二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布

1、課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五節(jié)第五節(jié) 二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布二維隨機(jī)變量的函數(shù)分布3.5.1 和的分布和的分布3.5.1.1 離散型隨機(jī)變量和的分布離散型隨機(jī)變量和的分布3.5.1.2 連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布3.5.2 一般函數(shù)一般函數(shù) 的分布的分布 ),(YXgZ 3.5.4 最大值、最小值的分布最大值、最小值的分布 在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)函數(shù)的分在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論:我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題，我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題， 然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變

2、量的情形然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量X1, X2, ,Xn的聯(lián)合分布已知時(shí)，的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)如何求出它們的函數(shù) Y=g(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的分布的分布?一、離散型分布的情形一、離散型分布的情形例例1 若若X、Y獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求求Z=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨(dú)立性由獨(dú)立性此即離散此即離散卷積公式卷積公式r=0,1,2,

3、和的分布：和的分布：Z = X + Y 解：依題意解：依題意 riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為21,21的泊松分布的泊松分布.由卷積公式由卷積公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXPrZP0),()(由卷積公式由卷積公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分

4、布.21r=0,1，例例3 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.一、連續(xù)型分布的情形一、連續(xù)型分布的情形和的分布：和的分布：Z = X + Y 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( yzdxdyyxf),(dyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的對稱性的對稱

5、性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上兩式是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式以上兩式是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式. 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣的邊緣密度分別為密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個(gè)公式稱為這兩個(gè)公式稱為卷積公式卷積公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例4 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求

6、Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式 1010 xzx即即 110 xzxx其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如圖示如圖示:于是于是為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 1010 xzx即即dxxzfxfzfYXZ)()()(110 xzxx解法二解法二 從分布函數(shù)出發(fā)從分布函數(shù)出發(fā))()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z當(dāng)當(dāng)z 0 時(shí)時(shí)，0)( zFZ1yx1 可用可用卷積公式直接求密度函數(shù)卷積公式直接求

7、密度函數(shù)與與通過分布函通過分布函數(shù)求密度函數(shù)數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布兩種方法求和的分布 zyxYdxdyyfxf)()(Xx+y = z當(dāng)0 z 1 時(shí)， xzzZdydxzF001)( zdxxz0)(22z zzfZ)(1yx1zzx+y = z當(dāng)1 z 2 時(shí)，xzzZdydxzzF0111) 1()(11)(1zdxxzz1222zzzzfZ 2)(z-11yx1zz1yx1x+y = z22當(dāng)2 z 時(shí)，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或例例5 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午1212時(shí)時(shí)3030分在某地會(huì)面分在某地會(huì)面. .如果甲來到的時(shí)

8、間在如果甲來到的時(shí)間在12:1512:15到到12:4512:45之間是均勻之間是均勻分布分布. . 乙獨(dú)立地到達(dá)乙獨(dú)立地到達(dá), ,而且到達(dá)時(shí)間在而且到達(dá)時(shí)間在12:0012:00到到13:0013:00之間是均勻分布之間是均勻分布. . 試求先到的人等待另試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過一人到達(dá)的時(shí)間不超過5 5分鐘的概率分鐘的概率. . 又甲先又甲先到的概率是多少？到的概率是多少？解解: 設(shè)設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻為甲到達(dá)時(shí)刻, ,Y為乙到達(dá)時(shí)刻為乙到達(dá)時(shí)刻以以1212時(shí)為起點(diǎn)時(shí)為起點(diǎn), ,以分為單位以分為單位, ,依題意依題意,XU(15,45), YU(0,60)其它, 04515,30

9、1)(xxfX所求為所求為P( |X-Y | 5) 及及P(XY)其它, 0600,601)(xyfY解解: 設(shè)設(shè)X X為甲到達(dá)時(shí)刻為甲到達(dá)時(shí)刻， Y為乙到達(dá)時(shí)刻為乙到達(dá)時(shí)刻以以1212時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意，XU(15,45), YU(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由獨(dú)立性由獨(dú)立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘分鐘的概率的概率解一：解一： 45155x5xdxdy18001P(| X-Y| 5) xy015451060405yx5yx=P( -5 X -Y

10、 5)=1/6=1/2xy01545106040yx P(XY) 451560 xdxdy18001解二：解二：5| yx |dxdy18001P(X Y)P(| X-Y| 5) xy015451060405yx5yxxy01545106040yx 例例6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布N(0,1),求求Z= X+Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).解解 由題意得由題意得 ( )( ,)( )()ZXYfzf x zx dxfx fzx dx( ),( )xyXYfxefye22221122X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,故故()xz xeedx2

