中南大學(xué)高數(shù)27隱函數(shù)微分法

1、2.72.7隱隱函函數(shù)數(shù)微微分分法法教學(xué)目的與要求教學(xué)目的與要求： 會求隱函數(shù)會求隱函數(shù)( (包括由方程組確定的隱函數(shù)包括由方程組確定的隱函數(shù)) )的一的一階、二階偏數(shù)。階、二階偏數(shù)。隱函數(shù)的微分法 第七節(jié) 與一元函數(shù)的情形類似, 多元函數(shù)也有隱函數(shù).如果在方程式0),(zyxF中,2),(Ryx時, 相應(yīng)地總有滿足該方程的唯一的 z 值存在, 則稱該方程在 內(nèi)確定隱函數(shù). ),(yxfz 注意, 隱函數(shù)不一定都能顯化.隱函數(shù)(二元)的概念如果在方程式0),(uXF中, nRX時, 相應(yīng)地總有滿足該在 內(nèi)確定隱函數(shù). )(Xfu 方程的唯一的 u 值存在 , 則稱該方程 將概念推廣到一般情形多

2、元隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)一個方程確定 的隱函數(shù) 方程組確定 的隱函數(shù) 本節(jié)討論本節(jié)討論 :1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02Cyx當(dāng) C 0 時, 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時, 研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問題 .0),(. 1 yxF一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一

3、鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)0)(,(xfxF兩邊對 x 求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還有例1. 驗證方程驗證方程01sinyxeyx在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(y

4、xeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對 x 求導(dǎo)1兩邊再對 x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時1,0yy0 yxyyexxey0 yx

5、)0 , 0(cosxyyex導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)例例 2 2 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(. 2 zyxF定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0),(zyxF在點),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足0),(

6、000zyxF0),(000zyxFz 在點滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確0),(,(yxfyxF兩邊對 x 求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)yxFyxfz則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在例3. 設(shè)設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對 x 求導(dǎo)解法2 利用公式利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對 x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)

7、2()2(zxz2zxzx242 zFzzxFFxz xz例4. 設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz則)()(2221zyzxFF 已知方程故對方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx

8、 2F0)(dzy 1F 2F0思路：思路：把把z看成看成yx,的函數(shù)對的函數(shù)對x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數(shù)數(shù)對對y求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得yx ，把把y看看成成zx,的的函函數(shù)數(shù)對對z求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得zy .解解法法1令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 把把z看成看成yx,的函數(shù)對的函數(shù)對x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(xyzzyxfz 整理得整理得,vuvu

9、yzffxzff yx 把把y看成看成zx,的函數(shù)對的函數(shù)對z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(1),(),(:),(),(),(:2212121xyffFxzffFyzffFxyzzyxfzzyxFxyzzyxfzzyx可得設(shè)由解法.)(1;)(1212121212121xzffxyffFFzyyzffxzffFFyxxyffyzffFFxzyzxyzx二、方程組的情形二、方程組的情形 為了將一個方程確定的隱函數(shù)的求 導(dǎo)方法推廣至由方程組確定的隱函數(shù)的 情形, 我們首先要介紹雅可比行列式.),(),(2121n

10、nxxxuuuJ ),(),(2121nnxxxFFF11xF21xFnxF112xF22xFnxF21xFnnnxF2xFn ), 2 , 1( ),(),( 121niCxxxFunii設(shè)雅可比行列式記號問 題 1 設(shè)0),(0),(zyxGzyxF確定函數(shù), )(xzz 求,ddxy。xzdd, )(xyy 想想, 怎么做 ？ 想想, 怎么做 ？方程組 ,1CGF得求導(dǎo)對的兩邊對方程組利用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法,0)(),(,(0)(),(,(,xxzxyxGxzxyxF00zGyGGzFyFFzyxzyxxzyxzyGzGyGFzFyF),),(),(0zyGFJGGFFzyzy即若知由克萊

11、姆法則,),(),(),(),(,),(),(),(),(zyGFxyGFGGFFGGFFdxdzzyGFzxGFGGFFGGFFdxdyzyzyxyxyzyzyzxzx 我們實際上已找到了求方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式(之一).000000000962.13(1) ( , , ),( , , )(,);(2) ,;(3) (,)(,)0;( ,)(4)0;( , )yzyzPF x y z G x y zxyzDF GDF xyzG xyzFFF GGGy z定理設(shè)在含點的一個開區(qū)域 上連續(xù)在 上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)(4)式為雅可比行列式式為雅可比行列式xxzxyxGxzxyxFxzzxyyx

