吳大正 信號與線性系統(tǒng)分析 第8章系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析

1、第八章第八章 系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析 前面幾章的分析方法稱為前面幾章的分析方法稱為外部法外部法，它強調(diào)用系統(tǒng)，它強調(diào)用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性。的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性。其其特點特點：（1）適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對于多輸入多輸出系）適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對于多輸入多輸出系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；（2）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對系統(tǒng)的）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對系統(tǒng)的內(nèi)部情況一無所知，也無法控制。內(nèi)部情況一無所知，也無法控制。 本章將介紹的本章將介紹的內(nèi)部法內(nèi)部法狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法是用是用n個狀態(tài)個狀態(tài)變量的一階

2、微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來描述系變量的一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來描述系統(tǒng)。統(tǒng)。優(yōu)點優(yōu)點有：有：（1）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。（2）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；（3）一階方程組便于計算機數(shù)值求解。并容易推廣用）一階方程組便于計算機數(shù)值求解。并容易推廣用于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。 內(nèi)部法內(nèi)部法狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法8.1 狀態(tài)變量與狀態(tài)方程狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念一、狀態(tài)與狀態(tài)變量的概念從一個電路系統(tǒng)實例引入從一個電路系統(tǒng)實例引入R1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au以以u(

3、t)和和iC(t)為輸出為輸出 若還想了解內(nèi)部三個若還想了解內(nèi)部三個變量變量uC(t), iL1(t), iL2(t)的變化情況。的變化情況。這時可列出方程這時可列出方程0dd12LLCiituCa0dd11111SCLLuutiLiR0dd22222CSLLuuiRtiL222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu 222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtuR1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au 這是由三個內(nèi)部變量

4、這是由三個內(nèi)部變量uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)構(gòu)成的一構(gòu)成的一階微分方程組。階微分方程組。 若初始值若初始值uC(t0)、iL1(t0)和和iL2(t0)已知，則根據(jù)已知，則根據(jù)tt0時時的給定激勵的給定激勵uS1(t)和和uS2(t)就可惟一地確定在就可惟一地確定在tt0時的解時的解uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)。 )()()()()()(21222titititutiRtuLLCSL 系統(tǒng)的輸出容易地由三系統(tǒng)的輸出容易地由三個內(nèi)部變量和激勵求出：個內(nèi)部變量和激勵求出：一組代數(shù)方程一組代數(shù)方程 狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義 系統(tǒng)在某一時刻系統(tǒng)在某一時刻t0的

5、的狀態(tài)狀態(tài)是指表示該系統(tǒng)所必需是指表示該系統(tǒng)所必需最少的一組數(shù)值最少的一組數(shù)值，已知這組數(shù)值和，已知這組數(shù)值和tt0時系統(tǒng)的激勵，時系統(tǒng)的激勵，就能完全確定就能完全確定tt0時系統(tǒng)的全部工作情況。時系統(tǒng)的全部工作情況。 狀態(tài)變量狀態(tài)變量是描述狀態(tài)隨時間是描述狀態(tài)隨時間t 變化的一組變量，變化的一組變量，它們在某時刻的值就組成了系統(tǒng)在該時刻的它們在某時刻的值就組成了系統(tǒng)在該時刻的狀態(tài)狀態(tài)。222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu 對對n階動態(tài)系統(tǒng)需有階動態(tài)系統(tǒng)需有n個獨立的狀態(tài)變量，通常用個獨立的狀態(tài)變量，通常

6、用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。表示。 說明說明：（1）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入的線性組合；的線性組合；（2）狀態(tài)變量應(yīng)線性獨立；）狀態(tài)變量應(yīng)線性獨立；（3）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的 。在初始時刻的值稱為在初始時刻的值稱為初始狀態(tài)初始狀態(tài)。二、狀態(tài)方程和輸出方程二、狀態(tài)方程和輸出方程在選定狀態(tài)變量的情況下在選定狀態(tài)變量的情況下 ，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時，一般分一般分兩步兩步進行：進行：（1）第一步第一步是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量；是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量； （2）第二

7、步第二步是用這些狀態(tài)變量來確定初始時刻以后的是用這些狀態(tài)變量來確定初始時刻以后的系統(tǒng)輸出。系統(tǒng)輸出。 狀態(tài)變量狀態(tài)變量是通過求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方是通過求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來得到，該程組來得到，該一階微分方程組一階微分方程組稱為稱為狀態(tài)方程狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程狀態(tài)方程描述了描述了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與與狀態(tài)變量和狀態(tài)變量和激勵激勵之間的關(guān)系之間的關(guān)系 。 而描述而描述輸出輸出與狀態(tài)變量和激勵與狀態(tài)變量和激勵之間關(guān)系的一組之間關(guān)系的一組代數(shù)方程代數(shù)方程稱為稱為輸出方程輸出方程 。通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱為通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動態(tài)方程或系統(tǒng)方程動

