數(shù)學(xué)建模入門(mén)試題極其答案

1、1你要在雨中從一處沿直線走到另一處，雨速是常數(shù)，方向不變。你是否走得越快，淋雨量越少呢？2假設(shè)在一所大學(xué)中，一位普通教授以每天一本的速度開(kāi)始從圖書(shū)館借出書(shū)。再設(shè)圖書(shū)館平均一周收回借出書(shū)的1/10，假設(shè)在充分長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，一位普通教授大約借出多少年本書(shū)？3. 一人早上6： 00從山腳A上山，晚18： 00到山頂B;第二天，早 6： 00從B下山，晚18： 00到A。問(wèn)是否有一個(gè)時(shí)刻t,這兩天都 在這一時(shí)刻到達(dá)同一地點(diǎn)？4. 如何將一個(gè)不規(guī)那么的蛋糕I平均分成兩局部？5. 兄妹二人沿某街分別在離家 3公里與2公里處同向散步回家，家 中的狗一直在二人之間來(lái)回奔跑。哥哥的速度為3公里/小時(shí), 妹妹的速度

2、為2公里/小時(shí)，狗的速度為5公里/小時(shí)。分析半小時(shí) 后，狗在何處？6. 甲乙兩人約定中午12： 00至13： 00在市中心某地見(jiàn)面，并事先 約定先到者在那等待10分鐘，假設(shè)另一個(gè)人十分鐘內(nèi)沒(méi)有到達(dá)， 先到者將離去。用圖解法計(jì)算，甲乙兩人見(jiàn)面的可能性有多大？7. 設(shè)有n個(gè)人參加某一宴會(huì)，沒(méi)有人認(rèn)識(shí)所有的人，證明：至 少存在兩人他們認(rèn)識(shí)的人一樣多。8. 一角度為60度的圓錐形漏斗裝著10厘米高的水如右圖，其下/ 10cm端小孔的 /牛面積為平方厘米，求這些水流完需要多少時(shí)間？9. 假設(shè)在一個(gè)剎車(chē)交叉口，所有車(chē)輛都是由東駛上一個(gè)1/100的斜坡，計(jì)算這種情下的剎車(chē)距離。如果汽車(chē)由西駛來(lái)，剎車(chē)距離又是

3、多少？10水管或煤氣管經(jīng)常需要從外部包扎以便對(duì)管道起保護(hù)作用。包扎 時(shí)用很長(zhǎng)的帶子纏繞在管道外部。為了節(jié)省材料，如何進(jìn)行包扎 才能使帶子全部包住管道而且?guī)ё右矝](méi)有發(fā)生重疊。1.解：把人體簡(jiǎn)化為長(zhǎng)方柱，外表積之比為前：側(cè)：頂=1: a:b,選坐 標(biāo)系將人的速度表示為v,0,0，即人沿x周方向走，v>0,而設(shè)語(yǔ)雨速 為x,y,z，行走距離為L(zhǎng),貝卩淋雨量Q的表達(dá)式為：Q= Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v記 q=a|x|+b|z|，那么L(1),v WxQ(v)= <I L+1),v>xV2.解：由于教授每天借一本書(shū)，即一周借七本書(shū)，而圖書(shū)館平均每周收回書(shū)的1/10,設(shè)

4、教授已借出書(shū)的冊(cè)數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)小x(t)的函數(shù)，那么它應(yīng)滿(mǎn)足時(shí)間t以周為單位 ,X(0)=0其中初始條件表示開(kāi)始時(shí)教授借出數(shù)的冊(cè)數(shù)為0。解該線性方程初始問(wèn)題得X(t) =7叩 10由于當(dāng)t -須寸，其極限值為70故在充分長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，一位普通教授大約已 借出70本書(shū)。3解：我們從山腳A點(diǎn)為始點(diǎn)記路程，設(shè)從A到B路程函數(shù)為ft,即t時(shí)刻走的距離為ft；同樣設(shè)從B點(diǎn)到A點(diǎn)的路程為函數(shù)gt。由題意有f(8)=0,f(18)=|AJBg8=|AB, g18=0;令ht= ft-gt，那么有 h(8)= f(8) =- |AB|<0, h(6)=f(6) - g(A)=>0又注意ft，gt都