12、x,0)(),(,(0)(),(,(),(),(),(0) 1 ( :00使得連續(xù)函數(shù)上惟一的一組和定義在存在則),(),(),(),(,),(),(),(),(,)2(zyGFxyGFGGFFGGFFdxdzzyGFzxGFGGFFGGFFdxdyzyzyzyxyxyzyzyzxzx且上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)在222226.2320( , )zxyxyzzz x y 例 求由方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2032),(),()( :122222zyxzyxGzyxzyxF設(shè)公式法解法),(),(zyGF04126412yyzzyyGGFFzyzy),(),(zxGFxxzzxxGGFFzxzx212621

13、2),(),(xyGFxyxyxyxyxyGGFFxyxy4842422yyzxyyyzxydxdzyyzxxzyyzxxzdxdy34124266412212)( :2用推導(dǎo)公式的方法解法得求導(dǎo)對的兩邊對方程組,203222222xzyxyxz0642022xxxxzyyxzyyx則克萊姆法則有時當(dāng),04126412yyzzyyyyzxyyyzxyxydxdzyyzxxzyyzzxxdxdy34122422,2664126212101P例2.57問 題 2 設(shè)0),(0),(vuyxGvuyxF確定函數(shù)求方程組 想想, 怎么做 ？ 想想, 怎么做 ？, ),(yxuu , ),(yxvv ,

14、xu,yu,xv。yv,1CGF 想想, 怎么做 ？ 利用問題 1 的結(jié)論 , 你可能已經(jīng)知道應(yīng)該怎么做了 .分別將 x 或 y 看成常數(shù) 依葫蘆畫瓢哦 ！問 題 2 定理.,0),(0000vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu ),(000yxvv ),(),

15、(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組則兩邊對 x 求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組設(shè)方程組,0vuvuGGFFJ在點P 的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得系數(shù)行列式同樣可得),(

16、),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv例7設(shè)0022yvuxvu確定函數(shù)),(yxuu ),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解法1令,),(2xvuvuyxF,),(2yvuvuyxG則),(),(vuGFvu211214 uv),(),(vxGFv2011v2 xu14uvv2同理可得),(),(xuGF0112u1),(),(vyGFv21101),(),(yuGF1102uu2141uvxv141uvyu142uvuyv 在實際求解時, 我們往往按照前面分析的過程, 對方程組中的每一個方程兩邊關(guān)于某一個變量求導(dǎo),

17、然后解關(guān)于相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)的代數(shù)方程組.解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2運用公式推導(dǎo)的方法，運用公式推導(dǎo)的方法，將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導(dǎo)并移項求導(dǎo)并移項x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的條件下，的條件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導(dǎo)，用同樣方法得求導(dǎo)，用同樣方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 9.( , ),u vu vzz x yxezzyexyzuv 例 設(shè)函數(shù)由方程組所確定 求:,u vx yzuvzuvvuvux

18、xxyyyuvzvxxyy 解1 易知都是的函數(shù)要先求出yevuyxGxevuyxFvuvu),(),(設(shè),2101xyyxxyxGGFFGGFFxuvuvuvxvxyyvyyzxyyxxyxGGFFGGFFxvvuvuxuxu21,21,2101同理可得yyuyvvyuyzxxuxvvxuxz2ln,2ln:則得例10.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內(nèi). ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxv

19、uyxF0),(),(vuyyvuyxG對 x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點 (u, v) 對應(yīng)的點鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對 x 求導(dǎo), 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1

20、011uyuxJ從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1xuxv例10的應(yīng)用: 計算極坐標變換計算極坐標變換sin,cosryrx的反變換的導(dǎo)數(shù) .),(),(ryxJxrx同樣有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr（分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小結(jié)三、小結(jié)已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數(shù)數(shù)，求求?

21、 yzyxzx思考題思考題思考題解答思考題解答記記)(),(zyzxzyxF , 則則zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .)()(xzzxyy及,2 yxeyx備用題.ddxu求分別由下列兩式確定 :又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)解解: 兩個隱函數(shù)方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0t

22、ttezxx(2001考研考研)解得因此 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 設(shè)設(shè))(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對 x 求導(dǎo), 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)解法2 微分法微分法.0),(),(zyxFyxfxz對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得

23、雅可比(1804 1851)德國數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進了“雅可比行列式”, 并應(yīng)用在微積分中. 他的工作還包括代數(shù)學(xué), 變分法, 復(fù)變函數(shù)和微分方程, 在分析力學(xué), 動力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有貢獻 . 他在柯尼斯堡大學(xué)任教18年, 形成了以他為首的學(xué)派.一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_._. 2 2、設(shè)、設(shè)zxyz , ,則則 xz_,_, yz_._.二、二、 設(shè)設(shè),32)32sin(2zyxzyx 證明：證明：. 1 yzxz練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 如如 果果 函函 數(shù)數(shù)),(zyxf對對 任任 何何t恒恒 滿滿 足足 關(guān)關(guān) 系系 式式),(),(zyxfttzty