冪級數(shù)解方程(偏微分方程)

1、冪級數(shù)解法冪級數(shù)解法本征值問題本征值問題第十一章第十一章王建東王建東沙河校區(qū)計算機(jī)樓東沙河校區(qū)計算機(jī)樓東 11.111.1二階常微分方程的冪級數(shù)解法二階常微分方程的冪級數(shù)解法11.1.111.1.1冪級數(shù)解法理論概述冪級數(shù)解法理論概述 1. 球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程的分離變量球坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程的分離變量一、分離變量法求解偏微分方程：一、分離變量法求解偏微分方程：0sin1sinsin112222222ururrurrr),()(),(YrRru)()(),(Y222dd2(1)0ddRRrrl lRrr可直接求解可直接求解0 2ddsinsin (1)sin0ddl l 可直接求解可直接

2、求解對第對第3個方程作變量替換個方程作變量替換cosx22222dd(1)2(1)0dd1mxxl lxxx 為為為為 l 階連帶勒讓德方程階連帶勒讓德方程，不可直接求解不可直接求解若討論問題具有旋轉(zhuǎn)軸對稱性，即若討論問題具有旋轉(zhuǎn)軸對稱性，即 m=0222dd(1)2(1)0ddxxl lxx 為為 l 階勒讓德方程階勒讓德方程，不可直接求解不可直接求解2. 柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程的分離變量柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯方程的分離變量01122222zuuu)()()(),(zZRzu0 0 ZZ2222d1 d()0ddRRmR可直接求解可直接求解可直接求解可直接求解對第對第3個方程：個方程：(1)

3、 若若 0 ，作變換，作變換x22222dd0ddRRxxxmRxx為為 m 貝塞爾方程貝塞爾方程，不可直接求解不可直接求解 =0可直接求解可直接求解(2) 若若 0 ，作變換，作變換2, kxk 為為虛宗量虛宗量貝塞爾方程貝塞爾方程，不可直接求解不可直接求解22222dd0ddRRxxxmRxx. 用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對拉普拉斯方程、波用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對拉普拉斯方程、波動方程、輸運方程進(jìn)行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓動方程、輸運方程進(jìn)行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程。用其他坐標(biāo)系對其他數(shù)學(xué)物理偏等

4、特殊函數(shù)方程。用其他坐標(biāo)系對其他數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離變量，還會出現(xiàn)各種各樣的特殊微分方程進(jìn)行分離變量，還會出現(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程，它們大多是二階線性常微分方程。這向函數(shù)方程，它們大多是二階線性常微分方程。這向我們提出求解帶初始條件的線性二階常微分方程定我們提出求解帶初始條件的線性二階常微分方程定解問題。解問題。 不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)(z)的的線性二階常微分方程：線性二階常微分方程：22d( )d ( )( )( ) ( )0ddzzp zq zzzz(11.1.1)00)(Cz10)(Cz這里這里 z 是復(fù)變量，是復(fù)變量，p(z) 和和 q(z)

5、是已知的復(fù)變函數(shù)，是已知的復(fù)變函數(shù)，稱為方程的系數(shù)，稱為方程的系數(shù)， (z)是待求的未知函數(shù)，是待求的未知函數(shù)，z0為選為選定的點，定的點，C0和和C1為復(fù)常數(shù)。為復(fù)常數(shù)。 這些線性二階常微分方程常常不能用通常的這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級數(shù)解法解出。解法解出，但可用冪級數(shù)解法解出。冪級數(shù)冪級數(shù)解法解法求解二階常微分方程的具體過程為：求解二階常微分方程的具體過程為：（1） 任選某個點任選某個點z0，在其鄰域上把待求的解，在其鄰域上把待求的解 表為系數(shù)待定的冪級數(shù)；表為系數(shù)待定的冪級數(shù)；（2） 將這個冪級數(shù)形式解代入方程和定解將這個冪級數(shù)形式解代入方程和定解 條件，

6、求出所有待定冪級數(shù)系數(shù)。條件，求出所有待定冪級數(shù)系數(shù)。(2) (2) 既然是級數(shù)，就存在是否收斂和收斂范圍的問既然是級數(shù)，就存在是否收斂和收斂范圍的問 題；題；說明：說明：(1)(1) 級數(shù)解法是一個比較普遍的方法，對方程無級數(shù)解法是一個比較普遍的方法，對方程無 特殊的要求；特殊的要求；(3) (3) 級數(shù)解法的計算較為繁瑣，要求耐心和細(xì)心。級數(shù)解法的計算較為繁瑣，要求耐心和細(xì)心。二、二、方程的常點和奇點概念方程的常點和奇點概念 定義定義 11.1.1 若方程若方程(11.1.1)的系數(shù)的系數(shù)p(z)和和q(z)都都在點在點z0及其鄰域內(nèi)解析，則稱點及其鄰域內(nèi)解析，則稱點z0為方程為方程(11

7、.1.1)的的常點。常點。 定義定義 11.1.2 只要系數(shù)只要系數(shù)p(z)和和q(z)之一在點之一在點z0不解不解析，則稱點析，則稱點z0為方程為方程(11.1.1)的奇點。的奇點。 定義定義 11.1.3 若若(z-z0)p(z)及及(z-z0)2q(z)都在點都在點z0解解析，則稱點析，則稱點z0為方程為方程(11.1.1)的正則奇點，否則稱的正則奇點，否則稱為方程的非正則奇點。為方程的非正則奇點。 定理定理 11.1.1 若方程若方程(11.1.1)的系數(shù)的系數(shù)p(z)和和q(z)為為點點z0的鄰域的鄰域 |z-z0|R 中的解析函數(shù)，則方程在這個中的解析函數(shù)，則方程在這個圓中存在唯一

