中考幾何輔助線專題---遇到中點(diǎn)時(shí)的輔助線

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一節(jié) 等腰底 中垂分解題方法技巧1. 等腰三角形中有底邊中點(diǎn)或證是底邊中點(diǎn)時(shí)，常連底邊中線，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證題2. 有中點(diǎn)時(shí)，也可過中點(diǎn)作垂線，構(gòu)造垂直平分線，利用垂直平分線上的點(diǎn)和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等證題如圖，在中，AB=AC,取BC中點(diǎn)D，連接AD,則AD是的平分線，又是BC邊上的高和BC邊上的中線，這樣為證明題目增添了很多條件。例1 已知：如圖，在矩形ABCD中，E為CB延長線上一點(diǎn)且AC=CE,F為AE的中點(diǎn)。求證：.例2 如圖，AB=AE,BC=ED,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)（1） 求證：（2） 在你連接BE后，還能得出什么新結(jié)論？請(qǐng)寫出三個(gè)（不要

2、求證明）。練習(xí) 1.如圖，在中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，于點(diǎn)N，則MN等于（ ）A B C D 2.已知：如圖，在等腰中，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，過A的直線MN/BC,在直線MN上點(diǎn)A的兩側(cè)分別取點(diǎn)E,F且AE=AF.求證：DE=DF. 3. 已知:如圖，在等腰中，AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，過A作且AE=AF.求證：第二節(jié) 斜邊中 是一半解題方法技巧 直角三角形中，有斜邊中點(diǎn)時(shí)常作斜邊中線；有斜邊的倍分關(guān)系線段時(shí)，也常常作斜邊中線 如圖，在Rt中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，連接CD，則得CD=AD=BD,從而構(gòu)造出等腰三角形。 如圖，在Rt中，AB=2BC,作斜邊AB的中線

3、CD，則得相等的線段AD=BD=CD=BC,從而得到為等邊三角形，為研究等邊三角形，求角的大小提供了條件。例 如圖，在Rt中，AB=AC,O為BC的中點(diǎn)。（1） 寫出點(diǎn)O到的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離的關(guān)系：（不需證明）（2） 如果點(diǎn)M,N分別在線段AB,AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中保證AN=BM,請(qǐng)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論。練習(xí) 1.如圖，在中，BE,CF分別為邊AC,AB的高，D為BC的中點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)。求證： 2.已知：中，于E交AC于F,且AD=FC.求證：3.已知：中，于D,M為BC的中點(diǎn)。求證：DM=AB第三節(jié) 遇中線 可倍長解題方法技巧1. 將三角形的中線延長一倍構(gòu)造全等三角形或平行

4、四邊形，即為倍長中線法 如圖，AD為的中線，如延長AD至E，使DE=AD.連接BE,則，再連接CE，則四邊形ABEC是平行四邊形，可用平行四邊形的有關(guān)知識(shí)證題。 2. 將三角形中線上的一部分延長一倍，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形 如圖，E為中線AD上一點(diǎn)，如延長AD至F使DF=DE.連接BF,CF,則四邊形BFCE是平行四邊形，可用平行四邊形的有關(guān)知識(shí)證題。3. 可以在中線上截取線段與中線上的某一部分線段相等4. 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍此線段，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形 如圖，O為AB中點(diǎn)，若延長CO至D使OD=CO,則(),四邊形ADBC為平行四邊形。 例1 已知：如圖，AD為的中

5、線，AE=EF.求證：BF=AC例2 已知：如圖，在中，M為AB的中點(diǎn)，P,Q分別在AC,BC上，且于M,求證：PQ2=AP2+BQ2 例3 已知：如圖，的邊BC的中點(diǎn)為N,過A的任一直線于D,于E.求證：NE=ND.練習(xí) 1.已知：AD為的中線，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，連接BF交AD于E.求證：2.已知：在中，AD為中線，并且,.求證：AB=2AD3.已知：如圖，中，過AB的中點(diǎn)F作,垂足為E,交CA的延長線于點(diǎn)D.若EF=3，BE=4,求證：DF:FE的值。第四節(jié) 同中垂 構(gòu)全等解題方法技巧 有三角形中線時(shí)，可過中線所在的邊的兩端點(diǎn)向中線作垂線，構(gòu)造全等三角形 如圖，AN為的中線，若作的延長線于D