8、態(tài)方程或系統(tǒng)方程。 動態(tài)方程的一般形式 n階多輸入階多輸入-多輸出多輸出LTI連續(xù)系統(tǒng)，如圖連續(xù)系統(tǒng)，如圖 。xi(t0)f1(t)f2(t)fp(t)y1(t)y2(t)yq(t)其狀態(tài)方程和輸出方程為其狀態(tài)方程和輸出方程為 pnpnnnnnnnnppnnppnnfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxax22112211222212122221212121211112121111pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy22112211222212122221212121211112

9、121111矩陣形式矩陣形式狀態(tài)方程狀態(tài)方程)()()(tttBfAxx輸出方程輸出方程)()()(tttDfCxy其中其中A為為nn方陣，稱為方陣，稱為系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣，B為為np矩陣，稱為矩陣，稱為控制矩陣控制矩陣，C為為qn矩陣，稱為矩陣，稱為輸出矩陣輸出矩陣，D為為qp矩陣矩陣 對離散系統(tǒng)，類似有對離散系統(tǒng)，類似有狀態(tài)方程狀態(tài)方程)()() 1(kkkBfAxx輸出方程輸出方程)()()(kkkDfCxy狀態(tài)變量分析的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取以及狀態(tài)方程的建立。狀態(tài)變量分析的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取以及狀態(tài)方程的建立。8.2 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立一、一、由電路圖直接

10、建立狀態(tài)方程由電路圖直接建立狀態(tài)方程 首先選擇狀態(tài)變量首先選擇狀態(tài)變量 。通常選通常選電容電壓電容電壓和和電電感電流感電流為為狀態(tài)變量狀態(tài)變量。 必須保證所選狀態(tài)變必須保證所選狀態(tài)變量為量為獨立獨立的電容電壓的電容電壓和獨立的電感電流。和獨立的電感電流。 (a) 任選兩個電容電壓獨立(b) 任選一個電容電壓獨立(c) 任選兩個電感電流獨立(d) 任選一個電感電流獨立uC1uC2uC3uC1uC2usiL1iL2iL3iL2iL1is四種非獨立的電路結(jié)構(gòu)四種非獨立的電路結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的建立：狀態(tài)方程的建立：根據(jù)電路列出各狀態(tài)變量的一階微分方程。根據(jù)電路列出各狀態(tài)變量的一階微分方程。由于由于tuCi

11、CCddtiLuLLdd為使方程中含有狀態(tài)變量為使方程中含有狀態(tài)變量uC的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) ，可對接有該可對接有該電容的獨立結(jié)點電容的獨立結(jié)點列寫列寫KCL電流方程；電流方程； 為使方程中含有狀態(tài)變量為使方程中含有狀態(tài)變量iL的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) ，可對含有該可對含有該電感的獨立回路電感的獨立回路列寫列寫KVL電壓方程。電壓方程。 對列出的方程，只保留對列出的方程，只保留狀態(tài)變量和輸入激勵狀態(tài)變量和輸入激勵，設(shè)法，設(shè)法消消去去其它其它中間的變量中間的變量，經(jīng)整理即可給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程。，經(jīng)整理即可給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程。 對于對于輸出輸出方程，通?？捎梅匠?，通常可用觀察法觀察法由電路直接列出。由

12、電路直接列出。由電路圖直接列寫狀態(tài)方程和輸出方程的步驟：由電路圖直接列寫狀態(tài)方程和輸出方程的步驟：（1）選電路中所有）選電路中所有獨立的電容電壓和電感電流作為獨立的電容電壓和電感電流作為狀態(tài)變量狀態(tài)變量；（2）對接有所選）對接有所選電容的獨立結(jié)點電容的獨立結(jié)點列出列出KCL電流方程，電流方程，對含有所選對含有所選電感的獨立回路電感的獨立回路列寫列寫KVL電壓方程；電壓方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激勵以外的非狀）若上一步所列的方程中含有除激勵以外的非狀態(tài)變量，則利用適當(dāng)?shù)膽B(tài)變量，則利用適當(dāng)?shù)腒CL、KVL方程將它們方程將它們消去消去，然后整理給出然后整理給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方

