連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布三、小結(jié)三、小結(jié)第第4.34.3節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量 及其概率密度及其概率密度 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 X 所有可能取值充滿(mǎn)若所有可能取值充滿(mǎn)若干個(gè)區(qū)間。對(duì)這種隨機(jī)變量，不能象離散型干個(gè)區(qū)間。對(duì)這種隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣隨機(jī)變量那樣, , 指出其取各個(gè)值的概率，指出其取各個(gè)值的概率， 給出概率分布。而是用給出概率分布。而是用“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”表表示隨機(jī)變量的概率分布。示隨機(jī)變量的概率分布。例例1 1 某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過(guò)程中各某工

2、廠(chǎng)生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過(guò)程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長(zhǎng)度不盡相同?，F(xiàn)測(cè)種隨機(jī)因素的影響，零件長(zhǎng)度不盡相同?，F(xiàn)測(cè)得該廠(chǎng)生產(chǎn)的得該廠(chǎng)生產(chǎn)的100個(gè)零件長(zhǎng)度個(gè)零件長(zhǎng)度(單位單位: mm)如下如下:一一 頻率直方圖頻率直方圖129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 14

3、5, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141,

4、 136.這這100個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是，最大值是155。作頻率直方圖的步作頻率直方圖的步驟驟(1)先確定作圖區(qū)間先確定作圖區(qū)間 a, b ;a = 最小數(shù)據(jù)最小數(shù)據(jù)- -/ 2，b = 最大數(shù)據(jù)最大數(shù)據(jù)+/ 2， 是數(shù)據(jù)的精度。是數(shù)據(jù)的精度。本例中本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2)確定數(shù)據(jù)分組數(shù)確定數(shù)據(jù)分組數(shù) m = 7，組距，組距 d = (b a) / m，子區(qū)間端點(diǎn)子區(qū)間端點(diǎn) ti = a + i d, i = 0, 1, , m；(3) 計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀(guān)測(cè)值頻數(shù)計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀(guān)測(cè)值頻數(shù) ni 頻率頻率 fi =

5、 ni / n， i = 1, 2, , m；子區(qū)間子區(qū)間頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率(127.5, 131.5)(127.5, 131.5)6 60.060.06(131.5, 135.5)(131.5, 135.5)12120.120.12(135.5, 139.5)(135.5, 139.5)24240.240.24(139.5, 143.5)(139.5, 143.5)28280.280.28(143.5, 147.5)(143.5, 147.5)18180.180.18(147.5, 151.5)(147.5, 151.5)8 80.080.08(151.5, 155.5)(151.5, 155

6、.5)4 40.040.04(4) (4) 以小區(qū)間以小區(qū)間 ti-1，ti 為底，為底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 為高作一系列小矩形，組成了頻為高作一系列小矩形，組成了頻 率直方圖，簡(jiǎn)稱(chēng)直方圖。率直方圖，簡(jiǎn)稱(chēng)直方圖。 由于概率可以由頻率近似，由于概率可以由頻率近似， 因此這個(gè)直因此這個(gè)直方圖可近似地刻畫(huà)零件長(zhǎng)度的概率分布情況。方圖可近似地刻畫(huà)零件長(zhǎng)度的概率分布情況。 用上述直方圖刻畫(huà)隨機(jī)變量用上述直方圖刻畫(huà)隨機(jī)變量X的概率分布的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)X的概的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增

7、加觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù), 同同時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來(lái)越多時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來(lái)越多, 分分組越來(lái)越細(xì)時(shí)組越來(lái)越細(xì)時(shí), 直方圖的上方外形輪廓就越來(lái)直方圖的上方外形輪廓就越來(lái)越接近于某一條曲線(xiàn)越接近于某一條曲線(xiàn), 這條曲線(xiàn)稱(chēng)為這條曲線(xiàn)稱(chēng)為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度曲線(xiàn)，的概率密度曲線(xiàn)，可用來(lái)準(zhǔn)確地刻畫(huà)可用來(lái)準(zhǔn)確地刻畫(huà)X的概的概率分布情況。率分布情況。二二 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù).,)(,d)()(),(,)(簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)概概率率密密度度率率密密度度函函數(shù)數(shù)的的概概稱(chēng)稱(chēng)為為其其中中為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則稱(chēng)稱(chēng)有有使使對(duì)對(duì)于于任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)非非負(fù)負(fù)可可積積函函數(shù)數(shù)若若存存在