6、，作于E,則有.例 已知：如圖，在中，于E交BC于F.求證：BF=2FC.練習(xí) 1.已知：如圖，在中，BD=DC,BF交AD,AC于E,F,若AF=EF,求證：BE=AC.2.已知：如圖，在中，AD是BC邊上的中線，直線于點(diǎn)F,且交AB于E,交AC于G.求證：第五節(jié) 兩中點(diǎn) 中位線解題方法技巧 在進(jìn)行證明時(shí)，有中點(diǎn)可以構(gòu)造中位線，利用三角形，梯形中位線定理來證題。通常有以下幾種情況時(shí)作中位線。1. 有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）中點(diǎn)時(shí)，連接任意兩個(gè)中點(diǎn)可得三角形的中位線如圖，D,E,F分別是的三邊中點(diǎn)，連接DE,EF,FD，利用三角形中位線性質(zhì)得線段之間大小關(guān)系與平行關(guān)系，從而為解決問題提供幫助。2.

7、有一邊中點(diǎn)，并且已知或求證中涉及線段的倍分關(guān)系時(shí)，常過中點(diǎn)作另一邊的平行線，構(gòu)造三角形的中位線。如圖，在中，若,E為BC邊的中點(diǎn)，則取AC邊中點(diǎn)F,連接EF,DF,利用三角形中位線得到平行關(guān)系。3. 連接圓心與弦的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線如圖，C為中弦AB的中點(diǎn)，作直徑AD，連接OC,DB,則OC/BD且OC=BD，從而為證題創(chuàng)造平行條件與線段的倍，半關(guān)系。4. 有一腰中點(diǎn)，可另取另一腰中點(diǎn)，利用梯形中位線有關(guān)性質(zhì)證明如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,F為CD的中點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)E,連接EF，則EF/AD/BC,EF=(AD+BC)例1 已知：如圖，E,F分別為四邊形ABCD對(duì)角線的中點(diǎn)，A

8、B>CD.求證：EF>(AB-CD) 例2 如圖，在四邊形ABCD中，E,F并分別是AD,BC的中點(diǎn)，G,H分別是對(duì)角線BD,AC的中點(diǎn)。求證：EF與GH互相平分。 例3 如圖，在四邊形ABCD中，一組對(duì)邊AB=CD,另一組對(duì)邊ADBC.分別取AD,BC的中點(diǎn)M,N,連接MN，則AB與MN的關(guān)系是（ ）A.AB=MN B.AB>MN C.AB<MN D.上述三種情況都有可能練習(xí) 1.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=a，BE/AC,DE交AC的延長線于F點(diǎn)，交BE于E點(diǎn)。（1） 求證：DF=FE(2)若AC=2CF，求BE的長。2.已知：如圖，在四邊形ABCD中，

9、AB=CD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，BA,CD的延長線分別交EF的延長線于M,N.求證：.3.已知：如圖，五邊形ABCDE中，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)。求證：BF=EF。第六節(jié) 腰中平 造全等解題方法技巧 過梯形一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形的問題來解決 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,E為CD的中點(diǎn)，如過E作GF/AB交BC于F，交AD的延長線于G。 這樣就把梯形ABCD割補(bǔ)成平行四邊形了，可利用平行四邊形的性質(zhì)證題。例 已知：如圖，梯形ABCD中，AD/BC,EF為中位線。求證：梯形ABCD 練習(xí) 1.已知：如圖，梯形ABCD中，AD/BC,E為DC的中點(diǎn)求證：S=

