ch彈塑性平面問(wèn)題

1、塑性力學(xué)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題China UNIVERSITY of Mining & Technology第六章 簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題6.1 彈塑性邊值問(wèn)題的提法6.2 薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形6.5 柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)6.6 受內(nèi)壓的厚壁圓筒6.7 旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)塑性力學(xué)塑性力學(xué)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題6.1 彈塑性邊值問(wèn)題的提法彈塑性邊值問(wèn)題的提法一、彈塑性全量理論邊值問(wèn)題一、彈塑性全量理論邊值問(wèn)題i) 在在V內(nèi)的平衡方程內(nèi)的平衡方程:16; 0,ijijFii) 在在V內(nèi)幾何關(guān)系（應(yīng)變內(nèi)幾何關(guān)系（應(yīng)變-位移關(guān)系）位移關(guān)系）:26;,21,ijjiijuuiii) 在在V內(nèi)全量本構(gòu)關(guān)系內(nèi)全量本構(gòu)關(guān)系: ,

2、32ijijes,21kkkkE(6-3)邊界邊界Su 上給定位移上給定位移 ，要求應(yīng)力，要求應(yīng)力 ，應(yīng)變，應(yīng)變 ，位移，位移 ，它們滿足，它們滿足設(shè)在物體設(shè)在物體V內(nèi)給定體力內(nèi)給定體力iF，在應(yīng)力邊界，在應(yīng)力邊界 ST 上給定面力上給定面力Ti ，在位移，在位移iuijijiu以下方程和邊條件：以下方程和邊條件： 簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題)46(,ijijTlv) 在在 上位移邊界條件：上位移邊界條件：uS)56( iiuu二、彈塑性增量理論的邊值問(wèn)題二、彈塑性增量理論的邊值問(wèn)題i) 在在V內(nèi)的平衡方程內(nèi)的平衡方程)76(0,ijijdFd其中其中 是是 外法線的單位向量；外法線的單位向量；jlTS

3、由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，彈塑性邊值問(wèn)題的全量理論提法同彈性邊值問(wèn)題的提法彈塑性邊值問(wèn)題的全量理論提法同彈性邊值問(wèn)題的提法基本相同，不同僅在于引入了非線性的應(yīng)力基本相同，不同僅在于引入了非線性的應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變關(guān)系（6-3）式式。iv) 在在 上的應(yīng)力邊界條件上的應(yīng)力邊界條件:TSii) 在在V內(nèi)的幾何關(guān)系（應(yīng)變位移的增量關(guān)系）：內(nèi)的幾何關(guān)系（應(yīng)變位移的增量關(guān)系）：)86(),(21ijjiijdudud簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題iii) 在在V內(nèi)的增量本構(gòu)關(guān)系：內(nèi)的增量本構(gòu)關(guān)系：;210)(ijkkijijijdEvdGdf ，彈性區(qū)：彈性區(qū)：，0)(ijf,21ijijijfddsGde,21kkk

4、kdEvd, 0, 0, 0, 0ijijijijdfdfdfdfd塑性區(qū)：塑性區(qū)：（6-9）(a) 對(duì)于理想塑性材料，屈服函數(shù)為對(duì)于理想塑性材料，屈服函數(shù)為 ，則，則)(ijf簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題彈性區(qū)：彈性區(qū)：;210)(ijkkijijijdEvdGd 。，0)(ij,21ijijijddsGde,21kkkkdEvd, 0, 0, 0ijijijijdddhddd塑性區(qū)：塑性區(qū)：（6-10）（b）對(duì)于等向強(qiáng)化材料，后繼屈服函數(shù)為對(duì)于等向強(qiáng)化材料，后繼屈服函數(shù)為 ，則，則),(aijh簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題iv）在在ST 上的應(yīng)力邊界條件：上的應(yīng)力邊界條件：)116(;ijijdTldv）在在Su

5、 上的位移邊界條件：上的位移邊界條件：)126(;iiudduvi）彈塑性交界處的連接條件：如果交界面彈塑性交界處的連接條件：如果交界面 的法向?yàn)榈姆ㄏ驗(yàn)閚i ，則在，則在 上有：上有：(a)法向位移連續(xù)條件法向位移連續(xù)條件)136(;)()(ipiiEindundu(b)應(yīng)力連續(xù)條件應(yīng)力連續(xù)條件)146(;)()(ipijiEijndnd上標(biāo)（上標(biāo)（E）和（）和（P）分別表示彈性區(qū)和塑性區(qū)。）分別表示彈性區(qū)和塑性區(qū)。簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題6.26.2 薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形考察薄壁圓筒承受拉力考察薄壁圓筒承受拉力P 和扭矩和扭矩T 聯(lián)合作用的彈塑性變形問(wèn)題。采用圓柱坐聯(lián)合作用的彈

6、塑性變形問(wèn)題。采用圓柱坐標(biāo)，取標(biāo)，取z 軸與筒軸重合。設(shè)壁厚為軸與筒軸重合。設(shè)壁厚為h ，筒的內(nèi)外平均半徑為，筒的內(nèi)外平均半徑為R ，則筒內(nèi)應(yīng)力，則筒內(nèi)應(yīng)力為：為：)156(,2/,2/2hRTRhPzz 其余應(yīng)力分量均為其余應(yīng)力分量均為0。因此，不但應(yīng)力狀態(tài)是均勻的，而且每一種外載（拉、。因此，不但應(yīng)力狀態(tài)是均勻的，而且每一種外載（拉、扭）只與一個(gè)應(yīng)力分量有關(guān)，調(diào)整扭）只與一個(gè)應(yīng)力分量有關(guān)，調(diào)整P 和和T 之間的比值，即可得到應(yīng)力分量間的之間的比值，即可得到應(yīng)力分量間的不同比例。不同比例。假設(shè)材料是不可壓縮的（假設(shè)材料是不可壓縮的（v =1/2）、理想塑性的）、理想塑性的Mises材料。采用