5、是時(shí)刻t的連續(xù)函數(shù)，因此ht也是時(shí)刻t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理，一定存在某時(shí)刻to使ht。=0,即ft。=gt。 所以存在一個(gè)時(shí)刻t,這兩天都在這一時(shí)刻到達(dá)同一地點(diǎn)。4解：設(shè)I為平面上任一封閉曲線，p為平面上一點(diǎn)不妨設(shè)p在I內(nèi)，那么存在已過(guò)點(diǎn)p的直線，將I所圍的面積二等分，如以下圖設(shè)I為過(guò)點(diǎn)p的一條直線，假設(shè)S仁S1,貝y得證，否那么設(shè)S1 >S2,1與 x軸夾角為a,讓I逆時(shí)針繞p旋轉(zhuǎn)S2 , S2,那么S1, S2隨a的變化 連續(xù)的變化，記其面積為 S1a，S2a,那么記S1a= S1, S2a=S2,f(a+n)vo,且fa連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在o,n 存在d使f

6、d=0, a=a對(duì)應(yīng)的直線即為所求。5. 解：哥哥與妹妹的速度分別為 3公里/小時(shí)及2公里/小時(shí)，因此 一小時(shí)后，哥哥與妹妹都已到家，而狗一直在二者之間，因此狗已到 家。6. 解：設(shè)甲乙兩人分別在12點(diǎn)x分及y分等可能到到達(dá)達(dá)約定地點(diǎn)， 顯然OWx三60,0三y三60,假設(shè)兩人相遇那么有|x-y|三10,這是一個(gè) 幾何概率問(wèn)題，其中樣本空間為 A=x, y| W xw60,0三y三60 它構(gòu)成了空間直角標(biāo)系中的正方形，相遇空間為G=x, y，|x-y| 三 10其圖形見(jiàn)上圖陰影局部，Sa, Sg分別表示正方形、陰影局部的面積， 從而相遇的概率為 P二Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*

7、50)/(60*60)7. 證明：設(shè)第i個(gè)人認(rèn)識(shí)的人為s i，那么s iN-1設(shè)沒(méi)有兩個(gè)人認(rèn)識(shí)的人一樣多，貝S s 1，s2，互不相等， 那么si丨取遍集合0、1、2N-1中的一個(gè)值，即至少存在某兩個(gè)人k1, k2使s k1二N-1, s k2=0,而對(duì)第ki個(gè)人，由于ki 二N-1，故他必然認(rèn)識(shí)第k2人，故s k至少為1,與s k2=0矛 盾，得證。8. 解：由水力學(xué)定律可知 Q=dv/dtS.,2ghS.,2ghdt，另一方面，在 t時(shí)間內(nèi)，水面由h降至h+dhdh<0，那么僅有dv=- nr*r*dh=- n/3*h*h*dh, 2ghdt=- n/3*h*h*dh，再由 h(0)

8、=10, 聯(lián)立求得其解為t=( n、2g (2.510 -2.5 h ,當(dāng)水流完時(shí),h=0,解得 t=2 n 2g )* 2.5109. 解：設(shè)t=0時(shí)為開(kāi)始剎車(chē)的時(shí)刻，x t丨為從t=0到t時(shí)刻所幸的距離，由剎車(chē)時(shí)所受的制動(dòng)力為 -uW 100 -W* 1 ，其中W為車(chē)重，故xt丨滿(mǎn)Aioo*ioo 1/< 100*100 1足 w*ddt/dt/dt=-uW 100 -W* 1g.100*100 1100*100 1又由 x0=0，dx/dt| t=0=vo解得 xt=-1/2 100ug+g . 100*100 1f2+vo *t/ v'100*100 1'I故制動(dòng)時(shí)間為t b=vo /( 100ug+g 100*100 1 )/ 7100*100 1因此剎車(chē)距離為X(tb)=1/2*V。/( 100ug+g、100*100一1)100*100 1 '同理可得汽車(chē)由西駛來(lái)時(shí)，剎車(chē)距離為1/2* v。/( 100ug+g、100*100 1 )'7100*100 1 7J10. 解：假設(shè)管道是直的圓的、粗細(xì)一樣，