8、的解析解圓中存在唯一的解析解(z)滿足初始條件滿足初始條件(z0)=C0和和(z0)=C1 。 定理定理 11.1.2 若若z0為方程為方程(11.1.1)的常點，則在的常點，則在z0點的鄰域內(nèi)，方程點的鄰域內(nèi)，方程(11.1.1)的通解形式為的通解形式為000110( )()( )( )kkkzazzazaz其中其中a0和和a1為任意常數(shù)，為任意常數(shù)， 0(z)和和1(z)為在點為在點z0解解析的兩個線性獨立的函數(shù)。析的兩個線性獨立的函數(shù)。(11.1.2)三、常點鄰域上的冪級數(shù)解法（勒讓德方程的求解）三、常點鄰域上的冪級數(shù)解法（勒讓德方程的求解） 在在x0=0的鄰域求解的鄰域求解 l 階勒讓

9、德方程：階勒讓德方程：222dd(1)2(1)0ddyyxxl lyxx方程的系數(shù)：方程的系數(shù)：2222d2d(1)0d(1) d(1)yxyl lyxxxx22( )(1)xp xx 2(1)( )(1)l lq xx在在x0=0，方程的系數(shù)，方程的系數(shù)p(x0)=0，q(x0)=l(l+1)單值且為單值且為有限值，因此它們必然在有限值，因此它們必然在x0=0處解析，故處解析，故x0=0為方為方程的常點，根據(jù)常點鄰域上解的程的常點，根據(jù)常點鄰域上解的定理定理11.1.2，解具有，解具有泰勒級數(shù)形式：泰勒級數(shù)形式：20120( )kkkkky xa xaa xa xa x根據(jù)此解的形式，于是有

10、：根據(jù)此解的形式，于是有：11( )kkky xka x2112323kkaa xa xka x22( )(1)kkkyxk ka x2223423 24 3(1)kkaa xa xk ka x 代入勒讓德方程，可得：代入勒讓德方程，可得：22121(1)(1)2kkkkkkxk ka xxka x0(1)0kkkl la x合并整理后可得：合并整理后可得：2122(1)(12)kkkkkkkkkk kakk kxa xa x0(1)0kkkl la x將各求和號內(nèi)將各求和號內(nèi)k的起點統(tǒng)一化：的起點統(tǒng)一化：222324(1)26(1)kkkkkkk ka xaa xk ka x232226(2

11、)(1)kkkaa xkkax 23110262(1)(1)lxaaalal la22(2)(1(1)0(1)2kkkkkkkkak kaakl lax0102(1)(1)(1)(1)kkkkkkl la xl lal la xl la x112222kkkkkkka xa xka x 因此合并因此合并x的同冪次項后有：的同冪次項后有：要使上述方程對任意的要使上述方程對任意的x都成立都成立(=0)，則要求則要求x各冪各冪次前的系數(shù)必須為次前的系數(shù)必須為0，即：，即：312220(2)(1)(1)0 (2(1)02,3,4,)6(1)20kkkkal lalal laaakkkl解得系數(shù)間的遞推

12、關(guān)系：解得系數(shù)間的遞推關(guān)系：2()(1) (0,1,2,)(2)(1)kkkl lkaakkk因此，若知道級數(shù)系數(shù)因此，若知道級數(shù)系數(shù)a0、a1，則可由上述遞推公，則可由上述遞推公式計算出任一系數(shù)式計算出任一系數(shù)ak(k=2,3,)。系數(shù)遞推：系數(shù)遞推：20()(1)2!l laa420(2)(3)(2)()(1)(3)4 34!l lll llaaa.20(22)(24)(2)()(1)(3)(21)(2 )!kklklll lllkaak31(1)(2)3!l laa531(3)(4)(3)(1)(2)(4)5 45!l lll llaaa.211(21)(23)(1)(2)(4)(2 )

13、(21)!kklkll lllkaak 勒讓德方程的解為：勒讓德方程的解為：240()(1)(2)()(1)(3)12!4( )!l lll llaxyxx2(22)(24)(2)()(1)(3)(21)(2 )!kklklll lllkxk351(1)(2)(3)(1)(2)(4)3!5!l lll llaxxx21(21)(23)(1)(2)(4)(2 )(21)!kklkll lllkxk ( )( )llxp xqpl(x)僅含僅含x的偶次冪，為偶函數(shù)；的偶次冪，為偶函數(shù)；ql(x)僅含僅含x的奇次的奇次冪，為奇函數(shù)。它們的收斂半徑冪，為奇函數(shù)。它們的收斂半徑(達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判

14、別法)為：為：2limkkkaRa(2)(1)lim()(1)kkkkl lk21(1)(1)lim11(1)(1)kkkllkk因此，級數(shù)解因此，級數(shù)解 pl(x) 和和 ql(x) 收斂于收斂于|x|1；但勒讓德方程中的；但勒讓德方程中的x=cos定義于定義于-1,1上，上，因此還要考慮級數(shù)解在因此還要考慮級數(shù)解在x=1處的收斂性。處的收斂性。高斯判別法：高斯判別法：對于正項級數(shù)對于正項級數(shù) ， 1kku當(dāng)當(dāng)21( )1kkuB kukk 1lim1kkkuu時，若前后鄰項之比可表示為：時，若前后鄰項之比可表示為：其中其中B(k)是當(dāng)是當(dāng)k時為時為k的有界函數(shù)，則當(dāng)?shù)挠薪绾瘮?shù)，則當(dāng)1時級時

