數(shù)學(xué)建模-基金使用規(guī)劃

1、基金使用規(guī)劃選自2001年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽一、問(wèn)題描述某校基金會(huì)有一筆數(shù)額為 M元的基金，打算將其存入銀行或購(gòu)置國(guó)庫(kù)券。 當(dāng)前銀行存款及各期國(guó)庫(kù)券的利率見(jiàn)表 1。假設(shè)國(guó)庫(kù)券每年至少發(fā)行一次，發(fā)行 時(shí)間不定。取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策。?；饡?huì)方案在n年內(nèi)每年用局部本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀師生，要求每年的獎(jiǎng)金額大 致相同，且在n年末仍保存原基金數(shù)額。?；饡?huì)希望獲得最正確的基金使用計(jì) 劃，以提高每年的獎(jiǎng)金額。請(qǐng)你幫助?；饡?huì)在如下情況下設(shè)計(jì)基金使用方案， 并對(duì)M=5000萬(wàn)元，n=10年給出具體結(jié)果：1. 只存款不購(gòu)國(guó)庫(kù)券。2. 可存款也可購(gòu)國(guó)庫(kù)券。3學(xué)校在基金到位后的第 3年要舉行百年校慶，基金會(huì)希

2、望這一年的獎(jiǎng)金 比其它年度多20%。表1銀行存款稅后年利率%國(guó)庫(kù)券年利率活期半年期一年期二年期三年期五年期二、問(wèn)題分析 基金應(yīng)滾動(dòng)使用，即一筆錢(qián)存銀行或購(gòu)置國(guó)庫(kù)券，到期除去當(dāng)年所用獎(jiǎng)金之 后，剩余局部繼續(xù)存銀行或購(gòu)置國(guó)庫(kù)券。 基金到位當(dāng)年不設(shè)獎(jiǎng)金， 所有資金用于 存款或買(mǎi)國(guó)庫(kù)券； 最后一年留出基金本金外， 剩余資金全部用于獎(jiǎng)金。 在設(shè)計(jì)基 金使用方案時(shí)，須考慮以下兩個(gè)因素：1. 由于從基金到位后的下一年開(kāi)始每年都要使用獎(jiǎng)金，因此方案要保證每 年都有存款或國(guó)庫(kù)券到期；2. 由于銀行存款或國(guó)庫(kù)券的檔期越長(zhǎng)，年平均收益越高，因此，假設(shè)一筆 資金k年后要用如k=3，一定是將該筆資金直接存k年期銀行定期

3、存 款，或購(gòu)置相應(yīng)年限的國(guó)庫(kù)券。如是，基金使用方案應(yīng)遵循如下框架： 每一年所有可供調(diào)用的資金都被分割 成分別存 1， 2， 3， 5 年期銀行存款或購(gòu)置 2， 3， 5 年期國(guó)庫(kù)券的金額和當(dāng) 年使用的獎(jiǎng)金額； 基金到位年不設(shè)獎(jiǎng)金， 基金使用最后一年只分割成基金本金和 獎(jiǎng)金。因此， 決策的內(nèi)容就是各年的可供調(diào)用資金的分割方案， 決策目標(biāo)是使獎(jiǎng) 金總額極大化。決策的結(jié)果還應(yīng)使得每年的獎(jiǎng)金額大致相等。三、建模模型 1只存銀行不買(mǎi)國(guó)庫(kù)券由題設(shè)，基金使用年限為 10年，設(shè)基金到位年為第 0年，可令 xij (i =0, 1, 2, 9；j=1, 2, 3, 5)表示第 i 年可供調(diào)用總資金中用于存 j

4、年期銀行存款的資金， 其中， x65、x75、x83、x85、x92、x93、x95 恒為 0。由于要求每年用于獎(jiǎng)金的資金額大致相 等，可令t表示從第1年至第10年每年供獎(jiǎng)金使用的資金額。實(shí)際決策變量共 34 個(gè)。優(yōu)化目標(biāo)為 10 年使用的獎(jiǎng)金總額最大，即 max z 10t約束條件除所有變量的非負(fù)約束外，就是反映各年資金分割情況的等式約 束：x01x02x03x05M第0年x11x12x13x15t(1r1) x01第1年x21x22x23x25t(1r1)x11(12r2) x02第2年x31x32x33x35t(1r1)x21(12r2 ) x12(13r3) x03第3年x41x42x

5、43x45t(1r1)x31(12r2) x22(13r3 ) x13第4年x51x52x53x55t(1r1)x41(12r2) x32(13r3) x23(15r5) x05第5年x61x62x63t(1r1) x51(12r2)x42(13r3 ) x33(15r5) x15第6年x71x72x73t(1r1)x61(12r2 ) x52(13r3 ) x43(15r5 ) x25第7年x81x82t(1r1)x71(12r2) x62(13r3 ) x53(15r5) x35第8年x91t(1r1)x81(12r2 ) x72(13r3 ) x63(15r5 ) x45第9年Mt(1r

6、1)x91(12r2 ) x82(13r3 ) x73(15r5) x55第10年式中，r1、r2、r及r5 分別表示銀行1 年期、2年期、3年期及 5 年期存款的年利率， M 為基金總額。 為求解時(shí)方便準(zhǔn)備數(shù)據(jù)， 可將模型按變量 x01, x02, x03, x05, x11, x12, x13, x15, x21, x22, x23, x25, x31, x32, x33, x35, x41, x42, x43, x45, x51, x52, x53, x55, x61, x62, x63, x71, x72, x73, x81, x82, x91, t 順序展開(kāi)限于篇幅不再列舉 。模型

