七年級數(shù)學(xué)下冊8.4因式分解導(dǎo)學(xué)案(新版)滬科版-(新版)滬科版初中七年級下冊數(shù)學(xué)學(xué)案

1、word8.4因式分解1. 了解因式分解的意義及其與整式乘法的區(qū)別與聯(lián)系，養(yǎng)成逆向思維的能力2. 理解因式分解的常用方法，能靈活地應(yīng)用因式分解的常用方法進(jìn)行因式分解3. 能用因式分解的知識解決相關(guān)的數(shù)學(xué)及實(shí)際問題1. 因式分解(1) 因式分解的定義：把一個多項(xiàng)式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個多項(xiàng)式分解因式(2) 因式分解的注意事項(xiàng)因式分解的實(shí)質(zhì)是多項(xiàng)式的恒等變形，與整式乘法的過程恰好相反，整式乘法是“積化和差”，而因式分解是“和差化積”，利用這種關(guān)系可以檢驗(yàn)因式分解結(jié)果是否正確2分解因式的對象必須是多項(xiàng)式，如把5abc分解成5aabc就不是分解因式，因?yàn)?11115abc不

2、是多項(xiàng)式；再如把x21分解為x1x1也不是分解因式，因?yàn)閤21不是整式2分解因式的結(jié)果必須是積的形式，如xx1x(x1)1就不是分解因式，因?yàn)榻Y(jié)果x(x1)1不是積的形式6 /6分解因式結(jié)果中每個因式都必須是整式，如x2xx211x就不是分解因式，因?yàn)閤211x不是整式的乘積形式22x6xx(4x6)結(jié)果中的因式4x6中4和6的公約數(shù)不為1，正確的分解結(jié)果應(yīng)是4x6x2x(2x3)【例11】在下列四個式子中，從等號左邊到右邊的變形是因式分解的是()xAx2yxx2y12Bx43x(x2)(x2)3x2Cab22abab(b2)D(x3)(x3)x9解析：選項(xiàng)A右邊的其中一個因式不是整式，不符合

3、；選項(xiàng)B的結(jié)果不是整式的乘積，只分解了一部分；選項(xiàng)D是整式乘法；選項(xiàng)C符合因式分解的意義，故選C答案：C分解因式與整式乘法是兩種相反方向的變形過程，即它們互為逆過程，互為逆關(guān)系，例如：n(abc)nanbnc，因式分解是把多項(xiàng)式化為積的形式，注意一要是整式，二要是多項(xiàng)式22【例12】下列從左到右的變形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？為什么？(1)12ab3a4ab；2(2)(x3)(x3)x9；(3)4x8x14x(x2)1；(4)2ax2ay2a(xy)；222(5)a4abb(a2b).22解：(1)不是分解因式因?yàn)榈忍栕筮叡仨毷且粋€多項(xiàng)式，而12ab是單項(xiàng)式(2) 不是分解因式因?yàn)?/p>

4、等號左邊(x3)(x3)是積的形式，右邊x9是一個多項(xiàng)式，不符合分解因式的定義(3) 不是分解因式因?yàn)榈忍栕筮呺m然是一個多項(xiàng)式，但是等號右邊的4x(x2)1不是整式積的形式(4) 是分解因式因?yàn)榈忍栕筮?ax2ay是一個多項(xiàng)式，且等號右邊2a(xy)是整式積的形式(5) 不是分解因式因?yàn)榉纸庖蚴绞嵌囗?xiàng)式的恒等變形，左右兩邊必須相等，而此題左22222邊a4abb；右邊(a2b)a4ab4b.因?yàn)樽?、右兩邊不相等，即不是恒等變形，?dāng)然不是分解因式判斷一個式子由左到右的變形是不是分解因式，關(guān)鍵看它是不是把多項(xiàng)式變形為幾個整式積的形式，也就是說，變形后第一必須是整式；第二必須是乘積的形式2. 因式分