7、以下無(wú)量綱量：材料。采用以下無(wú)量綱量：在彈性階段，無(wú)量綱化的在彈性階段，無(wú)量綱化的Hooke定律給出定律給出)176(,/,/szsz,/,/szsz(6-16)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題進(jìn)入塑性以后，進(jìn)入塑性以后，Mises 屈服條件：屈服條件：222231szzJ可化為：可化為：)186(122下面按增量理論和全量理論求解這個(gè)問(wèn)題，比較兩種結(jié)果的異同。下面按增量理論和全量理論求解這個(gè)問(wèn)題，比較兩種結(jié)果的異同。對(duì)理想彈塑性材料，增量本構(gòu)方程是對(duì)理想彈塑性材料，增量本構(gòu)方程是 Prandtl-Reuses 關(guān)系，于是：關(guān)系，于是：無(wú)量綱化后得到：無(wú)量綱化后得到：消去消去 得：得：d)216( dddd一

8、、按增量理論求解一、按增量理論求解,321zzzddEdzzzddGd2121(6-19),ddd,ddd(6-20)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題由（由（6-18）式知）式知, 012dd及故故21/ddd從（從（6-21）式中消去）式中消去 和和 ，就有：，就有：d)226()1(122dddd同樣地，同樣地，)236()1(122dddd如果已知某時(shí)刻的初始狀態(tài)（應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)）及從該時(shí)刻起的變形路如果已知某時(shí)刻的初始狀態(tài)（應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)）及從該時(shí)刻起的變形路徑徑)(則積分（則積分（6-22）或（）或（6-23）式就可得到）式就可得到關(guān)系或關(guān)系或關(guān)系。關(guān)系。簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題保持常數(shù)的階段保持常

9、數(shù)的階段 ab 上，設(shè)在上，設(shè)在a點(diǎn)有點(diǎn)有 由于在由于在ab上上，00, 0d例如對(duì)于實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常采用的階梯變形路徑（圖例如對(duì)于實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常采用的階梯變形路徑（圖6-1），考慮），考慮方程（方程（6-22）變?yōu)椋┳優(yōu)椋?,1/(2 ddOabcde圖圖 6-1積分并利用積分并利用a點(diǎn)的已知條件，得出點(diǎn)的已知條件，得出：)246(1111ln21000類似地，對(duì)于階段類似地，對(duì)于階段bc , , )256(1111ln210000簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題二、按全量理論求解二、按全量理論求解由于假設(shè)了材料不可壓，由于假設(shè)了材料不可壓，由（由（5-63）式）式)266(,3,3232zzzz,21;3zrss而

10、化后得應(yīng)力化后得應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為應(yīng)變關(guān)系為 將將(6-26)式按式按(6-16)式無(wú)量綱式無(wú)量綱)276(/,/2222在本問(wèn)題中用分量寫(xiě)出來(lái)就是在本問(wèn)題中用分量寫(xiě)出來(lái)就是：2/1vijije，故，故ijijs32簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題在圖在圖6-2中，有三條不同的加載路徑從原點(diǎn)中，有三條不同的加載路徑從原點(diǎn)O 到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C) 1, 1(在彈性范圍內(nèi)，在彈性范圍內(nèi)， ,，屈服條件（，屈服條件（6-18）在應(yīng)變空間中寫(xiě)出就是）在應(yīng)變空間中寫(xiě)出就是122。可見(jiàn)可見(jiàn)圖中的陰影區(qū)域是彈性范圍。圖中的陰影區(qū)域是彈性范圍。路徑路徑沿沿OBC。在。在B點(diǎn)有點(diǎn)有。0, 000在在BC段上有段上有,11ln21解出

11、解出,tanh1122yyee在在C點(diǎn)點(diǎn))306(65. 01,76. 011222ee類似地，對(duì)路徑類似地，對(duì)路徑，即階梯變形路徑，即階梯變形路徑OAC可求得可求得65. 076. 0和三三 、算例和比較、算例和比較（1）用增量理論求解）用增量理論求解OCABD簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題。707. 021剛到達(dá)屈服，同時(shí)滿足剛到達(dá)屈服，同時(shí)滿足和122由此得出在由此得出在D點(diǎn)時(shí)的應(yīng)力為：點(diǎn)時(shí)的應(yīng)力為：不難證明沿不難證明沿 DC 段皆有段皆有，即應(yīng)力值不變，在，即應(yīng)力值不變，在C點(diǎn)也就仍為點(diǎn)也就仍為 )316(707. 0,707. 0（2 2）用全量理論求解）用全量理論求解)326(707. 0,70

12、7. 01代入（代入（6-276-27）式得出）式得出21亦即亦即C C點(diǎn)的應(yīng)變點(diǎn)的應(yīng)變i i）由于加載路徑不同，雖然最終變形一樣，但最終應(yīng)力卻不同；）由于加載路徑不同，雖然最終變形一樣，但最終應(yīng)力卻不同；iiii）只有在比例加載的條件下，增量理論和全量理論的結(jié)果才一致。）只有在比例加載的條件下，增量理論和全量理論的結(jié)果才一致。 由以上的結(jié)果可知：由以上的結(jié)果可知：路徑路徑是比例加載路徑是比例加載路徑ODC，其上，其上dd 。在到達(dá)。在到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)，簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題 實(shí)驗(yàn)觀察證實(shí)，在塑性狀態(tài)下仍可采取材料力學(xué)和彈性力學(xué)中關(guān)于扭轉(zhuǎn)的實(shí)驗(yàn)觀察證實(shí)，在塑性狀態(tài)下仍可采取材料力學(xué)和彈性力學(xué)中關(guān)于扭

13、轉(zhuǎn)的假定，即柱體在彈塑性自由扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，截面只在自身平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以假定，即柱體在彈塑性自由扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，截面只在自身平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以發(fā)生軸向自由翹曲。發(fā)生軸向自由翹曲。6.5 6.5 柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn) 考慮任意截面形狀的長(zhǎng)柱體，在扭轉(zhuǎn)力矩考慮任意截面形狀的長(zhǎng)柱體，在扭轉(zhuǎn)力矩T T作用下的自由扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。作用下的自由扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。以以 表示柱體單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，則小變形時(shí)的位移分量為表示柱體單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，則小變形時(shí)的位移分量為從小應(yīng)變下的從小應(yīng)變下的Cauchy公式得出應(yīng)變?yōu)椋汗降贸鰬?yīng)變?yōu)椋阂?、研究范圍和基本方程一、研究范圍和基本方?yzu,xz;, yx(6-84

