232雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

1、2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)K?:sHrz(r()¥E基礎(chǔ)鞏固IJICIHUGONGGU=雙曲線4-12=1的焦點到漸近線的距離為(A)2(B)2(C)(D)1解析：因為雙曲線4-12=1的一個焦點為F(4,0),其中一條漸近線方程4璀為y=Gx,所以點F到Ex-y=0的距離為2=2萬.故選A.1. 下列雙曲線中，焦點在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是(C)y2x2(A)x2-=1(B)1-y2=1y2/(C)-x2=1(D)y2-1=1解析：雙曲線4-x2=1的焦點在y軸上且漸近線方程為y=士2x,選C.3已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0),離心率等于七則

2、雙出線C的方程是(B)X2y2X2y2(A)=1(B)'-=1x2y2x2y2(C)-=1(D)-=13解析：依題意得,c=3,e=',所以a=2,從而a2=4,b2=c2-a2=5,故選B.2. 實軸長為2,虛軸長為4的雙曲線的標準方程是(D)x2-=1x2y2-1=1x2y2y2x2A-訝=1或2-訝=1y2x2x2-4=1或y2-4=1解析:2a=1,2b=4,焦點在x軸時，雙曲線的標準方程是x2-'=1,焦點在r2y軸時，標準方程為y2-4=1,故選D.2已知雙曲線-3=1(a>0)的離心率為2,則a等于(D)史史(A)2(B)(C)(D)1解析:由雙曲線

3、方程知b2=3,從而c2=a2+3,c2/+3又e=2,因此/=/=4,又a>0,所以a=1.故選D.X2護設(shè)Fi,F2分別為雙曲線/-"=1(a>0,b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得(|PFi|-|PF2|)2=b2-3ab,則該雙曲線的離心率為(D)(A)(B)-(C)4(D):解析：由雙曲線的定義知(|PFi|-|PF2|)2=4a2,£b所以4a2=b2-3ab,即具七3-«=4,bb解得日=4(日=-1舍去).cr£1+一因為雙曲線的離心率e=疽,所以en'i7.故選D./直線l經(jīng)過P(1,1)且與雙曲線x

4、=1交于A,B兩點，如果點P是線段AB的中點，那么直線l的方程為(D)(A)2x-y-1=0(B)2x+y-3=0(C)x-2y+1=0(D)不存在解析:當斜率不存在時，方程為x=1,與雙曲線相切不符合題意,當斜率*1-3=L2yl_存在時，設(shè)A(x1,yi),B(x2,y2),代入雙曲線方程得2兩式相減得I好-好壺(由-男)，整理求出k=2,則直線方程為y=2x-1,聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消元后檢驗<0,方程無解,所以不存在.故選D.7j若在雙曲線“盤=1(a>0,b>0)的右支上到原點。和右焦點F的距離相等的點有兩個，則雙曲線的離心率的取值范圍是(C)(A)(聲,+8)

5、(B)(1,汞)(C)(2,+)(D)(1,2)解析：由于到原點O和右焦點F距離相等的點在線段OF的垂直平分線c£H上，其方程為x=%依題意，在雙曲線己婦（a>0,b>0）的右支上到原c點和右焦點距離相等的點有兩個，所以直線X=與右支有兩個交點，故應(yīng)滿足2>a,即h>2,得e>2.故選C.7>7»3. 已知雙曲線“盤=1（a>0,b>0）的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為（扼,0）,貝ija=;b=.b解析：由2x+y=0,得y=-2x,所以a=2.又c=扼,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.答案:12已知雙曲線標準方

6、程為"上=1（a>0,b>0）,一條漸近線方程為y=3x,則雙曲線的離心率是./bb-?i?_解析：因為雙曲線7=1（a>0,b>0）的漸近線方程為y=士。x,所以。=3,三月町L廠則離心率e="=,：="=.答案:x2y2與雙曲線16-9=1有相同漸近線，且經(jīng)過點（3相,-3）的雙曲線的標準方程是.x2y2解析：設(shè)所求雙曲線的方程為1&-9=入（入乒0）,因為所求雙曲線經(jīng)過點（3,-3）,(3®(-寸所以-'-=入，II所以入如x299所以所求雙曲線的標準方程為-*=1.X299答案：-*=1x2y2過雙曲線元-

7、宜=1的右焦點的直線被雙曲線所截得的弦長為否，這樣的直線有條.解析:依題意得右焦點F(5,0),所以過F且垂直于x軸的直線是x=5,仁史史代入20-'=1,得y=±2,所以此時弦長為邕X2=占.當直線不垂直x軸時，如果直線與雙曲線有兩個交點，則弦長一定比扼長.因為兩頂點間距離為4展，即左右兩支上的點的最短距離是4展，所以如果交于兩支的話，弦長不可能為扼,故只有一條.答案：1分別求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且滿足下列條件的雙曲線的標準方程：雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(,0);yio雙曲線過點(3,9忠)，離心率e=3.x2y2解:(1)設(shè)雙曲線的標準方程為上儼=1