8、在的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為，為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)XxpXttpxFxxpXxFXx 這兩條性質(zhì)是判定函數(shù)這兩條性質(zhì)是判定函數(shù) f(x) 是否為某隨機(jī)變量是否為某隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)的充的概率密度函數(shù)的充要條件。要條件。密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì)10( ) ( ) p x ；21( ) ( ) p x dx；f(x)與與 x 軸所圍軸所圍 面積等于面積等于1。 若若x是是 p(x)的連續(xù)點(diǎn)，則的連續(xù)點(diǎn)，則xxxXxPx)(lim00( )limxxxxp t dtx = p(x) ，(3) 對(duì)對(duì) p(x)的進(jìn)一步理解：的進(jìn)一步理解：故故, X的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)p (x)在

9、在 x 這一點(diǎn)的值這一點(diǎn)的值, 恰恰好是好是X 落在區(qū)間落在區(qū)間 x , x +x上的概率與區(qū)間長(zhǎng)上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度度x 之比的極限。之比的極限。 這里這里, 如果把概率理解為如果把概率理解為質(zhì)量質(zhì)量, p(x)相當(dāng)于物理學(xué)中的線(xiàn)密度。相當(dāng)于物理學(xué)中的線(xiàn)密度。若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：( ) .P xXxxp xx表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于(x , x + x上的概率上的概率近似等于近似等于 p(x) x 。 p(x) x 在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用與與 pk=PX=xk 在離散型隨機(jī)變量中所起的作在離散型隨機(jī)變量中所起的作用類(lèi)似

10、。用類(lèi)似。(4)(4) 對(duì)于任意可能值對(duì)于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機(jī)變量取連續(xù)型隨機(jī)變量取 a 的的概率等于零概率等于零.即即. 0 aXP證明證明aXP . 0 由此可得由此可得xxpxaaxd)(lim 0連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)bXaP bXaP bXaP .bXaP . 0 aXP設(shè)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量 ，X=a 是不可能是不可能事件事件,則有則有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP若若 X 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, 注意注意連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能

11、確確定定aX 11SxxpSxxd)( 211xxpxd)( 2證明證明.d)(xxpxx 21)()(1221xFxFxXxP xxpxd)( 11x 2x xxp0)(211221()()xxP xXxF xFp x dxx 5( )6()()( )( )P XbP XbF b1()()( )P XaP XaF a xf ( x)-10-550.020.040.060.08a.)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量設(shè)設(shè)解解(1)( )d1,p xx由例例1的的概

12、概率率密密度度為為知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解解之之得得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxpxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 .)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量的值的值系數(shù)系數(shù)求求的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

13、aXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例例2()lim( ),xaFaF x （）故有故有解解( )lim( ),xaF aF x( ),F x(1)因?yàn)橛疫B續(xù) aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF所所以以,21 A解解之之得得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxp 的的概概率率密密度度為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa二二 常見(jiàn)的連續(xù)性隨機(jī)變量常見(jiàn)的連續(xù)性隨機(jī)變量1. 區(qū)間區(qū)間

14、( a , b) 上的均勻分布上的均勻分布 若若 X 的密度函數(shù)的密度函數(shù)其他, 0,1)(bxaabxf則稱(chēng)則稱(chēng) X 服從服從區(qū)間區(qū)間( a , b) 上的均勻分布上的均勻分布),(baUX記作記作X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)1, 0)(abaxxFbxbxaax,xf ( x)abxF( x)ba例例3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布上服從均勻分布, 現(xiàn)現(xiàn)對(duì)對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè)進(jìn)行三次獨(dú)立觀(guān)測(cè) ,試求至少有兩次觀(guān)測(cè)值試求至少有兩次觀(guān)測(cè)值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 .,)(其其它它05231xxp設(shè)設(shè) A 表示事件表示事件“對(duì)對(duì)