15、級數(shù)收斂，當(dāng)數(shù)收斂，當(dāng) 1時級數(shù)發(fā)散。時級數(shù)發(fā)散。對于足夠大的對于足夠大的k， pl(x)和和ql(x) 均為正項級數(shù)。均為正項級數(shù)。對于對于pl(x)：12(22)!(2 )!(2)(21)kkkkuakuakkl lk(22)(21)(2)(21)kkkl lk221(1)(1)1112(1)4l lkl lkkkk 根據(jù)高斯判別法，根據(jù)高斯判別法，=1，級數(shù)，級數(shù)pl(x)發(fā)散。發(fā)散。有界有界對于對于ql(x)：12(23)!(21)!(21)(22)kkkkuakuakkl lk 221(1)(2)(1)1116(1)(2)4llkllkkkk 根據(jù)高斯判別法，根據(jù)高斯判別法，=1，級

16、數(shù)，級數(shù)ql(x)發(fā)散。發(fā)散。有界有界(23)(22)(21)(22)kkkl lk 如果級數(shù)解如果級數(shù)解 pl(x) 和和 ql(x) 退化為有限項，即多退化為有限項，即多項式，則它們在項式，則它們在x=1處取有限數(shù)值，那么發(fā)散問處取有限數(shù)值，那么發(fā)散問題就根本不存在了。題就根本不存在了?？疾炜疾?pl(x)：240()(1)(2)()(1)(3)( )12!4!ll lll llp xaxx2(22)(24)(2)()(1)(3)(21)(2 )!kklklll lllkxk22(2)(22)(2)()(1)(3)(21)(22)!kklklll lllkxk如果如果l是某個偶數(shù)，是某個偶

17、數(shù)，l=2n(n是正整數(shù)是正整數(shù))，則，則 pl(x)只到只到x2n項為止，從項為止，從x2n+2項起（項起（上式彩色項上式彩色項），系數(shù)都含），系數(shù)都含有因子有因子(2n-l)從而都為從而都為0。這樣。這樣pl(x)不再是無窮級數(shù)不再是無窮級數(shù)，而是，而是2n次多項式，并且只含偶次冪。至于次多項式，并且只含偶次冪。至于pl(x)因因其系數(shù)不含其系數(shù)不含(2n-l)，仍是無窮級數(shù)，且在，仍是無窮級數(shù)，且在x=1處發(fā)處發(fā)散。散。 考察考察ql(x)，如果如果l是某個奇數(shù)，是某個奇數(shù)，l=2n+1(n是非負(fù)是非負(fù)整數(shù)整數(shù))，則，則 ql(x)只到只到x2n+1項為止，從項為止，從x2n+3項起，系

18、數(shù)項起，系數(shù)都含有因子都含有因子(2n+1-l)從而都為從而都為0。這樣。這樣ql(x) 是是2n+1次次多項式，并且只含奇次冪。此時多項式，并且只含奇次冪。此時pl(x)因其系數(shù)不含因其系數(shù)不含(2n+1-l)，仍是無窮級數(shù)，且在，仍是無窮級數(shù)，且在x=1處發(fā)散。處發(fā)散。 其實，考察級數(shù)解的系數(shù)遞推公式便知，只要其實，考察級數(shù)解的系數(shù)遞推公式便知，只要l是整數(shù)，如是整數(shù)，如l=n(正負(fù)均可正負(fù)均可)，k從某個數(shù)從某個數(shù)k=n(n為正為正)或或k=-n-1(n為負(fù)為負(fù))起，級數(shù)解的偶數(shù)或奇數(shù)系數(shù)全為起，級數(shù)解的偶數(shù)或奇數(shù)系數(shù)全為0：ak+2=0、 ak+4=0，級數(shù)的偶數(shù)或奇數(shù)部分變，級數(shù)的偶

19、數(shù)或奇數(shù)部分變成多項式成多項式。2()(1) (0,1,2,)(2)(1)kkkl lkaakkk 一般情況下，我們均取一般情況下，我們均取l是非負(fù)整數(shù)，且在一般是非負(fù)整數(shù)，且在一般解解y(x)中取常數(shù)中取常數(shù)a0=0(a10)或或a1=0(a00)，使，使y(x)成為成為一個只含偶次冪或奇次冪的一個只含偶次冪或奇次冪的l次多項式，作為特解，次多項式，作為特解，稱作稱作l階勒讓德多項式，記階勒讓德多項式，記Pl(x)。 可以看出可以看出 l 次勒讓德多項式次勒讓德多項式Pl(x)的系數(shù)繁瑣，的系數(shù)繁瑣，為了使其有比較簡單的形式，且使它在為了使其有比較簡單的形式，且使它在x=1處的值處的值恒為恒

20、為1(歸一化歸一化)，選最高次冪的系數(shù)為：，選最高次冪的系數(shù)為：2(2 )!2 ( !)lllal勒讓德多項式勒讓德多項式Pl(x)的系數(shù)遞推關(guān)系改寫為：的系數(shù)遞推關(guān)系改寫為：2(2)(1)()(1)kkkkaakl lk0 (when is even)2,4,1 (when is odd)lklll 這樣我們可從最高次冪系數(shù)這樣我們可從最高次冪系數(shù)al依次獲得其它低次冪依次獲得其它低次冪系數(shù)：系數(shù)：22(1)(1)(2 )!( 1)2(21)2(21) 2 ( !)llll ll llaalll (22)!(211)2 (1)!(1)(1)2)!)22(21)llllllllllll (22