8、(a>0,b>0).由已知得a=Sc=2,X2、OOO.O一.、一.O再由a+b=c,得b=1.故雙曲線C的標準方程為3-y=1.10I。>一?_、一QQOOO.、_.、一一(2)由e=9,得。=9,設(shè)a=9k(k>0),則c=10k,b=c-a=k.于是,設(shè)所x2y2y2x2求雙曲線方程為獨-k=1,或9k-*=1,把(3,9成)代入，得k=-161與k>0矛盾;y2X2把(3,9膜)代入，得k=9，故所求雙曲線的標準方程為'I-9=1.4. 已知雙曲線的中心在原點，焦點Fi,F2在坐標軸上，離心率為成且過點(4,-一).求雙曲線方程；若點M(3,m)在

9、雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上.解：因為離心率e*所以設(shè)所求雙曲線方程為3=*(入乒0),則由點(4,-面)在雙曲線上,知入=42-(-山°)2=6,所以雙曲線方程為x2-y2=6.證明：若點M(3,m)在雙曲線上，則32-m2=6,所以m=3,由雙曲線x2-y2=6知Fi(-2,0),F2(2,0),*T所以MF】m弓=(-2侄-3,-m)(2鵬-3,-m)=(-2海-3)x(2很-3)+m2一一2=-12+9+m=0,所以mf"n,故點M在以F1F2為直徑的圓上.5. 斜率為k的直線過點P(0,1),與雙曲線3x2-y2=1交于A,B兩點.(1) 求實數(shù)k

10、的取值范圍；若以AB為直徑的圓過坐標原點，求k的值.名師點撥：(1)將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，利用判別式0求實數(shù)k的取值范圍;(2)由于以AB為直徑的圓過坐標原點，所以/AOB=90,所以赫命=0,所以X1X2+yy2=0,由此建立關(guān)于k的方程，求k的值.-/-y2=1.22解:(1)由y1=版?(3-k)x-2kx-2=0,3好手0,?-頂k扼,且k乒士必.故實數(shù)k的取值范圍為(-成，-促)U(-w氣點)U(侄,成).(2)設(shè)A(x1,yi),B(x2,y2),由題意知OAOB,所以x1x2+yy2=0,2k2而x+x2='',x1x2=-：?yy2=1,2

11、所以1-3-矽=0?k=±1.能力提升;NENGLITISHENG=x2y2x2y2已知a>b>0,橢圓Ci的方程為#'=1,雙曲線G的方程為#-護=1,Ci與G離心率之積為萬，則G的漸近線方程為(C)(A)膜x士y=0(B)x士2y=0(C)x士彝y=0(D)2x士y=0杼砂解析：橢圓C的離心率為ei=仇，*+b2雙曲線G的離心率為e2=一一,3-b23+護時由題意可得Q-住=2,可得a2=2b2,即a=b,b又雙曲線的漸近線方程為y=±ax,即為x士v2y=0.故選C.6. 已知Fi,F2分別是雙曲線心=1(a>0,b>0)的左、右焦點,

12、若在雙曲線的右支上存在一點M,使得(瀛+°勺上財=0(其中O為坐標原點)，TT且|"】|=必|"勺，則雙曲線的離心率為(D)很+1(A)-1(B)'崩+1(C)(C)(C)(D)+1解析：因為"=0M_睥七所以（珈+。）.映=（伽+。）.（0M-嘰）=o,即辦'-。腭=0,所以|。弓|=|辦|=c,在/MFF2中，邊F1F2上的中線等于T|FiF2|的一半，可得MF1L因為嚴|=例"氣所以可設(shè)|航|=打入>0）,|嚇|=相入,得（相入）2+入2=4c2,解得入=c,TT所以|財七|=鵬鞏M|=c,所以根據(jù)雙曲線定義得TT2

13、'2a=|"牛|M|=（點_i）c,所以雙曲線的離心率eM=+i.故選D./護已知雙曲線E*-"=1（a>0,b>0）,若矩形ABCD勺四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|BC|,貝UE的離心率是.2b2解析：由題2Xa=3X2c,得e=2.答案:2已知雙曲線C的漸近線方程是y=±2x,右焦點F（3,0）,則雙曲線C的方程為C的方程為,又若點N（0,6）,M是雙曲線C的左支上一點，則FMN長的最小值為解析：因為雙曲線C的漸近線方程是y=±2左x,右焦點F（3,0）,所以tbly_x2-8=1,設(shè)左焦點F&

14、#39;(-3,0),廣必ci=i,c=3f=/十占2?仇=2厘所以雙曲線C方程為由雙曲線定義可得MF=2a+MF=2+MF,所以FMN勺周長為FN+MN+MF=FN+MN+MEaAFN+FN+2a=；+2=6+2.答案:x2-=16.+2探究創(chuàng)新=2'TaNiJTLICTMUAMG5iiKT已知雙曲線C與橢圓百+不=1有相同的焦點，實半軸長為8求雙曲線C的方程；若直線l：y=kx+膜與雙曲線C有兩個不同的交點A和B,且赫命>2(其中。為原點)，求k的取值范圍.解：(1)由橢圓方程知，橢圓的焦點坐標為(2,0),(-2,0),貝成曲線C的焦點坐標為(2,0),(-2,0).必y2設(shè)雙曲線C的方程為/-護=1(a>0,b>0),因為a=®,c=2,所以b=1,故雙曲線C的方程為3-y2=1.(2)將y=kx+牒代入3-y2=1得(1-3k2)x2-6kx-9=0,13好主0,-