抽象函數(shù)的奇偶性周期性對(duì)稱性

1、抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性知識(shí)點(diǎn)梳理抽象函數(shù)的對(duì)稱性定理1.假設(shè)函數(shù)yf(x)定義域?yàn)镽，且滿足條件:f (a x)f(bx)，那么函數(shù)f(X)的圖象關(guān)于直線推論1.假設(shè)函數(shù)yf (x)定義域?yàn)镽，且滿足條件:f (a x)f (ax)，那么函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x a對(duì)稱。推論2.假設(shè)函數(shù)yf (x)定義域?yàn)镽，且滿足條件:f(x)f (2ax),那么函數(shù)f (x)的圖像關(guān)于直線x a對(duì)稱。定理3.假設(shè)函數(shù)y f (x)定義域?yàn)镽，那么函數(shù)y f (a x)與yf(bb ax)兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x 亠上2推論推論定理對(duì)稱由1.函數(shù)y2.函數(shù)y4.假設(shè)函數(shù)稱。b x可得。f(xf (a

2、a)與函數(shù)yx)與函數(shù)yy f (x)定義域?yàn)橥普?函數(shù)y f (a x)與函數(shù)yf(a x)的圖象關(guān)于直線xf(a x)的圖象關(guān)于直線xR，那么函數(shù)y f(af (b x)圖象關(guān)于點(diǎn)x)與ya對(duì)稱。0對(duì)稱。c f (b x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱。總結(jié)：x的系數(shù)一個(gè)為1，一個(gè)為-1，相加除以2,可得對(duì)稱軸方程推論3.假設(shè)函數(shù)y f(x)定義域?yàn)镽，且滿足條件：f (ax)f (ax)，又假設(shè)方程f(x)0有n個(gè)根，那么此n個(gè)根的和為na。定理2.假設(shè)函數(shù)yf (x)定義域?yàn)?R，且滿足條件:f (ax)f(bx) c a,b,c為常數(shù)，那么函數(shù)y f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(£,C)

3、對(duì)稱。:2推論1.假設(shè)函數(shù)y f(x)定義域?yàn)镽,且滿足條件：f(ax)f(bx)0成立，那么y f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(旦b,0)對(duì)稱。2推論2.假設(shè)函數(shù)y f (x)定義域?yàn)镽，且滿足條件：f (ax)f (ax)0 a為常數(shù)，貝U函數(shù)y f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱。總結(jié)：x的系數(shù)一個(gè)為1，一個(gè)為-1，f(x)整理成兩邊，其中一個(gè)的系數(shù)是為1，另一個(gè)為-1，存在對(duì)稱中心。、抽象函數(shù)的周期性定理5.假設(shè)函數(shù)y f(x)定義域?yàn)镽，且滿足條件f(a x) f(x b)，那么y f(x)是以T a b為周期的周期函數(shù)。推論1.假設(shè)函數(shù)y f(x)定義域?yàn)镽，且滿足條件f (a x) f (

4、x b)，那么 y f (x)是以 T 2(a b)為周期的周期函數(shù)。推論2.假設(shè)函數(shù)滿足條件f x,那么叮=2xa (x)是以T 2a為周期的周期函數(shù)。推論3.假設(shè)函數(shù)滿足條件f x,貝<=4 af (x)是以T 4a為周期的周期函數(shù)。 x定理7.假設(shè)函數(shù)yf (x)的圖象關(guān)于直線x a與x b(ab)對(duì)稱，那么y f (x)是以T 2(b a)為周期的周期函數(shù)。定理8.假設(shè)函數(shù)yf (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0)(a b)對(duì)稱，那么yf(x)是以T 2(b a)為周期的周期函數(shù)。定理9.假設(shè)函數(shù)yf (x)的圖象關(guān)于直線 x a與 點(diǎn)(b,0)(ab)，那么 yf(x)是

5、以T 4(b a)為周期的周期函數(shù)。總結(jié)：x的系數(shù)同為為1,具有周期性。R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x) f(x + 2) = 13, f (1)=2,那么 f (99)=()A. 1313C.72D.132.奇函數(shù)f (x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)，且最小值為5,那么函數(shù)f (x)在區(qū)間乙一3上()A. 是增函數(shù)且最小值為-B. 是增函數(shù)且最大值為-C. 是減函數(shù)且最小值為-D. 是減函數(shù)且最大值為-3 .函數(shù)f (x + 1) 是 奇函數(shù),f(x 1)是偶函數(shù)，且 f (0) = 2,那么 f(4)=4. 對(duì)于定義在 R上的函數(shù)f(x)，有下述四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)為 假設(shè)f(x)是奇