10、梯形ABCD 2.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,E為AB的中點(diǎn)，EF/DC交BC于點(diǎn)F.求EF的長。第七節(jié) 延頂中 有全等解題方法技巧 在梯形中，有一腰中點(diǎn)時(shí)，連接一頂點(diǎn)與此中點(diǎn)并延長與一底的延長線相交，把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題來解決 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,E為CD的中點(diǎn)，如連接AE，并延長與BC的延長線交于點(diǎn)N.這樣相當(dāng)于把梯形ABCD割補(bǔ)成，可利用三角形的有關(guān)定理證題。 例 已知：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD,AB>DC,M為AD的中點(diǎn)，且。求證：BM平分，CM平分且AB+CD=BC練習(xí) 已知：梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD+BC,M為CD的

11、中點(diǎn) 求證：BM平分第八節(jié) 底中現(xiàn) 平腰見解題方法技巧 有底的中點(diǎn)時(shí)，常過此點(diǎn)引兩腰的平行線，把梯形問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形問題來解決如圖，已知梯形ABCD中，AD/BC,E為AD的中點(diǎn)，如過E作EF/AB,EN/CD,分別交BC于F,N,則得到,這樣可以利用平行四邊形和三角形的有關(guān)性質(zhì)證題。例 已知：在梯形ABCD中，AB/CD,AB>CD,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn) 求證：練習(xí) 1.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，且.求2.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=DC,P,Q分別為AD,BC的中點(diǎn)。求證：第九節(jié) 對(duì)角線 頂中線解題

12、方法技巧 在梯形中，有對(duì)角線中點(diǎn)時(shí)，常把一頂點(diǎn)和對(duì)角線中點(diǎn)連接，并延長與一底相交，把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題來解決 如圖，已知梯形ABCD中，AD/BC,E為AC的中點(diǎn)，如連接DE,并延長交BC于N. 例 已知：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD,E,F分別是AC,BD的中點(diǎn)。求證：EF/AB,且練習(xí) 1.如圖，在梯形ABCD中，AB/CD,中位線EF與對(duì)角線AC,BD交于M,N兩點(diǎn)，若EF=18cm,MN=8cm,則AB的長等于（ ）A.10cm B.13cm C.20cm D.26cm2.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)。求證：OD/AB第十節(jié) 弧弦中 心中連解題

13、方法技巧 1. 連經(jīng)過弧中點(diǎn)的半徑，可以利用垂徑定理得推論證題 如圖，=，連接AC,OB,則有,且OB垂直平分AC，從而能為證題創(chuàng)造垂直和線段中點(diǎn)的條件。2. 連等弧對(duì)的弦，根據(jù)圓心角，弧，弦，弦心距關(guān)系定理證題 如圖，B為的中點(diǎn)，連接AB,BC,則有AB=CB,從而為證題創(chuàng)造線段相等條件。3. 連等弧對(duì)的圓心角（或圓周角）利用圓心角，弧，弦，弦心距關(guān)系定理及同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)圓心角與圓周角關(guān)系定理的推論證題 如圖，連接OA,OB,OC,AD,BD,CD 從而為證明角相等（或倍，半關(guān)系）創(chuàng)造條件4. 連接圓心與弦的中點(diǎn)，利用垂徑定理得推論可得到垂直條件 如圖，點(diǎn)C是弦AB的中點(diǎn)，連接OC,則有例1 如圖，的半徑為3，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，弦MN交AB于F，交CD于G,延長AB,CD相交于點(diǎn)E.若MN=,求的度數(shù)。例2 不過圓心的直線于C,D兩點(diǎn)，AB是的直徑，于E,于F。（1） 請(qǐng)你在下面三個(gè)圖中，分別畫出滿足上述三個(gè)條件的具有不同位置關(guān)系的圖形（2） 請(qǐng)你觀察（1）中所畫圖形，寫出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論（3） 請(qǐng)你選擇（1）中的一個(gè)圖形，證明（2）所得到的結(jié)論練習(xí) 1.如圖所示，是等邊三角形ABC的外接圓，的半徑為2，則等邊三角形ABC的邊長為（ ）A. B. C. D.