上海交通大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其分布

1、在實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中, 試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的 r.v.來(lái)描述來(lái)描述. 例如例如 用溫度和風(fēng)力來(lái)描述天氣情況用溫度和風(fēng)力來(lái)描述天氣情況. 通過(guò)對(duì)含碳、含硫、含磷量的測(cè)定來(lái)研究通過(guò)對(duì)含碳、含硫、含磷量的測(cè)定來(lái)研究需考慮多維需考慮多維 r.v.及其取值規(guī)律及其取值規(guī)律多維分布多維分布.鋼的成分鋼的成分. 要研究這些要研究這些 r.v.之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系, 就就3.1 二維隨機(jī)變量及其分布定義定義 設(shè)設(shè) 為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，2)(),(RYX一定法則則稱則稱( X , Y )為為二維二維r.v.或或二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)

2、向量討論：討論： 二維二維r.v.作為一個(gè)整體的概率特性作為一個(gè)整體的概率特性 其中每一個(gè)其中每一個(gè)r.v.的概率特性與整體的概率特性與整體 的概率特性之間的關(guān)系的概率特性之間的關(guān)系 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義定義 設(shè)設(shè)( X , Y ) 為二維為二維 r.v. 對(duì)任何一對(duì)對(duì)任何一對(duì))()(yYxX定義了一個(gè)二元定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù) F ( x , y )，稱為二維稱為二維 r.v.( X ,Y ) 的分布函數(shù)，即的分布函數(shù)，即yYxXPyxF,),(記為記為 )yYxX ,的概率的概率yYxXP ,實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)( x , y ), 事件事件分布函數(shù)的幾何意義如

3、果用平面上的點(diǎn)如果用平面上的點(diǎn) (x, y) 表示二維表示二維r.v. (X , Y )的一組可能的取值，則的一組可能的取值，則 F (x, y) 表示表示 (X , Y ) 的取值落入圖所示角形區(qū)域的概率的取值落入圖所示角形區(qū)域的概率.(x, y)xy(,) 聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(,) 0F ),(xy(x, y)xy),(1),(0yxF(,) 1F ( ,)0F x xyxy(, )0Fy固定 x , 對(duì)任意的 y1 y2 , 固定 y , 對(duì)任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )F (x0 , y0) = F (x0 , y0

4、 + 0 )對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減對(duì)每個(gè)變量右連續(xù)對(duì)每個(gè)變量右連續(xù)F (x, y1) F (x, y2)F (x1,y) F (x2, y)F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0事實(shí)上事實(shí)上對(duì)于任意對(duì)于任意 a b , c 2)解解 (1)122),(CBAF022),(CBAF022),(CBAF21,2,2ACB(2),()(xFxFX.,2arctan121xx),()(yFyFY.,2arctan121yy(3) 2(1) 2(XPXP22arctan1211.4/1可以將二維可以將二維 r.v.及其邊緣分布函數(shù)的及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣

5、到概念推廣到 n 維維 r.v.及其聯(lián)合分布函及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)數(shù)與邊緣分布函數(shù)定義定義 若二維若二維 r.v.(X ,Y )所有可能的取值所有可能的取值 為有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè)為有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè), 則稱則稱 (X ,Y ) 為為二維離散型二維離散型 r.v.要描述二維離散型要描述二維離散型 r.v.的概率特性及的概率特性及其與每個(gè)其與每個(gè) r.v.之間的關(guān)系常用其之間的關(guān)系常用其聯(lián)合聯(lián)合概率分布概率分布和和邊緣概率分布邊緣概率分布二維離散型二維離散型 r.v.及其概率特性及其概率特性聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律設(shè)( X ,Y )的所有可能的取值為則稱為二維 r.v.( X ,Y

6、) 的聯(lián)合概率分布也簡(jiǎn)稱 概率分布 或 分布律顯然，, 2 , 1,),(jipyYxXPijji, 2 , 1,),(jiyxji, 2 , 1, 0jipij111ijijp二維離散二維離散 r.v.的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù),.xy已知聯(lián)合分布律可以求出其聯(lián)合分布函數(shù)反之, 由分布函數(shù)也可求出其聯(lián)合分布律,2, 1, ji,),(xxyyijijpyxF) 0, 0(), 0(jijiyxFyxF) 0,(),(),(jijijiyxFyxFyYxXP二維離散二維離散 r.v.的邊緣分布律的邊緣分布律, 2 , 1,)(1ippxXPijiji記作, 2 , 1,)(1jppyYPji

7、ijj記作由聯(lián)合分布可確定邊緣分布由聯(lián)合分布可確定邊緣分布, ,其逆不真其逆不真. .x1 xi 11pjp11 ipijpXY ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布律y1yj1x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1XY 聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律及邊緣分布律及邊緣分布律),(jiijyYxXPp的求法的求法 利用古典概型直接求；利用古典概型直接求； 利用乘法公式利用乘法公式. )()(ijiijxXyYPxXPp例例3 3 某校新選出的學(xué)生會(huì)某校新選出的學(xué)生會(huì) 6 名女委員名女委員, 文、文、理、工科各占理、工科各占1/6、1/3、1/2，現(xiàn)從中隨機(jī)，現(xiàn)從中隨機(jī)指定指定