13、程形式；形式；（4）用）用觀察法觀察法由電路或前面已推導(dǎo)出的一些關(guān)系直由電路或前面已推導(dǎo)出的一些關(guān)系直接接列寫輸出方程列寫輸出方程，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。，并整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。 例例：電路如圖，以電阻電路如圖，以電阻R1上的電壓上的電壓uR1和電阻和電阻R2上的電上的電流流iR2為輸出，列寫電路的狀態(tài)方程和輸出方程。為輸出，列寫電路的狀態(tài)方程和輸出方程。uCiLuR1iR2uS1uS2LCR1R2a解解 選狀態(tài)變量選狀態(tài)變量x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) x aC 2(t) + iR2(t) = x1(t) x 消

14、去消去 iR2(t),列右網(wǎng)孔列右網(wǎng)孔KVL方程：方程： R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 代入整理得代入整理得)()(1001)()(111)()(212212121tutuCRLtxtxCRCLLRtxtxss輸出方程：輸出方程：uR1(t) = R1x1(t) )()(1000)()(100)()(212212121tutuRtxtxRRtitussRR二、由輸入二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程輸出方程建立狀態(tài)方程 這里需要解決的問題是這里需要解決的問題是：已知系統(tǒng)的外部描述（已知系統(tǒng)的外部描述（輸入輸入-輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、模擬框圖、信號流

15、圖等模擬框圖、信號流圖等）；如何寫出其）；如何寫出其狀態(tài)方程狀態(tài)方程及輸及輸出方程。出方程。具體方法具體方法：（1）由系統(tǒng)的輸入）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其其信號流圖或框圖信號流圖或框圖；（2）選）選一階子系統(tǒng)一階子系統(tǒng)(積分器）的輸出積分器）的輸出作為作為狀態(tài)變量狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方列狀態(tài)方程；程；（4）在）在系統(tǒng)的輸出端系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。列輸出方程。例例1 某系統(tǒng)的微分方程為某系統(tǒng)的微分方程為y (t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f

16、(t)試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。解：解：由微分方程不難寫出其系統(tǒng)函數(shù)由微分方程不難寫出其系統(tǒng)函數(shù) 23)4(2)(2ssssH方法一方法一：畫出直接形式的信號流圖：畫出直接形式的信號流圖1s1s1-3-228f(t)y(t)設(shè)狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x1x2由后一個積分器，有由后一個積分器，有21xx fxxx21232由前一個積分器，有由前一個積分器，有系統(tǒng)輸出端，有系統(tǒng)輸出端，有 y(t) =8 x1+2 x2方法二：方法二：221423)4(2)(2sssssssH畫出串聯(lián)形式的信號流圖畫出串聯(lián)形式的信號流圖1s-1f(t)1141

17、sy(t)-221設(shè)狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x2x1fxx11設(shè)中間變量設(shè)中間變量 y1(t)y1fxxxy1111341x 2x fxxxyx21212232系統(tǒng)輸出端，有系統(tǒng)輸出端，有 y(t) =2 x21123012121fxxxx方法三方法三241623)4(2)(2ssssssH畫出并聯(lián)形式的信號流圖畫出并聯(lián)形式的信號流圖1s-1161s-2-41f(t)y(t)設(shè)狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、 x2(t)x1x21x fxx112x fxx2221120012121fxxxx系統(tǒng)輸出端，有系統(tǒng)輸出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2可見可見H(s)相同的系統(tǒng)

18、，相同的系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇并不狀態(tài)變量的選擇并不唯一。唯一。例例2 某系統(tǒng)框圖如圖，狀態(tài)變量如圖標(biāo)示，試列某系統(tǒng)框圖如圖，狀態(tài)變量如圖標(biāo)示，試列出其狀態(tài)方程和輸出方程。出其狀態(tài)方程和輸出方程。f(t)11s24ss31sy1(t)y2(t)x2(t)x1(t)x3(t)解解 對三個一階系統(tǒng)對三個一階系統(tǒng)211yxx其中，其中， y2= f - x3fxxx311112242xxxxfxx313fxxxx3212232333xxx3233xxx輸出方程輸出方程 y1(t) = x2y2(t) = -x3 + f三、由狀態(tài)方程列輸入三、由狀態(tài)方程列輸入- -輸出方程輸出方程例例3 已知某系統(tǒng)的動

19、態(tài)已知某系統(tǒng)的動態(tài)方程如下，列出描述方程如下，列出描述y(t)與與f(t)之間的微分方程。之間的微分方程。)(01)()(11)(0314)(ttytfttxxx解法一解法一 由輸出方程得由輸出方程得 y(t)=x1(t)y (t)=x1 (t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)y (t)= 4 x1 (t) + x2 (t)+ f (t)=44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t)=13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t)y +a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t