21、)!( 1)2 (1)!(2)!llll 242(2)(3)(2)(3)(22)!( 1)( 4)(23)2 2!(23) 2 (1)!(2)!llllllllaallll 2(23 (24)!( 1(2)2!2(4)!)(3)(2)(3)(2(22)2(1)23()!)llllllllllll 2(24)!( 1)2!2 (2)!(4)!llll 364(4)(5)(4)(5)(24)!( 1)( 6)(25)2 3(25)2!2 (2)!(4)!llllllllaallll 3(2(2(26)!( 1)32!2(34)25)(25)(4)(5)!(6)(4)(5)2)!(lllllllll

22、lll 3(26)!( 1)3!2 (3)!(6)!llll .依次做下去，利用數(shù)學(xué)歸納法，可得：依次做下去，利用數(shù)學(xué)歸納法，可得：2(22 )!( 1)(0,1,2,)2!()!(2 )!2nlnllnlann lnln , 212, 2lwhen l is an even numberllwhen l is an odd number 其中：其中：因此所求得的勒讓德方程的多項式解為：因此所求得的勒讓德方程的多項式解為：220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lnlnllnlnP xxn lnln 該該 l 階勒讓德多項式階勒讓德多項式Pl(x)也稱為也稱為第一類勒讓德函數(shù)第一類

23、勒讓德函數(shù)。前幾個勒讓德多項式：前幾個勒讓德多項式：0( )1P x 1( )cosP xx2211( )(31)(3cos21)24P xx3311( )(53 )(5cos33cos )28P xxx42411( )(35303)(35cos420cos29)864P xxx53511( )(637015 )(63cos535cos330cos )8128P xxxx當(dāng)當(dāng)l是非負(fù)整數(shù)時，勒讓德方程的一般解中的一個是非負(fù)整數(shù)時，勒讓德方程的一般解中的一個解為勒讓德函數(shù)，而另外一個線性獨立的解則為無解為勒讓德函數(shù)，而另外一個線性獨立的解則為無窮級數(shù)，稱為窮級數(shù)，稱為第二類勒讓德函數(shù)第二類勒讓德

24、函數(shù)，記為，記為Ql(x)，其，其表達(dá)式為（表達(dá)式為（朗斯基行列式導(dǎo)出朗斯基行列式導(dǎo)出，不作要求）：，不作要求）：221( )( )(1)( )lllQ xP xdxxP x221011243( )ln( )21(21)(1)lllkkxlkP xPxxklk 011( )ln21xQ xx11( )ln121xxQ xx22113( )(31)ln412xQ xxxx3231152( )(53 )ln4123xQ xxxxxQl(x)和和Pl(x)的遞推公式具有相同的形式，所以勒讓的遞推公式具有相同的形式，所以勒讓德方程德方程222dd(1)2(1)0ddyyxxl lyxx的通解為的通解為

25、12( )( )( )lly xC P xC Q x總結(jié)：總結(jié)：（1）當(dāng)）當(dāng)l不是整數(shù)時，勒讓德方程在區(qū)間不是整數(shù)時，勒讓德方程在區(qū)間-1,1上上 有無解解；有無解解；（2）當(dāng)）當(dāng)l是整數(shù)時，勒讓德方程的通解為是整數(shù)時，勒讓德方程的通解為12( )( )( )lly xC P xC Q xPl(x)稱為第一類勒讓德函數(shù)，稱為第一類勒讓德函數(shù)，Ql(x)稱為第稱為第二類勒讓德函數(shù)；二類勒讓德函數(shù)；（3）當(dāng)）當(dāng)l是整數(shù)時，在自然邊界條件下是整數(shù)時，在自然邊界條件下(|cos|1)， 要求解有界，因此必須取要求解有界，因此必須取C2=0。四、正則奇點鄰域上的冪級數(shù)解法（貝塞爾方程的四、正則奇點鄰域上

26、的冪級數(shù)解法（貝塞爾方程的 求解）求解） 對于復(fù)變函數(shù)對于復(fù)變函數(shù)(z)的線性二階常微分方程：的線性二階常微分方程：22d( )d ( )( )( ) ( )0ddzzp zq zzzz如果選定的如果選定的z0是該方程的奇點，則一般來說，解也是該方程的奇點，則一般來說，解也以以z0為奇點，在為奇點，在z0鄰域上的展開式不是泰勒級數(shù)而鄰域上的展開式不是泰勒級數(shù)而含有負(fù)冪項，即展開式是羅朗級數(shù)，且有如下定含有負(fù)冪項，即展開式是羅朗級數(shù)，且有如下定理：理： 定理定理 11.1.3 若若z0為方程為方程(11.1.1)的正則奇點，則的正則奇點，則存在兩個線性無關(guān)存在兩個線性無關(guān)(獨立獨立)的解，它們在

