經(jīng)濟84二重積分的運算

1、第九章第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點特點：平頂：平頂.柱體體積柱體體積=？特點特點：曲頂：曲頂.),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積一、問題的提出步驟如下：步驟如下：用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為)

2、,(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量i),(ii將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniiM xyo定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的有界函上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個小閉區(qū)域，個小閉區(qū)域，也表 示它 的 面積 ， 在每 個

3、也表 示它 的 面積 ， 在每 個i 上 任取 一點上 任取 一點),(ii ，作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，二、二重積分的概念如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .(1) 在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的任意

4、的.(2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)時時，定定義義中中和和式式的的極極限限必必存存在在，即即二二重重積積分分必必存存在在.對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值負值 在直角坐標系下用平在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元

5、素為性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時為常數(shù)時，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為D的面積，的面積，.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 則有則有 設(shè)設(shè)M、m分分別別是是),

6、(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上連續(xù)，上連續(xù)， 為為D的面積，則在的面積，則在 D 上至少存在一點上至少存在一點),( 使得使得性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）例例 1 1 不不作作計計算算，估估計計 deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性

7、質(zhì)質(zhì) 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)區(qū)域域 D的的面面積積 , ab例例 2 2 估估計計 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例 4 4 比比較較積積分分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln(的的大大小小, 其其中中 D 是是三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域, 三三頂頂點點各各為為(1

8、,0),(1,1), (2,0).解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D第二節(jié)第二節(jié)二重積分的計算法二重積分的計算法如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過

9、區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積為為底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )

10、(1yx DY型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直線軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域既不是若區(qū)域既不是X型區(qū)域又不是型區(qū)域又不是Y型區(qū)域（型區(qū)域（如圖），如圖），3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須對圖形作分割則必須對圖形作分割.具體計算的步驟：具體計算的步驟：1。按題意畫出積分區(qū)域的草圖；。按題意畫出積分區(qū)域的草圖；2。判定積分區(qū)域是。判定積分區(qū)域是X型，型，Y型或必須分塊處理；型或必須分塊處理；3。將二重積分化為二次積分（即兩個定積分）；。將二重積分

11、化為二次積分（即兩個定積分）；值得關(guān)注的兩點：值得關(guān)注的兩點：1。是否需要改變積分次序？（要掌握改變積分次序的方法）。是否需要改變積分次序？（要掌握改變積分次序的方法）2。是否能用對稱性簡化計算？。是否能用對稱性簡化計算？ （要掌握用對稱性簡化計算的（要掌握用對稱性簡化計算的方法）方法）xy 1例例 1 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 例例 2 2 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(

12、yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例 3 3 改改變變積積分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由拋拋物物線線2xy 和和2yx 所所圍圍平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域.解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx

13、)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(為為頂頂點點的的三三角角形形. dyey2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6 計計算算積積分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxx

14、ydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy , 10 yx,xyyx 所求體積所求體積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是例例 7 7 求由下列曲面所圍成的立體體積，求由下列曲面所圍成的立體體積，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解二重積分的計算（二重積分的計算（2 2）用極坐標計算二重積分用極坐標計算二重積分AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiir

15、r .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用極坐標系計算二重積分一、利用極坐標系計算二重積分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分

16、的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標系下區(qū)域的面積極坐標系下區(qū)域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 0例例 1 1 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標標二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在在極極坐坐標標系系下下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為

17、 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例例 2 2 計計算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原點點，半半徑徑為為a的的圓圓周周所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域.解解在在極極坐坐標標系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 例例3 3 求求廣廣義義積積分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe

18、 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 當(dāng)當(dāng) R時時,41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時時,4 I即即 20)(2dxex4 ,所所求求廣廣義義積積分分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例例 4 4 計算計算dxdyyxD)(22 ，其，其 D為由圓為由圓yyx222 ，yyx422 及直線及直線yx3 0 ，03 xy 所圍成的平面閉區(qū)域所圍成的平面閉區(qū)域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy例例 5 5 計計算算二二重重積積分分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域為為41| ),(22 yxyxD.解解由由對對稱稱性性，可可只只考考慮慮第第一一象象限限部部分分， 注