5、解的基本方法提公因式法(1) 公因式的意義多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)都含有一個相同因式，這個相同因式叫做這個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式如多項(xiàng)式abacad中，各項(xiàng)都含有因式a，故a是這個多項(xiàng)式的公因式(2) 公因式的確定準(zhǔn)確地確定公因式，是運(yùn)用提公因式法因式分解的關(guān)鍵確定一個多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，其方法如下：確定公因式系數(shù)，即數(shù)字因數(shù)當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時，取各項(xiàng)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)中有分?jǐn)?shù)時，則公因式的系數(shù)為分?jǐn)?shù)，分母取各項(xiàng)系數(shù)分母的最小公倍數(shù)，分子取各項(xiàng)系數(shù)分子的最大公約數(shù)確定公因式的字母及字母指數(shù)公因式的字母應(yīng)是多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的字母，其指數(shù)4232取最低的如：多項(xiàng)式4x6x12xy中，系

6、數(shù)的最大公約數(shù)是2，相同字母為x，它的最低指數(shù)是2，所以這個多項(xiàng)式的公因式應(yīng)為2x.注意：公因式可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式當(dāng)公因式是多項(xiàng)式時，要把這個多項(xiàng)式看作一個整體，這時要注意符號的變化，經(jīng)常用的變形有：(ba)(ba)(ab)nn(ab)(n為正整數(shù))，nn(n為偶數(shù))，nn(ba)(ab)(n為奇數(shù))【例21】指出下列各多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式：2334(1)4xyz12xy；(2)47(x1)2y312(x1)3y4；(3)12xny2n16xn1yn1(n為大于1的整數(shù))解：(1)系數(shù)4和12的最大公約數(shù)為4，相同字母有x和y，x的最低次數(shù)是2，y的最低次數(shù)是3，所以公因式為4x2y

7、3.4(2) 系數(shù)4和12，分母的最小公倍數(shù)是7，分子的最大公約數(shù)是4，所以公因式的系數(shù)為7，有相同的因式(x1)和相同的字母y，(x1)的最低次數(shù)是2，y的最低次數(shù)是3，因此7423公因式是(x1)y.7(3) 系數(shù)12和16的最大公約數(shù)是4，相同的字母是x和y，而指數(shù)nn1,2nn1，因此，公因式是4x(3) 提公因式法n1yn1.如果一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而把多項(xiàng)式化成兩個整式乘積的形式，這種分解因式的方法叫提公因式法我們在學(xué)習(xí)乘法分配律時知道，m(abc)mambmc，現(xiàn)在把它反過來就有mambmcm(abc)，這正是提公因式法，可見提公因式法在

8、實(shí)質(zhì)上是逆用乘法分配律提公因式法的步驟運(yùn)用提公因式法分解因式一般分為三步：第一步，確定公因式；第二步，把多項(xiàng)式的各項(xiàng)寫成含公因式的乘積形式；第三步，把公因式提到括號前面，余下的項(xiàng)寫在括號內(nèi)2(1) 若首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時，一般先要提出“”，但要注意，此時多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號，如x2xx(x2)；(2) 所提的公因式必須是“最大公因式”，即提取公因式后，另一個因式中不能含有公因式；(3) 提出公因式后，另一個因式必須化簡整理，不能帶有中括號，如2x(yz)24y(y3222z)2(yz)x2y(yz)2(yz)(x2y2yz)；(4) 多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式要一次提盡；(5) 公因式提取后，要用整式乘

9、法來檢驗(yàn)是否正確【例22】把下列各式分解因式：223(1)2(mn)m(nm)；(2)5a(xy)10a(yx).分析：(1)觀察該多項(xiàng)式，可發(fā)現(xiàn)其沒有公因式，但是(nm)可以變形為(mn)，從2而原式變形為2(mn)m(mn)，這樣每一項(xiàng)都含有多項(xiàng)式(mn)，且(mn)的最低次數(shù)是1，所以變形后的多項(xiàng)式的公因式是(mn)233(2)這個多項(xiàng)式的兩項(xiàng)的系數(shù)有公約數(shù)5，含有字母a，并且含有多項(xiàng)式xy，因此該多項(xiàng)式的公因式是5a(xy).還要注意(yx)(xy)的變形2解：(1)2(mn)m(nm)22(mn)m(mn)(mn)(2m2nm)(mn)(3m2n)(2)5a(xy)210a(yx)3

