因式是(mn)233(2)這個多項式的兩項的系數(shù)有公約數(shù)5，含有字母a，并且含有多項式xy，因此該多項式的公因式是5a(xy).還要注意(yx)(xy)的變形2解：(1)2(mn)m(nm)22(mn)m(mn)(mn)(2m2nm)(mn)(3m2n)(2)5a(xy)210a(yx)3

10、5a(xy)210a(xy)35a(xy)212(xy)5a(xy)2(12x2y)3. 因式分解的基本方法公式法(1) 公式法的意義：利用完全平方公式和平方差公式進行因式分解的方法叫做公式法(2) 公式的結構特征運用公式法的關鍵是熟悉公式的結構特征平方差公式的特征：左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反，右邊分解的結果是兩個整式的和與兩個整式的差的乘積凡符合平方差公式特點的二項式，都可運用平方差公式分解因式分解時，先寫成平方差的形式，確定公式中的a和b，再運用平方差公式分解因式注意公式中字母的廣泛含義，既可以表示單項式，也可以表示多項式，如：(xy)2(xy)2(xy)(xy)(x

11、y)(xy)2x(2y)4xy(其中xy相當于公式中的a，xy相當于公式中的b)【例31】把下列多項式分解因式：222(1)4x9；(2)16m9n；(3)a3bab；(4)(xp)2(xq)2.222解：(1)4x9(2x)3(2x3)(2x3)2222(2)16m9n(4m)(3n)(4m3n)(4m3n)32(3) ababab(a1)ab(a1)(a1)(4)(xp)2(xq)2(xp)(xq)(xp)(xq)(2xpq)(pq)完全平方公式的特征：左邊是三項式，其中首末兩項是兩個數(shù)(或式子)的平方，且符號相同，中間的一項是首末兩個數(shù)(或式子)的積的2(或2)倍，右邊的結果是兩個數(shù)(或

12、式子)的和(或差)的平方運用完全平方公式分解因式，一定要檢驗中間的一項是否是首末兩項乘積的2(或2)倍凡是滿足完全平方公式的多項式都可以直接用完全平方公式因式分解222注意公式中字母的廣泛含義，既可以表示單項式，也可以表示多項式，如：(xy)4(xy)4(xy)2(xy2)(其中xy相當于公式中的a,2相當于公式中的b)【例32】把下列各式分解因式：22(1)x2xyy；(2)4(xy)22520(xy)；2(3)(ab)4(ab1)222分析：(1)題有三項，首項含“”，先提出“”，得x2xyy(x2xyy2)，此時，括號中的第一項與第三項構成平方和形式，中間一項恰好是x和y積的2倍，可以用

13、完全平方公式來分解因式；(2)題把(xy)看作一個整體，也是三項，第一、二項構成2(xy)與5的平方和的形式，第三項化成22(xy)5，恰好是前面兩個數(shù)的積的2倍，所以也可以用完全平方公式(3)題無法直接因式分解，應借助整體變形，使其變成具有公式特征的多項式去括號，把ab看作整體，重新組合，使二項式變?yōu)槿検剑?ab)24(ab1)(ab)24(ab)4，此時，第一、三項構成ab與2的平方和的形式，中間一項是ab與2的乘積的2倍，可以用完全平方公式來分解因式22222解：(1)x2xyy(x2xyy)(xy).(2)4(xy)22520(xy)222(xy)22(xy)55222(xy)5(2

14、x2y5).2(3)(ab)4(ab1)22(ab)4(ab)4(ab2).4. 因式分解的步驟(1) 分組分解法對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解，這種分解因式的方法叫分組分解法(2) 因式分解的一般步驟是：“一提”、“二套”、“三分組”、“四檢查”“一提”即先看是否有公因式，若有，先提取公因式；“二套”是看能否運用公式法因式分解，若兩項看是否符合平方差公式，若三項看是否符合完全平方公式；“三分組”是指如果要分解的多項式多于三項時，要考慮分組，分組的原則是：分組后能提

15、公因式或者運用公式法；“四檢查”是檢查因式分解是不是徹底，要分解到每一個因式不能再分解為止一般地，把一個多項式因式分解都是在有理數(shù)X圍內進行的，要求因式中的每個系數(shù)(包括常數(shù))都是有理數(shù)，且最后的結果要分解到每一個因式都不能再分解為止，相同的因式應該寫成冪的形式【例41】分解因式：2(1)3a26a3；(2)3xn327xn1.分析：(1)多項式中都含有公因式3，提取公因式后變?yōu)?(a2a1)，再仔細觀察發(fā)2現(xiàn)括號中的三項式符合完全平方公式，因此繼續(xù)分解為3(a1)；(2)多項式中各項系數(shù)的n1n1最大公約數(shù)是3，都含有字母x，x的最低次冪是x，所以公因式是3x，提取公因式后2括號內的多項式為

16、(x9)，能利用平方差公式分解因式22解：(1)3a6a33(a2a1)23(a1).(2)3xn327xn13xn1(x29)n13x(x3)(x3)對于多項式的分解因式，應優(yōu)先考慮提公因式，如果首項為負，可提取1，然后對公因式已提取的或無公因式的三項式進行如下考慮：(1)按某一字母降冪排列，(2)對于二次三項式可考慮完全平方公式，(3)對于二項式可考慮平方差公式【例42】把下列多項式因式分解：22222(1)(xy)4xy；22(2)1a2abb.22222解：(1)(xy)4xy2222(xy)(2xy)2222(xy2xy)(xy2xy)22(xy)(xy).(2)1a22abb222

17、221(a2abb)1(ab)1(ab)1(ab)(1ab)(1ab)5. 利用因式分解計算、求值、證明因式分解在許多的有理數(shù)計算、代數(shù)式的化簡、求值、證明中起著重要作用(1) 對于一些復雜的計算題，直接計算比較麻煩，學習了因式分解后，可以靈活運用因式分解，使問題的求解難度降到最低限度(2) 在求某些代數(shù)式的值時，比較簡便而常用的方法是先對所給的代數(shù)式進行因式分解，使之出現(xiàn)條件中的式子，再整體代入求值(3) 因式分解是整式乘法的逆向變形，是代數(shù)恒等變形的重要手段，在解方程、不等式及恒等式的證明、幾何等諸多方面也起著重要作用解答此類題常用的方法是通過對條件中的式子因式分解，使之含有所要求的因式即

18、可22【例51】計算2022.222分析：如果直接計算，202不太容易計算，但是考慮到(2022)(2022)2022，22則2022單多了利用分解因式的方法可以表示為(2022)(2022)，即204200，再計算就簡22解：2022(2022)(2022)20420040800.3223【例52】(1)已知xy1，xy2，求xy2xyxy的值；2232 23(2)已知2x30，求x(xx)x(5x)9的值解：(1)xy2xyxy222xy(x2xyy)xy(xy).2因為xy1，xy2，所以原式212.22(2)x(xx)x(5x)9x3x2x2x3x25949(2x3)(2x3)因為2x30，所以原式600.6. 因式分解的實際應用因式分解是一種重要的式子變形，靈活應用的話可以解決許多問題，有關因式分解的實際應用主要是根據(jù)題意列出式子，解答時利用因式分解的方法，將列出的代數(shù)式按照因式分解的步驟進行分解，若所得的代數(shù)式不能直接看出是否可用公式法分解時，可以將所給多項式交換