6、函數(shù)，那么f(x 1)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱； 假設(shè)對(duì)x R,有f(x + 1) = f (x 1)，貝U y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x = 1對(duì)稱; 假設(shè)函數(shù)f(x 1)的圖象關(guān)于直線 x= 1對(duì)稱，那么f(x)為偶函數(shù)； 函數(shù)y = f(1 + x)與函數(shù)y= f(1 x)的圖象關(guān)于直線 x= 1對(duì)稱.2x + b5. 定義域?yàn)?R的函數(shù)f(x)=奇函數(shù).2 十a(chǎn)(1)求a、b的值； 假設(shè)對(duì)任意的t R,不等式f(t2 2t)十f(2t2 k)<0恒成立，求k的取值范圍.6 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f(Xl)f(X2)+ 1 f(X1-X2)= f(X2)

7、- f(X!)； 存在正常數(shù)a,使f (a) = 1.求證：(1) f(X)是奇函數(shù)；(2) f(X)是周期函數(shù)，并且有一個(gè)周期為4a.1、假設(shè)函數(shù)2X X bX c對(duì)一切實(shí)數(shù)都有 f (2 + X) = f (2 X)那么B.f (1)<f (2)< f(4)定義在實(shí)數(shù)集 R上，那么函數(shù)B.直線x=0A.f (2)<f (1)< f(4)2、設(shè)函數(shù)y= f (x)A.直線y=0定義為R的函數(shù)f x滿足f x f xX24，那么 f X1 f X2 的值恒小于0 B.恒大于0 函數(shù)y= f(x)是定義在實(shí)數(shù)集 關(guān)于直線x= 5對(duì)稱D.f (4)<f (2)<

8、 f(1)y= f (x 1)與y= f (1 x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。C.直線y=1,且函數(shù)f x在區(qū)間2 ,C.f (2)<f (4)< f(1)D.直線x=1上單調(diào)遞增如果X12 X2，且X1A.4、A.C.可能為R上的函數(shù)，那么B.關(guān)于直線D.可正可負(fù)y = f(X + 4)與 y = f(6 x)的圖象之間D X = 1對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)5, 0對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)1, 0對(duì)稱5、設(shè) f(x)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足 f(10 + x) = f(10 x) , f(20 x) = f(20 + x)，貝U f(x)是A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù)B.偶函數(shù)，但不是

9、周期函數(shù)D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集f(f(5)的值是2R上的不恒為零的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)X都有 xf (X 1)(1 x) f (x)，那么A.01B.-2C.1A.8、f x丨.7在數(shù)列1 x1 3xB.C.D.3定義域?yàn)閄1x21,Xn 2XnXn(nN*)，那么 X100=R,且對(duì)任意xR都有-，假設(shè) f 2 1 . 2那么 f(2022)=X10、f(x)是R上的偶函數(shù)，對(duì) xR都有f(x + 6)=f(x)，貝V f20042+ f(3)成立，假設(shè) f(1)=2，那么 f(2022)=11、函數(shù)f(X)在R上有定義，且滿足f(x)是偶函數(shù)，且f 02005

10、, g x f x 1是奇函數(shù)，那么f 2005的值為12、設(shè)f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1 x),當(dāng)一K x< 0時(shí)，f (x)=丄x,那么f (8.6 ) =213、設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(，)上且以2為周期的函數(shù)，對(duì)k Z，用Ik表示區(qū)間(2k 1,2k 1),當(dāng)2x I。時(shí)，f(x) x .求f (x)在Ik上的解析式.參考答案：1、假設(shè)函數(shù)f2 b對(duì)一切實(shí)數(shù)都有f (2 + x) = f (2 x)那么T x x bx CA.f (2)<f (1)< f(4)B.f (1)<f (2)< f(4)C.f (2)<f (4)