10、5a(xy)210a(xy)35a(xy)212(xy)5a(xy)2(12x2y)3. 因式分解的基本方法公式法(1) 公式法的意義：利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行因式分解的方法叫做公式法(2) 公式的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)用公式法的關(guān)鍵是熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征平方差公式的特征：左邊是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號相反，右邊分解的結(jié)果是兩個整式的和與兩個整式的差的乘積凡符合平方差公式特點(diǎn)的二項(xiàng)式，都可運(yùn)用平方差公式分解因式分解時，先寫成平方差的形式，確定公式中的a和b，再運(yùn)用平方差公式分解因式注意公式中字母的廣泛含義，既可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，如：(xy)2(xy)2(xy)(xy)(x

11、y)(xy)2x(2y)4xy(其中xy相當(dāng)于公式中的a，xy相當(dāng)于公式中的b)【例31】把下列多項(xiàng)式分解因式：222(1)4x9；(2)16m9n；(3)a3bab；(4)(xp)2(xq)2.222解：(1)4x9(2x)3(2x3)(2x3)2222(2)16m9n(4m)(3n)(4m3n)(4m3n)32(3) ababab(a1)ab(a1)(a1)(4)(xp)2(xq)2(xp)(xq)(xp)(xq)(2xpq)(pq)完全平方公式的特征：左邊是三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)是兩個數(shù)(或式子)的平方，且符號相同，中間的一項(xiàng)是首末兩個數(shù)(或式子)的積的2(或2)倍，右邊的結(jié)果是兩個數(shù)(或

12、式子)的和(或差)的平方運(yùn)用完全平方公式分解因式，一定要檢驗(yàn)中間的一項(xiàng)是否是首末兩項(xiàng)乘積的2(或2)倍凡是滿足完全平方公式的多項(xiàng)式都可以直接用完全平方公式因式分解222注意公式中字母的廣泛含義，既可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，如：(xy)4(xy)4(xy)2(xy2)(其中xy相當(dāng)于公式中的a,2相當(dāng)于公式中的b)【例32】把下列各式分解因式：22(1)x2xyy；(2)4(xy)22520(xy)；2(3)(ab)4(ab1)222分析：(1)題有三項(xiàng)，首項(xiàng)含“”，先提出“”，得x2xyy(x2xyy2)，此時，括號中的第一項(xiàng)與第三項(xiàng)構(gòu)成平方和形式，中間一項(xiàng)恰好是x和y積的2倍，可以用

13、完全平方公式來分解因式；(2)題把(xy)看作一個整體，也是三項(xiàng)，第一、二項(xiàng)構(gòu)成2(xy)與5的平方和的形式，第三項(xiàng)化成22(xy)5，恰好是前面兩個數(shù)的積的2倍，所以也可以用完全平方公式(3)題無法直接因式分解，應(yīng)借助整體變形，使其變成具有公式特征的多項(xiàng)式去括號，把a(bǔ)b看作整體，重新組合，使二項(xiàng)式變?yōu)槿?xiàng)式：(ab)24(ab1)(ab)24(ab)4，此時，第一、三項(xiàng)構(gòu)成ab與2的平方和的形式，中間一項(xiàng)是ab與2的乘積的2倍，可以用完全平方公式來分解因式22222解：(1)x2xyy(x2xyy)(xy).(2)4(xy)22520(xy)222(xy)22(xy)55222(xy)5(2

14、x2y5).2(3)(ab)4(ab1)22(ab)4(ab)4(ab2).4. 因式分解的步驟(1) 分組分解法對于一個多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項(xiàng)式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解，這種分解因式的方法叫分組分解法(2) 因式分解的一般步驟是：“一提”、“二套”、“三分組”、“四檢查”“一提”即先看是否有公因式，若有，先提取公因式；“二套”是看能否運(yùn)用公式法因式分解，若兩項(xiàng)看是否符合平方差公式，若三項(xiàng)看是否符合完全平方公式；“三分組”是指如果要分解的多項(xiàng)式多于三項(xiàng)時，要考慮分組，分組的原則是：分組后能提

