線性系統(tǒng)的頻域分析

1、1111)()()( RCsCsRCssUsUsGioR RC CiuouiuouiurcAAA tAtrr sin)( )sin()( tAtcc crACAR，o0tAtrr sin)( )sin()( tAtcc rcrcAAAARCjGo0)()()( jG | )(|)( jGAAArc )()()()()( jQPAjG )(Re)( jGP )( jG )(Im)( jGQ )(cos)()( AP)(sin)()( AQ)()()(22 QPA )()()(1 PQtg 1111)()()( RCsCsRCssUsUsGioR RC Ciuou jssGjG | )()(111

2、1)( RCjCjRCjUUjGrc j js dtds dtdj jssGjG | )()( 0)( jG DecDecDecDec1 2 012. lg01. 001 . 0110100 lg )(lg20)( AL )(lg20 A)lg(20幅值增益 KP )( 0)( QKsG )(KjG )( KA )( 0)( dBL/ )( )( 180 180KA )( 0)( 111000lg20)(KKKKL常常數(shù)數(shù) Klg201 K1 KKlg201 KKlg20 0)( 11)( TssG11)( TjjG TtgTA122)(,11)( 22221)(,11)( TTQTP 0)0

3、(1)0(0)0(1)0(0 QPA，時時： 2)1(21)1(45)1(21)1(1KTQTPTTAT ，時時： 0)(0)(90)(0)( QPA，時時： 0 0 T1 2211)( TA 11)( TssG11)( jTjG221lg201lg20)(lg20)( TAL 1 T01lg20)( L1 T TTLlg20lg201lg20)( Ttg1)( Tlg201lg201lg20 T1o o 2211lg20 T o TTlg201lg20222 To1 )( 31lg202o2maxdBT Ttg1)( 。時時，當當時時，當當時時，當當ooo90)(;45)1(1;0) 0(0

4、 TT2111)( ejjjG2)( 1)( A 1)( Q0)( P0 ssG1)( lg201lg20)(lg20)( AL2)( 1)( A1 KdBL/ )()(90204020401101001101000)(1 L時時，當當2)( 12)(1)()(22 TssTsGTssGssG TjTjGjTjGjjG 21)(1)()(22 jjG )(2)(,)( A )(,0)(QPReReImIm02)(lg20)()( LA jjG )( TQP )(, 1)( TtgTA122)(,1)( 0 jTjG 1)(2)(,;4)(,1; 0)(, 0 T2 0)(lg201)(1 AA

5、T，時時，當當 TLTATlg20)()(1 ，時，時，當當22221lg20)(,1)( TLTA Ttg1)( T1 222222222222224)1(2)(,4)1(1)(TTTQTTTP 222222)2()1(1)()()(TTQPA 221112)()()( TTtgPQtg 222222121)(nnnssTssTsG 10 TjTjG 2)1(1)(22 221 nm諧振頻率諧振頻率2121)( mmAA諧諧振振峰峰值值1 2 . 0 0 1 . 0 1 . 0 3 . 0 4 . 0 5 . 0 6 . 0 7 . 0 8 . 0 2 時時707. 0 10 2222)2(

6、)1(1)(TTA 22112)( TTtg 2222)2()1(lg20)(lg20)(TTAL 0)(1 LT時時， TTLTlg40)(lg20)(1222 時時，To1 22112)( TTtg 。 )(,;2)(,1; 0)(, 0T3 . 0, 1,10 TKTo1 DecdB/4016 . 010)(2 ssjG 222)2()(1 lg20)(nnL 2222)lg(20)2()(1 lg20)(nnnL n n 221222212)(,)2()1()( TTtgTTA 12)(22 TssTsG 0)(1 LT時時， TTTLTlog40)2()1(lg20)(12222 時

7、時，To1 )(,;2)(,1; 0)(0T時時，當當2222)2()1(lg20)(TTL 0 0 sesG )( jejG )(1)( A(deg)3 .57)()( radsesG )( jejG )(1)( A(deg)3 .57)()( rad100-10 1 101 51 21 5 10 2-540-450-360-270-180-900)(dBL )( )()( jQP )()( jeA)(),( QP)(),( A)1)(1()(21 jTjTKjG 5, 1, 121 TTK)()()1)(1()()1)(1()1()1)(1()1)(1()(2222212122222122

8、122222121 jQPTTTTKjTTTTKTTjTjTKjG 5, 1, 121 TTK)251)(1(6)(,)251)(1(51)(22222 QP , 0 )( P)( Q 5165 5)(11 tgtg )( 51)51)(1(1)(sssG 5, 1, 121TTk5, 1, 121TTk0)51)(1(1)(ssssG 5, 1,1021TTk0)51)(1(10)(ssssG njjmiijTjjKjG11)1()1()()( njjmiiTtgtg11112)(0 ,2)0( ,2)(2)(22)( mnnm 00|)(| )( jKjG)( , 0| )(mnjG 若若