11、< f(1)D.f (4)<f (2)< f(1)答案：A。2、設(shè)函數(shù)y= f (x)A.直線y=0定義在實(shí)數(shù)集 R上，那么函數(shù)B.直線x=0y= f (x 1)與 y= f (1C.直線y=1x)的圖象關(guān)于對(duì)稱。D.直線x=13、定義為R的函數(shù)f x滿足f4 ,那么f X1 f X2的值B.恒大于04 ,且函數(shù)f x在區(qū)間2,上單調(diào)遞增.如果x12 x 2，且x1 x2A.恒小于0答案Ao分析：圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱.f x在區(qū)間 把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個(gè)單位C.可能為D.可正可負(fù)2,上單調(diào)遞增，2 x24 x1在區(qū)間fx2f4X1 ,又由fxf x 4 .，有

12、f(4x1) fx14f x14 4f x1f x2f X1f4x1f x1f x104、函數(shù)y= f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y = f(x+ 4)與y = f(6 x)的圖象之間DA.關(guān)于直線x =5對(duì)稱B.關(guān)于直線X = 1對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)5,0對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)1, 0對(duì)稱,2上也單調(diào)遞增.我們可以，且函數(shù)在 2, 上單調(diào)遞增，所以y = f(x + 4)與 y = f(6 x)之間關(guān)于點(diǎn)6 4/2 , 0f x1答案：Db中心對(duì)稱，5、設(shè) f(x)A.偶函數(shù)，C.奇函數(shù)，答案：Co6、定義在解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性知函數(shù) 應(yīng)選 Do是定義在R上的函數(shù)，且滿足 又是周期函數(shù) 又是周期

13、函數(shù)即1, 0R上的非常數(shù)函數(shù)滿足:B.D.f(10 + x) = f(10 x) , f(20 x) = f(20 + x)，那么 f(x)是 偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) 奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)f (10+x)為偶函數(shù)，且 f (5 x) = f (5+x),B.是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)D.是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)那么f (x) 一定是A.是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)C.是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)答案：A.解：T f (10+x)為偶函數(shù)， f (10+x) = f (10 x). f (x)有兩條對(duì)稱軸x 是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，7、函數(shù)f(X)是定義在實(shí)數(shù)集是奇=5 與 x =10 , x =

14、0即y軸也是f (x)的對(duì)稱軸，因此f (x)還是一個(gè)偶函數(shù)。 R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有xf (x1)因此f (x)(1 x)f(x)，那么5f(f()的值是21A.0B.21答案：A。解析：令x 丄，那么2C.1由 xf(x 1)(1 x) f (x)得1 1 1 1 1 1J(1) 2f( 1) 2f(2)f(1)0 ;令0，那么 f(0)0構(gòu)造函數(shù)F x5 f -028、f x1 x f x ff X , f2 Xf f1 x ，fn 1 XT fn Xf1 XT1 3x 丨.1B. 一C. 31 A.D.3775，貝V f200421 x答案：A。分析：由f X，知f

15、1 x1 3xf(x)為迭代周期函數(shù)，故f3n x f x ,X 1rr X 1f2 XfX , f3 X3x 13x 1f2004 Xf X ,f20042f 2-7所以9、 在數(shù)列 Xn中， Xi X2 1, Xn 2 Xn 1 X“( n N*)，那么 Xioo=答案：1。f X 1廠10、 y f X定義域?yàn)镽,且對(duì)任意X R都有f X 1 廠代，假設(shè)f 2 1血那么f(2022) =_答案：-1-、,2。11、 f(X)是R上的偶函數(shù)，對(duì) X R都有f(X + 6)=f(x) + f(3)成立，假設(shè)f(1)=2，貝U f(2022)= 答案：2.12、 函數(shù)f(X)在R上有定義，且滿足f(X)是偶函數(shù)，且f 02005, g x f x 1是奇函數(shù)，那么f 2005的值為答案：0.函數(shù)關(guān)于 1,0和X 0對(duì)稱，周期為4f 2005 f 1 f 10。113、設(shè) f(X)是定義在 R上的偶函數(shù)，且 f(1+X)= f(1 X),當(dāng)K X< 0 時(shí)，f (x) = x,那么 f (8.6 ) =2解：T f(x)是定義在R上的偶函數(shù) x = 0是y = f(x)對(duì)稱軸；又/ f(1+x)= f(1 x) x = 1 也是 y = f (x)對(duì)稱軸。故y=f(x)是以2為