中考數(shù)學壓軸題解題策略(1)等腰三角形的存在性問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學壓軸題解題策略（1）等腰三角形的存在性問題解題策略挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題的作者 上海 馬學斌專題攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三種情況已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗例題解析例 如圖1-1，在平面直角坐標系xOy中，已知點D的坐標為(3, 4)，點P是x軸正半軸上的一個動點，如果DOP是等腰三角形，求點P的坐標圖1-

2、1【解析】分三種情況討論等腰三角形DOP：DODP，ODOP，POPD當DODP時，以D為圓心、DO為半徑畫圓，與x軸的正半軸交于點P，此時點D在OP的垂直平分線上，所以點P的坐標為(6, 0)（如圖1-2）當ODOP5時，以O(shè)為圓心、OD為半徑畫圓，與x軸的正半軸交于點P(5, 0) （如圖1-3）當POPD時，畫OD的垂直平分線與x軸的正半軸交于點P，設(shè)垂足為E（如圖1-4）在RtOPE中，所以此時點P的坐標為圖1-2 圖1-3 圖1-4上面是幾何法的解題過程，我們可以看到，畫圖可以幫助我們快速找到目標P，其中和畫好圖就知道答案了，只需要對進行計算代數(shù)法先設(shè)點P的坐標為(x, 0)，其中x

3、0，然后羅列DOP的三邊長（的平方）DO252，OP2x2，PD2(x3)2+42當DODP時，52(x3)2+42解得x6，或x0當x0時既不符合點P在x軸的正半軸上，也不存在DOP當ODOP時，52x2解得x±5當x5時等腰三角形DOP是存在的，但是點P此時不在x軸的正半軸上（如圖1-5）當POPD時，x2(x3)2+42這是一個一元一次方程，有唯一解，它的幾何意義是兩條直線（x軸和OD的垂直平分線）有且只有一個交點代數(shù)法不需要畫三種情況的示意圖，但是計算量比較大，而且要進行檢驗圖1-5例 如圖2-1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，動點P以2個單位/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC

4、向點C移動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當P、Q兩點中其中一點到達終點時則停止運動在P、Q兩點移動的過程中，當PQC為等腰三角形時，求t的值圖2-1【解析】在P、Q兩點移動的過程中，PQC的6個元素（3個角和3條邊）中，唯一不變的就是PCQ的大小，夾PCQ的兩條邊CQt，CP102t.因此PQC符合“邊角邊”的解題條件，我們只需要三個C就可以了，在C的邊上取點P或Q畫圓圖2-2 圖2-3 圖2-4如圖2-2，當CPCQ時，t102t，解得(秒).如圖2-2，當QPQC時，過點Q作QMAC于M，則CM.在RtQMC中，解得(秒).如圖2-4，當PQPC時，過點P作

5、PNBC于N，則CN.在RtPNC中，解得(秒).這道題中，我們從“有限”的矩形中，選擇我們需要的“無限”的PCQ，使得畫圖簡潔，計算簡練例 如圖3-1，直線y2x2與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P是x軸正半軸上的一個動點，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點Q，如果APQ是等腰三角形，求點P的坐標圖3-1【解析】我們先用代數(shù)法解這道題由y2x2得，A(1，0)，B(0，2)所以O(shè)A1，OB2如圖3-2，由于QPAABO，所以O(shè)POQOBOA21設(shè)點Q的坐標為(0，m)，那么點P的坐標為(2m，0)因此AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2當APAQ時，解方程(2m1)

6、2m21，得或所以符合條件的點P不存在當PAPQ時，解方程(2m1)25m2，得所以當QAQP時，解方程m215m2，得所以圖3-2 圖3-3 圖3-4我們再用幾何法驗證代數(shù)法，并進行比較如圖3-3，在直線PQ平移的過程中，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”，可知QPO的大小是不變的，因此PQA也符合“邊角邊”的解題條件，我們只需要三個P，點P在點A的右側(cè)，暫時不畫y軸（如圖3-4）如果APAQ，以A為圓心、AP為半徑畫圓，得到點Q（如圖3-5）因為點Q在y軸上，于是“奇跡”出現(xiàn)了，點A(1, 0)怎么可以在y軸的右側(cè)呢？ 圖3-5 圖3-6當PAPQ時，以P為圓心、PA為半徑畫圓，得到點Q，再過

7、點Q畫y軸此時由，解得，所以（如圖3-6）請問代數(shù)法解得的點在哪里？看看圖3-7就明白了當QAQP時，點Q在AP的垂直平分線上，由于A(1, 0)，所以P(1, 0) （如圖3-8）我們可以體驗到，幾何法可以快速找到目標，而且計算比較簡便圖3-7 圖3-8例 如圖4-1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點P(0, m)是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D當APD是等腰三角形時，求m的值圖4-1【解析】點P(0, m)在運動的過程中，APD的三個角都在變化，因此不符合幾何法“邊角邊”的解題條件，我們用代數(shù)法來解因為PC/DB，

8、M是BC的中點，所以BDCP2m所以D(2, 4m)于是我們可以羅列出APD的三邊長（的平方）：，當APAD時，解得（如圖4-2）當PAPD時，解得（如圖4-3）或（不合題意，舍去）當DADP時，解得（如圖4-4）或（不合題意，舍去）綜上所述，當APD為等腰三角形時，m的值為，或圖4-2 圖4-3 圖4-4其實、兩種情況，可以用幾何說理的方法，計算更簡單：如圖4-2，當APAD時，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如圖4-3，當PAPD時，P在AD的垂直平分線上所以DA2PO因此解得例 如圖5-1，已知ABC中，ABAC6，BC8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC邊上，ADEB設(shè)BD的長為x，如果ADE為等腰三角形，求x的值 圖5-1【解析】在ADE中，ADEB大小確定，但是夾ADE的兩條邊DA、DE用含有x的式子表示太麻煩了本題的已知條件ADEBC非常典型，由于ADCADE1，ADCB2，ADEB，所以12于是得到典型結(jié)論DCEABD如圖5-2，當DADE時，DCEABD因此DCAB，8x6解得x2如圖5-3，如果ADAE，那么AED