9、 00pKKG | )0(| , 0)0(0 型型：0 ,2)0( 00|)(| )( jKjG | )0(| ,2)0(G 型：型： | )0(| ,)0(G 0pKK ,2)(2)(22)( mnnm )( , 0| )(mnjG 若若 2)(1 時時，mn23)(3 時時，mn )(2時時，mn)()()()(21 jGjGjGjGn 設(shè)設(shè)開開環(huán)環(huán)頻頻率率特特性性)()()()(lg20)(lg20)(lg20)()()(lg20)(lg20)(212121 nnnLLLjGjGjGjGjGjGjGL )()()()(21 n 2121,)1)(1()(TTsTsTsKsG 204060

10、11T21T2040608011T21T4590135180)(270 ,KjjiiT11 ， lg20lg20)( KL)/(20decdB )( j)14 . 025. 0)(125. 0(10)(2 ssssGk5 . 0,25. 0,10, 021 TTK dBKTT20lg20, 21, 412211 decdB/01012420 )( L4060244060)05. 01)(125. 01)(101()1001(10)(223ssssssG 2005. 01, 8125. 01, 1 . 0101,01. 01001; 2;1043213 KdecdB/40 1 )(6010lg2

11、0lg203dBK )60, 1 ( 21231211 s171 s)121()171(6 . 5)( ssssG )( L0)()(1 sHsG)()(1sHsG )()( jHjG niinjjpszsKsF111)()()(設(shè)設(shè) niinjjpszssF11)()()(sC 1z j平面平面s2z 2p 1p FC平平面面)(sFeRmI0 niinjjpszssF11)()()(sC 1z j平面平面s2z 2p 1p FC平平面面)(sFeRmI0 )()()()()(sNsMKsHsGsGgk )()()()()(1)()(1)(sNsMKsNsNsMKsHsGsFgg )()()

12、()()(sNsMKsHsGsGgk )()()()(1)()(sFsGsHsGsGs )()(1)(sHsGsF 閉環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)開環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù) 右右半半零零點點數(shù)數(shù)右右半半極極點點數(shù)數(shù)| )(| )(sFsFN)( jGK 0 22, 從從ReRsj0 je 0 j常常數(shù)數(shù) )()(1 lim)(limsHsGsFss j)(1)()(1)( jGjHjGjFk j j j j j1)()( jFjGk)( jGk)01(j， )(jF)(jGk)( jGk)( jF)01(j， )( jGk）（0 NPZ)01(j， )( jGk)( jGk）（0 NPZ)( jGk 0從從 0

13、從從 2PN )01(j， )( jGk)1)(1()(21 sTsTKsGk)52)(1(52)(2 ssssGk21j 0 P1 2)2(0 NPZ1 sK)(sR)(sC2/K)0 , 2/( K 1 sK)(sR)(sC1 P njjmiiksTssKsG11)1()1()( 0 22, ReRsj 0 22, 0, jes jejeR 0 0 jejeR 0 0 jjesniimjieskeeKsTssKsGjj )lim()1()1()(0lim11lim00 jes0lim 2 )(sGk2 2 2 jejeR 0 0 2 2 2 0 0 eRmI jejeR 0 0 0 0 e

14、RmI0w-=10w+=0 P1 000 P2)2(0 NPZ0ReIm)( )( L o00o180 dBL0)( 若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有P P個位于個位于s s右半右半平面的特征根，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條平面的特征根，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：在件是：在L()0 的所有頻率范圍內(nèi)，相頻的所有頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線特性曲線 ()與與-180線的正負穿越次數(shù)線的正負穿越次數(shù)之差等于之差等于P/2。 )14 . 025. 0)(125. 0(10)(2 ssssGk)05. 01)(125. 01)(101()1001(10)(223ssssssG )( jGkBA兩兩點點

15、。、交交與與實實軸軸曲曲線線分分別別與與單單位位圓圓和和負負設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)頻頻率率特特性性BAjGk)( 稱稱為為相相角角穿穿越越頻頻率率點點處處的的頻頻率率也也稱稱剪剪切切頻頻率率稱稱為為幅幅值值穿穿越越頻頻率率點點處處的的頻頻率率gcBA ,表表示示。用用裕裕度度，的的幅幅值值的的倒倒數(shù)數(shù)稱稱為為幅幅值值處處在在相相角角穿穿越越頻頻率率gkgKjG)( )(1ggAK 即即ReIm)(180co 兩兩點點。、交交與與實實軸軸曲曲線線分分別別與與單單位位圓圓和和負負設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)頻頻率率特特性性BAjGk)( BAReIm稱稱為為相相角角穿穿越越頻頻率率點點處處的的頻頻率