14、)其中其中 是截面的翹曲函數(shù)是截面的翹曲函數(shù)yx,假定截面是單連通的，取柱體的軸線為假定截面是單連通的，取柱體的軸線為 z 軸。軸。簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題此式與材料的本構(gòu)關(guān)系無(wú)關(guān)，不論是彈性還是塑性時(shí)都成立。此式與材料的本構(gòu)關(guān)系無(wú)關(guān)，不論是彈性還是塑性時(shí)都成立。在進(jìn)入塑性之后，恒有在進(jìn)入塑性之后，恒有, 0 xyzyxdededede按照增量本構(gòu)關(guān)系，從剛進(jìn)入塑性開(kāi)始，按照增量本構(gòu)關(guān)系，從剛進(jìn)入塑性開(kāi)始， 可以推知可以推知, 0 xyzyxdddd進(jìn)而在變形的一切階段均有進(jìn)而在變形的一切階段均有, 0 xyzyx, 0 xyzyx.,xyyxyzxz(6-85), 0 xyzyx.,xyGyxGyz

15、xz(6-86)在彈性時(shí)按在彈性時(shí)按Hooke定律求得：定律求得：簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題 即在塑性階段不為零的應(yīng)力分量仍只有即在塑性階段不為零的應(yīng)力分量仍只有 yzxz和876, 0, 032221JJJyzxz其中其中為合剪應(yīng)力。為合剪應(yīng)力。 可見(jiàn)，可見(jiàn)，在扭轉(zhuǎn)時(shí)柱體各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)始終是在扭轉(zhuǎn)時(shí)柱體各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)始終是純剪切純剪切，這是一個(gè)，這是一個(gè)簡(jiǎn)單加載過(guò)程。簡(jiǎn)單加載過(guò)程。886, 0,32221yzxz且主應(yīng)力為：且主應(yīng)力為：簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題二、彈性扭轉(zhuǎn)和薄膜比擬二、彈性扭轉(zhuǎn)和薄膜比擬896,2yxxzyz或由（或由（6-86）式得到的應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程）式得到的應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程9

16、06.2Gyxxzyz同時(shí)，只有一個(gè)平衡方程同時(shí)，只有一個(gè)平衡方程916. 0yxyzxz從（從（6-85）式中消去翹曲函數(shù)，得協(xié)調(diào)方程）式中消去翹曲函數(shù)，得協(xié)調(diào)方程因此，可以引進(jìn)因此，可以引進(jìn)彈性應(yīng)力函數(shù)彈性應(yīng)力函數(shù)e，使有，使有926,xyeyzexz則平衡方程自動(dòng)滿足，而協(xié)調(diào)方程（則平衡方程自動(dòng)滿足，而協(xié)調(diào)方程（6-906-90）化為）化為936,22Ge.22222算子為式中Laplaceyx簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題在彈性力學(xué)中，研究了在彈性力學(xué)中，研究了e和和Poisson方程（方程（6-936-93）并導(dǎo)致以下結(jié)論）并導(dǎo)致以下結(jié)論i.i.) ) 合剪應(yīng)力大?。汉霞魬?yīng)力大小：946,2222

17、eeeyzxzgradyxiiiiii）柱體截面的周界也是）柱體截面的周界也是0e =const曲線族之一，對(duì)單連通截面可令周界上曲線族之一，對(duì)單連通截面可令周界上eiviv）扭矩）扭矩T T與與e的關(guān)系可按的關(guān)系可按St.Venant 條件求得：條件求得：956,2dxdyTeAiiii）合剪應(yīng)力的方向沿）合剪應(yīng)力的方向沿e=const曲線的切向，也就是與曲線的切向，也就是與e的梯度方向相垂直。的梯度方向相垂直。其中其中A為柱體的一個(gè)截面。為柱體的一個(gè)截面。v v）Prandtl 薄膜比擬：薄膜比擬：將薄膜張于與柱體截面邊界形狀相同的邊框上，加將薄膜張于與柱體截面邊界形狀相同的邊框上，加 均

18、勻壓力，則均勻壓力，則e與薄膜的高度成正比，與薄膜的高度成正比，的大小與薄膜的斜率成正比，的大小與薄膜的斜率成正比，扭矩扭矩T 與薄膜曲面下的體積成正比。與薄膜曲面下的體積成正比。簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題egrad達(dá)到達(dá)到s，就算達(dá)到了彈性極限狀態(tài)，相應(yīng)的，就算達(dá)到了彈性極限狀態(tài)，相應(yīng)的截面上有一點(diǎn)的截面上有一點(diǎn)的扭矩為扭矩為彈性極限扭矩彈性極限扭矩。以半徑為。以半徑為 a 的圓柱體為例，的圓柱體為例，)966(,2,/3aTGasese.,2,2422rGrGTraGe,222ayxCe. 2/GC帶入方程（帶入方程（6-936-93）得）得于是于是在截面邊緣上在截面邊緣上 最大最大ar s令令 處

19、處 導(dǎo)出導(dǎo)出 在塑性階段，平衡方程（在塑性階段，平衡方程（6-916-91）不變，并仍可由引入應(yīng)力函數(shù)）不變，并仍可由引入應(yīng)力函數(shù) 來(lái)滿足，來(lái)滿足，此時(shí)此時(shí)p976,xypyzpxz 三、全塑性扭轉(zhuǎn)和沙堆比擬三、全塑性扭轉(zhuǎn)和沙堆比擬當(dāng)材料進(jìn)入塑性時(shí)，當(dāng)材料進(jìn)入塑性時(shí)，.segrad因此，按彈性考慮，只要因此，按彈性考慮，只要簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題 這樣，這樣，只從平衡方程、屈服條件和應(yīng)力邊條件就能夠求出理想塑性只從平衡方程、屈服條件和應(yīng)力邊條件就能夠求出理想塑性體內(nèi)的應(yīng)力分布體內(nèi)的應(yīng)力分布。這種情況叫做。這種情況叫做塑性力學(xué)中的靜定問(wèn)題塑性力學(xué)中的靜定問(wèn)題。 986,222syzxz,222sppy