27、這奇點的的解，它們在這奇點的去心鄰域上可表示成下列形式：去心鄰域上可表示成下列形式：11000( )()()skkkzzzazz和和22000( )()()skkkzzzb zz或：或：2200100( )()()( )ln()skkkzzzb zzAzzz常系數(shù)常系數(shù)s1、s2、ak、bk和和A通過將解代入方程合并通過將解代入方程合并(z-z0)的同冪項使其系數(shù)為的同冪項使其系數(shù)為0得出，這里不作展開。得出，這里不作展開。（1）貝塞爾方程的求解）貝塞爾方程的求解22222dd()0ddyyxxxyxx對于上述對于上述階貝塞爾方程階貝塞爾方程1( ), ( )1p xx p xx222( )1

28、, ( )q xxq xxx 所以所以x=0為方程的正則奇點，根據(jù)上述定理，方為方程的正則奇點，根據(jù)上述定理，方程的一個特解可展開為如下形式的級數(shù)：程的一個特解可展開為如下形式的級數(shù)：00( )ckk ckkkky xxa xa x0( )()k ckkx y xck a x20( )()(1)k ckkxyxck cka x此時此時將此將此3式代入式代入階貝塞爾方程，可得：階貝塞爾方程，可得：22200()0k ck ckkkkcka xa x 合并合并x的同冪次：的同冪次：2222101(1)ccca xca x22222()0k ck ckkkkcka xax要使此方程對任意的要使此方程

29、對任意的x都成立，則必須使都成立，則必須使x的各冪的各冪次前的系數(shù)為次前的系數(shù)為0，即：，即：2200ca221(1)0ca222()0 (2,3,)kkckaak取取a00，由第，由第1式可解得：式可解得：c 代入第代入第2式，可解得：式，可解得：10a 22(1)0因為因為由由3式，可解得級數(shù)解的系數(shù)遞推公式：式，可解得級數(shù)解的系數(shù)遞推公式：2221 (2,3,)()kkaakck 因為因為a1=0，從該遞推公式可知：，從該遞推公式可知：1357210maaaaa取取c= ( 0)，可得偶數(shù)冪次系數(shù)：，可得偶數(shù)冪次系數(shù)：00a 212(22)a 24211( 1)4(24)4 2(24)(

30、22)aa 36411( 1)6(26)6 4 2(26)(24)(22)aa 22212 (22 )mmaamm 021( 1)2!()(1)(1)mmammm 02(1)( 1)2! (1)mmamm 因此我們得到貝塞爾方程的一個特解：因此我們得到貝塞爾方程的一個特解：20120(1)( )( 1)2! (1)mmmmay xxmm通常我們?nèi)⊥ǔＮ覀內(nèi)〔⒂洸⒂泍1(x)為為J(x)，稱之為，稱之為階階貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)，即，即201( )( 1)! (1) 2mmmxJxmm 012(1)a201( )( 1)! (1) 2mmmxJxmm若取若取c=-，及，及012(1)a 可得方程的

31、另一個特解，并記為可得方程的另一個特解，并記為J-(x)，稱之為，稱之為-階階貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)，即，即 若若n(整數(shù)整數(shù))，當(dāng)，當(dāng)x0時時201( )( 1)2! (1) 2mmmxxJxmmJ(x)和和J-(x)統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為階第一類階第一類貝塞爾函數(shù)。貝塞爾函數(shù)。12(1)x1( )2(1)xJx 2( )(1)( )2(1)JxxJx 常數(shù)常數(shù)J(x)和和J-(x)線性無關(guān)，因此貝塞爾方程的通解為：線性無關(guān)，因此貝塞爾方程的通解為：( )( )( )y xA JxA Jx 若若=n(整數(shù)整數(shù))201( )( 1)! (1) 2m nmnmxJxmnm (-n+m+1)函數(shù)的定義要求函數(shù)

32、的定義要求(-n+m+1)0，即，即m n-1，令，令k=m-n，可得，可得21( 1)! (1) 2m nmm nxmnm 201( 1)()! (1) 2k nk nkxknk201( 1)( 1)! (1) 2k nnkkxkkn ( 1)( )nnJx 即正、負(fù)即正、負(fù)n階的貝塞爾函數(shù)線性相關(guān)，因此它們階的貝塞爾函數(shù)線性相關(guān)，因此它們的線性組合不能構(gòu)成貝塞爾方程的通解，此時需的線性組合不能構(gòu)成貝塞爾方程的通解，此時需要根據(jù)要根據(jù)Jn(x)求出另一個與它線性無關(guān)的特解：求出另一個與它線性無關(guān)的特解：20( )( )lnkknkyxxb xAJxx通常這一特解定義為通常這一特解定義為cos

33、()( )( )( )sin()JxJxNx稱為稱為第二類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)或或諾伊曼函數(shù)諾伊曼函數(shù)。（2）貝塞爾方程解的斂散性）貝塞爾方程解的斂散性對于貝塞爾函數(shù)對于貝塞爾函數(shù)J(x)，其收斂半徑為：，其收斂半徑為：22limlim (2)kkkkaRkka 即級數(shù)解即級數(shù)解J(x)的收斂范圍為的收斂范圍為0|x|。對于貝塞爾函數(shù)對于貝塞爾函數(shù)J-(x)，其收斂半徑為：，其收斂半徑為：22limlim ( 2)kkkkaRkka 但此級數(shù)解但此級數(shù)解J(x)存在負(fù)冪項，所以其收斂范圍存在負(fù)冪項，所以其收斂范圍為為0|x|。（3）貝塞爾函數(shù)舉例）貝塞爾函數(shù)舉例24602211( )1(