16、率也也稱稱剪剪切切頻頻率率稱稱為為幅幅值值穿穿越越頻頻率率點點處處的的頻頻率率gcBA ,0ReImc g c g 0 0 gK/1 gL)( )( L o00o180 )(180c 0 gL0 0 gL0 )(lg20)(1lg20lg20ggggAAKL )( )( L o00o180 c g 0ReIm)( )( L o00o180 c g 0ReIm)( )( L o00o180 c g 0ReImc g c g c g )5( )1( sssK)(sR)(sC c g 104. 0112)(22 ccccA c 112)(2 cccA o114 .1552 . 090)( ccctg

17、tg )(180c )12 . 0( )1(2)( jjjjGsradc/25. 1 解解得得：ooo6 .2438.155180 c o111802 . 090)( gggtgtg sradg/24. 2 33216. 004. 0112)(22 ggggA )(6 . 9)(lg20dBALgg g )12 . 0( )1(2)( jjjjGK=10K=1001c c g c 1 .00cc 101 .0c 10 的的值值。，并并且且要要盡盡可可能能提提高高附附近近的的斜斜率率為為在在曲曲線線望望穩(wěn)穩(wěn)定定性性能能和和快快速速性性，希希為為了了使使系系統(tǒng)統(tǒng)具具有有較較好好的的ccdecdBL

18、 /20)( )2()(2nnksssG )2()(2nnkjjjG 22224)(nnA nntgtg2180290)(1010 c 14)(2222 nccncA 由由24214 nc得得cnst 24214)43(43 調(diào)調(diào)整整時時間間。越越大大，系系統(tǒng)統(tǒng)快快速速性性越越好好反反映映了了系系統(tǒng)統(tǒng)的的快快速速性性。幅幅值值穿穿越越頻頻率率cc cntg 2)(18010 2412142 tg越越大大。越越大大，有有關(guān)關(guān)，只只和和阻阻尼尼比比相相角角裕裕度度 性性越越好好。最最大大超超調(diào)調(diào)量量越越小小，穩(wěn)穩(wěn)定定越越大大，相相角角裕裕量量反反映映了了系系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性，相相角角裕裕度度

19、21% e2412142 tg % cst 24214)43( stc 2222)(nnnsss 222)(2)()(nnnjjj 22222)2()()( nnnM )( M：諧振峰值：諧振峰值rM帶寬頻率帶寬頻率：截止頻率：截止頻率b ：諧振頻率：諧振頻率r 得得由由0)( ddM)707. 00(212 nr諧諧振振頻頻率率)707. 00(1212 rM諧振峰值諧振峰值。越越大大，系系統(tǒng)統(tǒng)快快速速性性越越好好反反映映了了系系統(tǒng)統(tǒng)的的快快速速性性。諧諧振振頻頻率率rr rM性性越越差差。最最大大超超調(diào)調(diào)量量越越大大，穩(wěn)穩(wěn)定定越越大大，諧諧振振峰峰值值反反映映了了系系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性，

20、諧諧振振峰峰值值rrMM)( M)0(22M, 0b b 42244221 nb由由定定義義求求得得。越越大大，系系統(tǒng)統(tǒng)快快速速性性越越好好反反映映了了系系統(tǒng)統(tǒng)的的快快速速性性。帶帶寬寬頻頻率率bb 21)( MdBM3)(lg20 b )( M5.6 基于基于MATLAB頻率特性頻率特性5.6.1 頻率響應(yīng)計算函數(shù)nMATLAB提供了用于計算線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的函數(shù)，其調(diào)用格式為nh = freqs (b, a, w) 指定正實角頻率向量，返回響應(yīng)值。nfreqs (b, a, w) 繪制對指定角頻率向量的幅頻和相頻特性曲線.其中b、a均為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母的系數(shù)向量。在返回指令

21、值的指令中，需調(diào)用abs（）和angle（）求取幅頻和相頻特性。第2種調(diào)用可直接繪制系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線，其中幅頻特性曲線為全對數(shù)坐標，而相頻特性曲線為半對數(shù)坐標，并且可以不指定頻率向量。 【例1】頻率響應(yīng)演示頻率響應(yīng)演示：繪制系統(tǒng) 頻率響應(yīng)曲線。2( )11(1)(154)G sss ss=+num=11 11;den=1 15 4 0;w=0.05:0.01:0.5*pi; %產(chǎn)生頻率向量freqs(num,den,w) %指定頻率向量freqs(num,den,w) %不指定頻率向量指定頻率向量不指定頻率向量5.6.2 頻率特性圖示法nNyquist圖nnyquist (sys )

