指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)經(jīng)典講義

1、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)重點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)；指、對數(shù)方程含不等式的解法；數(shù)學思想方法的運用.難點:幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì).指數(shù)與對數(shù)的運算法那么1、指數(shù)的運算法那么mnloga b mmnmnmnamnm nnmHn a a a a a a aanaa2、對數(shù)式與指數(shù)式的互換ab N b logaN a 0且a 1、上式中 b R, N 03、對數(shù)的運算法那么1對數(shù)運算法那么 loga M N loga M loga N loga M n nlogaM2幾個常用的恒等式 loga loga M loga N NA lOganM -loga Mn alogaN

2、 N logaaN N loga Nlogb Nlog ba換底公式1log ba logam bn例1、求：如9的值.log 2 3lg9解：沁lg8lg9lg22lg 3lg2log 2 3lg3lg2lg8lg33lg 2lg323指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y ax和對數(shù)函數(shù)y logaX互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于 y x對稱.指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形yx ay gx式a 0 且 a 1a 0 且 a 1定義域J0,值域0,J圖像0 a 1y a 1y iMa 1-1OxOx0 a 1性質(zhì)1y 01x 02圖像經(jīng)過0,1點2圖像經(jīng)過1,0點指數(shù)函數(shù)對數(shù)

3、函數(shù)a 10 a 1a10 a 1當x 0時，當x 0時，當x 1時，當0 x 1時，性質(zhì)y 10 y 1y0y 0單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減2、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像的應(yīng)用例2、在以下一次函數(shù)y ax b 0 a 1丨與指數(shù)函數(shù)y abx的圖像中，正確的選 項是ADx解：由(A) , 0 b 1，那么指數(shù)函數(shù)y abx ab中底數(shù)0 ab 1，不吻合; 由(B) , b 0，那么指數(shù)函數(shù)y abx ab X中底數(shù)ab 1，不吻合； 由(C) , b 1，那么指數(shù)函數(shù)y abx ab X中底數(shù)0 ab 1，不吻合；所以，應(yīng)該選(D)例3、當a 1時，在同一坐標系中，函數(shù)y a x與y

4、log a x的圖像AD解： a 1，二由y logaX的圖像可知只有A、B可選,1的底數(shù)0丄1，二根據(jù)函數(shù)y a x的圖像應(yīng)選A. aa3、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用例4、比擬三個數(shù)60.7 , 0.76 , log 0.7 6的大小關(guān)系. 解：60.7 60 1 , 0.76 0.70 1 , log 0.7 6 log0.71 0 , 所以 60.70.76 log 0.7 6 .例5、1 x 2,求函數(shù)f x 3 2 3x1 9X的最大值和最小值.解：設(shè) t 3x , V 1 x 2，二-t 9，那么 y 3 6t t2 t 3 2 12 , 3所以，當t 3即x 1時，f x取得

5、最大值12 ；當t 9即x 2時，f x取得最小值24 .例6、求函數(shù)y的值域.2x 1x解：由 y ，得 2x 1 y 2x 2，即 y 1 2x y 2,2 1因為y1，所以2x汗又xR，故 2x0 '因此車因此，函數(shù)的值域為2,1例7、設(shè)函數(shù)fxlogaX在區(qū)間2, 上總有f x 1成立.求實數(shù)a的取值范圍.解：分a 1和0 a 1兩種情況討論，于是有a 1loga2loga21a0 lg ab lg 0,b由0 a b .得0b 1，t： 0，所以lg ab0，即 ab 1.解得1 a 2或1 a 1.2例8 設(shè)函數(shù)f x lg x，假設(shè)0a b，且fa f b .求證：ab

6、1證明：V f a f b，二 lg a lg b22上式等價于lg a lgb ，即 lg a lg b lg a lg b例9、函數(shù)f xlog a a 0, a 1 , b 0x 2b(1) 求函數(shù)f x的定義域;(2)判斷函數(shù)f x的奇偶性，并說明理由;x 2b 0解：1由 x 2b 0，解得 x 2b或 x 2b,b 0所以函數(shù)的定義域為 ，2bU 2b,2顯然函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.對函數(shù)f x的定義域，2b U 2b,內(nèi)任意實數(shù)x，有f x log a loga 2blog a 2bf x，且函數(shù) f x 不恒為零，x 2bx 2bx 2b所以，函數(shù)f x是奇函數(shù).例10、y loga 2 ax在0,1上是x的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解：T a 0,二u 2 ax在0,1上是減函數(shù)，因此函數(shù)y logax在0,1上是增函數(shù)，即a 1 ,根據(jù)題設(shè)有a 1 ，即1 a 2.2 a 04、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例11、函數(shù)flga21 x1 .假設(shè)f x的定義域為求實數(shù)a的取值范圍;解：由題意知，不等式1 x2a0對一切x R恒成立，其充要條件是a2 1 0、a 12 4a2 1 或a1，解得