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文檔簡介

1、費馬點 的兩證明方法費馬點，就是平面上到三角形三頂點距離之和最小的點。當三角形有一個內角大于或等于一百二十度的時候，費馬點就是這個內角的頂點；如果三個內角都在120度以內，那么，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120度的點。1、費馬點不在三角形外，這個就不用證了，很顯然。但為了嚴謹，還是說一下2、當有一個內角大于等于120度時候對三角形內任一點P延長BA至C'使得AC=AC'，做C'AP'=CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（說了這么多，其實就是把三角形APC以A為中心做了個旋轉）則APCAP'C'B

2、AC120°PAP'=180°-BAP-C'AP'=180°-BAP-CAP=180°-BAC60°等腰三角形PAP'中，APPP'PA+PB+PCPP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是費馬點3、當所有內角都小于120°時做出ABC內一點P，使得APC=BPC=CPA=120°，分別作PA,PB,PC的垂線，交于D,E,F三點，如圖，再作任一異于P的點P'，連結P'A,P'B,P'C，過P'作P'H

3、垂直EF于H易知D=E=F=60°，即DEF為等邊三角形，計邊長為d，面積為S則有2S=d(PA+PB+PC)P'AP'H所以2SEP'FP'A*d同理有2SDP'FP'B*d2SEP'DP'C*d相加得2Sd(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PCP'A+P'B+P'C，當且僅當P,P'重合時取到等號所以P是費馬點雖然不知道費馬點在那里，我們先假設他在某個位置，做出來，證明他不可能具有某些性質，最后確定他的位置，這個證明僅限于三個內角都小于120度的時候。 以A,C為焦點，AP+PC為長軸長，做橢圓，以B為圓心，BP為半徑，做圓我們先假定橢圓與原是相交的，并取他們公共部分內部一點P'則P'在圓內也在橢圓內所以P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC，與假設矛盾，所以圓與橢圓必相切（不可能沒有公共點吧，因為都過P）做他們的公切線，并作直線BP，顯然BP與公切線垂直由橢圓的幾何性質易知

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