微分方程的拉氏變換求解方法圖文

1、1其中，通常有其中，通常有 n w，F(xiàn)(s) 是是系系統(tǒng)傳遞函數(shù)統(tǒng)傳遞函數(shù)01110111)()()(bsbsbsasasasasXsYsFnnnwwwwzs在零初始條件下，取拉普拉斯變換，可以得到在零初始條件下，取拉普拉斯變換，可以得到為了得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，需要進(jìn)行為了得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，需要進(jìn)行拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換)()()(1sXsFLtyzs如果如果初始條件不等于零初始條件不等于零，我們能夠得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)嗎？如何得到？，我們能夠得到系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)嗎？如何得到？特征函數(shù)特征函數(shù)- (s) (s)=0 是系統(tǒng)的特征方程是系統(tǒng)的特征方程01)(0)1(1)()()()()()(

2、atxatxatybtybtywwnnnv 一般地，一般地，n 階系統(tǒng)階系統(tǒng)具有如下形式的微分方程具有如下形式的微分方程：2關(guān)鍵點(diǎn)在于如何得到傳遞函數(shù)的部分分式表達(dá)關(guān)鍵點(diǎn)在于如何得到傳遞函數(shù)的部分分式表達(dá)根據(jù)根據(jù) X(s) 的分母，部分分式分解可以分四種情況進(jìn)行討論的分母，部分分式分解可以分四種情況進(jìn)行討論01110111)()()(bsbsbsasasasasXsYsFnnnwwwwzs)()()()()()(21nzszssssssssYsXsYsFnnzsssAssAssAsXsYsF2211)()()(v 通?？梢岳美献儞Q表或計(jì)算機(jī)程序來進(jìn)行通常可以利用拉氏變換表或計(jì)算機(jī)程序來進(jìn)行

3、拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：拉普拉斯變換方法拉普拉斯變換方法3v 對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，所有與通解相關(guān)的實(shí)極點(diǎn)必須位于 S 平面的左半平面v 情況情況 1：F(s) 有一階實(shí)極點(diǎn)有一階實(shí)極點(diǎn)2211021)()()()()(ssAssAsAssssssYsXsYsFzszststseAeAAtf21210)(LT-1v 系數(shù)系數(shù) Ak 是是 F(s) 在相應(yīng)極點(diǎn)處的留數(shù)，因此一階實(shí)極點(diǎn)的系數(shù)為在相應(yīng)極點(diǎn)處的留數(shù)，因此一階實(shí)極點(diǎn)的系數(shù)為kksszssszskksXsYsXsYssA)()()()()(ImRes平面平面s1s0s2暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：拉

4、普拉斯變換方法拉普拉斯變換方法4v 情況情況 2：F(s) 具有多重一階實(shí)極點(diǎn)具有多重一階實(shí)極點(diǎn)2211121123113231)()()()()()()()(ssAssAssAssAsssssYsXsYsFzszs 如何計(jì)算如何計(jì)算 A2？v 其中，其中， 1)()()(3113sszssXsYssA1)()()(3112sszssXsYssdsdA1)()()(2131211sszssXsYssdsdAImRes平面平面s13s2tstststseAeAteAetAtf2111211122132)( LT-1暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：拉普拉斯變換方法拉普拉斯變換方法5v 情況情況

5、3-1：F(s) 具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（分母具有二次多項(xiàng)式形式）具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（分母具有二次多項(xiàng)式形式）33222133221132211 )(2()()()()(ssAjsAjsAssAssAssAsssssYsXsYsFnnnnnnzszs 22311123( )nnnnjtjts tftA eA eA e LT-1暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：拉普拉斯變換方法拉普拉斯變換方法tsdttsnttstjtjeAteAeAteAeAeAeAtfnnnnn333223132131211)sin(2 )1sin(2 )(1)()()(11sszssXsYssA1A9 0的 角 度v 由于

6、由于 s1 是復(fù)數(shù)，所以是復(fù)數(shù)，所以 A1 也是復(fù)數(shù)，也是復(fù)數(shù)，且且A1 和和A2 是共軛復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)v 情況情況 3-1：F(s) 具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（分母具有二次多項(xiàng)式形式）。具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（分母具有二次多項(xiàng)式形式）。如果復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有如果復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部負(fù)實(shí)部 ，其中阻尼比，其中阻尼比 0ImRes平面平面s2s3dnjj21 ns1n1cosv 極點(diǎn)將位于極點(diǎn)將位于S 平面的左半平平面的左半平面（如圖所示），系統(tǒng)是穩(wěn)定面（如圖所示），系統(tǒng)是穩(wěn)定的的v 極點(diǎn)與原點(diǎn)連線同負(fù)實(shí)軸的極點(diǎn)與原點(diǎn)連線同負(fù)實(shí)軸的夾角夾角 取決于阻尼比取決于阻尼比cos暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：拉普

7、拉斯變換方法拉普拉斯變換方法6問題：問題：如果復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有正實(shí)部，如果復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何？系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何？n )sin(tAedttAe（欠阻尼）（欠阻尼）（過阻尼）（過阻尼）tAeImRes平面平面s2s3dnjj21 ns1n1cosv 情況情況 3-1：F(s) 具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（分母具有二次多項(xiàng)式形式）。具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（分母具有二次多項(xiàng)式形式）。如果復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有如果復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部負(fù)實(shí)部 ，其中阻尼比，其中阻尼比 0暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：拉普拉斯變換方法拉普拉斯變換方法7n v 例：例： 24343)2)(256(10)(3212sAjsAj

8、sAssssFtttsdteteeAteAtf233159.0)1044sin(606.0 )sin(2)(3194303.0)2)(256(10)43(4321jssssjsA59. 0)2)(256(10)2(223sssssA1A9019490104 的角度1222223sin()( )10,tan()() 0.590.606sin(4104 )ctttteebtbf tcabcabcabeet可查閱拉氏可查閱拉氏變換表變換表a=3, b=4, c=2暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：拉普拉斯變換方法拉普拉斯變換方法89v 情況情況 3-2：F(s) 具有一對(duì)具有一對(duì)虛數(shù)極點(diǎn)虛數(shù)極點(diǎn)（實(shí)

9、部為零）（實(shí)部為零）0) here( ; )()()()()(3321332211322ssAjsAjsAssAssAssAssssYsXsYsFnnnzszstsntstjtjeAtAeAeAeAtfnn3331321)sin(2)(1)()()(11sszssXsYssA1A9 0的 角 度3)()()(33sszssXsYssAImRes平面平面s3s2s1v 由于沒有阻尼項(xiàng)與正弦函數(shù)相乘，因此正弦函由于沒有阻尼項(xiàng)與正弦函數(shù)相乘，因此正弦函數(shù)為數(shù)為穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值LT-1暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)：拉普拉斯變換方法拉普拉斯變換方法v 情況情況 4：F(s) 具有多重共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（分母具有多重二次多項(xiàng)式具有多重共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（分母具有多重二次多項(xiàng)式形式）形式）