34、 )( )( )2(2!)2(3!)2xxxJx 35111( )( )( )22! 22!3! 2xxxJx 最低階的二個第一類貝塞爾函數(shù)最低階的二個第一類貝塞爾函數(shù)J0(x)和和J1(x)在實在實際應(yīng)用中經(jīng)常遇到，如平行光通過凸透鏡在交點際應(yīng)用中經(jīng)常遇到，如平行光通過凸透鏡在交點處的光場分布就是一階貝塞爾函數(shù)。處的光場分布就是一階貝塞爾函數(shù)。貝塞爾函數(shù)可通過數(shù)學(xué)用表或數(shù)學(xué)手冊查到貝塞爾函數(shù)可通過數(shù)學(xué)用表或數(shù)學(xué)手冊查到05101520-0.500.51x J0(x)J1(x)02468100123456x N0(x)11.1.2 11.1.2 施圖姆施圖姆劉維爾本征值劉維爾本征值 在運用分離

35、變量法求解偏微分方程時，在邊在運用分離變量法求解偏微分方程時，在邊界條件的約束下，會出現(xiàn)種種含有參數(shù)的常微分界條件的約束下，會出現(xiàn)種種含有參數(shù)的常微分方程，而它們又只在這些未知參數(shù)取特定值時才方程，而它們又只在這些未知參數(shù)取特定值時才有非零解，這些未知參數(shù)所取的特定值稱為有非零解，這些未知參數(shù)所取的特定值稱為本征本征值值，相應(yīng)的非零解則稱為，相應(yīng)的非零解則稱為本征函數(shù)本征函數(shù)。求本征值和。求本征值和本征函數(shù)的問題稱為本征函數(shù)的問題稱為本征值問題本征值問題。一些偏微分方。一些偏微分方程定解問題的最后解決往往取決于本征值問題的程定解問題的最后解決往往取決于本征值問題的解決。因此從數(shù)學(xué)理論上討論本征

36、值問題具有重解決。因此從數(shù)學(xué)理論上討論本征值問題具有重要的意義。要的意義。 前面對數(shù)理方程分離變量后所得到的一些帶前面對數(shù)理方程分離變量后所得到的一些帶有參量的常微分方程的一般形式為：有參量的常微分方程的一般形式為：一、施圖姆一、施圖姆劉維爾本征值問題劉維爾本征值問題21232dd( )( )( )0 ddyyc xc xc xyaxbxx21( )( )exp( )c xk xdxc x做變換做變換31( )( )( )( )c xq xk xc x 1( )( )( )k xxc xdd( )( )( )0 ddyk xq x yx yaxbxx則原方程變?yōu)閯t原方程變?yōu)橐虼?，任何一個形如上

37、述一般形式的含參數(shù)的二因此，任何一個形如上述一般形式的含參數(shù)的二階常微分方程均可化為此形式，該形式的方程稱階常微分方程均可化為此形式，該形式的方程稱為為施圖姆施圖姆劉維爾型方程劉維爾型方程，簡稱為，簡稱為S-L方程方程。 施圖姆施圖姆劉維爾型方程附以奇次的第一類、劉維爾型方程附以奇次的第一類、第二類、第三類或自然邊界條件，就構(gòu)成施圖姆第二類、第三類或自然邊界條件，就構(gòu)成施圖姆劉維爾本征值問題。劉維爾本征值問題。例例1：1, 1ab 2( )1, ( )0, ( )1k xxq xx 0, ab( )sin ,k ( )0, ( )sinq 或或自然邊界條件：自然邊界條件：( 1)y 有界有界代

38、入代入S-L方程可得：方程可得：2dd(1)0dd( 1)yxyxxy有界有界ddsinsin0dd(0), ( ) 有界有界此兩方程為此兩方程為勒讓德方程本征值問題勒讓德方程本征值問題。例例2：1, 1ab 222( )1, ( ), ( )11mk xxq xxx 0, ab( )sin ,k2( ), ( )sinsinmq 或或自然邊界條件：自然邊界條件：( 1)y 有界有界代入代入S-L方程可得：方程可得：222dd(1)0dd1( 1)ymxyyxxxy有界有界2ddsinsin0ddsin(0), ( )m 有界有界此兩方程為此兩方程為連帶勒讓德方程本征值問題連帶勒讓德方程本征值

39、問題。例例3：200, , ( ), ( ), ( )mabxk xxq xxxx自然邊界條件：自然邊界條件：0(0), ()yy x有界有界代入代入S-L方程可得：方程可得：20dd0dd(0), ()ymxyxyxxxyy x有界有界此方程為貝塞爾此方程為貝塞爾方程本征值問題方程本征值問題。注：方程的注：方程的x為柱坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)為柱坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系中的極坐標(biāo)例例4：120, , ( ), ( )0, ( )abl k xCq xxCC1、C2為常數(shù)為常數(shù)代入代入S-L方程可得：方程可得：220(0)0, ( )0d yydxyy l一維自由弦振動問題分離變量后所得的方程，一維

40、自由弦振動問題分離變量后所得的方程，其本征值和本征函數(shù)分別為：其本征值和本征函數(shù)分別為：222, sinnn xyCll例例5：22, , ( ), ( )0, ( )xxabk xeq xxe 代入代入S-L方程可得：方程可得：這是埃爾米特方程這是埃爾米特方程20yxyy的增長不快于的增長不快于22dd0dd, xxyeexxxy 212xe的本征值問題。（此問題來自量子力學(xué)中的諧振的本征值問題。（此問題來自量子力學(xué)中的諧振子問題）子問題）例例6：0, , ( ), ( )0, ( )xxabk xxeq xxe 代入代入S-L方程可得：方程可得：這是拉蓋爾方程這是拉蓋爾方程(1)0 xyx