8、 2 人為學(xué)生會(huì)主席候選人人為學(xué)生會(huì)主席候選人. 令令X , Y 分分別為候選人中來(lái)自文、理科的人數(shù)別為候選人中來(lái)自文、理科的人數(shù). 解解 X 與與Y 的可能取值分別為的可能取值分別為0 , 1與與0 , 1 , 2. 求求(X, Y) 的聯(lián)合分布律和邊緣分布律的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.,15/325232625CCCC) 00() 0() 0, 0(XYPxPYXP由乘法公式由乘法公式,15/ 3/) 0, 1(261311CCCYXP,15/2/) 1, 1(261211CCCYXP. 0) 2, 1( YXP,15/6/) 1, 0(261312CCCYXP;15/ 1/) 2, 0(2

9、622CCYXP,15/3/)0, 0(2623CCYXP或由古典概型或由古典概型相仿有相仿有故聯(lián)合分布律與邊緣分布律為 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY pip j1/32/316/15 8/15 1/15例例4 4 二元兩點(diǎn)分布XY pijp jpi1 010p 00 qp qpq1p + q = 1 ，0 p 1作業(yè) P131 習(xí)題三1 2 3二維連續(xù)二維連續(xù) r.v.及其概率特性及其概率特性定義定義 設(shè)二維設(shè)二維 r.v.( X ,Y )的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x ,y ),若存在非負(fù)可積函數(shù)若存在非負(fù)可積函數(shù) f (x,y) , 使得對(duì)于任

10、意實(shí)數(shù)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) x , y 有有 xydvduvufyxF),(),(則稱則稱( X ,Y ) 為為二維連續(xù)型二維連續(xù)型 r.v. f (x,y) 為為( X ,Y ) 的的聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記 p.d.f.聯(lián)合密度與聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合密度與聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)除除 d.f. 的一般性質(zhì)外還有下述性質(zhì)的一般性質(zhì)外還有下述性質(zhì)),(2yxfyxFyxyxf),(),(yyYyxxXxP從而有從而有0),(yxf11),( dydxyxf2對(duì)每個(gè)變?cè)B續(xù)對(duì)每個(gè)變?cè)B續(xù), 在在 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處),( yxf3P( X = a ,-

11、Y + ) = 0P(- X + , Y= a ) = 0GdxdyyxfGYXP),(),(若若G 是平面上的區(qū)域，則是平面上的區(qū)域，則P( X = a ,Y = b ) = 04 xXdvduvufxF),()(邊緣分布函數(shù)與邊緣邊緣分布函數(shù)與邊緣 d.f. yYdudvvufyF),()(dvvxfxfX),()(duyufyfY),()(與離散型相同,已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布；反之則不能唯一確定.例5 設(shè) r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合 d.f. 為其他, 0, 10 ,0,),(yyxkxyyxf其中k 為常數(shù). 求 常數(shù) k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.

12、5); 聯(lián)合分布函數(shù) F (x,y); 邊緣 d.f. 與邊緣分布函數(shù)y = x10 xy10,0),(yyxyxD解解 令D(1)1),( dxdyyxf1),(Ddxdyyxf10210082kdyyykkxydxdyy8kx+y=1y = x10 xy(2) ) 1(YXP0.5x+y=1y = x10 xy15 . 018yyxydxdy. 6/ 5y = x10 xy0.5)5 . 0(XP5 . 0018xxydydx.16/7的分段區(qū)域0 x),(yxF0yy = x10 xyD10 xxy01yx1y1x10y1y當(dāng)0 x 1, 0 y x 時(shí)，1(3) xydvduvufyY

13、xXPyxF),(,),(當(dāng)x0 或 y0 時(shí), F(x,y) = 04008yuvdudvyv當(dāng)0 x1, x y1時(shí)，422028),(xyxuvdvduyxFxyuv=u10uv),( yxF當(dāng)0 x 1, y 1時(shí)，xuuvdvduyxF018),(v=u10uv1422xx 當(dāng)x 1, 0 y 1時(shí)，v=u10uv1當(dāng) x 1, y 1 時(shí)，1),(yxF4yyvuvdudv008),( yxFF (x,y) =0, x 0 或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x ，2x2y2y4, 0 x 1, x y 1，2x2x4 , 0 x 1, y 1，y4 , x 1, 0 y 1

14、，1, x 1, y 1，(4),()(xFxFX=0, x 0，2x2x4 , 0 x 1, 1, x 1),()(yFyFY0, y 0y4 , 0 y X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落點(diǎn)到 y 軸距離小于0.3的概率.求解解 (1)y=x10 xy1其他, 010 ,0, 2),(xxyyxfG(2)y = x21022xxdydx. 3/ 1)(2XYP(3) 3 . 03 . 0() 3 . 0|(|XPXP09. 0)3 . 0(2122y = x10 xy10.3若r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合為yx,則稱( X ,Y ) 服從參數(shù)為1,12,2,22, 的正態(tài)分布, 記作( X ,Y ) N(1,12;2,22; ) 其中1,20, -1 -2.869, 1.790, 0.110, AspectRatio-0.6,PlotPoints-30;二