22、基本調(diào)用格式繪制sys的Nyquist圖nnyquist (sys, w) 指定頻率范圍w，繪制sys的Nyquist圖nnyquist (sys1, sys2, sysn) 在同一坐標系內(nèi)繪制多個模型的Nyquist圖nnyquist (sys1, sys2 , sysn, w) 在同一坐標系內(nèi)繪制多個模型對指定頻率范圍的Nyquist圖 【說明】MATLAB中頻率范圍w除可直接用冒號生成法生成外，還可由兩個函數(shù)給定：logspace (w1, w2, N) 產(chǎn)生頻率在w1和w2之間N個對數(shù)分布頻率點；linspace (w1, w2, N) 產(chǎn)生頻率在w1和w2之間N個線性分布頻率點；N可

23、以省略。調(diào)用nyquist()指令若指定w，則w仍然必須是正實數(shù)組,MATLAB將自動繪制與-w對應(yīng)的Nyquist軌跡。所繪Nyquist圖的橫坐標為系統(tǒng)頻率響應(yīng)的實部,縱坐標為虛部.【例2】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，繪制當K=5、30時系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Nyquist圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。( )(1 0.1 )(1 0.5 )kG ssss=+w=linspace(0.5,5,1000)*pi;sys1=zpk( ,0 -10 -2,100); %建立模型1,K=5sys2=zpk( ,0 -10 -2,600); %建立模型2,K=30figure(1), nyquist(sys1,w);

24、 %繪Nyquist圖1title(System Nyquist Charts with K=5)figure(2), nyquist(sys2,w) %繪Nyquist圖2title(System Nyquist Charts with K=30)K=5K=30 由于系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定,因此K=5時系統(tǒng)是穩(wěn)定的(開環(huán)Nyquist曲線沒有包圍(-1,j0)點,即圖中的“+”號);而K=30時系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 5.6.2 頻率特性圖示法nBode圖nbode (sys ) 基本調(diào)用格式，繪制Bode圖nbode (sys, w) 指定頻率范圍，繪制Bode圖nbode (sys1, sys2,sys

25、n) 在同一圖內(nèi),繪制多個模型的Bode圖nmag,phase,w = bode (sys ) 返回響應(yīng)的幅值和相位及對應(yīng)的,不繪制Bode圖nbodemag (sys ) 僅繪制幅頻bode圖說明 當不指定頻率范圍時，bode()將根據(jù)系統(tǒng)零極點自動確定頻率范圍。 【例3】系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為( )(1 0.1 )(1 0.5 )kG ssss=+sys1=zpk( ,0 -10 -2,100); %建立模型1，K=5sys2=zpk( ,0 -10 -2,600); %建立模型2，K=30figure(1),bode(sys1) %繪Bode圖1title(System Bode Chart

26、s with K=5),gridfigure(2),bode(sys2) %繪Bode圖2title(System Bode Charts with K=30),grid 繪制當K=5、30時系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性Bode圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性K=5K=30 K=5時,因為cg,所以系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。5.6.2 頻率特性圖示法n計算幅值、相位裕度 nmargin (sys ) 為基本調(diào)用，用于繪制Bode圖，并在圖中標出幅值裕度和相位裕度。nGm,Pm,Wcg,Wcp = margin (sys ) 返回幅值裕度Gm，相位裕度Pm，相位穿越頻率Wcg 和幅值穿越頻率Wcp，不繪制Bode圖。nGm,

27、Pm,Wcg,Wcp = margin (mag, phase, w) 根據(jù)給定幅頻向量mag，相頻向量phase和對應(yīng)的頻率向量w，計算并返回Gm，Pm，Wcg和Wcp。說明 Gm=1/|G(jWg)|是Nyquist圖對應(yīng)的幅值裕度，單位不是分貝。sys1=zpk( ,0 -10 -2,100); %建立模型1sys2=zpk( ,0 -10 -2,600); %建立模型2kg1,r1,wg1,wc1=margin(sys1)kg2,r2,wg2,wc2=margin(sys2)【例4】計算例4中K=5和K=30時系統(tǒng)的幅值與相位裕度。由于K=30時，相位裕度小于零，幅值裕度小于1（即小于零分貝），因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。kg1 = 2.4000r1 = 19.9079wg1 = 4.4721wc1 = 2.7992kg2 = 0.4000r2 = -18.3711wg2 = 4.4721wc2 = 6.8885（K=5）（K=30）5.6.3 系統(tǒng)分析圖形用戶界面nMATLAB控制工具箱提供的線性時不變(LTI)系統(tǒng)仿真的圖形用戶分析界面LTI Viewer，可更為直觀地分析系統(tǒng)的時域、頻域響應(yīng)。其使用也很簡單，只需n 在指令窗中建立起要分析的系統(tǒng)模型;n 在指令窗中鍵入：ltiview;n 即可調(diào)出LTI Viewer窗口，進行分析?！纠?