多維隨機變量及其分布(續(xù))

1、 定義2: F(x, y) = P( X x, Y y)為(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù). 對任意實數(shù) x 和 y, 稱注意：F(x, y)為(X, Y)落在點(x, y)的左下區(qū)域的概率.稱pij = P(X=xi, Y=yj)， i, j=1, 2, ., 為(X,Y) 的聯(lián)合分布列， 其表格形式如下:Yy1 y2 yj x1x2xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j 設二維隨機變量(X, Y) 的分布函數(shù)為 F(x, y)，若存在非負可積函數(shù) p(x, y)，使得則稱 (X, Y) 為二維連續(xù)型隨機變量。-( , y) = ( , ) xyF xp

2、u v dvdu稱p(x, y) 為聯(lián)合密度函數(shù)。 定義4: 設 (X, Y) 的聯(lián)合分布列為 pij，則 X 的邊際分布列為： 1()ijjiiippP Xxp Y 的邊際分布列為： 1 ()ijijjjppP YypXY12jyyy12ixxx111212122212jjiiijppppppppp ip12ipppjp12jppp( )( ,)( , )dvduxXFxF xp u v ( )( , )dXpxp x yy 設 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 p(x, y)，則 X 的邊際密度函數(shù)為 ： ( )( , )dp xp x y y Y 的邊際密度函數(shù)為 ： ( )( , )dp

3、 yp x y x( )( )xXXFxpu du 令 則 設 (X, Y)服從區(qū)域 D=(x, y), x2+y2 1時，p(x, y)=0，所以 p(x)=0當|x|1時,22111d( )xxyp x221x不是均勻分布（1）（X,Y）關于X的邊緣密度函數(shù) 2111()211( )( , ),2xXfxf x y dyex （2）（X，Y）關于Y的邊緣密度函數(shù) 2221()221( )( , ),2yYfyf x y dxey (1)二維正態(tài)分布的邊際分布為一維正態(tài)分布。 (3) 二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均 勻分布. 若滿足以下之一: i) F(x, y) = FX(x)FY(

4、y) （對任意x,y) ii) pij = pipj （對任意i,j) iii) p(x, y) = pX(x)pY(y) （對任意x,y) 則稱 X 與Y 相互獨立。(1) X 與Y是獨立的其本質(zhì)是： , P aXb cYdP aXb P cYd任對實數(shù)a, b, c, d，有(2) X 與Y 是獨立的，則g(X)與h(Y)也是獨立的. (X, Y) 的聯(lián)合分布列為:X01Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1問 X與Y 是否獨立？解: 邊際分布列分別為:X 0 1P 0.7 0.3Y 0 1P 0.5 0.5因為(0, 0)0.3P XY(0) (0)0.70.50.35P XP Y所

5、以不獨立已知 (X, Y) 的聯(lián)合密度為 ,0, 0;( , )0 ,.xyexyp x y 其 他問 X 與Y 是否獨立？()0d0( )00 x yxeyexp xx, 0( ) 0,0yeyp yy所以X 與Y 獨立。注意：p(x, y) 可分離變量.解: 邊際分布密度分別為:結(jié)論: 設(X,Y)N(1,2,12,22,), 則X和Y相互獨立的充要條件為參數(shù)=0.2003年數(shù)學一填空（5）(習題) 設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為則 (1)P XY6 ,01( , )0,xxyf x y其它2005年數(shù)學一選擇（13）： 設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為已知隨機事件 與 相互獨立

6、，則(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 1XYX01Y 0 1 0.4 a b 0.10X 問題：已知二維隨機變量 (X, Y) 的分布，如何求出 Z=g (X, Y)的分布？(1) 設(X1, X2, , Xn) 是n維離散隨機變量， 則 Z = g(X1, , Xn) 是一維離散隨機變量.(2) 多維離散隨機變量函數(shù)的分布是容易求的： i) 對(X1, X2, , Xn)的各種可能取值對， 寫出 Z 相應的取值. ii) 對Z的 相同的取值，合并其對應的概率.12XP(),YP(),證明：Z的

7、可能取值為0，1，2，, 其分布列為, 2 , 1 , 0, ,0kikYiXkZki0()()(,)kiP ZkP XYkP Xi Yki0() ()kiP Xi P Yki獨立12120!()!ik ikieeiki12Z = X+YP( +).例1（泊松分布的可加性）：設且X與Y獨立，則kiikikikikek0212211)(21)!( !)(2112120!()!ik ikieeikikkek212211)(2121!)(, 2 , 1 , 0!)()(2121kekk).(21PYXZ即例2（二項分布的可加性）： 設X 和Y 相互獨立， 則 . ( , ),( , ),Xb n p

8、 Yb m p(, )ZXYb nm p 設X與Y 獨立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列.解:X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2Z = max(X, Y) 的取值為: 0, 1P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)= 3/4解解 1(,)1()()1 1( ) 1( )XYP Xz YzP XzP YzFxFy 即=minX,Y的分布函數(shù)為),(min1),(min)()(zYXPzYX

9、PzNPzFN)(1)(1 1)(zFzFzFYXN設離散隨機變量 X 與 Y 獨立，則 Z=X+ Y 的分布列為11)()() ()()( = liliiljjjP XxP YzxP XzyP YyP Zz若同一類分布的獨立隨機變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有可加性.定理 設連續(xù)隨機變量X與Y 獨立， 則 Z=X+ Y 的密度函數(shù)為( )( )()d =()( )dZXYXYpzpx pzxxpzy pyy例6: 若X和Y 獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y 的概率密度. .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解: 由卷積公式1010 xzx也即zx

10、zx110為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域 其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf也即zxzx110于是dxxzfxfzfYXZ)()()( 設 X 與 Y 獨立，XU(0, 1), YExp(1). 試求 Z = X+Y 的密度函數(shù).解:11, 01( )0, xXp x其 它2, 0( ) 0,0yeyYpyy12( )( )()dZp zp x p zx x被積函數(shù)的非零區(qū)域為：0 x0用卷積公式：(見下圖)xz1z = x因此有(1) z 0 時pZ(z) = 0 ;(2) 0 z 1 時()0d1zz xzexe pZ(z) =(3) 1 z 時pZ(

11、z) =1()0d(1)z xzexee1若 X N( )，Y N( ) ，注意： X Y 不服從 N( ).211, 222, 且獨立，則 Z = X Y N( ).221212, 221212, X Y N( ).221212, Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 間相互獨立, 實數(shù) a1, a2, ., an 不全為零, 則22111 , iiinniiiniiiaaa XN注:Xi N(, 2), i =1, 2, . n. 且 Xi 間相互獨立, 則21 , niiXnnXN 設 X 與 Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為解:試求 Z = X-Y 的密度函數(shù).當 時, 交集如右圖.01z 當 時, 的非零區(qū)域與 的交集為 .0zx yz ( , )p x y33122zz10033zxxzx zxdydxxdydx )()()(ZF zP ZzP X Yz ( , )3 , 01,00,p x yxxyx 其他當 時, 交集如右圖.1z23(1),01( )20,Zpzzz其他) 1(ZF z 故2004年數(shù)學三解答（22）： 設A，B為隨機事件，且 令求：（1）二維