20、x則則或即或即996.spgrad對(duì)于理想塑性材料，對(duì)于理想塑性材料， 是常數(shù)，（是常數(shù)，（6-996-99）式說(shuō)明）式說(shuō)明 在截面上保持斜率不變。在截面上保持斜率不變。sp由此，由此，NadaiNadai提出下述提出下述沙堆比擬沙堆比擬：將一個(gè)水平的底面做成截面的形狀，在其上堆放干沙，由于沙堆的靜止摩擦角為常數(shù)，則沙將形成一個(gè)斜率為常數(shù)的表面。因此，這表面可用來(lái)代表塑性應(yīng)力函數(shù) ，只相差一個(gè)可由屈服應(yīng)力和沙堆摩擦角決定的比例因子。 p10062dxdyTpAp就是截面的就是截面的塑性極限扭矩塑性極限扭矩。這時(shí)，我們不用（也不再有）這時(shí)，我們不用（也不再有）應(yīng)力協(xié)調(diào)方程應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，而代之以，

21、而代之以屈服條件屈服條件 簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題 仍以半徑為仍以半徑為a的圓柱體為例，它處于全塑性扭轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，的圓柱體為例，它處于全塑性扭轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，按（，按（6-1006-100）式求出）式求出高度就應(yīng)為高度就應(yīng)為asp表面必然是一個(gè)表面必然是一個(gè),s圓錐，既然斜率是圓錐，既然斜率是1016.323aTsp與（與（6-966-96）式相比可知對(duì)圓柱體）式相比可知對(duì)圓柱體1026. 3/4/epTT 沙堆比擬的思想，不僅可直接應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)，也可用來(lái)指導(dǎo)計(jì)算三角形、沙堆比擬的思想，不僅可直接應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)，也可用來(lái)指導(dǎo)計(jì)算三角形、矩形、任意正多角形等規(guī)則截面的柱體的塑性極限扭矩，因?yàn)檫@只需計(jì)算某矩形、任意正多

22、角形等規(guī)則截面的柱體的塑性極限扭矩，因?yàn)檫@只需計(jì)算某些等斜些等斜“屋頂屋頂”下的體積。下的體積。 簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題剪應(yīng)力方向平行于邊界，大小為剪應(yīng)力方向平行于邊界，大小為 。同時(shí)我們也看到，一般來(lái)說(shuō)，在截面內(nèi)。同時(shí)我們也看到，一般來(lái)說(shuō)，在截面內(nèi)部，沙堆會(huì)出現(xiàn)尖頂和棱線，在這些點(diǎn)和線的兩側(cè)剪應(yīng)力不連續(xù)。部，沙堆會(huì)出現(xiàn)尖頂和棱線，在這些點(diǎn)和線的兩側(cè)剪應(yīng)力不連續(xù)。 s從沙堆比擬中看出，沙堆的梯度垂直于邊界，等從沙堆比擬中看出，沙堆的梯度垂直于邊界，等p線平行于邊界，每點(diǎn)的合線平行于邊界，每點(diǎn)的合322212)(212 aaaabaTssp)1036()3(612saba它們是它們是彈性區(qū)域收縮時(shí)的極

23、限彈性區(qū)域收縮時(shí)的極限。當(dāng)彈性區(qū)域收縮時(shí)，從不同方向擴(kuò)展過(guò)來(lái)。當(dāng)彈性區(qū)域收縮時(shí)，從不同方向擴(kuò)展過(guò)來(lái)的兩個(gè)塑性區(qū)域相遇，因此會(huì)造成剪應(yīng)力間斷。的兩個(gè)塑性區(qū)域相遇，因此會(huì)造成剪應(yīng)力間斷。 如果截面邊界上有如果截面邊界上有凸角凸角（如三角形截面和矩形截面的頂點(diǎn)），從彈性（如三角形截面和矩形截面的頂點(diǎn)），從彈性力學(xué)知道，在凸角處力學(xué)知道，在凸角處剪應(yīng)力等于零剪應(yīng)力等于零，因而盡管，因而盡管T T增大，這里增大，這里始終處于彈始終處于彈性階段性階段。所以，。所以，作為彈性區(qū)域收縮極限的剪應(yīng)力間斷線必定通過(guò)這樣的作為彈性區(qū)域收縮極限的剪應(yīng)力間斷線必定通過(guò)這樣的凸角凸角。反之，如果截面邊界上有。反之，如果截

24、面邊界上有凹角凹角，從彈性力學(xué)知道，這里，從彈性力學(xué)知道，這里剪應(yīng)力無(wú)剪應(yīng)力無(wú)限大限大，因而，因而一開(kāi)始就進(jìn)入塑性階段，棱線就一定不經(jīng)過(guò)這里一開(kāi)始就進(jìn)入塑性階段，棱線就一定不經(jīng)過(guò)這里。簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題四、彈塑性扭轉(zhuǎn)和薄膜四、彈塑性扭轉(zhuǎn)和薄膜- -玻璃蓋比擬玻璃蓋比擬當(dāng)當(dāng)PeTTT時(shí)，柱體的截面上會(huì)存在一部分彈性區(qū)、一部分塑性區(qū)，時(shí)，柱體的截面上會(huì)存在一部分彈性區(qū)、一部分塑性區(qū)，的模為常數(shù)）。因此，提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題如下：的模為常數(shù)）。因此，提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題如下：（這是由于應(yīng)力分量在（這是由于應(yīng)力分量在 上應(yīng)該連續(xù)）。上應(yīng)該連續(xù)）。e的性質(zhì)（滿足的性質(zhì)（滿足PoissonPoisson方程）和方程）和

25、 的性質(zhì)（梯度的性質(zhì)（梯度p其上應(yīng)力函數(shù)分別具有其上應(yīng)力函數(shù)分別具有，在彈性區(qū)內(nèi)滿足方程（，在彈性區(qū)內(nèi)滿足方程（6-936-93），在塑性區(qū)內(nèi)滿足（），在塑性區(qū)內(nèi)滿足（6-996-99），），尋求應(yīng)力函數(shù)尋求應(yīng)力函數(shù)0，在彈塑性區(qū)域交界線，在彈塑性區(qū)域交界線、上、xy在截面邊界上在截面邊界上都要連續(xù)都要連續(xù)NadaiNadai指出，彈塑性交界線可以聯(lián)合應(yīng)用薄膜比擬和沙堆比擬來(lái)求解。指出，彈塑性交界線可以聯(lián)合應(yīng)用薄膜比擬和沙堆比擬來(lái)求解。在一塊水平平板上，挖一個(gè)具有截面形狀的孔，復(fù)蓋以薄膜。在薄膜的上在一塊水平平板上，挖一個(gè)具有截面形狀的孔，復(fù)蓋以薄膜。在薄膜的上面，放上一個(gè)按沙堆比擬形狀作成的