11、22212()zzxeedx224212)tzx22( 令 dteety2422221 ()uedu2224221ye )2 , 0( NY結(jié)論結(jié)論: 兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的隨機(jī)變量的和兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的隨機(jī)變量的和 仍服從正態(tài)分布仍服從正態(tài)分布.X1+X2N(1+ 2,12+ 22)正態(tài)分布的可加性正態(tài)分布的可加性.即即:若若X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2獨(dú)立獨(dú)立,則則三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布求求M=max(X,Y) 及及N=min(X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù).設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們

12、的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y),M=max(X,Y)不大于不大于z等價(jià)于等價(jià)于X和和Y都不大于都不大于z，故有故有P(Mz)=P(Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 類似地，可得類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣下面進(jìn)行推廣 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(N

13、z)=1- - P(Xz)P(Yz)設(shè)設(shè)X1,Xn是是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,)(xFiX(i =0,1，, n)它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: )()(1zFzFXM )(zFnXN=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是)(1 1)(1zFzFXN )(1 zFnX 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有時(shí)，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n與二維情形類似，可得與二維情形類似，可得: 需要指出的是，當(dāng)需要指出的是，當(dāng)X1,X

14、n相互獨(dú)立且相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)時(shí), 常稱常稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的作用和實(shí)用價(jià)值的作用和實(shí)用價(jià)值.解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq記記1-p=q例例7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,

15、X2相互獨(dú)立相互獨(dú)立,并且有相同的幾并且有相同的幾何分布何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 .解二解二: P(Y=n)=P(Yn)- -P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )- -P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)- -P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpq練習(xí)練習(xí).1 .1 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)L L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接

16、而成，聯(lián)接的方式分別為聯(lián)接的方式分別為(i)(i)串聯(lián)，串聯(lián)，(ii)(ii)并聯(lián)，如圖所示設(shè)并聯(lián)，如圖所示設(shè)L L1 1,L,L2 2的壽命分別為的壽命分別為X X與與Y Y，已知它們的概率密度分別，已知它們的概率密度分別為為( )xXexfxx11000( )yYeyfyy22000其中其中 , ,試分別試分別就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出就以上兩種聯(lián)結(jié)方式寫出L L的壽的壽命命Z Z的概率密度的概率密度,.121200解解:(1)此時(shí)系統(tǒng)此時(shí)系統(tǒng)L的壽命的壽命,( ),( ),xyXYexeyFxFyxy1110100000min,ZL LX Y12的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為(),( ),

17、zZezFzz 121000所以所以Z的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為()(),( ),zZezfzz1212000概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為().E12從這里得出，從這里得出， 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布min,ZL L12這個(gè)結(jié)論可以推廣到一般情況這個(gè)結(jié)論可以推廣到一般情況.(2)此時(shí)系統(tǒng)此時(shí)系統(tǒng)L的壽命的壽命()(),( ),zzZeezFzz1211000max,ZL L12的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為()(),( ),zzzZeeezfzz12121212000概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為2 2、 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,YX,Y相互獨(dú)立，并且相互獨(dú)立，并且 , ,( ),XUYE0 11求求,

18、max, ,min, XYX YX Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).由卷積公式可得由卷積公式可得: :當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)z01( )( ,)zzx zzZfzf x zx dxedxe001當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)z 1( )( ,)()x zzZfzf x zx dxedxee11001當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)z 0( )Zfz 0Y( )( )yXxeyfxfyy1010000其它解解（1）令）令 , 由題意由題意ZXY2 2、 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,YX,Y相互獨(dú)立，并且相互獨(dú)立，并且 , ,( ),XUYE0 11求求,max, ,min, XYX YX Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).故故(),( )( )( ),ttTXYtetF tFt Ftett 1011100Y,( )( )yXxeyFxxxFyyx 0010010011解解（2）令）令 , 由題意由題意max, TX Y進(jìn)而，得進(jìn)而，得,( )( )( ),tttTXYetetftFt Ftett 1011002 2、 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,YX,Y相互獨(dú)立，并且相互獨(dú)立，并且 , ,( ),XUYE0 11求求,max, ,min, XYX YX Y的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù).故故,( )( )( ),rrRXYererFrFrFrrr 1011111100Y,(