41、 yy的本征值問題。（此問題來自量子力學(xué)中的氫原的本征值問題。（此問題來自量子力學(xué)中的氫原子問題）子問題）的增長不快于的增長不快于22dd0dd, xxyeexxxy 12xe，y(0)有限有限注：在以上各例中，注：在以上各例中，k(x)、q(x)和和(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)上都取正直。上都取正直。（2）貝塞爾方程的）貝塞爾方程的k(x)=x，k(0)=0，在端點，在端點x=0確實存在著自然邊界條件；確實存在著自然邊界條件； 從以上各例還可看出從以上各例還可看出，如端點如端點a和和b是是k(x)的的一級零點，在那個端點就存在著自然的邊界條件一級零點，在那個端點就存在著自然的邊界條件，

42、例如：例如：（1） 勒讓德方程的勒讓德方程的k (x)=1-x2，k(1)=1-(1)2=0，在端點在端點x=1確實存在自然邊界條件；確實存在自然邊界條件；（3）再如拉蓋爾方程的）再如拉蓋爾方程的k(x)=xe-x，k(0)在端點在端點x=0確實有自然邊界條件。確實有自然邊界條件。二、施圖姆二、施圖姆劉維爾本征值問題的共同性質(zhì)劉維爾本征值問題的共同性質(zhì)（1） 如果如果k(x)、 k(x)、 q(x)連續(xù)或者最多以連續(xù)或者最多以x=a 和和x=b為一階極點，則存在無限多個本征值為一階極點，則存在無限多個本征值條件：條件：S-L本征值問題中的本征值問題中的k(x)、q(x)和和(x)在在 開區(qū)間開

43、區(qū)間(a, b)上非負(fù)（上非負(fù)（0）。）。1234,相應(yīng)的有無限多個本征函數(shù)相應(yīng)的有無限多個本征函數(shù)1234, , , ,yyyy （2） 所有本征值為實數(shù)且非負(fù)，即所有本征值為實數(shù)且非負(fù)，即0n證明：證明：dd( )( )( )ddnnnnyk xq x yx yxx 本征值本征值n和本征函數(shù)和本征函數(shù)yn(x)滿足滿足用用yn(x)遍乘各項，并逐項從遍乘各項，并逐項從a到到b積分可得積分可得22ddddddbbbnnnnnaaayy dxykxqyxxx 22ddddddbbnnnaabyykkxqyxaxx 22dd()nnnnbbnnabx aaxkykyxqyyky yx22dd0b

44、bnnaakyxqyx()0nnx aky y如果在端點如果在端點x=a是第一類奇次條件是第一類奇次條件yn(a)=0、第、第二類奇次條件二類奇次條件yn(a)=0或自然邊界條件或自然邊界條件k(a)=0，則則()0nnx bky y2()()0nnx annnnky yk yhyyhky如果在端點如果在端點x=a是第三類奇次條件是第三類奇次條件(yn-hyn)x=a=0，則則同理，可得無論在哪種邊界條件下，都有同理，可得無論在哪種邊界條件下，都有因此，有因此，有20bnnay dx即即0n大家自己證大家自己證明明n= *n（3） 相應(yīng)于不同本征值相應(yīng)于不同本征值m和和n的本征函數(shù)的本征函數(shù)y

45、m和和yn 在區(qū)間在區(qū)間a,b上帶權(quán)重上帶權(quán)重(x)正交，即正交，即( )( ) ( )d0 ()bmnayx yxxxnm證明：證明： 本征函數(shù)本征函數(shù)ym和和yn(x)滿足滿足d0dmmmmkyqyyx d0dnnnnkyqyyx yn(x) 第一式第一式 ym(x) 第二式，可得第二式，可得 dd()0ddnmmnmnmnykyykyy yxx 逐項在區(qū)間逐項在區(qū)間a,b積分，可得積分，可得dd0()()d()dddbbnmmnmnmnaaykyykyxy yxxxdd()ddbbnmmnmnmnaaky yky yxy yxx()| )(|) dnmmnxbmnmnnmmnx aabk

46、y ykyy ykxyyyky y()|0nmmnx bky yky y如果在端點如果在端點x=b是第一類奇次條件是第一類奇次條件y (b)=0、第二、第二類奇次條件類奇次條件y(b)=0或自然邊界條件或自然邊界條件k(b)=0，則，則()|nmmnx bky yky y如果在端點如果在端點x=b是第三類奇次條件是第三類奇次條件(y+hy)x=b=0，則則同理，可得無論在哪種邊界條件下，都有同理，可得無論在哪種邊界條件下，都有1()()0nmmmnnx bkyyhykyyhyh()|0nmmnx aky yky y因此，有因此，有()d0bmnmnay yx又又mn，所以，所以( )( ) (

47、 )d0 ()bmnayx yxxxnm得證。得證。如果如果(x)=1，則是我們以前學(xué)過的函數(shù)正交關(guān)系，則是我們以前學(xué)過的函數(shù)正交關(guān)系（4） 本征函數(shù)族本征函數(shù)族y1(x), y2(x), y3(x), 是是完備的完備的。1( )( )nnnf xf yx 這是說，如果函數(shù)這是說，如果函數(shù)f(x)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)和具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且滿足本征函數(shù)族所滿足的分段連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且滿足本征函數(shù)族所滿足的邊界條件，則其可以展開為絕對且一致收斂的級邊界條件，則其可以展開為絕對且一致收斂的級數(shù)：數(shù)：證明超出我們的范圍，略。證明超出我們的范圍，略。三、廣義傅里葉級數(shù)三、廣義傅里葉級數(shù)絕對一