26、等傾玻璃蓋。面，放上一個(gè)按沙堆比擬形狀作成的等傾玻璃蓋。a)a)如若壓力較小時(shí)，薄膜的變形不受如若壓力較小時(shí)，薄膜的變形不受“屋蓋屋蓋”的影響，這是的影響，這是彈性扭轉(zhuǎn)彈性扭轉(zhuǎn)的情況。的情況。b)b)隨著壓力的增加，薄膜逐漸貼到屋蓋上，貼附的區(qū)域就是隨著壓力的增加，薄膜逐漸貼到屋蓋上，貼附的區(qū)域就是塑性區(qū)域塑性區(qū)域。此時(shí)，在貼附區(qū)域以外的自由薄膜仍滿足此時(shí)，在貼附區(qū)域以外的自由薄膜仍滿足PoissonPoisson方程，所以仍是彈性區(qū)。由方程，所以仍是彈性區(qū)。由此可以確定彈塑性交界線的形狀。此可以確定彈塑性交界線的形狀。簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題在圓截面情形，由于對(duì)稱性，可設(shè)在圓截面情形，由于對(duì)稱性，可

27、設(shè) 的一個(gè)圓。的一個(gè)圓。 r是在彈性區(qū)：在彈性區(qū)：,0 r有有,212Gdrdrdrdree1046,2122CGre 右圖顯示了矩形截右圖顯示了矩形截面柱體在彈塑性扭轉(zhuǎn)面柱體在彈塑性扭轉(zhuǎn)是是 線的變化，其中線的變化，其中黃線以外是塑性區(qū)域。黃線以外是塑性區(qū)域。從實(shí)驗(yàn)中可以看出，從實(shí)驗(yàn)中可以看出，對(duì)一般截面的柱體，對(duì)一般截面的柱體， 線的變化是非常復(fù)雜線的變化是非常復(fù)雜的。在分析計(jì)算時(shí)通的。在分析計(jì)算時(shí)通常只能采用數(shù)值計(jì)算常只能采用數(shù)值計(jì)算方法一步一步地將方法一步一步地將 近似求出。近似求出。c)c)最后薄膜將全部貼附在玻璃蓋上，最后薄膜將全部貼附在玻璃蓋上，彈性區(qū)域退化為棱線。彈性區(qū)域退化為

28、棱線。簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題在塑性區(qū)：在塑性區(qū)：有, ar ,sppdrdgradrasp由由r處的剪應(yīng)力連續(xù)，要求處的剪應(yīng)力連續(xù)，要求rpredrddrd由此定出由此定出彈塑性交界線的半徑彈塑性交界線的半徑為為Gs/則對(duì)則對(duì)e有有30)(411344eeaTrdrTrarGe0),()(2122arrasp,(6 -106)(6 -105)(6 -108)(6 -107)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題彈塑性邊界隨扭矩變化的規(guī)律彈塑性邊界隨扭矩變化的規(guī)律： aaTTP,4133或即或即aTTaP, )1 (43彈塑性扭轉(zhuǎn)后的卸載也相當(dāng)于在反方向作用一個(gè)等值的彈性扭矩。仍以圓柱彈塑性扭轉(zhuǎn)后的卸載也相當(dāng)于在反方向作用

29、一個(gè)等值的彈性扭矩。仍以圓柱體扭轉(zhuǎn)為例，加載時(shí)的扭轉(zhuǎn)角體扭轉(zhuǎn)為例，加載時(shí)的扭轉(zhuǎn)角可由（可由（6-1076-107）式求出為）式求出為Gs而卸載時(shí)的回彈角是而卸載時(shí)的回彈角是)41 (3433aaGJTz因此，單位長(zhǎng)度的殘余扭轉(zhuǎn)角為因此，單位長(zhǎng)度的殘余扭轉(zhuǎn)角為)41 (34133aaF也可寫(xiě)出回彈比與所加扭矩的關(guān)系為也可寫(xiě)出回彈比與所加扭矩的關(guān)系為3341ttF五、卸載、回彈和殘余應(yīng)力五、卸載、回彈和殘余應(yīng)力(6 -109)(6 -110)(6 -111)(6 -112)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題其中其中peTTTTt34卸載后的殘余應(yīng)力分布可計(jì)算出為卸載后的殘余應(yīng)力分布可計(jì)算出為: :其分布下圖所示。其

30、分布下圖所示。araars,)41 (34133Fraarrs0,)41 (3433(6-113)TSmax加載加載卸載卸載殘余應(yīng)力殘余應(yīng)力簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題該問(wèn)題可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題，采用該問(wèn)題可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題，采用柱坐柱坐標(biāo)標(biāo)(r,z),則：則：)1196(,rudrdur在軸對(duì)稱條件下：在軸對(duì)稱條件下：)1206(0rdrdrr應(yīng)力邊應(yīng)力邊界界條件為條件為:)1216(., 0;,brarprr當(dāng)當(dāng)而筒兩端的端面條件：而筒兩端的端面條件：6.6 受內(nèi)壓的厚壁圓筒受內(nèi)壓的厚壁圓筒bazAzrdrdAP)1226(2這里這里P是端面的軸向拉力。是端面的軸向拉力。一、研究對(duì)象和基本方程一、研

31、究對(duì)象和基本方程考慮一個(gè)內(nèi)徑為考慮一個(gè)內(nèi)徑為 a，外徑為，外徑為b b的長(zhǎng)圓柱厚壁筒在均勻內(nèi)壓的長(zhǎng)圓柱厚壁筒在均勻內(nèi)壓 p 作用下的彈塑性變形。作用下的彈塑性變形。上式中上式中u u為徑向位移。為徑向位移。0,0rzzconst幾何關(guān)系幾何關(guān)系平衡方程平衡方程簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題在彈性范圍內(nèi)，本構(gòu)關(guān)系上在彈性范圍內(nèi)，本構(gòu)關(guān)系上Hooke定律定律:二、彈性解二、彈性解),(1zrrvE),(1rzvE),(1rzzvE(6-123)（6-1196-119）至（）至（6-1236-123）式構(gòu)成厚壁筒的彈性問(wèn)題，其解為：）式構(gòu)成厚壁筒的彈性問(wèn)題，其解為： , 01, 012222rbprbpr),(/