15、公因式或者運(yùn)用公式法；“四檢查”是檢查因式分解是不是徹底，要分解到每一個因式不能再分解為止一般地，把一個多項(xiàng)式因式分解都是在有理數(shù)X圍內(nèi)進(jìn)行的，要求因式中的每個系數(shù)(包括常數(shù))都是有理數(shù)，且最后的結(jié)果要分解到每一個因式都不能再分解為止，相同的因式應(yīng)該寫成冪的形式【例41】分解因式：2(1)3a26a3；(2)3xn327xn1.分析：(1)多項(xiàng)式中都含有公因式3，提取公因式后變?yōu)?(a2a1)，再仔細(xì)觀察發(fā)2現(xiàn)括號中的三項(xiàng)式符合完全平方公式，因此繼續(xù)分解為3(a1)；(2)多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)的n1n1最大公約數(shù)是3，都含有字母x，x的最低次冪是x，所以公因式是3x，提取公因式后2括號內(nèi)的多項(xiàng)式為

16、(x9)，能利用平方差公式分解因式22解：(1)3a6a33(a2a1)23(a1).(2)3xn327xn13xn1(x29)n13x(x3)(x3)對于多項(xiàng)式的分解因式，應(yīng)優(yōu)先考慮提公因式，如果首項(xiàng)為負(fù)，可提取1，然后對公因式已提取的或無公因式的三項(xiàng)式進(jìn)行如下考慮：(1)按某一字母降冪排列，(2)對于二次三項(xiàng)式可考慮完全平方公式，(3)對于二項(xiàng)式可考慮平方差公式【例42】把下列多項(xiàng)式因式分解：22222(1)(xy)4xy；22(2)1a2abb.22222解：(1)(xy)4xy2222(xy)(2xy)2222(xy2xy)(xy2xy)22(xy)(xy).(2)1a22abb222

17、221(a2abb)1(ab)1(ab)1(ab)(1ab)(1ab)5. 利用因式分解計(jì)算、求值、證明因式分解在許多的有理數(shù)計(jì)算、代數(shù)式的化簡、求值、證明中起著重要作用(1) 對于一些復(fù)雜的計(jì)算題，直接計(jì)算比較麻煩，學(xué)習(xí)了因式分解后，可以靈活運(yùn)用因式分解，使問題的求解難度降到最低限度(2) 在求某些代數(shù)式的值時，比較簡便而常用的方法是先對所給的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，使之出現(xiàn)條件中的式子，再整體代入求值(3) 因式分解是整式乘法的逆向變形，是代數(shù)恒等變形的重要手段，在解方程、不等式及恒等式的證明、幾何等諸多方面也起著重要作用解答此類題常用的方法是通過對條件中的式子因式分解，使之含有所要求的因式即

18、可22【例51】計(jì)算2022.222分析：如果直接計(jì)算，202不太容易計(jì)算，但是考慮到(2022)(2022)2022，22則2022單多了利用分解因式的方法可以表示為(2022)(2022)，即204200，再計(jì)算就簡22解：2022(2022)(2022)20420040800.3223【例52】(1)已知xy1，xy2，求xy2xyxy的值；2232 23(2)已知2x30，求x(xx)x(5x)9的值解：(1)xy2xyxy222xy(x2xyy)xy(xy).2因?yàn)閤y1，xy2，所以原式212.22(2)x(xx)x(5x)9x3x2x2x3x25949(2x3)(2x3)因?yàn)?x30，所以原式600.6. 因式分解的實(shí)際應(yīng)用因式分解是一種重要的式子變形，靈活應(yīng)用的話可以解決許多問題，有關(guān)因式分解的實(shí)際應(yīng)用主要是根據(jù)題意列出式子，解答時利用因式分解的方法，將列出的代數(shù)式按照因式分解的步驟進(jìn)行分解，若所得的代數(shù)式不能直接看出是否可用公式法分解時，可以將所給多項(xiàng)式交換