48、致收斂的級數(shù)絕對一致收斂的級數(shù)1( )( )nnnf xf yx稱為稱為廣義傅里葉級數(shù)廣義傅里葉級數(shù)，系數(shù)，系數(shù)fn(n=1,2,)叫作叫作f(x)的的廣義傅里葉系數(shù)廣義傅里葉系數(shù)，函數(shù)族，函數(shù)族yn(x)叫作這個級數(shù)展開叫作這個級數(shù)展開的的基基。 用用ym(x)(x)乘上述級數(shù)展開式并逐項積分，可乘上述級數(shù)展開式并逐項積分，可得：得：1( )( ) ( )d( )( ) ( )dbbmnnmaanfyfyy 記：記：22( )( )dbmmaNy 由于本征函數(shù)帶權(quán)重的正交性質(zhì)，上式右端除了由于本征函數(shù)帶權(quán)重的正交性質(zhì)，上式右端除了n=m項之外全為項之外全為0，因此有：，因此有：2( )( )

49、 ( )d( )( )dbbmmmaafyfy 上式積分的平方根上式積分的平方根Nm項叫作本征函數(shù)項叫作本征函數(shù)ym(x)的模。的模。21( )( ) ( )dbmmamffyN 從而從而f(x)的廣義傅里葉系數(shù)的廣義傅里葉系數(shù) fm為為:如果本征函數(shù)的模如果本征函數(shù)的模Nm=1(m=1,2,)，就稱為歸一化，就稱為歸一化的本征函數(shù)。對于正交歸一化的本征函數(shù)族，上的本征函數(shù)。對于正交歸一化的本征函數(shù)族，上述廣義傅里葉系數(shù)計算公式變?yōu)椋菏鰪V義傅里葉系數(shù)計算公式變?yōu)椋? )( ) ( )dbmmaffy 對于非歸一化的本征函數(shù)對于非歸一化的本征函數(shù)yn(x)，只要改用，只要改用yn(x)/Nn，就

50、實現(xiàn)了本征函數(shù)的歸一化。，就實現(xiàn)了本征函數(shù)的歸一化。2( )( ) ( )dbmnmmnayx yxxxN為了方便，我們常將本征函數(shù)的正交關(guān)系寫為為了方便，我們常將本征函數(shù)的正交關(guān)系寫為:其中：其中：1 ()0 ()mnnmnm稱為稱為克羅內(nèi)克克羅內(nèi)克函數(shù)函數(shù)，對于正交歸一化的本征函數(shù)，對于正交歸一化的本征函數(shù)族，上式簡化為族，上式簡化為( )( ) ( )dbmnmnayx yxxx注：注：為了應(yīng)用為了應(yīng)用廣義傅里葉系數(shù)計算公式廣義傅里葉系數(shù)計算公式，必須先判，必須先判 定本征函數(shù)族是（帶權(quán)重）正交的，還必須能定本征函數(shù)族是（帶權(quán)重）正交的，還必須能 計算本征函數(shù)族的模計算本征函數(shù)族的模。四

51、、復(fù)數(shù)的本征函數(shù)族四、復(fù)數(shù)的本征函數(shù)族 以上的討論假定了本征函數(shù)是實變數(shù)的實值函以上的討論假定了本征函數(shù)是實變數(shù)的實值函數(shù)數(shù)。但本征函數(shù)也可以是實變數(shù)的復(fù)值函數(shù)，例如但本征函數(shù)也可以是實變數(shù)的復(fù)值函數(shù)，例如本征值方程本征值方程0 自然周期條件自然周期條件的本征函數(shù)族通常是實函數(shù)族：的本征函數(shù)族通常是實函數(shù)族：1,cos ,cos2 ,cos3 ,sin ,sin2 ,sin3 ,這些實函數(shù)族也完全可以由如下復(fù)函數(shù)族代替這些實函數(shù)族也完全可以由如下復(fù)函數(shù)族代替i3i2iii2i3, , , 1, , , ,eeeeee對于復(fù)數(shù)本征函數(shù)族，為了保證模是實數(shù)，通常將對于復(fù)數(shù)本征函數(shù)族，為了保證模是實數(shù)，通常將模定義修改為模定義修改為2( )( )( )dbmmmaNyxyxxx其中其中ym(x)*為為ym(x)的復(fù)數(shù)共軛，正交關(guān)系也相應(yīng)地的復(fù)數(shù)共軛，正交關(guān)系也相應(yīng)地變?yōu)樽優(yōu)? )( )( )d0bmnayxyxxx兩式統(tǒng)一起來，即兩式統(tǒng)一起來，即2( )( )( )dbmnmmnayxyxxxN而廣義傅里葉系數(shù)的計算公式為而廣義傅里葉系數(shù)的計算公式為21( )( )( )dbmmamffyN 注：實際應(yīng)用中，除非特殊情況，我們一般不知道注：實際應(yīng)用中，除非特殊情況，我們一般不知道 本征函數(shù)族是復(fù)數(shù)還是實數(shù)，因此處理時常都本征函數(shù)族是復(fù)數(shù)還是實數(shù)