32、2220abPEpvz,)21 (102rvrbrpEvu(6-124)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題其中其中)(2,2220222abEavpPabpap現(xiàn)在討論在什么條件下現(xiàn)在討論在什么條件下z是中間主應(yīng)力。由于是中間主應(yīng)力。由于),(/, 0,222maxminabPpzr可知若要可知若要z是中間主應(yīng)力，以下條件應(yīng)成立：是中間主應(yīng)力，以下條件應(yīng)成立： ),/(22)(/022222abpapabP或即或即220paP如果圓筒兩端是自由的，則如果圓筒兩端是自由的，則0P；如果圓筒兩端是封閉的，則；如果圓筒兩端是封閉的，則2paP可見(jiàn)這兩種情況都符合（可見(jiàn)這兩種情況都符合（6-1266-126）條件，能保

33、證）條件，能保證z是中間主應(yīng)力。是中間主應(yīng)力。采用采用TrescaTresca屈服條件。當(dāng)屈服條件。當(dāng)r=ar=a 時(shí)屈服：時(shí)屈服：srabp222即屈服將首先發(fā)生在內(nèi)壁，此時(shí)即屈服將首先發(fā)生在內(nèi)壁，此時(shí)sbap222(6-126)(6-126)(6-125)(6-125)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題相應(yīng)的內(nèi)壓相應(yīng)的內(nèi)壓p即為厚壁筒的即為厚壁筒的彈性極限壓力彈性極限壓力 )1 (222bapseb b）當(dāng)彈性無(wú)限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受到內(nèi)壓作用時(shí)（例如對(duì)于有壓）當(dāng)彈性無(wú)限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受到內(nèi)壓作用時(shí)（例如對(duì)于有壓隧洞），其內(nèi)表面開(kāi)始屈服時(shí)的壓力值隧洞），其內(nèi)表面開(kāi)始屈服時(shí)的壓力值只與周圍的材料的性質(zhì)有關(guān)

34、只與周圍的材料的性質(zhì)有關(guān)，而與孔洞的半徑無(wú)關(guān)。而與孔洞的半徑無(wú)關(guān)。 說(shuō)明：說(shuō)明：2sa)a)若在若在彈性范圍彈性范圍內(nèi)設(shè)計(jì)內(nèi)設(shè)計(jì), ,對(duì)給定的對(duì)給定的a 值值, ,要提高筒所能承受的內(nèi)壓要提高筒所能承受的內(nèi)壓, ,就就必須必須增加壁厚增加壁厚, ,但但pe的值的值不可能超過(guò)不可能超過(guò) 。在設(shè)計(jì)高壓圓筒（如炮管）在設(shè)計(jì)高壓圓筒（如炮管）時(shí)應(yīng)采取其他措施（如下面將要介紹的經(jīng)過(guò)局部塑性變形使之產(chǎn)生有時(shí)應(yīng)采取其他措施（如下面將要介紹的經(jīng)過(guò)局部塑性變形使之產(chǎn)生有利的殘余應(yīng)力，以及裝配有預(yù)應(yīng)力的套筒等）來(lái)加以增強(qiáng)。利的殘余應(yīng)力，以及裝配有預(yù)應(yīng)力的套筒等）來(lái)加以增強(qiáng)。(6-127)(6-127)簡(jiǎn)單的彈塑性

35、問(wèn)題當(dāng)當(dāng)epp 時(shí)，筒的內(nèi)壁首先屈服。當(dāng)時(shí)，筒的內(nèi)壁首先屈服。當(dāng)epp 時(shí)，塑性區(qū)便由時(shí)，塑性區(qū)便由r=a逐漸向外擴(kuò)張。逐漸向外擴(kuò)張。設(shè)彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界處設(shè)彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界處 r=c，下面分別對(duì)彈性區(qū)和塑性進(jìn)行計(jì)算。下面分別對(duì)彈性區(qū)和塑性進(jìn)行計(jì)算。（1）彈性區(qū)彈性區(qū)brc三、彈塑性解（理想塑性材料）三、彈塑性解（理想塑性材料）得出應(yīng)力分布為得出應(yīng)力分布為).1 (22222rbbcs),1 (22222rbbcsr(6-129)將內(nèi)層塑性區(qū)對(duì)外層彈性區(qū)的壓應(yīng)力將內(nèi)層塑性區(qū)對(duì)外層彈性區(qū)的壓應(yīng)力 看作作用于內(nèi)徑為看作作用于內(nèi)徑為c外徑為外徑為b的彈性圓筒上的內(nèi)壓力。的彈性圓筒上的內(nèi)壓力。c

36、rr|利用彈性解的結(jié)果：利用彈性解的結(jié)果：)1 (2|22bcpsecrr在在r=c處，材料剛達(dá)到屈服，對(duì)外層彈性筒來(lái)說(shuō)，處，材料剛達(dá)到屈服，對(duì)外層彈性筒來(lái)說(shuō)， (6-127)(6-127)中的中的 應(yīng)為應(yīng)為 。epep(6-124)(6-124)中的中的 應(yīng)寫(xiě)成應(yīng)寫(xiě)成psecbcpcbcp)2()(22222簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題進(jìn)而根據(jù)彈性區(qū)的本構(gòu)方程求出進(jìn)而根據(jù)彈性區(qū)的本構(gòu)方程求出,022Ebcsz.12121022rrrBcEus（2 2）塑性區(qū)塑性區(qū)cra平衡方程為平衡方程為0 rdrdrr同時(shí)，仍假定同時(shí)，仍假定z 為中間主應(yīng)力，采用為中間主應(yīng)力，采用TrescaTresca屈服條件：屈

37、服條件：sr 將（將（6-1326-132）代入（）代入（6-1316-131）式得）式得rdrdsr 積分一次，并利用邊界條件積分一次，并利用邊界條件parr 定常數(shù)，則定常數(shù)，則(6-130)(6-131)(6-132)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題0)ln1 ( pars0ln parsr可見(jiàn)塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力可見(jiàn)塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力 只與厚壁筒內(nèi)表面的邊界條件有關(guān)，而與彈性只與厚壁筒內(nèi)表面的邊界條件有關(guān)，而與彈性區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)無(wú)關(guān)。區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)無(wú)關(guān)。 、rpacbcssln)1 (222從而從而)1 (21ln22bcacps確定確定c 與與p 的關(guān)系的關(guān)系: :（3 3）彈塑性邊界的確定彈塑性邊界的確定crrcr