20、) +(a3) f (t) a=4，b=3y +4 y + 3y= f (t) + f (t) 解法二解法二對方程取拉氏變換，零狀態(tài)。對方程取拉氏變換，零狀態(tài)。)(11)(0314)(tfttxx )(11)(0314)(sFsssXX)(11)()0314(sFssXI)(11)0314()(1sFssIX)(01)(ssYX)(11)0314(01)(1sFssYI 11)0314(01)()()(1I ssFsYsH34431314)0314(211sssssssI34134111113443101)(222sssssssssssHy +4 y + 3y= f (t) + f (t) 8

21、.3 離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立與連續(xù)系統(tǒng)類似，具體方法為：與連續(xù)系統(tǒng)類似，具體方法為：（1）由系統(tǒng)的）由系統(tǒng)的輸入輸入-輸出方程輸出方程或或系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)，首先首先畫出其畫出其信信號流圖號流圖或或框圖；框圖；（2）選）選一階子系統(tǒng)一階子系統(tǒng)(遲延器）的遲延器）的輸出輸出作為作為狀態(tài)變量狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)一階子系統(tǒng)的的輸入輸出關(guān)系輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；列狀態(tài)方程；（4）在）在系統(tǒng)的輸出端系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。列輸出方程。例例1 某離散系統(tǒng)的差分方程為某離散系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 2y(k 1) y(k 2) = f(k 1) f(k 2

22、) 列出其動態(tài)方程。列出其動態(tài)方程。解：解：不難寫出系統(tǒng)函數(shù)不難寫出系統(tǒng)函數(shù) 212121)(zzzzzH畫信號流圖：畫信號流圖：1-21-1y(k)1z1z1f(k)設(shè)狀態(tài)變量設(shè)狀態(tài)變量x1 (k) ，x2 (k) ：x1x2x1(k+1)=x2 (k) ：x2(k+1)x2(k+1)= x1 (k) 2x2(k) + f(k) ：輸出方程輸出方程y (k)=x1 (k) + x2(k)例例2某離散系統(tǒng)有兩個輸入某離散系統(tǒng)有兩個輸入f1(k)、f2(k)和兩個輸出和兩個輸出y1(k)、y2(k)，其信號流圖如圖示。列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和，其信號流圖如圖示。列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。輸出

23、方程。 解解 p1(k) = 2x1(k) +2x3(k)p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k) = 6x1(k) +5x3(k) + f2(k) )()(101100)()()(706527013) 1() 1() 1(21321321kfkfkxkxkxkxkxkx)()()(202001)()(32121kxkxkxkyky二、由狀態(tài)方程進行系統(tǒng)模擬二、由狀態(tài)方程進行系統(tǒng)模擬例：例：某離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為某離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 )(001)()()(030021321) 1() 1() 1(321321kfkxkxkxkxkxkx)()()(531)(3

24、21kxkxkxky畫出該系統(tǒng)的信號流圖畫出該系統(tǒng)的信號流圖 結(jié)果8.4 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為 )()()(tttBfAxx)()()(tttDfCxy用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程 sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s) X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=(s)x(0-) +(s)BF(s) 式中式中(s) = ( sI -A )-1常稱為常稱為預(yù)解矩陣預(yù)解矩陣 。

25、Y(s) = CX(s) +DF(s)Yzi(s) = C(s)x(0-) Yzs(s) = C(s)B +D F(s) H(s) = C(s)B +D (s)的極點就是的極點就是H(s)的極點的極點.即即| sI-A|=0的根。的根。=C(s)x(0-) + C(s)B +D F(s)例例1 描述描述LTI因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為)(10)()(4121)()(2121tftxtxtxtx)( 1 )()(11)(21tftxtxty解解412141211001)(ssssAI)det()adj()()(1AIAIAIssss1124)3)(2(1ssssX(s) = (s)x(0-) +BF(s) 1 10231124)3)(2(1ssss起始狀態(tài)起始狀態(tài)x1(0-)=3，x2(0-)=2，輸入，輸入f(t) =(t)。求狀態(tài)變。求狀態(tài)變量和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。量和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。263939212)3)(2(3)3)(2()6(3ssssssssss y(t) = 1 1x(t) + f(t) = )(e6e9e9e12)(2332ttttttx)()(e6e9e9e12112332tttttt=(t)+ 6e-2t(t) 由