15、 X 的觀(guān)測(cè)值大于的觀(guān)測(cè)值大于 3”,解解即即 A= X 3 .2 YP.2720 因而有因而有設(shè)設(shè)Y 表示表示3次獨(dú)立觀(guān)測(cè)中觀(guān)測(cè)值大于次獨(dú)立觀(guān)測(cè)中觀(guān)測(cè)值大于3的次數(shù)的次數(shù),則則., 323BY 32132232033213233 3)( XPAP由由于于,32d3153 x.,.,)(分布分布的指數(shù)的指數(shù)服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱(chēng)則稱(chēng)為常數(shù)為常數(shù)其中其中的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義XxxexpXx0000 2.2.指數(shù)分布指數(shù)分布1/3 1 2 ( )p x 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如例如無(wú)線(xiàn)電元件的壽命無(wú)線(xiàn)電元件

16、的壽命 , 電力設(shè)備的壽命電力設(shè)備的壽命, 動(dòng)物的壽動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景分布函數(shù)分布函數(shù)1,0,( )0,0. xexF xx 1/3 1 2 例例4 設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 =1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時(shí)小時(shí))(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時(shí)以小時(shí)以上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時(shí)以小時(shí)以上上,求還能使用求還能使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率. .,)(00

17、0120001xxexFxX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F 12.e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF 指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”.12.e 正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。的一種連續(xù)型分布。 正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯(Gauss)(Gauss)給出并推廣的一種分布。故，也稱(chēng)給出并推廣的一種分布。故，也稱(chēng)高斯分布高斯分布。3. 3.

18、 正態(tài)分布正態(tài)分布這條紅色曲線(xiàn)近似我們將要介紹的這條紅色曲線(xiàn)近似我們將要介紹的正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)。的概率密度曲線(xiàn)。).,(,)(,)()(2202122NXXxexpXx記記為為的的正正態(tài)態(tài)分分布布或或高高斯斯分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為則則稱(chēng)稱(chēng)為為常常數(shù)數(shù)其其中中的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定義義 ( )p x正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)分布概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)關(guān)于曲線(xiàn)關(guān)于x ;)(,)(xpx212取取得得最最大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ;)(,)(03 xpx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)(4);x為為曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)( )p x;,)(,)6(

19、軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xxp;)5(軸為漸近線(xiàn)軸為漸近線(xiàn)曲線(xiàn)以曲線(xiàn)以 x( )p x( )p x.,)(,)7(圖圖形形越越矮矮越越胖胖越越大大圖圖形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形狀狀在在改改變變不不變變圖圖形形的的對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)軸軸的的大大小小時(shí)時(shí)改改變變當(dāng)當(dāng)固固定定xp( )p x正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)texFxtd21)(222)( 正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如例如測(cè)量誤差測(cè)量誤差; 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情

20、況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 ).1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱(chēng)稱(chēng)為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正這這樣樣時(shí)時(shí)中中的的當(dāng)當(dāng)正正態(tài)態(tài)分分布布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為221( ),2xxex 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為221( )d ,.2txxetx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解22

21、5. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例5 . 0828. 0 ).1 , 0(),(2NXZNX 則則若若引引理理證明證明的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故解解P cXdcXdP .),(2dXcPNX 求求已已知知例例6dc 原原式式(0,1)XN例例7 證明證明).(1)(xx xexxxd21)(22 221d2xxex221d2xexxexxd2122 ).(1x 證明證明令令t = -x例例8 假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高假設(shè)某

22、地區(qū)成年男性的身高( (單位單位: cm) : cm) XN( (170,7.,7.692), ), 求該地區(qū)成年男性的身高求該地區(qū)成年男性的身高超過(guò)超過(guò) 175cm175cm 的概率。的概率。 解解: : 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè) XN( (170 ,7.,7.692) )，知，知， ) 1 0(69. 7170NX 事件事件 X 175 的概率為的概率為1751175XPXP.2578.0 )65.0(169.71701751解解: : 設(shè)車(chē)門(mén)高度為設(shè)車(chē)門(mén)高度為 h ，按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h)0.01，或或 P(X h) 0.99，下面我們來(lái)求滿(mǎn)足上式的最小的下面我們來(lái)求滿(mǎn)足上式的最小的 h。例例9 9 公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按成年男性與車(chē)門(mén)公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按成年男性與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的