38、r cr ) ) 應(yīng)滿足應(yīng)滿足r的連續(xù)條件，即的連續(xù)條件，即根據(jù)彈塑性區(qū)交界處根據(jù)彈塑性區(qū)交界處( (6-133)(6-133)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題將（將（6-1346-134）式代回（）式代回（6-1336-133）式得出）式得出當(dāng)當(dāng)c=b 時(shí)，塑性區(qū)擴(kuò)展到整個(gè)圓筒，對(duì)應(yīng)的外載時(shí)，塑性區(qū)擴(kuò)展到整個(gè)圓筒，對(duì)應(yīng)的外載 p 為為厚壁筒的厚壁筒的塑性極限壓力塑性極限壓力: :)1366(lnabpssb塑性極限壓力塑性極限壓力 卻是無(wú)限的，即卻是無(wú)限的，即時(shí)時(shí)spsp在塑性極限狀態(tài)下，周向應(yīng)力在塑性極限狀態(tài)下，周向應(yīng)力的最大值發(fā)生在筒外壁，它恰等于的最大值發(fā)生在筒外壁，它恰等于s )1 (21ln22b

39、ccrsr)1 (21ln22bccrsr(6-135)2sep可見(jiàn)，彈性極限壓力可見(jiàn)，彈性極限壓力ep是有限的，即是有限的，即b時(shí)時(shí)（4 4）塑性極限狀態(tài)塑性極限狀態(tài)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題(5) 塑性區(qū)內(nèi)的位移塑性區(qū)內(nèi)的位移u 和應(yīng)力和應(yīng)力z 厚壁筒塑性區(qū)應(yīng)力所在的屈服面是厚壁筒塑性區(qū)應(yīng)力所在的屈服面是0 srf) 1( :0:1:prpzpddd即即0,pzpprddd這說(shuō)明，在全部筒壁內(nèi)這說(shuō)明，在全部筒壁內(nèi),0constezz即即z必是彈性的，且為常數(shù)必是彈性的，且為常數(shù)。在塑性區(qū)內(nèi)求在塑性區(qū)內(nèi)求r 和和 是靜定問(wèn)題，但是要求是靜定問(wèn)題，但是要求z 和和u ，就必須用到本構(gòu)關(guān)系。，就必須用到本

40、構(gòu)關(guān)系。于是，相關(guān)連的流動(dòng)法則給出于是，相關(guān)連的流動(dòng)法則給出cra范圍內(nèi)范圍內(nèi)于是在于是在1376ln2120Earps0Erz 下面用與下面用與Tresca屈服條件相關(guān)連的流動(dòng)法則來(lái)解屈服條件相關(guān)連的流動(dòng)法則來(lái)解z u 和和簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題現(xiàn)在端面條件（現(xiàn)在端面條件（6-122）可以寫(xiě)成）可以寫(xiě)成,22rdrrdrPbczcaz 將（將（6-130）和（）和（6-137）給出的）給出的z和和z 代入得到代入得到1386.22222222220abEapPabpaEabEPi. 開(kāi)口圓筒開(kāi)口圓筒ii. 封閉圓筒，封閉圓筒，iii. 無(wú)窮長(zhǎng)圓筒，即平面應(yīng)變情形，無(wú)窮長(zhǎng)圓筒，即平面應(yīng)變情形，此式與

41、彈性解完全相同。此式與彈性解完全相同。這說(shuō)明在完全卸去外載這說(shuō)明在完全卸去外載P 和和p時(shí)，軸向殘余應(yīng)變必為零。時(shí)，軸向殘余應(yīng)變必為零。, 0022avpP于是于是, 0P于是于是;/22220abEpa,2paP于是于是);(/)21 (2220abEpav之一。例如：之一。例如：pP、，根據(jù)圓筒的端面條件，總可確定其中，根據(jù)圓筒的端面條件，總可確定其中和和0（6-138）式中有三個(gè)參量：）式中有三個(gè)參量：不難驗(yàn)證，當(dāng)不難驗(yàn)證，當(dāng),2/1202時(shí)及 vpaP確是中間主應(yīng)力。確是中間主應(yīng)力。z 簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題)(210zrEvrudrud 故有故有02)()1)(21 ()(1vEvvurd

42、rdrr 積分得出積分得出)1396(22ln)1)(21 (1022 rCrvrbcrcrrEvvus,)(1(210EvEvr 0222ln2)1)(21 (vbccrEvvs其中常數(shù)其中常數(shù)C1可由可由 r=c 處的位移連續(xù)條件處的位移連續(xù)條件uu 定出為定出為)1406(/)1 (221EcvCsrErcrrCus0201214321 時(shí)當(dāng)2/1v求位移時(shí)利用體積變化的彈性公式計(jì)算比較方便求位移時(shí)利用體積變化的彈性公式計(jì)算比較方便，即，即簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題可見(jiàn)剛達(dá)到可見(jiàn)剛達(dá)到 PS 時(shí)，筒的變形相對(duì)筒本身的幾何尺寸還是小的時(shí)，筒的變形相對(duì)筒本身的幾何尺寸還是小的其中其中)/(222*ab

43、app設(shè)厚壁筒內(nèi)壓力增加到設(shè)厚壁筒內(nèi)壓力增加到)(*sepppp后實(shí)行完全卸載，卸載應(yīng)力可按后實(shí)行完全卸載，卸載應(yīng)力可按彈性解計(jì)算，即彈性解計(jì)算，即四、卸載和殘余應(yīng)力四、卸載和殘余應(yīng)力,122*rbpr,122*rbp),(/222*0*abPEpvz(6-141)例如，取例如，取,1000/,2, 00sEbcab則在筒內(nèi)壁則在筒內(nèi)壁3103/ auar處簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題;,1ln22222*crarbabaparps;,1222222*22brcrbabapbcs0r;,1ln122222*crarbabaparps;,1222222*22brcrbabapbcs0;,221ln2222*