7、2可存銀行也可買(mǎi)國(guó)庫(kù)券由于國(guó)庫(kù)券年利率都高于同期銀行存款利率， 顯然，只要能買(mǎi)國(guó)庫(kù)券就不會(huì) 存同期銀行存款。所以，在模型 1 中將用于表示銀行存款額的變量 xij 以購(gòu)置同 檔期國(guó)庫(kù)券金額的變量 yij (j= 2, 3, 5)替代，相應(yīng)銀行存款年利率 r2、r3 及 r5 分別由 R2、R3 及 R5 同期國(guó)庫(kù)券年利率替換后即得模型2maxz 10tx01y02y03y05Mx11y12y13y15t(1r1 )x01x21y22y23y25t(1r1)x11(12R2) y02x31y32y33y35t(1r1)x21(12R 2 ) y12(13R 3)y03.x41y42y43y45t

8、(1r1)x31(12R 2 ) y22(13R 3 ) y13x51y52y53y55t(1r1)x41(12R 2)y32(13R 3) y23(15R 5 ) y05x61y62y63t(1r1)x51(12R2)y42(13R 3 ) y33(15R5 )y15x71y72y73t(1r1)x61(12R 2 ) y52(13R 3) y43(15R5 )y25x81y82t(1r1 )y71(12R 2)y62(13R 3 ) y53(15R5 ) y35x91t(1r1)x81(12R 2 )y72(13R 3 ) y63(15R5 ) y45Mt(1r1 ) x91(12R2 )

9、y82(13R 3 ) y73(15R 5 ) y55且決策變量均取非負(fù)值。模型 3基金到位后第 3 年的獎(jiǎng)金比其它年度多 20%在模型2上稍作修改即得：第4個(gè)約束方程中獎(jiǎng)金額由tt;目標(biāo)函數(shù)由max z 10t 改為 max z 10.2t 。模型為： max z 10.2tx01y02y03y05Mx11y12y13y15t(1r1) x01x21y22y23y25t(1r1) x11(12R2 )y02x31y32y33y351.2t(1r1)x21(12R2 )y12(13R 3 ) y03x41y42y43y45t(1r1)x31(12R2 )y22(13R 3 ) y13x51y5

10、2y53y55t(1r1)x41(12R 2)y32(13R3 )y23(15R5 )y05x61y62y63t(1r1) x51(12R2 )y42(13R3 )y33(15R5 )y15x71y72y73t(1r1)x61(12R2 )y52(13R3 )y43(15R 5 ) y25x81y82t(1r1) y71(12R 2)y62(13R 3 ) y53(15R5 )y35x91t(1r1)x81(12R2 ) y72(13R3 )y63(15R5 )y45Mt(1r1)x91(12R 2)y82(13R3 )y73(15R5 )y55且決策變量均取非負(fù)值。四、在 Matlab 中求

11、解僅列舉模型 1 的求解過(guò)程，模型 2、 3 可仿照處理Matlab 代碼r1=0.018; r2=0.01944; r3=0.0216; r5=0.02304; M=5000;f=zeros(34,1); f(34, 1)= -10;Aeq=1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,

12、1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,

13、1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,1,1,1,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,-(

14、1+r1),0,0,1,1,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),0,-(1+r1),0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),-(1+r1),1; beq = zeros(11,1); beq(1,1) = M; beq(11,1) = -M;lb=zeros(34,1);x, fval = linprog(f, ,

15、 , Aeq, beq, lb);求得三種情況下的基金最優(yōu)使用方案及收益，見(jiàn)表2表4。表2基金最優(yōu)使用方案各年度銀行存款方案及收益年序存款期01234567891年期294.77427.2622年期134.783年期44432.26一5年期0266.0701一一每年獎(jiǎng)金額約為 109.82萬(wàn)元；10年共計(jì)1098.2萬(wàn)元。如果不加運(yùn)籌，每年把基金本金存一年定期供下年度使用，那么每年僅有90萬(wàn)元獎(jiǎng)金可用，10年少產(chǎn)生資金共計(jì)198.2萬(wàn)元。運(yùn)籌使每年的獎(jiǎng)金額增加了 22.02%。表3基金最優(yōu)使用方案1年期存銀行，2、3、5年期買(mǎi)國(guó)庫(kù)券及收益'、年序 存款期、0123456789金1年期352.252年期23年期100一5年期0072.37一一一每年獎(jiǎng)金額約為 146.86萬(wàn)元；10年共計(jì)1468.6萬(wàn)元。在考慮購(gòu)置國(guó)庫(kù)券后，運(yùn)作方案有明顯的變化：由于購(gòu)置國(guó)庫(kù)券收益率更高， 資金分配自然向購(gòu)置國(guó)庫(kù)券流動(dòng)。與模型 1比擬，2年期以上款項(xiàng)全部為購(gòu)置 國(guó)庫(kù)券在平衡之余整體增加，而1年期款項(xiàng)為銀行存款額無(wú)一例外全都降 低。有效的運(yùn)作使每年的獎(jiǎng)金額比不運(yùn)作更是大幅提升了63.18%表4基金最優(yōu)使用方案考慮購(gòu)置國(guó)庫(kù)券，第 3年獎(jiǎng)金多20%及收益年序 存款期、0123456