44、craabapparvsbrcabapbcvs,2222*220z(6-142)殘余應(yīng)力分布?xì)堄鄳?yīng)力分布簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題在上式中在上式中p*與與c間的關(guān)系由（間的關(guān)系由（6-134）式確定，即）式確定，即22*121ln/bcacps上面計(jì)算殘余應(yīng)力的公式，只有在完全卸去載荷后，筒內(nèi)處處都不在相反方向上面計(jì)算殘余應(yīng)力的公式，只有在完全卸去載荷后，筒內(nèi)處處都不在相反方向發(fā)生塑性變形時(shí)才有效。下面來(lái)計(jì)算保證完全卸載后不出現(xiàn)反號(hào)塑料性變形條發(fā)生塑性變形時(shí)才有效。下面來(lái)計(jì)算保證完全卸載后不出現(xiàn)反號(hào)塑料性變形條件下的最大內(nèi)壓件下的最大內(nèi)壓max*p為了為了不發(fā)生反向屈服不發(fā)生反向屈服，要求，要求sr00

45、;,)(222222*crarabbaps,1222222*2brcrabbapcs00r(6-144)其最大值在內(nèi)壁其最大值在內(nèi)壁ar 處，等于處，等于222*2abbps于是，從（于是，從（6-143）式得到）式得到)1456(2122*espbap(6-143)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題可見(jiàn)，對(duì)一個(gè)反復(fù)受內(nèi)壓作用的圓筒來(lái)說(shuō)，當(dāng)則可見(jiàn)，對(duì)一個(gè)反復(fù)受內(nèi)壓作用的圓筒來(lái)說(shuō)，當(dāng)則 完全卸載后完全卸載后不會(huì)在相反方向引起新的塑性變形不會(huì)在相反方向引起新的塑性變形。 epp2*abpbapssseln1222解出解出22. 2/ab但卸載時(shí)會(huì)發(fā)生反向屈服，在反復(fù)加載（如炮筒反復(fù)承受發(fā)射炮彈時(shí)的高但卸載時(shí)會(huì)發(fā)生反

46、向屈服，在反復(fù)加載（如炮筒反復(fù)承受發(fā)射炮彈時(shí)的高壓）的條件下筒就會(huì)發(fā)生塑性循環(huán)（低周疲勞）破壞。因此，采用大于壓）的條件下筒就會(huì)發(fā)生塑性循環(huán)（低周疲勞）破壞。因此，采用大于2.22 的的 b/a 值實(shí)際意義不大。值實(shí)際意義不大。這時(shí)可以把工作內(nèi)壓這時(shí)可以把工作內(nèi)壓 p提高到提高到 之上而筒仍處于約束塑性狀態(tài)，之上而筒仍處于約束塑性狀態(tài)，ep2另一方面，內(nèi)壓值另一方面，內(nèi)壓值 又不能大于塑料性極限壓力又不能大于塑料性極限壓力 ps。令：。令：)1456(2122*espbap安定狀態(tài)安定狀態(tài)esppab2,22. 2/時(shí)當(dāng)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題abpssln假設(shè)材料不可壓，即假設(shè)材料不可壓，即0,21

47、0變形前后體積不變的條件可寫(xiě)成變形前后體積不變的條件可寫(xiě)成,2222Fconstabab從而得出從而得出221aFab這說(shuō)明，當(dāng)計(jì)及幾何尺寸改變時(shí)，由理想塑性材料制成的厚壁筒承受內(nèi)這說(shuō)明，當(dāng)計(jì)及幾何尺寸改變時(shí)，由理想塑性材料制成的厚壁筒承受內(nèi)壓的塑性極限狀態(tài)是不穩(wěn)定的。壓的塑性極限狀態(tài)是不穩(wěn)定的。五、幾何變形對(duì)承載能力的影響五、幾何變形對(duì)承載能力的影響當(dāng)筒壁很厚時(shí)，徑向位移可能很大，以致不能忽略幾何尺寸的影響。當(dāng)筒壁很厚時(shí)，徑向位移可能很大，以致不能忽略幾何尺寸的影響。設(shè)變形后的內(nèi)、外半徑分別為設(shè)變形后的內(nèi)、外半徑分別為 ，相應(yīng)的塑性極限壓力為，相應(yīng)的塑性極限壓力為ba、可見(jiàn)在內(nèi)壓可見(jiàn)在內(nèi)壓

48、作用下，作用下，a單調(diào)增長(zhǎng)時(shí)，單調(diào)增長(zhǎng)時(shí)，sp是減小的。是減小的。(6-146)簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題6.7 6.7 旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)等厚度的薄圓盤(pán)等厚度的薄圓盤(pán)考慮轉(zhuǎn)盤(pán)從彈性狀態(tài)開(kāi)始由于轉(zhuǎn)速增加而開(kāi)始屈服的過(guò)程。轉(zhuǎn)盤(pán)的單位考慮轉(zhuǎn)盤(pán)從彈性狀態(tài)開(kāi)始由于轉(zhuǎn)速增加而開(kāi)始屈服的過(guò)程。轉(zhuǎn)盤(pán)的單位r2，其中，其中為轉(zhuǎn)盤(pán)材料的質(zhì)量密度，為轉(zhuǎn)盤(pán)材料的質(zhì)量密度， 為角速度，為角速度，體積力（離心力）為體積力（離心力）為r 為微元的徑向坐標(biāo)；則為微元的徑向坐標(biāo)；則平衡方程平衡方程為為我們?cè)谶@里只討論理想彈塑料性材料的旋轉(zhuǎn)圓的解。我們?cè)谶@里只討論理想彈塑料性材料的旋轉(zhuǎn)圓的解。02rrdrdrr一、研究對(duì)象一、研究對(duì)象二、彈性解二、彈性解由于圓盤(pán)很薄，在整個(gè)厚度上可取由于圓盤(pán)很薄，在整個(gè)厚度上可取0z，因此可作為平面應(yīng)力問(wèn)題。，因此可作為平面應(yīng)力問(wèn)題?；蚧?1596(0)(22rrdrdr設(shè)其半徑為設(shè)其半徑為 b ，厚度為，厚度為 h ，并以均勻角速度，并以均勻角速度 繞中心軸旋轉(zhuǎn)。繞中心軸旋轉(zhuǎn)。簡(jiǎn)單的彈塑性問(wèn)題引入引入應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)rrF則應(yīng)力分量滿足則應(yīng)力分量滿足 從柱坐標(biāo)下的從柱坐標(biāo)下的幾何關(guān)系幾何關(guān)系rudrdur,中消去中消去u得變形協(xié)調(diào)方程得變形協(xié)調(diào)方程,rFr.22rdrdF在彈性范圍內(nèi)，以在彈性范圍內(nèi)，